HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

GV: NGUYỄN QUỐC BẢO Zalo: 039.373.2038 Gmail:Tailieumontoan.com@Gmail.com Website: Tailieumontoan.com Facebook:www.facebook.com/baotoanthcs HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Chuyên đê HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LƯU HÀNH NỘI BỘ NGUYỄN QUỐC BẢO CÁC DẠNG TỐN & PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ● Dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8,9 ● Giúp ơn thi vào lớp 10 chun tốn LƯU HÀNH NỘI BỘ Website:tailieumontoan.com Lêi giíi thiƯu Các em học sinh thầy giáo, cô giáo thân mến ! Cuốn sách Các dạng toán & phương pháp giải hệ phương trình tác giả biên soạn nhằm giúp em học sinh học tập tốt mơn Tốn THCS THPT sau Các tác giả cố gắng lựa chọn tập thuộc dạng điển hình, xếp thành hệ thống để bồi dưỡng học sinh giỏi lớp THCS Sách viết theo chủ đề tương ứng với vấn đề quan trọng thường đề thi học sinh giỏi toán THCS, vào lớp 10 chuyên mơn tốn nước Mỗi chủ đề viết theo cấu trúc lý thuyết cần nhớ, dạng toán thường gặp, tập rèn luyện hướng dẫn giải giúp em học sinh nắm vững kiến thức đồng thời rèn luyện kiến thức học Mỗi chủ đề có ba phần: A Kiến thức cần nhớ: Phần tóm tắt kiến thức bản, kiên thức bổ sung cần thiết để làm sở giải tập thuộc dạng chuyên đề B Một số ví dụ: Phần đưa ví dụ chọn lọc, tiêu biểu chứa đựng kĩ phương pháp luận mà chương trình địi hỏi Mỗi ví dụ thường có: Lời giải kèm theo nhận xét, lưu ý, bình luận phương pháp giải, sai lầm thường mắc nhằm giúp học sinh tích lũy thêm kinh nghiệm giải tốn, học tốn C Bài tập vận dụng: Phần này, tác giả đưa hệ thống tập phân loại theo dạng tốn, tăng dần độ khó cho học sinh giỏi Có tập trích từ đề thi học sinh giỏi Toán đề vào lớp 10 chuyên Toán Các em cố gắng tự giải Nếu gặp khó khăn xem hướng dẫn lời giải cuối sách Các tác giả hi vong sách tài liệu có ích giúp em học sinh nâng cao trình độ lực giải tốn, góp phần đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi cấp THCS Mặc dù có nhiều cố gắng biên soạn song sách khó tránh khỏi sai sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp bạn đọc MỌI Ý KIẾN THẮC MẮC XIN VUI LÒNG GỬI VỀ ĐỊA CHỈ NGUYỄN QUỐC BẢO Zalo: 039.373.2038 Tailieumontoan.com@gmail.com Facebook: www.facebook.com/baotoanthcs Xin chân thành cảm ơn! Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC CHỦ ĐỀ Website:tailieumontoan.com MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP PHẦN HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A TĨM TẮT LÝ THUYẾT c ax + by = c' a ' x + b ' y = Hệ phương trình bậc hai ẩn có dạng: ( I )  Trong a b a’ b’ không đồng thời * Hệ (I) có nghiệm a a' * Hệ (I) vô nghiệm = a b ≠ a' b' b c ≠ b' c' a a' b b' * Hệ (I) có vơ số nghiệm = = c c' B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN c ax + by = Dạng tốn Giải phương trình  c' a ' x + b ' y = PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Để giải hệ phương trình bậc hai ẩn thường sử dụng phương pháp phương pháp cộng đại số Cách 1: Phương pháp thế: Bước 1: Từ phương trình hệ, biểu thị ẩn chẳng hạn ẩn x theo ẩn Bước 2: Thế biểu thức x vào phương trình cịn lại thu gọn, ta tìm giá trị y Bước 3: Thế giá trị y vào biểu thức x ta tìm giá trị x Cách 2: Phương cộng đại số: Bước 1: Nhân vế hai phương trình với số thích hợp (nếu cần) cho hệ số ẩn đối Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Bước 2: Sử dụng quy tắc cộng đại số để hệ phương trình có phương trình ẩn Bước 3: Giải hệ phương trình vừa thu Chú ý: Nếu hệ phương trình có ẩn mà hệ số ±1 nên giải hệ theo phương pháp  *Lưu ý: Khi hệ có chứa biểu thức giống nhau, ta kết hợp phương pháp đặt ẩn phụ để đưa hệ hệ đơn giản Sau sử dụng phương pháp cộng để tìm nghiệm hệ phương trình.Các bước giải hệ phương pháp đặt ẩn phụ: Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa (nếu cần) Bước 2: Đặt ẩn phụ điều kiện ẩn phụ (nếu có) Bước 3: Giải hệ theo ẩn phụ đặt Bước 4: Trở lại ẩn cho để tìm nghiệm hệ số (lưu ý với điều kiện lúc đặt ẩn phụ) Thí dụ Giải hệ phương trình: 1 1 x − y =  b)  3 + =  x y 11 3 x − y = x + y = a)  Hướng dẫn giải a) + Giải theo phương pháp thế: 11 3 − y = − y 11 3 x = − y 11 3 (1 − y ) − y = − y 11 3 x = ⇔ ⇔ ⇔  1 2y 2y x + y =  x =−  x =−  x = − y 11 3 − 11 = 8y −8 −1 −1 −1 3 − y = 8 y = y = y = y = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 1− y 1− y 1− y 1− y − 2.(−1) x = x = x = x = x = x = Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) = (3;-1) + Giải theo phương pháp cộng đại số: − y 11 = = = 3 x= 4 x 12 = x x x ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  1 3 + y = 2 y = −2 −1 x + y = x + y = y = Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) = (3;-1) b) + Giải hệ phương pháp đặt ẩn phụ Điều kiện: x ≠ 0; y ≠ Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com x a − b = 3a + 4b = y ; b (*) Hệ phương trình cho tương đương với  Đặt= a=  b=   3 a b a b b = − = − = b =      Ta có:  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 4b 4b −b  3a += 3a += a = a = a = + b   b = Thay  vào (*) ta có a =  1   y =  y = (thỏa mãn) ⇔  1 = x =   x 7 9 Vậy nghiệm hệ phương trình ( x; y ) =  ; 7  2 Thí dụ Giải hệ phương trình 2  x + y = b)  1 − 2y =  x  3x −  x −1 y + =  d)   2x + =  x − y + 3( x + 1) + 2( x + y ) = 4( x + 1) − ( x + y ) = a)  −1  x + =  y  c)  −7 2 x − =  y   x + y + y −1 =  e)   − = −1  x + y y − 4 x − y = f)  2 x + y = Hướng dẫn giải a) 4y 4y 4y 3 x + + x += 5 x += 5 x += 3( x + 1) + 2( x + y ) = ⇔ ⇔ ⇔  2y y 6 x −= y 10 4 x + − x −= 3 x −= 4( x + 1) − ( x + y ) = = = 11x 11 x ⇔ ⇔ 10 −1 6 x − y = y = Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y= ) b) (1; −1) Điều kiện x ≠ Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 2 4 5  y y = + = + = 10 x =   x  x  x  x = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ (thỏa mãn)  1  −=  −=  −=  +y=  y = −1 2y 2y 2y  x  x  x  x 1 2   y )  ; −1 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x;= c) Điều kiện y ≠ Đặt t = , hệ phương trình cho trở thành y  −1 −1  t −x −1  −1 x = =  x + t =2 t −x  x = −1 =  (thỏa mãn) ⇔ ⇔ ⇔ ⇒  −7 −7 y = 2 x − 3t = 2 x −  −1 − x  = 5 x = −5 t =     Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = d)  3x  x −1 −  (I )   2x +  x − ( −1; ) = y+2 ĐK x ≠ 1; y ≠ −2 = y+2  x  x − = a Khi hệ phương trình (I) trở thành: Đặt   =b  y + − 2b − 2b = = 3a = 3a = 7 a 14 a ⇔ ⇔ ⇔  +b + 2b 10 +b = 2a=  4a = 2a= b  x  x − = x = Khi ta có:  ⇔  =  y = −1  y + Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y= ) e)  x+ y +    −  x + y Đặt u = ( 2; −1) = y −1 Điều kiện: x ≠ − y; y ≠ = −1 y −1 1 v = Hệ phương trình thành : x+ y y −1 Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 4u + v u + 2v 10 = = 8= 9u = u ⇔ ⇔ ⇔  −1 u − 2v = −1 u + v = u − 2v = 2v = Thay vào hệ cho ta có :   x + y = x + y = −1 x =  ⇔ ⇔  y −1 = = y  =1   y −1 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = f) ( −1; ) Điều kiện: x ≥ 0; y ≥ 4 x − 3= 4 x − 3= 5= y y y ⇔ ⇔  + y 2 y + y 4 x += 2 x = 2 x =  y = y = ⇔ ⇔ (Thỏa mãn) x =  2 x = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = (1;0 ) Dạng toán Tìm điều kiện tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Dạng 1: Giải hệ phương trình theo tham số m cho trước Phương pháp: Bước 1: Thay giá trị m vào hệ phương trình Bước 2: Giải hệ phương trình Bước 3: Kết luận Dạng 2: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) thỏa điều kiện cho trước Phương pháp: Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm ( x, y ) theo tham số m; Bước 2: Thế nghiệm x, y vào biểu thức điều kiện cho trước, giải tìm m; Bước 3: Kết luận Dạng 3: Tìm mối liên hệ x, y không phụ thuộc vào tham số m Phương pháp: Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm ( x, y ) theo tham số m; Bước 2: Dùng phương pháp cộng đại số phương pháp làm tham số m; Bước 3: Kết luận ( a + 1) x − y = a + Thí dụ Cho hệ phương trình:   x + ( a − 1) y = (1) ( 2) ( a tham số) a) Giải hệ phương trình a = b) Giải biện luận hệ phương trình c) Tìm số nguyên d) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm ngun a để nghiệm hệ phương trình thỏa mãn x + y đạt GTNN Hướng dẫn giải a)   x = x− y = 3= 4 x Khi a = hệ phương trình có dạng:  ⇔ ⇔ x + y = y =2− x y =  5 3 4 4 Vậy với a = hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) =  ;  b) Giải biện luận: Từ PT (1) ta có: y = ( a + 1) x − ( a − 1) ( 3) vào PT ( ) ta được: ⇔ x + ( a − 1) x − ( a − 1) = ⇔ a2 x = x + ( a + 1) ( a + 1) x − ( a − 1)  = a2 + ( 4) a2 + TH1: a ≠ , phương trình ( ) có nghiệm x = Thay vào ( 3) ta có: a2 ( a + 1) ( a + 1) − a ( a + 1) a3 + a + a + − a3 − a a + a2 + y = ( a + 1) − ( a + 1) = = = a a2 a2 a  a2 + a +  Suy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) =  ;  a   a TH2: Nếu a = , phương trình ( ) vơ nghiệm Suy hệ phương trình cho vô nghiệm KL:  a2 + a +  a ≠ hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) =  ;  a   a a = hệ phương trình cho vơ nghiệm Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 10 Website:tailieumontoan.com  a2 + a +  Với a ≠ hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) =  ;  a   a c)  a2 + ∈  x ∈   a Hệ phương trình có nghiệm nguyên:  ⇔  y ∈   a +1 ∈   a ( a ∈ ) a2 + 1 =+ ∈  ⇔ ∈  ⇔ a =⇔ a= ±1 a a a Điều kiện cần: x = Điều kiện đủ: a =−1 ⇒ y =0 ∈  (nhận) a =1 ⇒ y =2 ∈  (nhận) Vậy a = ±1 hệ phương trình cho có nghiệm nguyên  a2 + a +  ;  a   a Với a ≠ hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) =  d) Ta có x + y = Đặt t = a2 + a + a2 + a + 2 + = =1 + + 2 a a a a a ta được: a    1   1 7 x + y =2t + t + =2  t + t +  =2  t +  +  =2  t +  + ≥ 2   4 8   16  Dấu " = " xảy t = − , a = −4 Vậy a = −4 hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn x + y đạt GTNN a 2 x + by = Thí dụ Tìm a , b biết hệ phương trình:  có nghiệm x = ; y = bx + ay = Hướng dẫn giải Thay x = ; y = vào hệ ta có: a 2.1 + b.3 = ⇔  b.1 + a.3 = Sưu tầm tổng hợp a − 3b = ⇔  3a + b = 3a − 9b = ⇔  3a + b = 10b = −1 ⇔  3a + b = −1  b = 10  a = 17  10 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 189 Website:tailieumontoan.com x =  ⇔ ( x + 2) − = x+2+  x −1 +1 x2 − + Với x = suy y = ( x + 2) − = x −1 +1 x2 − + Ta có x + + x2 − − = + ( x + 2) x2 − + Suy ( x + ) x2 − − 7x − +   + x2 − +  x −1 +1 x −1 +1 x − − ≥ ⇒ ( x + 2) Với x ≥  ( x + ) 1 − x2 − − x2 − + ≥0 >0 x −1 +1 + Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;1) , ( 2;1) Câu 94 x 5y − 20 Thế vào phương trình thứ hai Từ phương trình thứ hệ ta = ta ( 5y − 19 )(10y − 39 )(15y − 59 ) =(1 + 3y ) 1 + 3y + ( 5y − 20 )   3 ⇔ 750y − 8725y + 33830y − 34719 = 150y − 1141y + 2006y + 801 ( ) ⇔ 600y − 7584y − 31824y − 44520 =0 ⇔ ( y − ) 75y − 573y + 1113 =0 vô nghiệm Dễ thấy phương trình 75y − 573y + 1113 = Do từ phương trình ta y − = ⇔ y = nên x = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( 5; ) x 5y − 20 vào phương trình thứ hai ta Cách khác: Khi thực phép = phương trình ẩn, nhiên phương trình khó phân tích Do ta tìm cách phân tích phương trình thứ hai thành tích (1 + x )(1 + 2x )(1 + 3x ) =(1 + 3y ) (1 + 3y + 2x ) ⇔ ( 2x + 3x + 1) ( 3x + 1) = ( + 3y ) ( + 3y + 2x ) ⇔ ( 3x + 1) + 2x ( 3x + 1) = ( + 3y ) + 2x ( 3y + 1) 2 2 2 x − y = ⇔ ( x − y )  + ( x + y ) + 2x  =0 ⇔   + ( x + y ) + 2x = Đến ta kết hợp với phương trình thứ để tìm nghiệm Trong hai cách cách thực phép dễ thấy cách phân tích phương trình thứ hai thành tích cho lời giải đơn giản Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 190 Website:tailieumontoan.com Câu 95 Đặt a = 2x + y − 1; b = x − y + Khi hệ phương trình viết lại thành 2 2  26 26 26 a + b = a + b + 2ab − 2ab = ( a + b ) − 11 − ( a + b )  = ⇔ ⇔  11 ab = 11 − ( a + b ) a + b + ab = ab = 11 − ( a + b ) ( a + b )2 + ( a + b ) − 48 =0 a + b =−8; ab =19 ⇔ ⇔ b 6; ab = a + = ab = 11 − ( a + b ) a + b =−8 + Với  , hệ vô nghiệm ( a + b ) < 4ab ab = 19 a + b= a= 1; b= + Với  ⇔ ab b = = a 5;= 2x + y −= 1 = x ⇔ x − y + =5  y =−2  Khi= a 1;= b ta có  2x + y −= = x ⇔ y+1 = x −= y  Khi= a 5;= b ta có  Vậy phương trình cho có nghiệm ( 2; −2 ) , ( 2; ) Chú ý Khi hai phương trình hệ khơng thể phân tích thành tích ta nhân hai phương trình với số k cộng theo vế hai phương trình phương trình bậc hai Ta cần tìm số k để phương trình phân tích thành tích Chẳng hạn ta viết lại hệ phương trình 2  5x + 2y + 2xy − 2x − 4y − 24 = 24 5x + 2y + 2xy − 2x − 4y =  ⇔   2 11   2x − y − xy + 4x + 2y − xy − 12 = 3x + ( 2x + y − 1)( x − y + 1) = Khi ta thấy nhân phương trình thứ hai với k = cộng hai phương trình ta thu phương trình 9x + 6x − 48 = Câu 96 Từ x + y + z = 1 1 1 1 + + = ta + + = Khi ta x y z x y z x+y+z x+y x+y 1 1 + + − =0 ⇔ + =0 x y z x+y+z xy z (x + y + z) ( ) ⇔ ( x + y ) xy + zx + yz + z =0 ⇔ ( x + y )( y + z )( z + x ) =0 , từ x + y + z = ta z = + Xét trường hợp x + y = ta x = − y Thế vào x + y + z = Cũng từ x + y = 17 ta 2x = 8⇔x= ±2 Từ ta hai số ( x; y; z ) thỏa mãn ( 2; −2; ) , ( −2; 2; ) Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 191 Website:tailieumontoan.com ta số hoán vị hai z + x = + Giải trường hợp y + z = số Vậy số ( x; y; z ) cần tìm ( 2; −2; ) , ( −2; 2; ) , ( 2; 3; −2 ) , ( −2; 3; ) , ( 3; 2; −2 ) , ( 3; −2; ) Câu 97 x ( x + y + z ) = 48 x + xy + zx = 48   Biến đổi tương đương phương trình ta  y + xy + yz = 12 ⇔  y ( x + y + z ) = 12   84 84 z + zx + yz = z ( x + y + z ) = Mặt khác cộng theo vế phương trình hệ ta (x + y + z) = 144 ⇔ x + y + z =±12 + Với x + y + z =−12 , vào phương trình ta ( x; y; z ) =( −4; −1; −7 ) + Với x + y + z = 12 , vào phương trình ta ( x; y; z ) = ( 4;1; ) Thử vào hệ phương trình cho ta nghiệm hệ y; z ) ( 4;1; ) , ( −4; −1; −7 ) ( x;=  x − y −15 y − 14 =3 ⋅ ( y − x ) (1) Câu 99 Ta có:  x + xy + 15 x + = ( 2)  Ở phương trình (1) ta có: ( x − y −15 y − 14 =3 ⋅ y − x ) ⇔ x + x = y + 15 y + y + 14 ⇔ x + x = y + y + 12 y + + y + ⇔ x + 3x = ( y + 2) + ⋅ ( y + 2) ⇔ x = y + (*) Từ (2) (*) ta có hệ phương trình: x−2= y x= y +   ⇔  0 4 x + xy + 15 x + = 4 x + x ⋅ ( x − ) + 15 x + = x−2 y x−2 y = =   ⇔ ⇔ 2 3x + 6x + 4 x + x += 8 x + 12 x +=  −1 − x =  ( x + 1) = −5  ⇔ ⇔ y  x − =  y = −5 −   −1 − −5 −  ; Vậy hệ phương trình có nghiệm   2   Câu 100 Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 192 Website:tailieumontoan.com  x + y − xy =2 − xy  x + y + xy = ⇔ ⇒ ( x + y )( − xy ) = x + y  2  x + y = x + y ( x + y ) x + y − xy = x + y ( ) y = ⇔ x y + xy + y = ⇔ y x + xy + = ⇒   x + xy + =0 ( ) 0⇒ x= ± Với y = Với x + xy + =0 ⇒ x + xy =−1 ⇒ y = ⇒ y =± ⇒ x ± x + =0 phương trình vơ nghiệm = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) ( )( 2;0 ; − 2;0 ) Câu 101 ( ) ( )  x − y + y − x = 2( xy − 1); (1)  4 x + y + x − y − = 0; (2) x y + xy − ( x + y ) − 2( xy − 1) = ⇔ ( x + y )( xy − 1) − 2( xy − 1) = từ PT (1) ta có : y = − x ⇔ ( x + y − 2)( xy − 1) = ⇔   xy = thay vào PT (2) giải có nghiệm    − 14    − −1  +1 ;  ;1 − ;  ; + 1;  (xy ) ∈ (1;1); (− 0,5;2 );     5    Câu 102 Với x = y = nghiệm hệ phương trình Nhận thấy x ≠ y ≠ ngược lại Xét x ≠ ; y ≠ hệ phương trình tương đương với 1 1 1 (1) = =  x2 + y2  x2 + y2   ⇔  (2) ( + )(1 + = ( + )(2 + = ) )  x y  x y xy xy 1 Thay (1) vào (2) ta ( + )3 = x y 1 x + y =  ⇒ ⇒ x = y =1  =1  xy Vậy hệ có nghiệm (x ; y) (0 ; 0) ; (1 ; 1) Câu 103 Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 193 Website:tailieumontoan.com 15  x =  − 2y − 2y 10 x= 10 x= 52 ⇔ ⇔ a) Khi m = 10 hệ phương trình có dạng  10 y 50 y 25  23 2 x += 10 x + = y=  52  15 23  Vậy m = 10 hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) =  ;   52 52  mx −  mx − y=   mx − y = y =  ⇔ ⇔ b) Ta có:  mx − = 2 x + my 2 x + my = 2 x + m =  2m + 10  mx −  x= y =    m +4 ⇔ ⇔ ( m + ) x =2m + 10  y = mx −   2m + 10   x = m + Vậy hệ phương trình cho ln có nghiệm   y = mx −  −2015m + 14m − 8056 Thay vào hệ thức x + y − 2014 = m2 + Ta −2014m + m − 8050 −2015m + 14m − 8056 = = ⇔ m2 − 7m + 2 m +4 m +4 m = ⇔ ( m − 1)( m − ) =0 ⇔  m = m 1;= m Đối chiếu với điều kiện đề ta = Câu 104 3 x + xy − x + y =   x ( x + 1) + y ( y + 1) = 2   y−2 y+2 3 x + xy − x + 2= 2 x + xy − y − x += ⇔ ⇔  y2 + x + y − y2 + x + y −  x +=    x += 2 Ta có: x + xy − y − x + y + =0 ⇔ ( y + x − )( y − x + 1) =0 ⇔ y = − x = y 2x −1 Với y= − x thay vào (2) ta được: x2 – 2x +1 = suy x = Ta nghiệm (1;1) = y x − thay vào (2) ta được: 5x2 – x – = , suy x = 1; x = Ta nghiệm (1;1) ( Sưu tầm tổng hợp −4 −4 −13 ) ; 5 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 194 Website:tailieumontoan.com Vậy hệ có nghiệm (1;1) ( mx + 2y =m + ⇔ Câu 105  2x + my = 2m − −4 −13 ) ; 5 2mx + 4y = 2m +  2 2mx + m y = 2m − m 2 (m − 4)y = 2m − 3m − = (m − 2)(2m + 1) 2x + my = 2m − ⇔ Để hệ có nghiệm m2 – ≠ hay m ≠ ± Vậy với m ≠ ± hệ phương trình có nghiệm  (m − 2)(2m + 1) 2m + = = 2−  y= m+2 m+2 m −4  x= m − = − m+2 m+2  Để x, y số nguyên m + ∈ Ư(3) = {1; −1; 3; −3} Vậy: m + = ± 1, ± => m = -1; -3; 1; -5 Câu 106 ( ) ) y (2 x + y ) ⇔ ( x − y ) xy + x + y 2= Từ hệ ta có x3 (2 y + x= x = y ⇔ ( x + y )3 ( x − y ) =0 ⇔  x = − y * Với x = y ta tìm (x ; y) = (0; 0); ( 3; );( − 3; − ) * Với x = - y ta tìm (x ; y) = (0; 0); ( 1; −1 );( −1;1) Vậy hệ phương trình có nghiệm (x ; y) = (0; 0); 3; );( − 3; − );( −1;1);( 1; −1) Câu 107  4x3 − y = x + y (1) Giải hệ  2 52 x − 82 xy + 21 y = −9 (2) Nhân vế trái (1) với vế phải (2) nhân vế phải (1) với vế trái (2) ta có: (−9)(4 x − y ) = ( x + y )(52 x − 82 xy + 21 y ) ⇔ (−9)(4 x − y ) − ( x + y )(52 x − 82 xy + 21 y ) = ⇔ x + x y − 13 xy + y = ⇔ (8 x − xy ) + (2 x y − xy ) − (3 y + y x) = ⇔ x( x − y ) + xy ( x − y ) − y ( x − y ) = ⇔ ( x − y )(8 x + 10 xy − y ) = Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 195 Website:tailieumontoan.com Biến đổi nhận phương trình: ( x − y )(4 x − y )(2 x + y ) = Với x = y tìm ( x; y ) = (0;0) ( thử vào hệ không thỏa mãn) ( x; y ) = (1;1); (−1;−1) ( thử vào hệ thấy thỏa mãn) Với y = x tìm ( x; y ) = (0;0) ( thử vào hệ không thỏa mãn) Với y = −2 x tìm ( x; y ) = (0;0) ( thử vào hệ không thỏa mãn) Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = (1;1); (−1;−1) Câu 108 Nhân hai vế (2) với ta có hệ phương trình 3 x + y − xy + x + y − = (1)  2 (2) 2x − y + 4x + y − = Lấy (1) trừ (2) theo vế với vế ta có (x − xy + y ) − ( x − y ) + = ⇔ ( x − y ) − ( x − y ) + = x y + ⇔ ( x − y − 1)( x − y − ) =0 ⇔ x =2 y + = x y + , vào (2) rút gọn ta có y ( y + 3) = ⇔ y = y = −3 +) Với = −5, y = −3 x 1,= y x = Suy ra= x y + , vào (2) rút gọn ta có y + 13 y + = ⇔ y = +) Với = y = −13 + 109 −13 − 109 −7 + 109 −13 + 109 −7 − 109 −13 − 109 x = ,y ,y = = 6 x 1,= y 0; x = −5, y = −3 ; Vậy hệ có nghiệm= Suy x = = x −7 − 109 −13 − 109 −7 + 109 −13 + 109 = ,y ,y = ; x = 6 Câu 109 Từ phương trình: x − y = ta có y = x − (d1) mx + y = n + ta có y = −mx + n + (d2) a) Hệ phương trình cho có nghiệm khi: (d1) cắt (d2) ⇔ ≠ −m ⇔ m ≠ −3 b) Hệ phương trình cho vơ nghiệm khi: : (d1) // (d2) ⇔ m = -3 n tùy ý Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 196 Website:tailieumontoan.com c) Hệ cho có vơ số nghiệm khi: : (d1) trùng (d2) m = −3 ⇔ n + = −6 m = −3 ⇔ n = −9 Câu 110  x + ay =   x − 3ay = 2a +  x = − ay ⇔ a(1 − ay ) − 3ay = 2a +  x = − ay ⇔ − a(a + 3) y = a + a(a + 3) = Hệ phương trình vơ nghiệm ⇔  a + ≠ ⇔a=0 Câu 111 x = 10 Cách Với m = hệ có nghiệm nhất:  y=5  −m = x+5  y Với m ≠ hệ phương trình tương đương với:   y −1 x + 10 =  m m (a) (b) Dễ thấy (a) (b) hai đường thẳng hệ tọa độ Oxy, số nghiệm hệ số giao điểm hai đường thẳng (a) (b) a) Hệ phương trình cho vô nghiệm (a) (b) song song tức là:  −m −1  = m ⇔m= −2  10  5≠  m Vậy m = - hệ cho vơ nghiệm b) Hệ cho có nghiệm (a) (b) cắt tức là: −m −1 ≠ ⇔ m ≠ ±2 m c) Hệ cho có vơ số nghiệm (a) (b) trùng tức là:  −m −1  = m ⇔m=   = 10  m Vậy m = hệ cho có vơ số nghiệm Cách từ PT(2) suy ra: x = 10 – my thay vào (1) ta được: Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 197 Website:tailieumontoan.com y(4 − m ) =20 − 10m (3) Ta có số nghiệm hệ cho số nghiệm Phương trình (3) 20 − 10m ≠ m≠2 ⇔ ⇔m= −2 a) Hệ cho vô nghiệm khi:  m m − = = ±   Vậy với m = - hệ cho vơ nghiệm b) Hệ có nghiệm khi: − m ≠ ⇔ m ≠ ±2 20 − 10m = c) Hệ cho vô số nghiệm khi:  ⇔m= 2  4−m = Câu 112 Giải hệ phương trình với m =2 Với m = 2, hệ phương trình là: x + y = x + y= x= +y ⇔ ⇔    = + y) = xy xy(x x y + y x =  Do đó, x, y nghiệm phương trình X2-5X +1= Giải ra X = + 21 − 21 , X2 = 2  + 21 − 21   − 21 + 21  Vậy hpt có hai nghiệm:  ; ;  ,      2     b) Chứng minh hệ ln có nghiệm với m x + y = 2m + Hệ cho viết lại là:  xy(x + y)= (2m + 1)(m − 1) (1) Nếu m = − x + y x ∈ R = hệ trở thành:  ⇔ x+y = ⇔  xy(x y) y x + = = −   Hệ có vơ số nghiệm (2) Nếu m ≠ − hệ trở thành: x + y = 2m +  xy = m − (*) Nên x,y nghiệm phương trình: X − (2m + 1)X + m − = = 4m + > 0, ∀m nên ln có nghiệm P/t (*) có ∆ =(2m+1)2 − 4(m − 1) Vậy hệ phương trình ln có nghiệm với m Câu 113 Giải hệ phương trình với m =  2x − 2x − xy = =y  ⇔ x Với m = ta có:  (do x = không thỏa mãn) 2 4x + 4xy − y = 4x + 4xy − y =  Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 198 Website:tailieumontoan.com 2x −  2x −  ⇒ 4x + 4x −  = x x   2  1 ⇔ 4x + 4x 2x − − 2x − = 7x ⇔ 8x − 7x − = ⇔ x −  x +  = 8  ( ) ( ) ( ) ⇔ x =⇔ x= ±1 Với x =1 ⇒ y =1 Với x =−1 ⇒ y =−1 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( x; y ) =( −1; −1) , ( 1;1) b) Tìm tất giá trị m để hệ phương trình có nghiệm Ta có x = khơng thỏa mãn suy x ≠ Rút y từ PT thứ vào PT thứ hai ta có: 2x2 −1  2x2 −1  − 4x + 4x m  = x  x  Hệ có nghiệm ⇔ x + x ( x − 1) − ( x − 1) = mx có nghiệm khác = t x , t ≥ Thay vào phương trình ta ⇔ x − mx − =0 có nghiệm khác Đặt 8t − mt − =0 (1) Như u cầu tốn ⇔ (1) có nghiệm dương Dễ thấy phương trình (1) ln có nghiệm trái dấu ac < suy (1) có nghiệm dương Do với số thực m hệ phương trình ln có nghiệm Câu 114 Bước Tìm điều kiện để hệ cho có nghiệm Từ (2) suy ra: x = m - (m - 1)y Thế vào x = m - (m - 1)y vào (1) ta được: (m – 1)(m – (m – 1)y) = 3m – ⇔ y(m − 2m) = m − 4m + (3) Hệ phương trình có nghiệm (3) có nghiệm tức là: m ≠ (*) m − 2m ≠ ⇔  m ≠ Bước Tìm m thỏa mãn điều kiện x + y =  3m − x = m Với điều kiện m ≠ m ≠ hệ cho có nghiệm là:  y = m −  m Với điều kiện x + y = ta có: 3m − m − + = ⇔ 4m − = 2m ⇔ m = (**) m m Từ (*) (**) suy không tồn m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 115 Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 199 Website:tailieumontoan.com Từ phương trình thứ suy ra: y = - m – x Thế vào phương trình thứ ta được: mx – m – x = -1 ⇒ x(m - 1) = m – (*) Hệ có nghiệm phương trình (*) phải có nghiệm tức m ≠  x=1 Khi đó, hệ có nghiệm  −m − y = Ta có: y = x ⇔ −m − = ⇔ m = −2 Vậy m = - giá trị cần tìm Câu 116 2x − 3y =2 − a Ta có:  hệ cho có nghiệm (x, y) với x + 2y = 3a + Mà T = x= a +  y = a y a = =1 − x a +1 a +1 a + = a = hay  Vì a nguyên, để T nguyên điều kiện  a = −2 a + =−1 Câu 117 Ta có: x y − 2x y − x y + 2xy + 3x − = (1)  2017 = y + 3m (2)  y + x Ta có (1) ⇔ x y − x y − 2x y + 2xy + 3x − = ( ) ⇔ (x − 1) x y − 2xy + = x = ⇔ ( V« lý ) ( xy − 1) + = Thay x = vào phương trình (2) ta y − y − 3m + = (3) Để phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt thì: ∆ =1 + ( 3m − 1) > ⇔ 12m − > ⇔ m > Theo đề bài: ( x + y )( x + y1 ) + = ⇔ + y1 + y + y1 y = (4) x= x= Với m > theo hệ thức Vi-ét cho phương trình (3) ta có :  y1 + y = thay vào (4) ta có: + − 3m = ⇔ m = (thỏa mãn)   y1 y = − 3m Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 200 Website:tailieumontoan.com Kết luận: m = Câu 118 a) Khi m =  2x − y = 2 ta có hệ phương trình  3x + 2y =   2 +5 = x  2x − 2y = 2 x =  ⇔ ⇔ ⇔ 5 3x + 2y =  y = = 2x − y  b) Giải tìm= được: x +5 −6 2m + 5m − = ;y m +3 m2 + m2 2m + 5m − m2 + = 1− Thay vào hệ thức x + y =1 − ; ta m +3 m2 + m2 + m +3 Giải tìm m = Câu 119 Ta thấy y = khơng nghiệm hệ phương trình cho, ta xét giá trị y ≠ , chia hai vế PT thứ cho y ≠ ta  x2 +  y +x+ y =   x + y − = y  x2 +1 x2 + , v= x + y ta có hệ phương trình Đặt u= y u + v = v = − u u = ⇔ ⇔  2) u (4 − u −= 2) = u (v −= v  x2 + =1 u =  Với  ta có  y (*) v = x + y =  Giải hệ PT (*) ta hai nghiệm (-2; 5) , (1; 2) Vậy hệ PT ban đầu có hai nghiệm (-2; 5) , (1; 2) Câu 120 + Với y = -2 hệ phương trình vơ nghiệm + Với y ≠ −2 , chia hai vế hai phương trình cho y + ta có Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 201 Website:tailieumontoan.com  x2 + y  y + ( x + y + 2) =   2 x + y + x+ y−2 =  y + Đặt a = x2 + y , b= x+ y+2 y+2 = a + b = a a + b = ⇔ ⇔ Khi ta có hệ phương trình  = ab 4= b ( a − ) =  x2 + y =2  y = −x  x = 1, y = −1  ⇔ ⇔ Do  y + −2, y = x = x + x − = x + y + =  Kết hợp với điều kiện hệ phương trình có hai nghiệm (x; y): (1; -1), (-2; 2) Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC 202 Website:tailieumontoan.com Mơc lơc Trang Lời nói đầu Phần I MỘT SỐ DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Hệ phương trình bậc hai ẩn Hệ gồm phương trình bậc hai phương trình bậc hai ẩn 17 Hệ đối xứng loại I 23 Hệ đối xứng loại II 30 Hệ phương trình có yếu tố đẳng cấp 43 Hệ chứa trị tuyệt đối 49 Hệ phương trình bậc cao 55 Hệ phương trình chứa thức 62 Hệ phương trình mũ 69 10 Hệ phương trình ba ẩn 72 Phần II CÁC KĨ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 82 Kĩ thuật giải hệ phương trình 82 Kĩ thuật phân tích thành nhân tử 88 Kĩ thuật nhân, chia, cộng, trừ hai vế hệ phương trình 92 Kĩ thuật đặt ẩn phụ 99 Kĩ thuật nhân liên hợp hệ chứa 107 Kĩ thuật đánh giá giải hệ phương trình 109 Kĩ thuật hệ số bất định giải hệ phương trình 116 BÀI TẬP RÈN LUYỆN TỔNG HỢP 122 HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 136 Sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC TỦ SÁCH TOÁN CẤP MỌI Ý KIẾN THẮC MẮC XIN VUI LÒNG GỬI VỀ ĐỊA CHỈ NGUYỄN QUỐC BẢO Zalo: 039.373.2038 Tailieumontoan.com@gmail.com Website: www.facebook.com/baotoanthcs ... học sinh giỏi lớp THCS Sách viết theo chủ đề tương ứng với vấn đề quan trọng thường đề thi học sinh giỏi toán THCS, vào lớp 10 chun mơn tốn nước Mỗi chủ đề viết theo cấu trúc lý thuyết cần nhớ,... trình (2) rút x y vào phương trình (1) Khi ta phương trình bậc hai theo x y, giả sử: f ( x, m ) = ( 3) Bước 2: Giải biện luận hệ theo tham số ta giải biện luận (3) - Tìm điều kiện tham số để hệ có... phương trình đối xứng PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Đưa phương trình đối xứng dạng tích, giải y theo x (hay x theo y) vào phương trình cịn lại 1  (1) x − = y − x y Thí dụ Giải hệ phương trình:  2