Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VÀNG VĂN HÀ VỀ TOÁN TỬ CHIẾU METRIC LÊN TẬP LỒI ĐÓNG VÀ ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VÀNG VĂN HÀ VỀ TOÁN TỬ CHIẾU METRIC LÊN TẬP LỒI ĐÓNG VÀ ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH. Lê Dũng Mưu THÁI NGUYÊN 2020 Möc löc B£ng kþ hi»u i Líi c£m ìn ii Líi nâi ¦u 1 Ch÷ìng 1. Mët sè ki¸n thùc chu©n bà 3 1.1 Tªp lçi v h m lçi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 To¡n tû chi¸u kho£ng c¡ch . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Ch÷ìng 2. Ùng döng v o b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n 22 2.1 B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Mët thuªt to¡n chi¸u gi£i b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n para ìn i»u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 T i li»u tham kh£o 37 i B£ng kþ hi»u R tªp sè thüc R n khæng gian Euclide nchi·u ∅ tªp réng ∀x vîi måi x ∃x tçn t¤i x kxk chu©n cõa vectì x hx, yi t½ch væ h÷îng cõa hai v²ctì x v y kxk chu©n cõa v²ctì x V IP(F; C) b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n S(F; C) tªp nghi»m cõa b i to¡n V IP(F; C) ii Líi c£m ìn Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i Tr÷íng ¤i håc Khoa håc ¤i håc Th¡i Nguy¶n d÷îi sü h÷îng d¨n cõa GS.TSKH. L¶ Dông M÷u. T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc tîi Th¦y, ng÷íi ¢ d nh nhi·u thíi gian, tªn t¼nh h÷îng d¨n v gióp ï t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu v ho n thi»n luªn v«n. T¡c gi£ công xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh tîi c¡c Th¦y Cæ trong khoa To¡nTin tr÷íng ¤i håc Khoa håc, ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ gi£ng d¤y v gióp ï cho t¡c gi£ trong suèt thíi gian håc tªp t¤i Tr÷íng. çng thíi, tæi công xin gûi líi c£m ìn tîi gia ¼nh, b¤n b± v çng nghi»p ¢ t¤o i·u ki»n thuªn lñi nh§t cho tæi trong thíi gian håc tªp v trong qu¡ tr¼nh ho n th nh luªn v«n. Xin ch¥n th nh c£m ìn Th¡i Nguy¶n, th¡ng 05 n«m 2020. T¡c gi£ V ng V«n H 1 Líi nâi ¦u Trong ch÷ìng tr¼nh to¡n phê thæng, chóng ta ¢ l m quen vîi ph²p chi¸u vuæng gâc xuèng mët m°t ph¯ng trong khi gi£i c¡c b i to¡n h¼nh håc v l÷ñng gi¡c. Kh¡i ni»m n y ¢ ÷ñc mð rëng l¶n khæng gian nhi·u chi·u, thªm ch½ væ h¤n chi·u còng vîi vi»c thay m°t ph¯ng b¬ng mët tªp lçi âng v vîi mët kho£ng c¡ch (metric) khæng nh§t thi¸t l kho£ng c¡ch Ìcìlit. nh x¤ chuyºn mët iºm b§t ký cho tr÷îc trong khæng gian ¸n mët iºm trong mët tªp cho tr÷îc vîi kho£ng c¡ch nhä nh§t ÷ñc gåi l to¡n tû chi¸u l¶n tªp â. Ng÷íi ta ¢ ch¿ ra r¬ng, trong khæng gian Hilbert thüc, to¡n tû chi¸u l¶n mët tªp lçi âng ÷ñc x¡c ành duy nh§t. To¡n tû chi¸u chi¸u l¶n tªp lçi âng câ nhi·u °c tr÷ng thó và, do â nâ câ vai trá quan trång trong nhi·u v§n · cõa to¡n håc v thüc t¸ nh÷ trong lþ thuy¸t x§p x¿, tèi ÷u hâa, b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n, c¥n b¬ng v nhi·u l¾nh vüc kh¡c. Nëi dung cõa b£n luªn v«n bao gçm c¡c ki¸n thùc cì b£n nh§t v· tªp lçi trong khæng gian Ìcìlit R n , c¡c k¸t qu£ v· to¡n tû chi¸u l¶n tªp lçi âng. Nëi dung ch½nh ti¸p theo li¶n quan ¸n vi»c ¡p döng to¡n tû chi¸u v o vi»c gi£i b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n para ìn i»u trong khæng gian R n . Ngo i ph¦n mð ¦u, k¸t luªn v t i li»u tham kh£o, c¡c k¸t qu£ nghi¶n 2 cùu trong b£n luªn v«n ÷ñc tr¼nh b y th nh hai ch÷ìng vîi ti¶u ·: Ch÷ìng 1: Mët sè ki¸n thùc chu©n bà. Ch÷ìng 2: Ùng döng v o b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n. Nëi dung ch½nh cõa c¡c ch÷ìng nh÷ sau: Trong ch÷ìng 1, tæi tr¼nh b y ành ngh¾a tªp lçi, mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa tªp lçi, h m lçi. Ti¸p theo l tr¼nh b y ành lþ t¡ch c¡c tªp lçi. Mët ph¦n cõa ch÷ìng tr¼nh b y v· ành ngh¾a to¡n tû chi¸u, mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa to¡n tû chi¸u. Ch÷ìng 2 cõa luªn v«n tr¼nh b y ùng döng cõa to¡n tû chi¸u metric l¶n mët tªp lçi âng v o vi»c gi£i b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n. B§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n l mët lîp b i to¡n quan trång cõa Gi£i t½ch ùng döng. B i to¡n n y l mët lîp b i to¡n têng qu¡t cõa b i to¡n quy ho¤ch lçi; hìn núa nhi·u b i to¡n trong ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, ¤o h m ri¶ng ·u câ thº mæ t£ d÷îi b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n. 3 Ch÷ìng 1. Mët sè ki¸n thùc chu©n bà Nëi dung ch½nh cõa ch÷ìng tr¼nh b y ành ngh¾a, mët sè t½nh ch§t cì b£n, ành lþ v bê · li¶n quan ¸n tªp lçi v h m lçi. Mët ph¦n cõa ch÷ìng · cªp ¸n ph²p chi¸u metric, chùng minh sü tçn t¤i v t½nh duy nh§t cõa h¼nh chi¸u l¶n mët tªp lçi âng v kh£o s¡t mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa to¡n tû chi¸u. Nëi dung ch½nh cõa ch÷ìng n y ÷ñc tham kh£o chõ y¸u tø c¡c t i li»u 1, 3. 1.1 Tªp lçi v h m lçi Tr÷îc h¸t, chóng tæi giîi thi»u kh¡i ni»m v· tªp lçi v mët sè t½nh ch§t c¦n thi¸t. Nhc l¤i r¬ng, mët ÷íng th¯ng nèi hai iºm (hai v²ctì) a, b trong R n l tªp hñp t§t c£ c¡c v²ctì x ∈ R n câ d¤ng {x ∈ R n |x = αa + βb, α, β ∈ R n , α + β = 1}. o¤n th¯ng nèi hai iºm a v b trong R n l tªp hñp c¡c v²ctì x câ d¤ng {x ∈ R n |x = αa + βb, α ≥ 0, β ≥ 0, α + β = 1}. ành ngh¾a 1.1. Mët tªp C ⊆ R n ÷ñc gåi l mët tªp lçi, n¸u C chùa måi o¤n th¯ng i qua hai iºm b§t ký cõa nâ. Tùc l C lçi khi v ch¿ khi 4 ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ 0, 1 ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C. V½ dö 1.1. a) Tªp ∅ v R n l c¡c tªp con lçi cõa R n . o¤n th¯ng AB l mët tªp lçi. H¼nh trán bao gçm c£ bi¶n m u n¥u l mët tªp lçi, v¼ o¤n th¯ng nèi hai iºm X, Y trong h¼nh trán n¬m trån vµn trong h¼nh trán. H¼nh 1.1: Tªp lçi b) H¼nh d÷îi ¥y l hai tªp khæng lçi, v¼ c¡c ÷íng n²t ùt chùa nhi·u iºm khæng n¬m trong c¡c tªp â. H¼nh 1.2: Tªp khæng lçi ành ngh¾a 1.2. Ta nâi x l tê hñp lçi cõa c¡c iºm x 1 , . . . , xk n¸u x = X k j=1 λjx j , λj > 0 ∀j = 1, . . . , k, X k j=1 λj = 1. 5 M»nh · 1.1. Tªp hñp C l lçi khi v ch¿ khi nâ chùa måi tê hñp lçi cõa c¡c iºm cõa nâ. Tùc l : C lçi khi v ch¿ khi ∀k ∈ N, ∀λ1, . . . , λk > 0 : X k j=1 λj = 1, ∀x 1 , . . . , xk ∈ C ⇒ X k j=1 λjxj ∈ C. Chùng minh. i·u ki»n õ l hiºn nhi¶n tø ành ngh¾a. Ta chùng minh i·u ki»n c¦n b¬ng quy n¤p theo sè iºm. Vîi k = 2, i·u c¦n chùng minh suy ra ngay tø ành ngh¾a cõa tªp lçi v tê hñp lçi. Gi£ sû m»nh · óng vîi k − 1 iºm. Ta c¦n chùng minh vîi k iºm. Gi£ sû x l tê hñp lçi cõa k iºm x 1 , . . . , xk ∈ C. Tùc l x = X k j=1 λjx j , λj > 0 ∀j = 1, . . . , k,X k j=1 λj = 1. °t ξ = X k−1 j=1 λj . Khi â 0 < ξ < 1 v x = X k−1 j=1 λjx j + λkx k = ξ X k−1 j=1 λj ξ x j + λkx k . (1.1) Do X k−1 j=1 λj ξ = 1 v λj ξ > 0 vîi måi j = 1, . . . , k − 1, n¶n theo gi£ thi¸t quy n¤p, iºm y := X k−1 j=1 λj ξ x j ∈ C. 6 Ta câ x = ξy + λxk . Do ξ > 0, λk > 0 v ξ + λk = X k j=1 λj = 1, n¶n x l mët tê hñp lçi cõa hai iºm y v x k ·u thuëc C. Vªy x ∈ C. Lîp c¡c tªp lçi l âng vîi c¡c ph²p giao, ph²p cëng ¤i sè v ph²p nh¥n t½ch Descartes. Cö thº, ta câ m»nh · sau: M»nh · 1.2. N¸u A, B l c¡c tªp lçi trong R n , C l lçi trong R m, th¼ c¡c tªp sau l lçi: (i) A ∩ B := {x|x ∈ A, x ∈ B}, (ii) λA + βB := {x|x = αa + βb, a ∈ A, b ∈ B, α, β ∈ R}, (iii) A × C := {x ∈ R n+m|x = (a, c) : a ∈ A, c ∈ C}. Chùng minh. D¹ d ng ÷ñc suy ra trüc ti¸p tø ành ngh¾a. ành ngh¾a 1.3. Ta nâi x l tê hñp aphin cõa c¡c iºm (v²ctì) x 1 , . . . , xk n¸u x = X k j=1 λjx j , X k j=1 λj = 1. Tªp hñp cõa c¡c tê hñp aphin cõa x 1 , . . . , xk th÷íng ÷ñc gåi l bao aphin cõa c¡c iºm n y. ành ngh¾a 1.4. Mët tªp C ÷ñc gåi l tªp aphin n¸u nâ chùa ÷íng th¯ng i qua hai iºm b§t ký cõa nâ, tùc l ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ R ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C. 7 Vªy tªp aphin l mët tr÷íng hñp ri¶ng cõa tªp lçi. V½ dö 1.2. Mët v½ dö iºn h¼nh cõa tªp aphin l c¡c khæng gian con. M»nh · 1.3. M 6= ∅ l tªp aphin khi v ch¿ khi nâ câ d¤ng M = L+a vîi L l mët khæng gian con v a ∈ M, khæng gian con L n y ÷ñc x¡c ành duy nh§t. Khæng gian L trong m»nh · tr¶n ÷ñc gåi l khæng gian con song song vîi M, ho°c nâi ngn gån hìn l khæng gian con cõa M. Chi·u cõa mët tªp aphin M ÷ñc ành ngh¾a bði chi·u cõa khæng gian song song vîi M v ÷ñc kþ hi»u l dimM. M»nh · 1.4. B§t ký mët tªp aphin M ⊂ R n câ sè chi·u r ·u câ d¤ng M = {x ∈ R n : Ax = b}, (1.2) trong â A l ma trªn c§p (m × n), b ∈ R m v rankA = n − r. Ng÷ñc l¤i, måi tªp hñp câ d¤ng (1.2) vîi rankA = n − r ·u l tªp aphin câ sè chi·u l r. ành ngh¾a 1.5. Mët tªp C ÷ñc gåi l nân n¸u ∀λ > 0, ∀x ∈ C ⇒ λx ∈ C. Mët nân ÷ñc gåi l nân lçi n¸u nâ çng thíi l mët tªp lçi. V½ dö 1.3. a) Tªp R n + = {x ∈ R n : x ≥ 0} l mët nân lçi. b) Cho bα ∈ R n (α ∈ I) vîi I l tªp ch¿ sè n o â. Khi â tªp K = {x ∈ R n : hx, bαi ≤ 0, ∀α ∈ I} 8 l mët nân lçi v¼ K = T α∈I Kα, vîi Kα = {x ∈ R n : hx, bαi ≤ 0} l nân lçi. M»nh · 1.5. Mët tªp C l nân lçi khi v ch¿ khi nâ câ c¡c t½nh ch§t sau: (i) λC ⊆ C, ∀λ > 0; (ii) C + C ⊆ C. Ti¸p theo, chóng tæi giîi thi»u kh¡i ni»m h m lçi v ành l½ t¡ch c¡c tªp lçi. ành ngh¾a 1.6. (i) Cho h m f : C → R x¡c ành tr¶n mët tªp lçi C ⊆ R n . Khi â f ÷ñc gåi l h m lçi n¸u vîi måi x, y ∈ C v måi λ ∈ (0, 1) ta câ fλx + (1 − λ)y ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y). H¼nh d÷îi ¥y l mët h m lçi. H¼nh 1.3: H m lçi (ii) H m f ÷ñc gåi l h m lçi ch°t tr¶n C n¸u vîi måi x, y ∈ C, x 6= y v måi sè thüc λ ∈ (0, 1) ta câ fλx + (1 − λ)y < λf(x) + (1 − λ)f(y). (iii) H m f ÷ñc gåi l h m lçi m¤nh tr¶n C vîi h» sè η > 0 n¸u vîi 9 måi x, y ∈ C, x 6= y v måi sè thüc λ ∈ (0, 1) ta câ fλx + (1 − λ)y < λf(x) + (1 − λ)f(y) − 1 2 ηλ(1 − λ)kx − yk 2 . ành ngh¾a 1.7. (i) H m f ÷ñc gåi l h m lãm tr¶n C n¸u −f l h m lçi tr¶n C. (ii) H m f ÷ñc gåi l h m tuy¸n t½nh aphin (hay h m aphin) tr¶n C n¸u f húu h¤n v vøa lçi, vøa lãm tr¶n C. V½ dö 1.4. a) Måi h m chu©n ·u l h m lçi tr¶n R n : kxkp = X n i=1 |xi | p 1p vîi p ≥ 1 v kxk∞ = max 1≤i≤n |xi |. b) H m kho£ng c¡ch tø iºm x ∈ R n tîi C ÷ñc x¡c ành bði dC(x) = infy∈C kx − yk l h m lçi. ành ngh¾a 1.8. Cho f : R n → R ∪ {+∞}. Ta nâi x ∗ ∈ R n l d÷îi ¤o h m cõa f t¤i x n¸u hx ∗ , z − xi + f(x) ≤ f(z), ∀z ∈ R n . Tªp hñp t§t c£ c¡c d÷îi ¤o h m cõa f t¤i x ÷ñc gåi l d÷îi vi ph¥n cõa f t¤i x v ÷ñc k½ hi»u l ∂f(x). Bê · 1.1. Cho C l mët tªp con lçi cõa R n . Mët h m kh£ vi f : C → R l lçi khi v ch¿ khi f(x) − f(y) ≥ h5f(y), x − yi, ∀x, y ∈ C. ành ngh¾a 1.9. Si¶u ph¯ng trong khæng gian R n l mët tªp hñp c¡c iºm câ d¤ng {x ∈ R n : a T x = α}, 10 trong â a ∈ R n l mët v²ctì kh¡c 0 v α ∈ R. V²ctì a th÷íng ÷ñc gåi l v²ctì ph¡p tuy¸n cõa si¶u ph¯ng. Mët si¶u ph¯ng s³ chia khæng gian ra hai nûa khæng gian. Nûa khæng gian ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau: ành ngh¾a 1.10. Nûa khæng gian l mët tªp hñp câ d¤ng {x ∈ R n : a T x ≥ α}, trong â a 6= 0 v α ∈ R. ành ngh¾a 1.11. Cho hai tªp C v D kh¡c réng, ta nâi si¶u ph¯ng a T x = α t¡ch C v D n¸u a T x ≤ α ≤ a T y, ∀x ∈ C, ∀y ∈ D. (1.3) Ta nâi si¶u ph¯ng a T x = α t¡ch ch°t C v D n¸u a T x < α < aT y, ∀x ∈ C, ∀y ∈ D. ành lþ 1.1. ( ành lþ t¡ch 1) Cho C v D l hai tªp lçi kh¡c réng trong R n sao cho C ∩ D = ∅. Khi â câ mët si¶u ph¯ng t¡ch C v D. ành lþ t¡ch vøa n¶u câ thº suy ra ngay tø Bê · 1.2 d÷îi ¥y, ch½nh l ành lþ t¡ch mët tªp lçi v mët ph¦n tû khæng thuëc nâ. Bê · 1.2. (Bê · li¶n thuëc) Cho C ⊂ R n l mët tªp lçi kh¡c réng. Gi£ sû x 0 ∈ C. Khi â tçn t¤i t ∈ R n , t 6= 0 tho£ m¢n ht, xi ≥ ht, x0 i ∀x ∈ C. (1.4) 11 Chùng minh ành lþ 1.1. Do C v D l lçi, n¶n C −D công lçi. Hìn núa 0 ∈ (C − D), v¼ C ∩ D = ∅. Theo bê · tr¶n ¡p döng vîi x 0 = 0, tçn t¤i v²ctì t ∈ R n , t 6= 0 sao cho ht, zi ≥ 0 vîi måi z ∈ C − D. V¼ z = x − y vîi x ∈ C, y ∈ D, n¶n ta câ ht, xi ≥ ht, yi ∀x ∈ C, y ∈ D. L§y α := sup y∈D ht, yi, khi â si¶u ph¯ng ht, xi t¡ch C v D. ành lþ 1.2. ( ành lþ t¡ch 2) Cho C v D l hai tªp lçi, âng, kh¡c réng sao cho C ∩ D = ∅. Gi£ sû câ ½t nh§t mët tªp l compact. Khi â hai tªp n y câ thº t¡ch m¤nh ÷ñc bði mët si¶u ph¯ng. Công nh÷ tr¶n, ành lþ t¡ch m¤nh ÷ñc d¹ d ng suy ra tø bê · sau nâi v· sü t¡ch m¤nh giúa mët tªp lçi âng v mët iºm b¶n ngo i tªp n y. Bê · 1.3. Cho C ⊂ R n l mët tªp lçi, âng, kh¡c réng sao cho 0 ∈ C. Khi â tçn t¤i mët v²ctì t ∈ R n , t 6= 0 v α > 0 sao cho ht, xi ≥ α > 0, ∀x ∈ C. Theo bê · n y, th¼ C v iºm gèc to¤ ë câ thº t¡ch m¤nh, v½ dö bði si¶u ph¯ng ht, xi = α 2 . Chùng minh bê ·. Do C âng v 0 ∈ C, n¶n tçn t¤i qu£ c¦u B t¥m ð gèc, b¡n k½nh r > 0 sao cho C ∩ B = ∅. p döng ành lþ t¡ch 1 cho hai 12 tªp C v B, ta câ t ∈ R n {0} v α ∈ R, sao cho ht, xi ≥ α ≥ ht, yi∀x ∈ C, ∀y ∈ B. B¬ng c¡ch chu©n hâa ta câ thº xem ktk = 1 v do â kho£ng c¡ch tø gèc ¸n si¶u ph¯ng ½t nh§t l b¬ng α ≥ r. Vªy th¼ ht, xi ≥ α ≥ r > 0. Chùng minh ành lþ 1.2. Gi£ sû C l tªp compact. Ta ch¿ ra tªp C − D âng. Thªt vªy, gi£ sû z k ∈ C − D v z k → z. Ta câ z k = x k − y k vîi x k ∈ C, yk ∈ D. V¼ C compact, n¶n câ mët d¢y con x kj → x khi j → +∞. Vªy y kj = z kj − x kj → z − x ∈ D. Vªy z = x − y ∈ C − D. Chùng tä C − D l tªp âng. Do 0 ∈ C − D, n¶n theo bê · tr¶n, tçn t¤i t 6= 0, sao cho ht, x − yi ≥ α > 0 vîi måi x ∈ C, y ∈ D. Vªy inf x∈C ht, xi − α 2 ≥ sup y∈D ht, yi + α 2 . Chùng tä C v D câ thº t¡ch m¤nh. Chó þ 1.1. i·u ki»n mët trong hai tªp l compact trong ành lþ l khæng thº bä ÷ñc. H¢y x²t v½ dö trong â C := {(x, t) ∈ R 2 : x ≥ 0, t = 0}, D := {(x, t) ∈ R 2 : t ≥ 1 x , t > 0, x > 0}. Rã r ng hai tªp n y lçi, âng khæng câ iºm chung, nh÷ng chóng khæng thº t¡ch m¤nh ÷ñc. (Xem h¼nh 1.4). Tø ành ngh¾a ta th§y r¬ng, n¸u hai tªp n¬m trong còng mët si¶u ph¯ng, th¼ chóng v¨n t¡ch ÷ñc, v½ dö ch½nh b¬ng si¶u ph¯ng â. º lo¤i bä tr÷íng hñp cüc oan n y, ng÷íi ta ÷a ra kh¡i ni»m t¡ch óng sau: 13 (a) T¡ch nh÷ng khæng t¡ch m¤nh (b) T¡ch m¤nh H¼nh 1.4: T¡ch v t¡ch m¤nh Ta nâi hai tªp C v D ÷ñc t¡ch óng bði si¶u ph¯ng a T x = α n¸u (1.12) thäa m¢n v c£ hai tªp n y khæng còng n¬m trån trong si¶u ph¯ng t¡ch. Chó þ r¬ng n¸u A v B l hai tªp lçi m riA∩riB 6= ∅, th¼ hai tªp n y v¨n câ thº t¡ch ÷ñc, v½ dö A v B l hai ÷íng ch²o cõa mët h¼nh chú nhªt trong m°t ph¯ng 2 chi·u. Tuy nhi¶n chóng khæng thº t¡ch óng. Mët h» qu£ r§t quan trång cõa ành lþ t¡ch l bê · chån mang t¶n nh to¡n håc Farkas ng÷íi Hungary, ÷ñc chùng minh tø n«m 1892 d÷îi d¤ng mët ành lþ h¼nh håc. Bê · n y r§t trüc quan, d¹ ¡p döng trong nhi·u l¾nh vüc nh÷ tèi ÷u, i·u khiºn, lþ thuy¸t to¡n tû v.v... H» qu£ 1.1. Cho A l mët ma trªn thüc c§p m × n v a ∈ R n . Khi â trong hai h» d÷îi ¥y câ mët h» v ch¿ duy nh§t mët h» câ nghi»m: Ax ≥ 0, aT x < 0 vîi mët x ∈ R n , (1.5) A T y = a, y ≥ 0 vîi mët y ∈ R m. (1.6) Mët c¡ch ph¡t biºu t÷ìng ÷ìng, d÷îi ngæn ngú h¼nh håc, cõa Bê · Farkas l : 14 Nûa khæng gian {x|a T x ≥ 0} chùa nân {x|Ax ≥ 0} khi v ch¿ khi v²ctì a n¬m trong nân sinh bði c¡c h ng cõa ma trªn A. Tùc l A T x ≥ 0 ⇒ a T x ≥ 0 khi v ch¿ khi A T y = a, y ≥ 0. T½nh ch§t h¼nh håc cõa bê · n y r§t rã. Nâ nâi r¬ng nân lçi, âng {x|Ax ≥ 0} n¬m trong nûa khæng gian {x|a T x ≥ 0} khi v ch¿ khi v²ctì ph¡p tuy¸n a ð trong nân sinh bði c¡c h ng cõa ma trªn A. H¼nh 1.5: Bê · Farkas Chùng minh bê · Farkas. Gi£ sû (1.6) câ mët nghi»m y n o â. N¸u nh÷ Ax ≥ 0, th¼ tø AT y = a, nh¥n t½ch væ h÷îng vîi x, v do Ax ≥ 0, y ≥ 0, ta câ a T x = y TAx ≥ 0. Vªy (1.5) khæng thº câ nghi»m. B¥y gií ta gi£ sû h» (1.6) khæng câ nghi»m. L§y tªp C = {x|∃y ≥ 0 : AT y = x}. Hiºn nhi¶n C l tªp lçi âng v 0 ∈ C. Do (1.6) khæng câ nghi»m, n¶n a ∈ C. Theo ành lþ t¡ch m¤nh, tçn t¤i p 6= 0 v mët sè α ∈ R sao cho p T a < α < pT x vîi måi x ∈ C. Do 0 ∈ C, n¶n α < 0. Thay x = AT y, vîi y ≥ 0, ta vi¸t ÷ñc α ≤ p TAT y = y TAp. 15 Chó þ r¬ng n¸u x ∈ C, th¼ ξx ∈ C vîi måi ξ ≥ 0, v¼ tø x = AT y, câ ξx = AT ξy. Vªy c¡c to¤ ë cõa y câ thº lîn tuý þ, n¶n tø b§t ¯ng thùc α ≤ p TAT y = y TAp, suy ra Ap ≥ 0. Vªy ta ¢ ch¿ ra sü tçn t¤i cõa mët v²ctì p sao cho Ap ≥ 0 v a T p < 0. Chùng tä h» (1.5) câ nghi»m. 1.2 To¡n tû chi¸u kho£ng c¡ch B i to¡n t¼m h¼nh chi¸u l¶n mët tªp lçi câ vai trá quan trång v câ r§t nhi·u ùng döng trong tèi ÷u, c¥n b¬ng v b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n,... Cö thº, ta s³ chùng minh sü tçn t¤i v t½nh duy nh§t cõa h¼nh chi¸u l¶n mët tªp lçi âng v kh£o s¡t mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa to¡n tû chi¸u. ành ngh¾a 1.12. Cho C 6= ∅ (khæng nh§t thi¸t lçi) v y l mët v²ctì b§t ký, °t dC(y) := inf x∈C kx − yk. Ta nâi dC(y) l kho£ng c¡ch tø y ¸n C. N¸u tçn t¤i π ∈ C sao cho dC(y) = kπ − yk, th¼ ta nâi π l h¼nh chi¸u cõa y tr¶n C. (Xem h¼nh 1.6). Chó þ 1.2. Theo ành ngh¾a 1.12, ta th§y h¼nh chi¸u pC(y) cõa y tr¶n C s³ l nghi»m cõa b i to¡n tèi ÷u min x { 1 2 kx − yk 2 : x ∈ C}. Do â, vi»c t¼m h¼nh chi¸u cõa y tr¶n C câ thº ÷a v· vi»c t¼m cüc tiºu cõa h m to n ph÷ìng kx − yk 2 tr¶n C. Ta kþ hi»u π = PC(y), ho°c ìn gi£n hìn l P(y) n¸u khæng c¦n nh§n m¤nh ¸n tªp chi¸u C. 16 (a) Tªp C lçi (b) Tªp C khæng lçi H¼nh 1.6: H¼nh chi¸u vuæng gâc ành ngh¾a 1.13. Cho C l tªp lçi âng kh¡c réng trong khæng gian R n , ¡nh x¤ PC : R n → C x¡c ành bði nghi»m cõa b i to¡n: kx − PC(x)k = min y∈C kx − yk ÷ñc gåi l to¡n tû chi¸u tr¶n C. ành ngh¾a 1.14. Cho C ⊆ R n , x0 ∈ C. Nân ph¡p tuy¸n (ngo i) cõa tªp C t¤i x 0 l tªp hñp NC(x 0 ) := {w : w T (x − x 0 ) ≤ 0 ∀x ∈ C}. M»nh · 1.6. Cho C l mët tªp lçi âng kh¡c réng. Khi â: (i) Vîi måi y ∈ R n , π ∈ C hai t½nh ch§t sau l t÷ìng ÷ìng: a) π = pC(y), b) y − π ∈ NC(π). (ii) Vîi måi y ∈ R n , h¼nh chi¸u pC(y) cõa y tr¶n C luæn tçn t¤i v duy nh§t. (iii) N¸u y ∈ C, th¼ hpC(y) − y, x − pC(y)i = 0 l si¶u ph¯ng tüa cõa C 17 t¤i pC(y) v t¡ch h¯n y khäi C (h¼nh 1.7), tùc l hpC(y) − y, x − pC(y)i ≥ 0, ∀x ∈ C, v hpC(y) − y, y − pC(y)i < 0. H¼nh 1.7: (iv) nh x¤ y ,→ pC(y) câ c¡c t½nh ch§t sau: a) T½nh khæng gi¢n: kpC(x) − pC(y)k ≤ kx − yk ∀x, ∀y. b) T½nh çng bùc: hpC(x) − pC(y), x − yi ≥ kpC(x) − pC(y)k 2 . Chùng minh. (i) Gi£ sû câ π = pC(y). L§y x ∈ C v λ ∈ (0, 1). °t xλ := λx + (1 − λ)π. V¼ x, π ∈ C v C lçi, n¶n xλ ∈ C. M°t kh¡c v¼ π l h¼nh chi¸u cõa y, n¶n kπ − yk ≤ ky − xλk. Khi â kπ − yk 2 ≤ kλ(x − π) + (π − y)k 2 ⇔kπ − yk 2 ≤ λ 2 kx − πk 2 + 2λhx − π, π − yi + kπ − yk 2 ⇔λkx − πk 2 + 2hx − π, π − yi ≥ 0. 18 i·u n y óng vîi måi x ∈ C v λ ∈ (0, 1). Do â khi cho λ ti¸n ¸n 0, ta ÷ñc hπ − y, x − πi ≥ 0 ∀x ∈ C. Vªy y − π ∈ NC(π). Ng÷ñc l¤i, gi£ sû câ y − π ∈ NC(π). Vîi måi x ∈ C, ta câ 0 ≥ (y − π) T (x − π) = (y − π) T (x − y + y − π) = ky − πk 2 + (y − π) T (x − y). Khi â, theo gi£ sû v b§t ¯ng thùc CauchySchwarz ta câ ky − πk 2 ≤ (y − π) T (y − x) ≤ ky − πkky − xk. Suy ra ky − πk ≤ ky − xk, ∀x ∈ C v do â π = p(y). (ii) V¼ dC(y) = infx∈c kx−yk, n¶n theo ành ngh¾a cõa cªn d÷îi óng, tçn t¤i mët d¢y {x k} ∈ C sao cho lim k kx k − yk = dC(y) < +∞. Vªy d¢y xk bà ch°n, do â nâ câ mët d¢y con {x kj} hëi tö ¸n mët iºm π n o â. V¼ C âng, n¶n π ∈ C. Vªy kπ − yk = lim j kx kj − yk = lim k kx k − yk = dC(y). Vªy π l h¼nh chi¸u cõa y tr¶n C. Ta i chùng minh t½nh duy nh§t cõa h¼nh chi¸u. Thªt vªy, n¸u tçn t¤i hai iºm π v π 1 ·u l h¼nh chi¸u cõa y tr¶n C, th¼ y − π ∈ NC(π), y − π 1 ∈ NC(π). Tùc l hπ − y, π1 − πi ≥ 0 (1.7) 19 v hπ 1 − y, π − π 1 i ≥ 0. (1.8) Cëng (1.7) v (1.8), ta suy ra kπ − π 1k ≤ 0, v do â π = π 1 . (iii) V¼ y −π ∈ NC(π) n¶n hπ −y, x−πi ≥ 0 ∀x ∈ C. Vªy hπ −y, xi = hπ −y, πi l mët si¶u ph¯ng tüa cõa C t¤i π. Si¶u ph¯ng n y t¡ch y khäi C v¼ y 6= π n¶n hπ − y, y − πi = −kπ − yk 2 < 0. (iv) Theo (ii) ¡nh x¤ x ,→ p(x) x¡c ành khp nìi. V¼ z − p(z) ∈ NC(p(z)) vîi måi z n¶n ¡p döng vîi z = x v z = y, ta câ hx − p(x), p(y) − p(x)i ≤ 0 (1.9) v hy − p(y), p(x) − p(y)i ≤ 0. (1.10) Cëng (1.9) v (1.10) ta ÷ñc hp(y) − p(x), p(y) − p(x) + x − yi ≤ 0. Do â, theo b§t ¯ng thùc CauchySchwarz, suy ra kp(x) − p(y)k ≤ kx − yk. º chùng minh t½nh çng bùc, ¡p döng t½nh ch§t b) cõa (i) l¦n l÷ñt vîi p(x) v p(y), ta câ: hp(x) − x, p(x) − p(y)i ≤ 0. (1.11) hy − p(y), p(x) − p(y)i ≤ 0. (1.12) 20 Cëng (1.11) v (1.12), ta ÷ñc hp(x) − p(y) + y − x, p(x) − p(y)i =hp(x) − p(y), y − xi + kp(x) − p(y)k 2 ≤ 0 ⇔hp(x) − p(y), y − xi ≥ kp(x) − p(y)k 2 . Ta câ i·u ph£i chùng minh. Chó þ 1.3. To¡n tû chi¸u metric cán câ mët t½nh ch§t m¤nh hìn t½nh khæng gi¢n n¶u ð tr¶n. Cö thº, ta câ kp(x) − p(y)k 2 ≤ kx − yk 2 − kp(x) − p(y) − x + yk 2 ∀x, y. Trong nhi·u ùng döng th÷íng g°p, tªp chi¸u câ nhúng t½nh ch§t °c bi»t: v½ dö nâ l nûa khæng gian, h¼nh c¦u âng hay si¶u hëp th¼ iºm chi¸u câ thº t½nh ÷ñc mët c¡ch t÷íng minh. Ta câ c¡c tr÷íng hñp sau: V½ dö 1.5. (Chi¸u l¶n nûa khæng gian) Cho C l mët nûa khæng gian ÷ñc ành ngh¾a bði C = {x ∈ R : a T x ≤ α} trong â a 6= 0 l mët v²ctì n¬m trong R n v α l mët sè thüc. Khi â, h¼nh chi¸u cõa a v²ctì u ∈ R n l¶n C ÷ñc x¡c ành nh÷ sau: PC(u) := u − max{0; ha, ui − α kak 2 }a. V½ dö 1.6. (Chi¸u l¶n h¼nh c¦u âng) Cho C l h¼nh c¦u t¥m a b¡n k½nh r ÷ñc ành ngh¾a bði C := {x : kx − ak ≤ r}. Khi â, h¼nh chi¸u cõa u l¶n C ÷ñc x¡c ành nh÷ sau: 21 • N¸u u ∈ C th¼ PC(u) = u. • N¸u u ∈ C th¼ h¼nh chi¸u cõa u l¶n C l giao iºm cõa nûa ÷íng th¯ng ( ÷íng th¯ng 4) nèi u v t¥m a cõa C vîi h¼nh c¦u C. Ta câ 4 = {x : x = a + t(u − a), t ≥ 0}. Thay x = a + (u − a)t, ta ÷ñc tku − ak = r. Do â t = r ku − ak . V½ dö 1.7. (Chi¸u l¶n si¶u hëp) Cho C l mët si¶u hëp ÷ñc ành ngh¾a bði C := {x ∈ R n : a ≤ x ≤ b} v cho u ∈ R n . Khi â, v = PC(u) h¼nh chi¸u cõa u l¶n C ÷ñc x¡c ành nh÷ sau: Vîi a = (aj ), b = (bj ), x = (xj ), j = 1, 2, ..., n, ta câ vj = aj n¸u uj ≤ aj bj n¸u uj ≥ bj uj n¸u aj ≤ uj ≤ bj trong â xj ∈ aj ; bj , ∀j = 1, n. 22 Ch÷ìng 2. Ùng döng v o b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n Cho C l mët tªp con kh¡c réng lçi âng cõa R n v cho F : R n → R n . Ta x²t b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n sau: T¼m x ∗ ∈ C sao cho hF(x ∗ ), y − x ∗ i ≥ 0, ∀y ∈ C. G¦n ¥y, nhi·u ph÷ìng ph¡p ¢ ÷ñc ph¡t triºn º gi£i quy¸t b i to¡n n y, trong â ph÷ìng ph¡p chi¸u l mët ph÷ìng ph¡p cì b£n. Trong ch÷ìng n y, chóng ta s³ giîi thi»u mët thuªt to¡n chi¸u d÷îi ¤o h m cho mët lîp b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n v kh£o s¡t t½nh hëi tö cõa thuªt to¡n n y. Thuªt to¡n n y l mët tr÷íng hñp ri¶ng cõa thuªt to¡n trong 4 º gi£i b i to¡n c¥n b¬ng. 2.1 B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n Trong ph¦n n y ta luæn gi£ thi¸t R n l khæng gian Euclid nchi·u vîi t½ch væ h÷îng v chu©n l¦n l÷ñt ÷ñc kþ hi»u bði h·, ·i v k · k. Ta ph¡t biºu l¤i b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n. ành ngh¾a 2.1. Cho C l mët tªp con lçi, âng, kh¡c réng trong R n , F l ¡nh x¤ i tø R n v o R n . Khi â b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n 23 k½ hi»u l V IP(F; C) ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau: T¼m x ∗ ∈ C sao cho hF(x ∗ ), y − x ∗ i ≥ 0, ∀y ∈ C. (2.1) Tªp hñp t§t c£ c¡c nghi»m cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (2.1) ÷ñc kþ hi»u l S(F; C). V½ dö 2.1. Trong R, x²t tªp C = 2; 6 ⊂ R v ¡nh x¤ F : 2; 6 → R ÷ñc x¡c ành bði F(x) = x − 2, x ∈ 2; 6. Khi â b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n V IP(F; C) l t¼m x ∗ ∈ 2; 6 sao cho hx ∗ − 2, y − x ∗ i ≥ 0, ∀y ∈ 2; 6. (2.2) Ta chùng minh r¬ng: S(F; C) = {2}. Thªt vªy, hiºn nhi¶n x ∗ = 2 l mët nghi»m. N¸u x ∗ ∈ (1; 2) th¼ (2.2) ch¿ thäa m¢n vîi y ≤ x ∗ . Ng÷ñc l¤i, n¸u x ∗ > 2 th¼ (2.2) ch¿ thäa m¢n vîi y ≥ x ∗ . i·u n y chùng tä r¬ng x ∗ = 2 l nghi»m duy nh§t. B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n câ c¡c tr÷íng hñp ri¶ng quan trång l b i to¡n cüc tiºu h m lçi tr¶n tªp lçi v b i to¡n bò phi tuy¸n. M»nh · 2.1. Cho C l mët tªp lçi, âng, kh¡c réng trong R n v f : C → R l mët h m lçi, kh£ vi. F l mët ¡nh x¤ i tø tªp C v o R n v F(x) = 5f(x). Khi â b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n V IP(F; C) t÷ìng ÷ìng vîi b i to¡n cüc trà: (OP) T¼m x ∗ ∈ C thäa m¢n f(x ∗ ) ≤ f(y) ∀y ∈ C. Chùng minh. Gi£ sû x ∗ l nghi»m cõa b i to¡n V IP(F; C), tùc l hF(x ∗ ), y − x ∗ i ≥ 0 ∀y ∈ C. 24 Theo Bê · 1.1, h m f l lçi n¶n ta câ f(y) − f(x ∗ ) ≥ h5f(x ∗ ), y − x ∗ i, ∀y ∈ C. M F(x) = 5f(x) n¶n f(x ∗ ) ≤ f(y) ∀y ∈ C, i·u n y câ ngh¾a l x ∗ l nghi»m cõa b i to¡n (OP). Ng÷ñc l¤i, gi£ sû x ∗ l nghi»m cõa b i to¡n (OP), theo i·u ki»n tèi ÷u cõa h m lçi ta câ 0 ∈ 5f(x ∗ ) + NC(x ∗ ). Tø â, ta suy ra − 5 f(x ∗ ) ∈ NC(x ∗ ) hay −F(x ∗ ) ∈ NC(x ∗ ). Tùc l h−F(x ∗ ), y − x ∗ i ≤ 0, ∀y ∈ C ⇔ hF(x ∗ ), y − x ∗ i ≥ 0, ∀y ∈ C. Vªy x ∗ l mët nghi»m cõa b i to¡n V IP(F; C). Khi C l mët nân lçi trong khæng gian R n th¼ b i to¡n V IP(F; C) trð th nh b i to¡n bò: (CP) T¼m x ∗ ∈ C, F(x ∗ ) ∈ C 0 sao cho hF(x ∗ ), x∗ i = 0 trong â C 0 := {y ∈ C : hx, yi ≥ 0, ∀x ∈ C} l nân èi ng¨u cõa C. Ta câ m»nh · sau: M»nh · 2.2. N¸u C l mët nân lçi, compact trong khæng gian R n th¼ b i to¡n bò (CP) t÷ìng ÷ìng vîi b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n V IP(F; C), ngh¾a l tªp nghi»m hai b i to¡n n y tròng nhau. Chùng minh. Gi£ sû x ∗ l nghi»m cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n V IP(F; C), tùc l hF(x ∗ ), y − x ∗ i > 0. (2.3) 25 V¼ C l nân lçi, x ∗ ∈ C n¶n y + x ∗ ∈ C, ∀y ∈ C. Thay y = y + x ∗ v o b§t ¯ng thùc (2.3) ta ÷ñc hF(x ∗ ), y + x ∗ − x ∗ i ≥ 0, ∀y ∈ C ⇔ hF(x ∗ ), yi ≥ 0, ∀y ∈ C. Suy ra F(x ∗ ) thuëc nân èi ng¨u C 0 . Thay y = 1 2 x ∗ v o b§t ¯ng thùc (2.3) ta ÷ñc hF(x ∗ ), x∗ i ≤ 0, ∀y ∈ C. Suy ra hF(x ∗ ), x∗ i = 0 hay x ∗ ∈ C, F(x ∗ ) ∈ C 0 l nghi»m cõa b i to¡n bò phi tuy¸n (CP). Ng÷ñc l¤i, n¸u x ∗ ∈ C l nghi»m cõa b i to¡n bò (CP) th¼ hF(x ∗ ), x∗ i = 0, F(x ∗ ) ∈ C 0 . V¼ F(x ∗ ) ∈ C 0 n¶n hF(x ∗ ), yi ≥ 0, ∀y ∈ C. Ta câ hF(x ∗ ), y − x ∗ i ≥ 0, ∀y ∈ C hay x ∗ ∈ C l nghi»m cõa b i to¡n V IP(F; C). 2.2 Mët thuªt to¡n chi¸u gi£i b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n para ìn i»u ành ngh¾a 2.2. Cho C l mët tªp con lçi trong khæng gian R n v F : C → R n . Khi â, ¡nh x¤ F l (i) ìn i»u m¤nh tr¶n C n¸u tçn t¤i mët h¬ng sè γ > 0 sao cho hF(x) − F(y), x − yi ≥ γkx − yk 2 , ∀x, y ∈ C; (ii) ìn i»u tr¶n C n¸u hF(x) − F(y), x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ C; 26 (iii) Gi£ ìn i»u tr¶n C n¸u hF(x), y − xi ≥ 0 ⇒ hF(y), y − xi ≥ 0, ∀x, y ∈ C. (iv) Para ìn i»u tr¶n C n¸u x ∗ ∈ S(F, C), x ∈ C,hF(x), x∗−xi = 0,hF(x ∗ ), x−x ∗ i = 0 ⇒ x ∈ S(F, C). Nhªn x²t 2.1. Ta câ (i) ⇒ (ii), (ii) ⇒ (iii) l hiºn nhi¶n. V½ dö 2.2. a) Cho ¡nh x¤ F ìn trà x¡c ành tr¶n R nh÷ sau: F(x) = 2x, ∀x ∈ R vîi F(x) l ¤o h m c§p 1 cõa h m lçi x 2 x¡c ành tr¶n R. Khi â d¹ th§y r¬ng F l ìn i»u tr¶n R. b) Cho F(x) = Qx, trong â Q l ma trªn vuæng cï n × n. Theo ành ngh¾a, ta th§y F l ìn i»u tr¶n to n khæng gian khi Q l ma trªn vuæng, èi xùng, nûa x¡c ành d÷ìng. N¸u Q l èi xùng, x¡c ành d÷ìng, th¼ F ìn i»u m¤nh. Têng qu¡t hìn n¸u f l mët h m lçi tr¶n C th¼ 5f l ìn i»u tr¶n C. Chó þ khæng ph£i måi to¡n tû ìn i»u ·u l ¤o h m cõa h m lçi. Ta câ c¡c bê · sau s³ c¦n º sü chùng minh sü hëi tö cõa thuªt to¡n. Bê · 2.1. 4 Gi£ sû {νk} v {δk} l hai d¢y sè thüc khæng ¥m thäa m¢n νk+1 ≤ νk + δk vîi P+∞ k=1 δk < +∞. Khi â d¢y {νk} hëi tö. Bê · 2.2. 4 Gi£ sû θ, β v ξ l c¡c sè thüc khæng ¥m thäa m¢n θ 2 − βθ − ξ ≤ 0, khi â βθ ≤ β 2 + ξ. (2.4) 27 Chùng minh. X²t h m sè bªc hai s(θ) = θ 2 − βθ − ξ, khi â s(θ) ≤ 0 suy ra θ ≤ β + p β 2 + 4ξ 2 , v¼ θ > 0. Nh¥n b§t ¯ng thùc tr¶n vîi β v ¡p döng t½nh ch§t ab ≤ a 2 + b 2 2 ta ÷ñc βθ ≤ 2 −1 h β 2 + β p β 2 + 4ξ i ≤ 2 −1 β 2 + β 2 + β 2 + 4ξ 2 = 2−1 β 2 + β 2 + 2ξ = β 2 + ξ. Suy ra i·u ph£i chùng minh. º chùng minh sü hëi tö ta s³ gi£ sû tªp nghi»m cõa (2.1) ÷ñc chùa trong tªp nghi»m cõa b i to¡n sau T¼m x ∗ ∈ C sao cho hF(y), x∗ − yi ≤ 0, ∀y ∈ C. (2.5) Tªp nghi»m cõa b i to¡n n y ÷ñc kþ hi»u bði Sd(F; C). Thuªt to¡n ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau. Cho tham sè d÷ìng ρ v c¡c d¢y sè thüc {ρk} v {βk} thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: ρk > ρ, βk > 0, ∀k ∈ N, (2.6) X βk ρk = +∞, Xβ 2 k < +∞, (2.7) 28 V½ dö ta l§y ρk = 1 vîi måi k, βk = m k + 1 vîi m > 0. Ph÷ìng ph¡p chi¸u. B÷îc 0: Chån x 0 ∈ C. °t k = 0. B÷îc 1: Gi£ sû x k ∈ C. L§y g k = F(x k ). Ta ành ngh¾a αk = βk γk trong â γk = max{ρk, kg k k}. (2.8) B÷îc 2: T½nh x k+1 ∈ C sao cho hαkg k + x k+1 − x k , x − x k+1i ≥ 0, ∀x ∈ C, (2.9) ngh¾a l x k+1 = PC(x k − αkg k ). i·u ki»n døng: Thuªt to¡n s³ døng t¤i b÷îc l°p k, n¸u g k = 0 hay x k+1 = x k . Ta câ sì ç thuªt to¡n sau: H¼nh 2.8: Sì ç thuªt to¡n 29 M»nh · 2.3. N¸u thuªt to¡n chi¸u d÷îi ¤o h m sinh ra mët d¢y húu h¤n th¼ iºm cuèi còng l mët nghi»m cõa b i to¡n V IP(F; C). Chùng minh. N¸u g k = 0 th¼ hF(x k ), y − x k i = 0 vîi måi y, vªy x k l nghi»m cõa b i to¡n V IP(F; C). B¥y gií gi£ sû thuªt to¡n k¸t thóc t¤i b÷îc 2, ngh¾a l x k = x k+1. N¸u x k = x k+1 th¼ tø x k+1 = PC(x k − αkF(x k )), theo ành ngh¾a cõa ph²p chi¸u, ta câ hx k+1 − (x k − αkF(x k )), y − x k i ≤ 0, ∀y ∈ C. Do x k = x k+1 v αk > 0, b§t ¯ng thùc cuèi còng trð th nh hF(x k )), y − x k i ≥ 0 ∀y ∈ C, ngh¾a l x k l mët nghi»m. Tø gií trð i, chóng ta gi£ sû thuªt to¡n sinh ra mët d¢y væ h¤n ÷ñc kþ hi»u l {x k}. Ta câ t½nh ch§t sau. Bê · 2.3. Vîi méi k, c¡c b§t ¯ng thùc sau óng (i) αkkg kk ≤ βk; (ii) βkkx k+1 − x kk ≤ β 2 k . Chùng minh. (i) Tø (2.8) ta câ αkkg k k = βkkg kk max{ρk, kg kk} ≤ βk. (2.10) (ii) B¬ng c¡ch l§y x = x k trong (2.9) ta ÷ñc kx k+1 − x k k 2 ≤ hαkg k , xk − x k+1i 30 ≤ αkkg k kkx k+1 − x k k (2.11) ≤ βkkx k+1 − x k k. Do â, tø Bê · 2.2 vîi θ = kx k+1 − x kk, β = βk v ξ = 0, vîi méi k ∈ N ta suy ra i·u ph£i chùng minh. Gi£ thi¸t ti¸p theo s³ ÷ñc sû döng trong chùng minh sau n y. A1. Tªp nghi»m S(F; C) kh¡c réng; M»nh · 2.4. Gi£ sû A1 thäa m¢n. Khi â, vîi måi x ∗ ∈ S(F; C) v vîi méi k, ta câ c¡c kh¯ng ành sau kx k+1 − x ∗ k 2 ≤ kx k − x ∗ k 2 + 2αkhF(x k ), x∗ − x k i + δk, (2.12) trong â δk = 2β 2 k . Chùng minh. B¬ng ph²p bi¸n êi ìn gi£n, ta câ kx k+1 − x ∗ k 2 = kx k − x ∗ k 2 − kx k+1 − x k k 2 + 2hx k − x k+1, x∗ − x k+1i ≤ kx k − x ∗ k 2 + 2hx k − x k+1, x∗ − x k+1i. (2.13) K¸t hñp (2.13) v (2.9) vîi x = x ∗ ta suy ra kx k+1 − x ∗ k 2 ≤ kx k − x ∗ k 2 + 2hαkg k , x∗ − x k+1i = kx k − x ∗ k 2 + 2hαkg k , x∗ − x k i (2.14) + 2hαkg k , xk − x k+1i. p döng b§t ¯ng thùc Cauchy Schwarz v Bê · 2.3 (i), suy ra kx k+1 − x ∗ k 2 ≤ kx k − x ∗ k 2 + 2αkhg k , x∗ − x k i + 2βkkx k − x k+1k. (2.15) Theo (2.15) v Bê · 2.3 (ii), ta câ kx k+1 − x ∗ k 2 ≤ kx k − x ∗ k 2 + 2αkhF(x k ), x∗ − x k i + 2β 2 k . (2.16) 31 Do â, v¼ αk > 0 n¶n ta suy ra i·u ph£i chùng minh. i·u ki»n sau ÷ñc dòng º chùng minh t½nh bà ch°n cõa d¢y {x k} ÷ñc sinh bði thuªt to¡n. A2. S(F; C) ⊆ Sd(F; C); Chó þ r¬ng n¸u F li¶n töc v gi£ ìn i»u, th¼ gi£ thi¸t A2 óng. ành lþ 2.1. Gi£ sû A1 v A2 ·u thäa m¢n. Khi â, (i) {kx k − x ∗k 2} l d¢y hëi tö vîi måi x ∗ ∈ S(F; C); (ii) {x k} l d¢y bà ch°n. Chùng minh. (i) Gi£ sû x ∗ ∈ S(F; C) v k ∈ N. Theo A2 ta câ hF(x k ), x∗− x k i ≤ 0 còng vîi M»nh · 2.4 suy ra kx k+1 − x ∗ k 2 ≤ kx k − x ∗ k 2 + δk, (2.17) trong â δk = 2β 2 k . Do â, theo (2.7) v (2.8) ta câ X +∞ k=0 δk < +∞. (2.18) Do â, tø (2.17), (2.18) v Bê · 2.3 suy ra {kx k − x ∗k 2} l mët d¢y hëi tö. (ii) Suy ra tø (i). ành lþ 2.2. Gi£ sû F li¶n töc v c¡c gi£ thi¸t A1, A2 ·u thäa m¢n. Khi â, ta câ lim sup k→+∞ hF(x k ), x∗ − x k i = 0 ∀x ∗ ∈ S(F; C). 32 Chùng minh. Gi£ sû x ∗ ∈ S(F; C). Theo M»nh · 2.4 v A2 suy ra 0 ≤ 2αk−hF(x k ), x∗ − x k i ≤ kx k − x ∗ k 2 − kx k+1 − x ∗ k 2 + δk. (2.19) Do â, 0 ≤ 2 X m k=0 αk−hF(x k ), x∗ − x k i ≤ kx 0 − x ∗ k 2 − kx m+1 − x ∗ k 2 + X m k=0 δk (2.20) ≤ kx 0 − x ∗ k 2 + X m k=0 δk. Khi m → +∞ ta câ 0 ≤ 2 X +∞ k=0 αk−hF(x k ), x∗ − x k i ≤ kx 0 − x ∗ k 2 + X +∞ k=0 δk, (2.21) k¸t hñp vîi (2.18) suy ra 0 ≤ X +∞ k=0 αk−hF(x k ), x∗ − x k i < +∞. (2.22) M°t kh¡c, ta câ {kg kk} l d¢y bà ch°n. Khi â, γk ρk = max{1, ρ−1 k kg k k} ≤ L ρ ∀k ∈ N. Do â αk = βk γk ≥ ρ L βk ρk ∀k ∈ N. (2.23) Tø (2.22) v (2.23), ta câ X +∞ k=0 βk ρk −hF(x k ), x∗ − x k i < +∞. (2.24) Vªy, tø (2.24) v (2.7) suy ra i·u ph£i chùng minh. 33 º câ ÷ñc sü hëi tö cõa c£ d¢y chóng ta ÷a ra gi£ thi¸t sau. A3. Gi£ sû x ∗ ∈ S(F; C) v x¯ ∈ C. N¸u hF(¯x), x∗ − x¯i = hF(x ∗ ), x¯ − x ∗ i = 0 th¼ x¯ ∈ S(F; C); ành lþ 2.3. Gi£ sû A1, A2 v A3 ·u thäa m¢n. Khi â, d¢y {x k} hëi tö ¸n mët nghi»m cõa V IP(F; C). Chùng minh. Gi£ sû x ∗ ∈ S(F; C). Theo ành lþ 2.2, tçn t¤i mët d¢y con {x kj} cõa {x k} sao cho lim sup k→+∞ hF(x k ), x∗ − x k i = lim j→+∞ hF(x kj ), x∗ − x kj i. (2.25) Trong ành lþ 2.1, ta câ {x kj} l d¢y bà ch°n. Vªy, câ x¯ ∈ C v mët d¢y con cõa {x kj}, khæng m§t têng qu¡t, cö thº l {x kj} sao cho lim j→+∞ x kj = ¯x. (2.26) Do F li¶n töc, n¶n hF(¯x), x∗ − x¯i = lim j→+∞ hF(x kj ), x∗ − x kj i (2.27) = 0. Tø gi£ thi¸t A2 ta câ hF(¯x), x∗ − x¯i ≤ 0, dâ â ta câ hF(¯x), x∗ − x¯i = 0. (2.28) Do â, ta suy ra x¯ ∈ S(F; C). p döng ành lþ 2.1 l¦n núa ta ÷ñc d¢y {kx k − x¯k 2} hëi tö, k¸t hñp vîi (2.26) suy ra lim k→+∞ x k = ¯x, x¯ ∈ S(F; C). 34 V½ dö 2.3. Cho F : R 2 → R 2 x¡c ành bði: F(x) = Ax vîi A = 2 0 0 2 . Cho C = {x = (x1, x2) ∈ R 2 : kxk ≤ 1}. Vîi måi x = (x1, x2) ∈ C, vîi måi y = (y1, y2) ∈ C ta câ: hF(x) − F(y), x − yi = hA(x − y), x − yi = 2(x1 − y1)(x1 − y1) + 2(x2 − y2)(x2 − y2) = 2(x1 − y1) 2 + 2(x2 − y2) 2 = 2kx − yk 2 . Do â F l ìn i»u m¤nh tr¶n C vîi γ = 2. Ta câ kF(x) − F(y)k = kA(x − y)k = 2kx − yk. Do â F l 2 li¶n töc Lipschitz tr¶n C. Tø t½nh ìn i»u m¤nh cõa F suy ra b i to¡n: T¼m x∗ ∈ C: hF(x∗), y − x∗i ≥ 0, ∀y ∈ C câ duy nh§t nghi»m. D¹ th§y r¬ng x∗ = (0, 0) l nghi»m duy nh§t cõa b i to¡n. Chån c¡c tham sè thäa m¢n gi£ thi¸t ρk = 1, βk = 2 k + 1 , ∀k ≥ 1. Ph÷ìng ph¡p chi¸u d÷îi ¤o h m câ d¤ng: x ∈ C g k = A(x k ) = (2x k 1 2x k 2 ) x k+1 = PC(x k − αkg k ) 35 trong â αk = βk γk vîi γk = max{ρk, kg kk}. Ph²p chi¸u tr¶n C câ d¤ng PC(x) = x n¸u kxk ≤ 1 0 + 1 kx − 0k (x − 0) n¸u kxk > 1. Hay PC(x) = x n¸u kxk ≤ 1 x kxk n¸u kxk > 1. Vîi iºm ban ¦u x 0 = 1 2 , 1 2 . Lªp tr¼nh tr¶n Matlab ta câ b£ng k¸t qu£ sau: k x k 1 x k 2 kx k − x∗k 1 0.207106781 0.207106781 0.292893218 2 0.069035593 0.0690335593 0.0976310729 3 0 0 0 36 KT LUN Luªn v«n nghi¶n cùu v· to¡n tû chi¸u metric l¶n tªp lçi âng v ùng döng v o b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n para ìn i»u. Cö thº l : 1. Nhc l¤i mët sè kh¡i ni»m v t½nh ch§t cì b£n cõa tªp lçi, h m lçi v ành lþ t¡ch c¡c tªp lçi. 2. Giîi thi»u ành ngh¾a v c¡c t½nh ch§t cõa ph²p chi¸u l¶n mët tªp lçi âng v cæng thùc t½nh h¼nh chi¸u cõa mët iºm l¶n c¡c tªp °c bi»t nh÷ nûa khæng gian, h¼nh c¦u âng hay si¶u hëp,... 3. Giîi thi»u b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n v n¶u mèi li¶n quan cõa b i to¡n n y vîi b i to¡n cüc tiºu h m lçi tr¶n tªp lçi v b i to¡n bò phi tuy¸n. 4. Sû döng ph²p chi¸u º x¥y düng thuªt to¡n chi¸u d÷îi ¤o h m gi£i b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n para ìn i»u. 37 T i li»u tham kh£o Ti¸ng Vi»t 1 Nguy¹n V«n Hi·n, L¶ Dông M÷u, Nguy¹n Húu iºn (2015), Gi¡o tr¼nh Gi£i t½ch lçi ùng döng, NXB ¤i håc Quèc Gia H Nëi. Ti¸ng Anh 2 I. Konnov (2011), Combined Relaxation Algorithms for Variational Inequalities, Springer. 3 Hoang Tuy (2013), Convex Analysis and Global Optimization, Springer. 4 P. Santos and S. Scheimberg (2011), An inexact subgradient algorithm for equilibrium problems, Computational and Applied Mathematics, 30, pp. 91107.
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - TRẦN VĂN ĐÔNG CÁC ĐƯỜNG THẲNG BẬC n CỦA TAM GIÁC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Việt Hải THÁI NGUYÊN - 2020 Danh mục hình 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 Các tính chất 1.1.1, 1.1.2 đường thẳng đẳng giác Định lý Steiner A2 , B2 , C2 thẳng hàng Các đường thẳng đẳng giác đồng quy AH đường thẳng đối trung xuất phát từ A Quỹ tích đường đối trung Tứ giác điều hòa đường đối trung Hai đường đối song Đường đối trung chia đôi cạnh đối song Đường đối trung Ba đường đối phân giác AA2 , BB2 , CC2 Quỹ tích điểm K mà KN : KM = c−2 : b−2 Khoảng cách từ tâm đối phân giác đến cạnh DL = HE = F K = abc : (bc + ca + ab) 10 11 14 16 17 19 20 21 23 24 25 26 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 Một số cát tuyến đặc biệt sin α : sin β = cn−1 : bn−1 Quỹ tích điểm M mà M M2 : M M1 = cn−1 : bn−1 M F : P N : KD = an+1 : bn+1 : cn+1 Chuyển từ bậc n sang bậc n + Chuyển từ bậc n sang bậc n + Chia đoạn thẳng BC D Chuyển từ bậc n sang bậc n + m A1 B1 C1 tam giác hình chiếu M 27 28 29 32 35 36 37 40 41 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 AD đường đối trung ABC P thuộc đường thẳng cố định AM AF qua trung điểm HK Ba đường thẳng AH, BN, CM đồng quy HIP IKQ tam giác cân 45 46 47 49 50 52 53 55 56 57 58 60 Chứng minh đẳng thức (3.5) Vẽ đường thẳng "một nửa" VN-TST 2001, Thi chọn đội tuyển PTNK, 2010, TP Hồ IMO shortlist 2003, USA-TST-2007, Thi toàn Liên bang Nga, 2010, Chí Minh 3.13 RGO in honour of I.F.Sharygin 2013 61 3.14 RGO in honour of I.F.Sharygin 2013, Final round 62 Mục lục Chương Một số cát tuyến đặc biệt tam giác 1.1 Các đường thẳng đẳng giác đẳng cự 1.2 Các đường đối trung 1.2.1 Các đường đối trung tam giác 1.2.2 Đường đối trung đường đối song 1.2.3 Độ dài đường đối trung đường đối trung 1.3 Các đường đối phân giác 6 13 13 18 20 22 Chương Đường thẳng bậc n 27 2.1 Định nghĩa tính chất 27 2.2 Chuyển đường thẳng n sang đường thẳng n + m 34 2.3 Tam giác hình chiếu đường thẳng bậc n 41 Chương Một số ứng dụng 44 3.1 Ứng dụng giải toán hình học 44 3.2 Ứng dụng giải toán thi học sinh giỏi, thi Olympic 54 Tài liệu tham khảo 65 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Việt Hải Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn, người tạo cho phương pháp nghiên cứu khoa học đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian, cơng sức giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn phịng Đào tạo, Khoa Tốn - Tin, q thầy giảng dạy lớp Cao học K11B trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học Tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Trung tâm Nghiên cứu Giáo dục Đào tạo Hải Phòng giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K11B động viên giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập làm luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho học tập nghiên cứu Thái Nguyên, tháng năm 2020 Tác giả Trần Văn Đơng Mở đầu Mục đích đề tài luận văn Các đường thẳng trung tuyến, phân giác, đường đối trung tam giác đóng vai trị quan trọng hình học tam giác Đó trường hợp đặc biệt đường thẳng bậc n tam giác Ngoài đường thẳng bậc n đặc biệt biết cịn có đường thẳng khác? Các đường thẳng bậc n có tính chất đặc trưng gì? Cách dựng chúng nào? Có thể áp dụng chúng để giải tốn nào? Đó lý mà chọn đề tài "Các đường thẳng bậc n tam giác" Mục đích đề tài là: − Trình bày khái niệm đường thẳng đặc biệt qua đỉnh tam giác: Trung tuyến, đường đối trung, đường phân giác, đường đối phân giác Các đường thẳng có tính chất đặc trưng liên quan đến điểm đặc biệt tam giác Tài liệu tham khảo [2] − Tổng quát hóa đường thẳng đặc biệt nói đường thẳng bậc n tam giác Từ tính chất đường thẳng bậc n đưa cách dựng đường thẳng bậc n với n số tùy ý Các ứng dụng đường thẳng bậc n phong phú, xuất nhiều đề thi học sinh giỏi, thi Olympic nước quốc tế − Bồi dưỡng học sinh giỏi phổ thơng có khiếu Tốn, nâng cao khai thác chuyên đề hình học hay khó, chưa giới thiệu chương trình Hình học phổ thơng, kể giáo trình Hình học sơ cấp Nội dung đề tài, vấn đề cần giải Dựa vào tài liệu [1], [2] [6], luận văn nhắc lại bổ sung định nghĩa, tính chất cát tuyến đặc biệt tam giác Từ tổng quát hóa thành đường thẳng bậc n tam giác Các toán dành cho học sinh giỏi trình bày dạng ví dụ áp dụng nội dung đề tài Nội dung luận văn chia làm chương: Chương Một số cát tuyến đặc biệt tam giác Trình bày số đường thẳng qua đỉnh tam giác có tính chất đặc biệt: đường thẳng đẳng giác, đường thẳng đẳng cự, đường thẳng đối trung tính chất đặc trưng chúng Mối liên hệ cát tuyến đường thẳng quen thuộc thể qua định nghĩa mệnh đề Chương bao gồm mục sau (có tham khảo chọn lọc [2], [6]): 1.1 Các đường thẳng đẳng giác đẳng cự 1.2 Đường đối trung 1.3 Các đường đối phân giác Chương Các đường thẳng bậc n Chương nội dung trọng tâm luận văn Các đường thẳng bậc n tổng quát hóa từ đường thẳng có: trung tuyến, đường đối trung, đường đối phân giác, Ở giới thiệu đặc trưng chung đường thẳng bậc n tam giác Từ tính chất lại đưa cách dựng đường thẳng bậc n cách chuyển từ đường thẳng bậc n sang đường thẳng bậc n + 1, Chương có tham khảo, chọn lọc tài liệu ([1], [3]) bổ sung ví dụ tường minh Nội dung bao gồm 2.1 Định nghĩa tính chất 2.2 Chuyển đường thẳng bậc n thành đường thẳng bậc n + m 2.3 Tam giác hình chiếu đường thẳng bậc n Chương Một số ứng dụng Có thể tách thành hai nội dung nhỏ: ứng dụng vào tốn hình học phổ thơng đề cập tới toán thi học sinh giỏi, thi Olympic nước ngồi nước Khi trình bày cách giải tác giả cố gắng làm rõ tính ưu việt lời giải có ứng dụng đường thẳng bậc n tam giác Nội dung bao gồm (tham khảo [3], [4]): 3.1 Ứng dụng vào giải toán phổ thơng 3.2 Các tốn thi học sinh giỏi thi Olympic nước Chương Một số cát tuyến đặc biệt tam giác Một đường thẳng cắt hình gọi cát tuyến hình Nếu hình đa giác cát tuyến cắt khơng cạnh hình mà cịn cắt phần kéo dài cạnh Các trung tuyến, đường cao, đường phân giác trong, ví dụ cát tuyến tam giác Chương trình bày thêm số cát tuyến đặc biệt khác qua đỉnh tam giác 1.1 Các đường thẳng đẳng giác đẳng cự Định nghĩa 1.1 Cho góc xOy, hai đường thẳng qua đỉnh O tạo với phân giác góc góc nhau, gọi đường thẳng đẳng giác cạnh góc Các đường thẳng đẳng giác có tính chất sau: Tính chất 1.1.1 Với hai điểm hai đường thẳng đẳng giác ta có tích khoảng cách từ hai điểm đến cạnh góc tích hai khoảng cách đến cạnh Tính chất 1.1.2 Hai điểm đường thẳng đẳng giác chiếu lên cạnh góc tạo thành bốn điểm đồng viên Chứng minh Trên Hình 1.1 ta phải chứng minh M M1 N N1 = M M2 N2 Từ đồng dạng tam giác vuông: OM1 M ∼ ON2 N ; ON2 N ∼ OM2 M ta có: M M2 OM1 OM2 M M1 OM OM = = = ; = N N1 ON N N1 ON2 ON ON1 Hình 1.1: Các tính chất 1.1.1, 1.1.2 đường thẳng đẳng giác Từ đó, M M1 N N1 = M M2 N N2 ; OM1 ON1 = OM2 ON2 (1.1) Đẳng thức đầu (1.1) chứng minh Ttính chất 1.1.1; đẳng thức thứ hai cho Tính chất 1.1.2 tính chất phương tích Tâm đường trịn qua N1 , M1 , N2 , M2 giao điểm đường trung trực đoạn thẳng M1 , N1 , M2 , N2 Tính chất 1.1.3 Đường thẳng nối hình chiếu cạnh góc hai điểm trên, vng góc với đường nối đỉnh góc với điểm thứ hai Chứng minh Tứ giác OM1 M M2 nội tiếp được, ta có M1 OM = M2 ON Vì M1 OM = M1 M2 M (các góc nội tiếp chắn cung đường tròn) nên M1 M2 M = M2 ON M2 M ⊥ OM2 ta suy ra: M1 M2 ⊥ ON Tương tự, N1 N2 ⊥ OM Tính chất 1.1.4 Mệnh đề đảo Tính chất 1.1.1 51 hai tam giác có góc A chung, nên tam giác đồng dạng Vì M, N trung điểm hai cạnh tương ứng CE, BD nên AM, AN trung tuyến tam giác ACE, ABD Hai góc tương ứng nhau: CAM = BAN , AM AN ABC cặp đường thẳng đẳng giác Từ M K ⊥ CA, N Q ⊥ AB, kẻ thêm N G ⊥ AC, M F ⊥ AB theo Tính chất 1.1.2, bốn điểm K, G, F, Q đồng viên trung điểm I M N tâm đường tròn (KGF Q) Ta suy IK = IQ hay tam giác IKQ cân I Nhận xét Phát quan trọng lời giải toán AM, AN cặp đường thẳng đẳng giác ABC, từ áp dụng Tính chất 1.1.2 Ví dụ 3.1.6 Cho tam giác ABC, M điểm Gọi H, I, K hình chiếu M BC, CA, AB tương ứng Tìm vị trí M cho M H + M I + M K nhỏ Lời giải Ta có (a2 + b2 + c2 )(M H + M I + M K ) ≥ (aM H + bM Ic M K)2 ≥ 4SABC Từ suy 4.SABC MH + MI + MK ≥ a + b2 + c2 MH MI MK Đẳng thức xảy M ABC = = a b c Theo dấu hiệu thứ hai, M giao ba đường đối trung, nên M điểm Lemoine 2 Nhận xét Từ kết phát biểu điều kiện cần đủ: Đại lượng M H + M I + M K nhỏ M điểm Lemoine ABC Ví dụ 3.1.7 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Các tiếp tuyến với (O) A, C BD đồng quy S Chứng minh AB AD2 = = AC CD2 sin CSB sin ASB (3.5) 52 Hình 3.6: Chứng minh đẳng thức (3.5) Chứng minh Theo Ví dụ 3.1.1 ta có SD đường đối trung đường đối trung DAC SB BAC Gọi I = AC ∩ BD, áp dụng Điều kiện cần đủ thứ đường đối trung vào tam giác DAC BAC ta có: AB AI AC AI = = CI AC CI CD2 (3.6) Mặt khác, SASI = SA.SI sin ASB, SCSI = SC.SI sin CSB nên ta có: sin ASB = SASI AI = SCSI CI (3.7) sin CSB Từ (3.6) (3.7) ta suy đẳng thức cần chứng minh Nhận xét Đẳng thức (3.5) chứng minh nhờ phối hợp đặc trưng đường đối trung yếu tố diện tích Ở khơng sử dụng đường đối trung khó tìm mối liên hệ góc đoạn thẳng Lời giải Dựa vào tốn dựng 3, ta giải tốn sau: Ví dụ 3.1.8 Vẽ đường thẳng "một nửa" tức đường thẳng bậc 53 Phân tích Giả sử AT 12 đường thẳng chia cạnh BC Hình 3.7 theo tỷ số bậc hai cạnh kề √ c =√ T 12 C b BT 12 Qua trung điểm M BC vẽ đường thẳng song song với AC, cắt AT 12 D Đường thẳng BD cắt AD K Hình 3.7: Vẽ đường thẳng "một nửa" Khi đó, BD sin BAD AK AK = 1, = = DK AB c sin DAK 1 − sin BAD AB c− = = −1 AC b sin DAK Từ đẳng thức (3.8), (3.9) ta có: √ AK c− = − , suy AK = bc c b AK xác định theo cơng thức (2.3) toán phụ: Cách dựng - Dựng AK đoạn thẳng trung bình nhân b = AC, c = AB (3.8) (3.9) 54 - Nối BK, dựng qua trung điểm O đường thẳng gặp BK D - AD cắt BC điểm T 12 , đường thẳng AT 12 đường thẳng "một nửa" Cách dựng khác: Dựng AK = √ bc, đặt AK = AK cạnh AB Đường thẳng KK cắt BC điểm T 12 cần tìm √ c Chứng minh Ta cần chứng minh = √ Thật vậy, ta có SABC = T 12 B b 1 1√ √ bc sin A; SAKK = bc bc sin A = bc sin A Vậy tam giác ABC 2 AKK có diện tích Do đó, tam giác KT 21 C KT 21 B có T 12 C diện tích Như vậy, √ T 12 (b − bc) sin C √ = T 21 B.K B sin B T 12 B.( bc − c) sin B √ √ T 21 C T 21 C.( b) sin C b √ =√ = Ta suy ra: = T 12 B T 21 B.( c) sin B c T 21 C.KC sin C (Đẳng thức cuối định lý hàm sin) Biện luận Bài tốn có nghiệm 3.2 Ứng dụng giải toán thi học sinh giỏi, thi Olympic Phần trình bày tốn mức độ khó Trong toán đường thẳng đẳng giác, đẳng cự đường thẳng bậc n không xuất trực tiếp mà thường người làm toán phải tự tạo Chính điều minh họa ứng dụng đặc sắc đường thẳng bậc n Ví dụ 3.2.1 (VN-TST 2001, Ngày thứ nhất, Bài 2) Trong mặt phẳng cho hai đường tròn cắt A B Gọi P T hai tiếp tuyến chung hai đường trịn (P, T hai tiếp điểm) Các tiếp tuyến P, T đường tròn ngoại tiếp tam giác AP T cắt S Gọi H điểm đối xứng B qua P T Chứng minh A, S, H thẳng hàng 55 Hình 3.8: VN-TST 2001, Chứng minh Ta có BP T = P AB; BT P = BAT =⇒ BP T + P AT = 1800 Suy P HT + P AT = 1800 Vậy tứ giác AP HT tứ giác nội tiếp Khi đó, T AH = T P H = BP T = P AB, P H AB đường thẳng đẳng giác góc P AT Giả sử AB cắt P T M , M A.M B = M T = M P nên M trung điểm P T Suy AS đối xứng với AM qua đường phân giác góc P AT , tức AS AM ≡ AB đường thẳng đẳng giác góc P AT Như vậy, AS AH đẳng giác với AB nên trùng Ta có ba điểm A, H, S thẳng hàng Ví dụ 3.2.2 (Thi chọn đội tuyển trường PTNK, 2010, TP Hồ Chí Minh) Cho ABC nội tiếp đường trịn (O), có A cố định, B, C chạy (O) thỏa mãn BC cố định Các tiếp tuyến (O) B C giao K Gọi 56 M trung điểm BC; N giao điểm AM với (O) Chứng minh đường thẳng KN qua điểm cố định Hình 3.9: Thi chọn đội tuyển PTNK, 2010, TP Hồ Chí Minh Chứng minh Gọi D, P giao KN, AP với (O) Vì BC có phương khơng đổi nên KM đường thẳng cố định Theo Ví dụ 3.1.1 ta có AK đường đối trung ABC, suy BAP = N AC Từ ta P N đối xứng qua KM cố định Khi dễ dàng nhận D đối xứng A qua đường thẳng cố định KM , D cố định Ví dụ 3.2.3 (IMO shortlist 2003, Bài 2) Cho điểm phân biệt A, B, C theo thứ tự nằm đường thẳng Gọi C đường trịn ln qua A C với điều kiện [AC] không đường kính C Điểm P giao hai tiếp tuyến C A, C Giả sử C cắt đoạn P B Q Chứng minh giao điểm đường phân giác góc AQC đường thẳng AC điểm cố định C thay đổi 57 Hình 3.10: IMO shortlist 2003, Chứng minh Theo Ví dụ 3.1.1, QB đường đối trung tam giác AQC Gọi giao điểm đường phân giác góc AQC đường thẳng AC R Theo Tính BA AQ2 chất 1.2.2 đường đối trung (đường thẳng bậc 2) ta có: = Mặt BC CQ2 RA AQ khác, tính chất phân giác (đường thẳng bậc 1) cho = Suy RC QC BA RA2 RA BA = hay = Do R cố định C thay đổi BC RC RC BC Nhận xét Bài tốn có nhiều cách giải nhiên sử dụng đường thẳng bậc n cách giải đơn giản, ngắn gọn độc đáo Ví dụ 3.2.4 (USA-TST-2007, Bài 5) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến (O) B, C cắt T Gọi S điểm thuộc tia [BC) cho AS ⊥ AT Các điểm B1 , C1 nằm tia [ST ) (C1 nằm B1 S) cho B1 T = BT = C1 T Chứng minh tam giác ABC tam giác AB1 C1 đồng dạng 58 Hình 3.11: USA-TST-2007, Chứng minh Ta trình bày phép chứng minh thành bước: • B1 Gọi M trung điểm BC ta chứng minh BAT = CAM , tức AT đường đối trung tam giác ABC Xét Hình 3.11 (nếu góc BAC tù lập luận ta thay đổi đôi chút) Gọi D giao thứ hai AT (O) Vì BT tiếp xúc với (O) BD TB B nên T BD = T AB Ta suy T BD ∼ T AB, kéo theo = AB TA TC CD Hoàn toàn giống vậy, T CD ∼ T AC = Từ giả thiết AC TA suy T B = T C nên ta có BD TB TC CD = = = BA TA TA AC Đẳng thức cho BD.AC = CD.AB Áp dụng định lý Ptolemy vào tứ giác nội tiếp ABCD ta có BD.AC + AB.CD = AD.BC Kết hợp hai đẳng thức cuối ta thu AC BC MC 2BD.AC = AD.BC hay = = AD 2BD BD 59 Chú ý ACM = ACB = ADB (vì ABCD nội tiếp), ta nhận ABD ∼ AM C, kéo theo BAT = BAD = CAM • B2 Vì BT tiếp xúc với (O) nên CBT = CAB T BA = ABC + CBT = ABC + CBA = 1800 − BCA Theo kết bước 1, ta có BAT = CAM Áp dụng định lý sin vào tam giác BAT CAM , ta nhận BT sin BAT sin CAM MC = = = AT AM sin T BA sin BCA T C1 MC Chú ý T B = T C1 ta có = Ta lại có BT C cân, M TA MA trung điểm BC nên T M S = T AC = T AS = 900 Từ tứ giác T M AP tứ giác nội tiếp Do AM C = AT C1 MC AM AM C = AT C1 nên M AC ∼ = Vì AT T C1 BC B1 C1 = = nên ABC ∼ AB1 C1 BM T C1 T AC1 Cuối Ví dụ 3.2.5 (Thi tồn Liên bang Nga, 2010, Bài 5) Đường tròn nội tiếp tam giác nhọn ABC tiếp xúc với cạnh AB, BC, CA C1 , A1 , B1 Các điểm A2 , B2 trung điểm đoạn thẳng B1 C1 , A1 C1 Gọi P giao điểm đường tròn nội tiếp CO, O tâm ngoại tiếp Ký hiệu N, M giao điểm thứ hai P A2 , P B2 với đường tròn nội tiếp Chứng minh giao điểm Ω = AN ∩ BM thuộc đường cao vẽ từ C tam giác Chứng minh Ta biết đường cao hạ từ C đường thẳng CO hai đường thẳng đẳng giác Các đường thẳng CO, BP, AP cắt P , ta cần chứng minh cặp (AP, AN ) (AP, AM ) cặp đường thẳng đẳng giác ứng với góc A B tam giác ABC Gọi I tâm nội tiếp tam giác ABC, K = AN ∩ BM Từ phương tích điểm P đường trịn (I, r) đường tròn ngoại tiếp tứ giác AC1 IB1 , 60 Hình 3.12: Thi tồn Liên bang Nga, 2010, ta có A2 I.A2 A = A2 C.A2 B1 ; A2 C1 A2 B1 = A2 N A2 P Suy A2 N A2 P = A2 I.A2 A Đẳng thức cho thấy AN IP tứ giác nội tiếp Hơn ta có IN = IP nên AI phân giác góc N AP , AN AP đường đẳng giác ứng với A Chứng minh tương tự, BM BP đường đẳng giác ứng với B Mặt khác, AP, BP, CO đồng quy I AN, BM cắt Ω, nên CΩ đường đẳng giác CO Từ suy Ω thuộc đường cao hạ từ C ABC Ví dụ 3.2.6 (RGO in honour of I.F.Sharygin 2013, Bài 18) Cho tam giác ABC với đường phân giác AD Gọi M, N hình chiếu vng góc tương ứng B, C AD Đường trịn đường kính M N cắt BC X Y Chứng minh BAX = CAY Chứng minh Rõ ràng ta định hướng chứng minh AX, AY cặp đường thẳng đẳng giác Từ giả thiết ta thấy BM CN tiếp tuyến đường trịn kính M N 61 Suy BM = BX.BY ; CN = CY.CX Từ đó, Mặt khác, dễ thấy BX BY BM = CN XC Y C ABM ∼ ACN , nên AB BM = AC CN (3.10) (3.11) AB BM BX BY = = Theo Tính chất 1.1.5, AX AC CN XC Y C CY cặp đường thẳng đẳng giác góc BAC Từ (3.10) (3.11) ta có Hình 3.13: RGO in honour of I.F.Sharygin 2013 Ví dụ 3.2.7 (RGO in honour of I.F.Sharygin 2013, Final round, 10.6) Các đường cao AA1 , BB1 , CC1 tam giác nhọn ABC đồng quy H Các đường vng góc hạ từ H xuống B1 C1 A1 C1 cắt tia [CA) [CB) P Q, tương ứng Chứng minh đường vng góc hạ từ C xuống A1 B1 qua trung điểm P Q Chứng minh Ta có ∠ACC1 = 900 − A ∠BCC1 = 900 − B Do AB1 C1 ∼ ABC nên ta có ∠HP C = 900 − ∠AB1 C1 = 900 − B, tương 62 tự ∠HQC = 900 − A Tiếp theo, giả sử đường vng góc hạ từ C xuống A1 B1 cắt P Q X Ta có ∠P CX = 900 − B ∠QCX = 900 − A Ta cần chứng minh CX trung tuyến CP Q Vì P CX = QCH nên điều tương đương với CH đường đối trung Do ta đưa chứng minh tốn phụ sau: Bài tốn phụ Giả sử có H tam giác CP Q cho ∠CP H = ∠QCH, ∠CQH = ∠P CH Khi CH đường đối trung tam giác Chứng minh toán phụ Các tam giác P HC, CHQ đồng dạng có cặp góc tương ứng Bây giả sử Y giao thứ hai đường trịn (CHQ) với CH Khi đó, Hình 3.14: RGO in honour of I.F.Sharygin 2013, Final round ∠Y P H = ∠Y P C − ∠CP H = (1800 − ∠Y QC) − ∠Y CQ = ∠HY Q tam giác P HY Y HQ đồng dạng Từ ta suy ra: PY YQ P H HY PH = = = HY HQ HQ PC CQ Điều chứng tỏ CP Y Q tứ giác điều hòa Theo điều kiện cần đủ thứ ba (Mệnh đề 1.3) CH đường đối trung 63 Kết toán phụ kết luận Ví dụ 3.2.7 Chương nêu ví dụ ứng dụng tác giả cố gắng phân tích lý cần sử dụng đường thẳng bậc n (đặc biệt) để giải Thường thường tốn có chìa khóa để mở, hầu hết sử dụng chìa khóa "đường thẳng bậc n" 64 Kết luận luận văn Luận văn trình bày chi tiết vấn đề sau: Bổ sung thêm cát tuyến đặc biệt tam giác: đường thẳng đẳng giác, đường đối song, đường đối trung, đường đối phân giác Nhấn mạnh tính chất đặc trưng đường để có ứng dụng hiệu giải toán Giới thiệu chứng minh tính chất đường thẳng bậc n tam giác Giải ba tốn dựng hình dùng để dựng toán khác Đường thẳng bậc n tổng quát hóa từ đường thẳng biết tam giác: trung tuyến, phân giác, đối phân giác, đường đối trung, Ứng dụng đường thẳng bậc n vào việc giải toán với mức độ khác nhau: Giải tốn hình học phổ thơng giải tốn thi học sinh giỏi, thi Olympic ngồi nước Chúng tơi nhận thấy có hướng nghiên cứu tiếp theo: - Tìm thêm tốn ứng dụng kết nội dung nói luận văn Tìm hiểu sâu thêm đường thẳng bậc n với n mở rộng - Sử dụng phép biến hình thích hợp phương pháp tọa độ để nghiên cứu sâu đường thẳng xét Xin chân thành cảm ơn 65 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Dechen,X.J., (Bản dịch tiếng Việt Đồn Như Kim), (1963), Hình học tam giác, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Bá Đang, (2016), Những định lý chọn lọc Hình học phẳng toán áp dụng, NXB Giáo dục, chương [3] Nguyễn Tăng Vũ, (2011), Đường đẳng giác, đường đối trung, Kỷ yếu trường hè, http://thptquocgia123.blogspot.com Tiếng Anh [4] Parvardi,A.,H., (2009), Mathematical Olympiad Problems Around The World, www.mathlinks.ro [5] Patrascu,I., Smarandache,F., (2013), Variance on topics of Plane Geometry, Educational Publishing, Columbus, Ohio [6] Yiu, P., 2001, Introduction to the Geometry of the Triangle, Florida Atlatic University Lecture Notes ... dựng trên: a Chia đoạn thẳng cho trước thành đoạn tỷ lệ với lũy thừa bậc hai đoạn thẳng khác cho b Cho đường phân giác đường đối phân giác xuất phát từ đỉnh tam giác Hãy vẽ đường thẳng bậc xuất phát. .. đối trung chia góc đỉnh xuất phát thành hai phần có sin tỷ lệ với cạnh kề Tính chất 1.2.3 Các đường đối trung tam giác đồng quy Hình 1.5: AH đường thẳng đối trung xuất phát từ A Định nghĩa 1.6... AB, AC tỷ số cạnh nên M năm đường đối trung xuất phát từ A Ta có nhận xét: Tiếp tuyến đỉnh tam giác đường tròn ngoại tiếp cắt đường đối trung xuất phát từ điểm thứ ba 20 Tính chất 1.2.5 Các