Số topo bán nguyên trong mô hình skyrmion

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thị Hiền SỐ TOPO BÁN NGUN TRONG MƠ HÌNH SKYRMION LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thị Hiền SỐ TOPO BÁN NGUYÊN TRONG MƠ HÌNH SKYRMION Chun ngành: Vật lý lý thuyết vật lý toán Mã số: 60.44.01.03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS PHẠM THÚC TUYỀN Hà Nội – Năm 2014 LỜI CẢM ƠN Trước tiên, tơi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc TS Phạm Thúc Tuyền, thầy tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi suốt thời gian tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn giúp đỡ thầy cô môn Vật lý lý thuyết – trường Đại học Khoa học tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội – nơi tơi hồn thành luận văn Cuối cùng, tơi muốn dành tình cảm biết ơn sâu nặng tới người thân gia đình, đồng nghiệp bạn bè thơng cảm, động viên chia sẻ cho nhiều để tơi vượt qua khó khăn suốt năm tháng học tập Học viên Nguyễn Thị Hiền MỞ ĐẦU……………………… …………………………………….1 Chương –SKYRMION TRONG MƠ HÌNH 1.1 Lý thuyết -PHI TUYẾN………… ……5 phi tuyến (Skyrme)…… ….5 1.2 Biểu diễn phi tuyến nhóm đối xứng chiral SU(2)xSU(2)… …… 10 Chương – SKYRMION TRONG MƠ HÌNH BẤT BIẾN PHI TUYẾN 21 2.1 Nghiệm nhím dạng hàm chiral …………………… .21 2.2 Lượng tử hóa skyrmion phương pháp tọa độ tập thể … …… .26 2.3 Biểu thức dòng topological, vector Nother ………… … .… 32 Chương – CÁC ĐẶC TRƯNG TĨNH CỦA NUCLEON TRONG MƠ HÌNH SKYRMION 35 3.1 Tổng quan………… ……35 3.2 Điều kiện biên nghiệm……… 37 3.3 Skyrmion lượng tới hạn 40 3.4 Mật độ hạt nhân skyrmion 42 3.5 Đặc trưng tĩnh skyrmion 45 3.6 Kết số Skyrmion loại II 47 KẾT LUẬN…………………………………………………………………… 53 Tài liệu tham khảo…………………………… ………………………………54 Phụ lục………………………………………………………………………… 55 MỞ ĐẦU Theo lý thuyết (Standard Model) hadron, hạt tham gia tương tác mạnh, bao gồm baryon meson, cấu tạo từ quark phản quark Quark gồm có hương: u, c, t có điện tích 2/3 d, s, b có điện tích -1/3 Spin chúng 1/2, vậy, chúng fermion Trạng thái ba quark baryon trạng thái quark phản quark meson Mỗi hương quark có ba màu, gọi tên đỏ (red), vàng (yellow) xanh (blue) tương tự Quark tương tác với thông qua trường gluon Khác với quark, lượng tử trường gluon hạt vectơ, tức có spin Như vậy, gluon boson Lý thuyết tương tác quark gluon sắc động lực học lượng tử (QCD) Lý thuyết diễn tả tương tác hạt có màu giống tương tác điện từ diễn tả tương tác hạt có điện tích QCD tỏ lý thuyết hợp lý cho tương tác mạnh lượng cao (cỡ Gev), lượng thấp, cần đến lý thuyết hiệu dụng, đơn giản Do meson trạng thái liên kết quark - phản quark, baryon trạng thái liên kết ba quark, cho nên, phản ứng đơn giản nhất: p π+ + n n π- + p Đã có tham gia tám hạt Việc nghiên cứu hệ nhiều hạt lý thuyết trường lượng tử không khả thi Để nghiên cứu phản ứng thực giới hạt hadron, ta phải có lý thuyết tượng luận, thỏa mãn hai điều kiện: - Một là: Nó phải lý thuyết hiệu dụng mơ hình tiêu chuẩn - Hai là: Nó phải cho thuật tính đơn giản triệt để Trong cách thức mô tả hạt hadron thỏa mãn hai điều kiện Lý thuyết - phi tuyến Lý thuyết bất biến phi tuyến Cả hai lý thuyết có chung mục tiêu mô tả hadron hạt soliton lượng tử Ý tưởng Skyrme đề xuất Lý thuyết - phi tuyến, cho nên, soliton lượng tử mô tả hadron sau gọi skyrmion [27] Lý thuyết bất biến phi tuyến N.A.Việt P.T Tuyền đề xuất [20] Soliton tương ứng gọi skyrmion mở rộng [19] Ý tưởng Skyrme xây dựng mơ hình cho trường - meson, có chứa số hạng phi tuyến, cho, lý thuyết trường cổ điển tương ứng với có nghiệm ổn định (không bị phân tán theo thời gian) có kích thước khơng gian hữu hạn (khơng phải nghiệm điểm) Nghiệm gọi soliton Khi lượng tử hóa nghiệm biến gọi biến tập thể, ta hạt lượng tử khác nhau, đặc biệt chúng có đại lượng mang tính chất topology (tính hình học), coi spin Như vậy, lý thuyết meson (spin khơng), ta thu nghiệm baryon (có spin 1/2) Ý tưởng kỳ lạ, nhiều năm trôi qua, kể từ sau đề xuất, không cộng đồng vật lý quan tâm thích đáng Chỉ đến nhóm E.Witten dùng ý tưởng Skyrme tính tốn đặc trưng nucleon, kết phù hợp với thực nghiệm, ý tưởng skyrmion người để ý [7] Tuy nhiên, tính tốn sau nhóm Witten, có tính đến đóng góp K - meson, lại cho kết ngày xa với số liệu thực nghiệm Cũng thời gian đó, nhóm Việt - Tuyền đề xuất mơ hình, Lagrangian bất biến quy luật biến đổi, gọi phép biến đổi phi tuyến Mơ hình có chứa số hạng phi tuyến có nghiệm soliton Nếu coi nghiệm sau lượng tử hóa nó, ta thu hạt có spin, mà sau đồng với nucleon Mơ hình Skyrmion dẫn đến kết phù hợp với số liệu thực nghiệm giống mô hình - phi tuyến Hơn nữa, khác với mơ hình - phi tuyến, mơ hình bất biến phi tuyến cho kết tốt kể đến đóng góp K - meson Sau khơng lâu, xuất phát từ hai mơ hình nói trên, nhóm H.Y.Cheung, F.Gursey đề xuất mơ hình Skyrme tổng quát, có chứa số tự nhiên n, cho n = 1, ta mô hình - phi tuyến, n = 2, ta mơ hình Việt - Tuyền n = 3, mơ hình cho kết hồn tồn phù hợp với số liệu thực nghiệm Tuy nhiên, sau xem xét tỷ mỉ hơn, họ chứng tỏ rằng, với n = thích hợp [13] Mục tiêu luận văn bao gồm công việc sau đây: - Tính tốn đặc trưng tĩnh nucleon mơ hình skyrmion bất biến phi tuyến với số topo bán nguyên phương pháp số biến tổ hợp - Nêu số khả mở rộng mơ hình tính đến siêu đối xứng Luận văn ngồi phần mở đầu kết luận phần chia làm ba chương - Chương 1: Giới thiệu mơ hình - phi tuyến phương pháp lượng tử hóa theo biến tập thể - Chương 2: Trình bày mơ hình bất biến phi tuyến, khả giải phương trình số cho hàm góc chiral cơng thức tính số cho đặc trưng hạt - Chương 3: Trình bày mơ hình bất biến phi tuyến số topo bán ngun Khi tính tốn, chúng tơi dùng phương pháp bắn thử Runge-Kutta Chương trình tính góc chiral, đồ thị hàm dạng skyrmion đặc trưng tĩnh nucleon cho phần cuối luận văn CHƯƠNG SKYRMION TRONG MƠ HÌNH 1.1 Lý thuyết PHI TUYẾN phi tuyến (Skyrme) Chương giới thiệu ngắn gọn mơ hình Skyrme, phân biệt mơ hình tuyến tính phi tuyến tính Ví dụ đơn giản mơ hình tuyến tính phi tuyến Mơ hình Skyrme xuất tự nhiên thông qua việc đưa vào số hạng bậc bốn hàm trường vào Lagrangian mơ hình phi tuyến Số hạng cho phép tồn soliton ổn định (skyrmion) khơng gian chiều, vậy, gọi số hạng ổn định Tổng quan đầy đủ xem [9] Về mặt tốn học, hạt lập thành đa tuyến biểu diễn tuyến tính thuộc nhóm đối xứng Ví dụ, quark tạo thành đa tuyến thực biểu diễn nhóm SU(3) Như ban đầu Gell - Mann Neuman đề xướng, sau mở rộng thành nhóm SU(4), SU(5) SU(6) Các đa tuyến vector không gian có tích vơ hướng từ tích tensor đa tuyến này, ta có đa tuyến hadron - hạt tham gia tương tác mạnh Để mô tả tương tác quark ta có trường gluon Aμα Các đại lượng biến đổi vector bốn chiều tác động nhóm Lorent, bát tuyến tác dụng nhóm đối xứng chuẩn SU(3), đơn tuyến tác dụng nhóm hương SU(6) Khi Lagrangian Lagrangian Yang - Mills với dạng tổng quát sau: L=- ε F μν μνα F Trong g số tương tác, M ma trận khối lượng bất biến tác dụng nhóm mầu: Aμ = Aμα λα λα ma trận Gell - Mann SU(3) Fμνα = μ Aμ α - α ν Aμ + g.f αβγ Aβμ Aγν f αβγ số cấu trúc nhóm SU(3) QCD áp dụng cho vùng lượng cỡ GeV tốt, nhiên lượng giảm xuống thấp hơn, QCD gặp khó khăn phải mơ tả tính chất động học quark gluon Do đó, cản trở việc xây dựng lý thuyết hiệu dụng cho hadron Khó khăn số tương tác mạnh gα 1quá lớn (so với tương tác điện từ với số tinh tế α = e2 / 4π 1/137 , tương tác yếu với số Fermi Gm2p 6.10-39 , tương tác hấp dẫn với số hấp dẫn GFm2p 10-5 ) [3] Việc thiếu tham số nhỏ để qua ta khai triển số hạng tương tác hadron theo lũy thừa tương tác, dẫn đến việc tìm mơ hình hiệu dụng QCD thang lượng thấp Xuất từ khó khăn vậy, T.H.R.Skyrme đưa ý tưởng xét QCD lượng thấp cần lý thuyết hiệu dụng meson, đặc biệt π - meson từ lý thuyết ta thu baryon tương tác chúng Như lượng thấp tảng giới vật chất lại boson (hạt có spin ngun) khơng phải meson (hạt có spin bán nguyên) Nhưng hướng thống ý tưởng có ích xây dựng mơ hình hạt có kích thước Mà lý thuyết QCD xét hạt hạt điểm, rõ ràng quan điểm ý tưởng thực tế Bên cạnh ý tưởng coi baryon kết việc lượng tử hóa quanh soliton Mặt khác soliton lại nghiệm kỳ dị lý thuyết trường meson có phân bố khơng gian hữu hạn Như vậy, soliton tương ứng với hạt có kích thước không gian baryon kết “mặc áo” khác soliton “trần” hạt có kích thước Để khắc phục khó khăn đó, vào năm 1974, T’Hoof đề ý tưởng lấy 1/N C nghịch đảo số mầu lý thuyết làm tham số Và phân loại QCD theo tham số với hy vọng lý thuyết đơn giản N C đủ lớn Sau người ta chứng tỏ giới hạn NC có tồn tại, QCD trở thành lý thuyết hữu dụng π - meson Vào năm 1979, E.Witten cộng chứng minh rằng, NC , khối lượng baryon xác định thông qua tham số cỡ 1/N C, , NC khơng có mặt phương trình xác định kích thước hình dáng baryon biên độ tán xạ baryon - baryon baryon - meson Năm 1961 T.H.R.Skyrme giả thiết mơ hình mới, theo hạt baryon thu từ lý thuyết meson [27] Sau hai thập kỷ, ý tưởng bị lãng quên Mãi đến năm 1980 xem mơ hình lý thuyết hiệu dụng QCD Khi mơ hình cung cấp cầu nối QCD tranh quen thuộc tương tác baryon dựa trao đổi meson Mơ hình Skyrme đưa hai giả thuyết: Một là: Ở lượng thấp ta cần lý thuyết hiệu dụng meson, từ lý thuyết ta thu baryon tương tác chúng Theo lý thuyết vùng lượng thấp, tảng giới vật chất boson hữu dụng ta xây dựng lý thuyết cho hạt có kích thước QCD coi chúng hạt điểm Từ kết R.Rajaraman E.Witten gợi ý baryon xem kết sau lượng tử hóa quanh nghiệm soliton lý thuyết meson hiệu dụng [9] Do đó, ta khơng cần quan tâm đến cấu trúc quark chúng Mặt khác, nghiệm soliton lại nghiệm kỳ dị lý thuyết trường meson có phân bố khơng gian hữu hạn soliton ‘mặc áo’ kiểu khác nhau, cho ta baryon khác Do đó, baryon xây dựng mơ hình hạt có kích thước Để có kết trên, Skyrme từ Lagranggian π - meson: L= μ.π 10 m =0,48 ; R = 1,2 F'(1.2) = -4,2485 0,5 -1 F(r) m=0,48 ; R = 3,5 3,0 F'(3,5) = -0, 926097988 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 r 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 Hình Hàm dạng skyrmion loại II với m=0,48 51 F(r ) m= F'(2, 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 52 Hàm dạng skyrmion với m = 0,18 Hàm dạng phóng đại gần giá trị r = r 2.x10 -9 4.x10 -9 6.x10 -9 8.x10 -9 1.x10 -8 Hình Hàm dạng skyrmion loại II với m = 0,18 53 F(r) 0,5 Hình Đồ thị hàm dạng phương trình (3.9) gần với skyrmion 54 Do đó, điều ta nhìn thấy, skyrmion loại II với m = m ≠ tồn vật chất hạt nhân với tất mật độ Số hạng khối lượng pion bị co lại với lượng nhỏ Hàm dạng F(r) với m=0,18 dường cho nghiệm B=1 Thực tế, nghiệm B=3/2 hình Giống trường hợp skyrmion loại I, quỹ đạo kín chứng minh tồn skyrmion thật có số baryon B = hình Kết số giải thích thuật tốn bắn Runge-Kutta không cho nghiệm hội tụ yêu cầu đến xác cao Bởi vậy, kết số cho dạng nghiệm loại II F(R) = đến giá trị π/2, π, 3π/2 trước cho điều kiện F(R)=Nπ Chúng ta kết luận skyrmion loại II tồn tất giá trị F(R)= 0, π/2, π, 3π/2 phương trình 3.41 3.42 Skyrmion loại II nucleon với việc coi mật độ vật chất hạt nhân giống notron Chúng tơi chọn giá trị m=0,273, dịng topo N=1 giá trị khác R để tính đặc trưng tĩnh skyrmion loại II 55 R N/A ∞ 10 3.5 2.7 1.7 1.2 Bảng Đặc trưng tĩnh skyrmion với m=0,273 56 KẾT LUẬN Luận văn cho ta thấy hệ nghiệm ổn định dịng topo thu mơ hình Skyrme phương pháp số biến tổ hợp Sau có giá trị cụ thể ta có kết luận sau: 1- Các skyrmion truyền thống triệt tiêu vô cùng, skyrmion bị giới hạn mặt cầu bán kính R xác định 2- Sử dụng mơ hình Skyrmion thu biểu thức đặc trưng tĩnh nucleon khối lượng, bán kính iso vơ hướng bán kính từ iso vơ hướng, số liên kết trục pion-nucleon-delta pion-nucleon 3- Tính số, vẽ đồ thị hàm dạng cho kết sai khác 10% so với thực nghiệm 4- Khẳng định vai trò quan trọng topo trình tìm hiểu giới vật chất 5- Một số lý thuyết vật lý đưa kết tương tự Sử dụng skyrmion mơ hình baryon cho kết tốt số liệu thực nghiệm, phải sử dụng mơ hình Skyrme chuẩn với khối lượng cổ điển nhỏ Bên cạnh đó, số hạng thêm vào mơ hình phải số hạng móng cho Lagrangian Thực tế, tất số hạng lý thuyết meson hiệu dụng QCD không biết, số hạng đầu giữ lại Mơ hình Skyrme chuẩn mơ hình tốt 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO A Acus (1998), “Baryon as solitons in quantum SU(2) Skyrme model, Doctoral dissertation”, Arxiv Hep-ph/9901240 A d’Adda, M Luscher and P di Vecchia (1978) , Nucl Phys, B146, pp 63 A d’Adda, M Luscher and P di Vecchia (1979) , Nucl Phys, B152 B Zumino (1979), Phys Lett, 87B, pp 203 C Neves and C.Wotzasek (1998), “Wess-Zumino terms for the deformed Skyrme model”, Arxiv Hep-th/ 0005071 E Cremmer and J Scherk (1978), Phys Lett, 74B, pp 341; E Witten (1979), Nucl Phys, B149, pp 285 E Witten (1983), “Global aspects of current algebra”, Nucl Phys, B223, pp 422 E Witten (1989), “Current algebra, baryon, and quark confinement”, Nucl Phys, B223, pp 433 10 G Adkins, C.R Nappi, and E.Witten (1983), Nucl Phys, B228, pp 522 11 G H Derrick (1964), J Math Phys, 5, pp 1252 12 G 't Hooft (1974), Nucl Phys, B72, pp 461 13 H Cheung and F Gursey (1990), “Composite skyrme model”, Phys Lett, A21, pp 1685-1691 14 J Ellis and M Karline (1996), “The srange spin of the nucleon”, Arxiv Hep- ph/9601280 15 J.Isham (1977), J.Phys.A10, pp.1397 16 L Alvarez-Gaume and D.Z Freedman (1983), Comm Math Phys, 91, pp 87 17 Lewis, H.Ryder (1998), Quantum field theory, Cambridge 18 M.Volkov, V Pervuskin (1978), Moscow 58 19 N.A Viet and P.T Tuyen, J Phys G (July 1989), Nucl Phys, 15, pp 937- 942 20 N.A Viet and P.T Tuyen (1989), KFKI-preprint, 05A, 06A, 07A 21 Nguyen Duy Khanh and Nguyen Ai Viet (2013), “Skyrmions in the Skyrme model revisited”, Iti preprint in computational sciences 22 P T Tuyen and H V Vinh (2008), “The superkineticand interacting terms of Chiralsuperfields”, Physics Gen-th/0803.0789 23 R Rajaraman (1982), “Soliton and Instantons”, North-Holland Personal Livarary, Amsterdam 24 S Coleman, J Wess, B Zumino (1969), Phys Rev, 177, pp 2239 -2247 25 Ta-Pei Cheng and Ling-Fong Li, “Gauge thery of elementary particle physics”, Clarendon Press Oxford 26 T Gisiger and M.B Paranjape, “Recent mathematical developments en the Skyrme model”, Arxiv, hep-th/981248 27 T.H.R Skyrme (1962), Nucl Phys, 31, pp 556 59 PHỤ LỤC A Các công thức để tính 2.10 : r F ' r x F i (i ) ( ) F i (i ( k ) k ) FF k r ( )2 k F2F'2 ( i k xi F2 (r e r4 (i k ) [(i k )] [ (i k )] B Các cơng thức để tính 2.54 : 60 Do bất biến với phép quay góc chiral A nên : 2 00000 D0 05 ikl D0 (Dk sin 2F 2F C Các công thức để tính 2.58 2.59 : rarbd r a D Các cơng thức tính bổ soliton quay : i D0 i D0 D D0 Dk Dl ) Di Di F 61 62 ... trị, hình cầu S phủ lên lần Số lần phủ gọi số topological ánh xạ U Tuy nhiên, số topo lại số lớp đồng luân nhóm đồng luân (π3 (S3 )) Mà π3 (S3 ) lại đẳng cấu với nhóm số nguyên Suy số topological... đây: - Tính tốn đặc trưng tĩnh nucleon mơ hình skyrmion bất biến phi tuyến với số topo bán nguyên phương pháp số biến tổ hợp - Nêu số khả mở rộng mơ hình tính đến siêu đối xứng Luận văn phần... ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thị Hiền SỐ TOPO BÁN NGUN TRONG MƠ HÌNH SKYRMION Chun ngành: Vật lý lý thuyết vật lý toán Mã số: 60.44.01.03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HƯỚNG DẪN KHOA