Thặng dư và thặng dư bình phương

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN  MAI THỊ NGỌC THẶNG DƯ VÀ THẶNG DƯ BÌNH PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN  MAI THỊ NGỌC THẶNG DƯ VÀ THẶNG DƯ BÌNH PHƯƠNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học : GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Hà Nội - Năm 2016 i Möc löc M— U Mºt sŁ ki‚n thøc cì b£n 1.1 Th°ng d÷ 1.1.1 1.1.2 1.2 H» th°ng d÷ 1.2.1 1.2.2 1.3 CĂc nh lỵ cỡ bÊn vã thng d÷ 1.3.1 1.3.2 1.4 Th°ng d÷ b…nh ph÷ìng 1.4.1 1.4.2 1.4.3 1.4.4 1.4.5 Ph÷ìng tr…nh th°ng d÷ 2.1 Ph÷ìng tr…nh th°ng d÷ mºt 'n 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.2 Phữỡng trnh bc nhĐt nhiãu 2.2.1 2.2.2 2.3 Ph÷ìng tr…nh Diophant phi tu 2.3.1 2.3.2 Mt s dng toĂn liản quan n thng v thng bnh phữỡng 3.1 Mt s dng toĂn liản quan ‚n 3.2 Mºt sŁ d⁄ng to¡n cıa th°ng d÷ 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 Mºt sŁ d⁄ng to¡n v• thng t cĂc ã thi Olympic 4.1 4.2 4.3 K‚t lu“n T i li»u tham kh£o Sß dưng h» th°ng d÷ ƒy ı tro B i to¡n t‰nh tŒng v chøng Mºt sŁ b i to¡n li¶n quan sŁ hồ 4.3.1 4.3.2 4.3.3 M u Lỵ chồn ãti Lỵ thuyt thng - lỵ thuyt c biằt quan trồng s hồc v  ữổc nhiãu nh To¡n håc nghi¶n cøu, v“n dưng vi»c gi£i nhi•u b i to¡n hay, khâ v câ øng dưng thüc t‚ Trong c¡c k… thi Olympic To¡n håc ð Viằt Nam v cĂc nữợc trản th giợi th lỵ thuyt thng l phn ữổc quan tƠm Ăng k, v… th‚ vi»c câ nhœng hi”u bi‚t ban ƒu v• thng s giúp ta giÊi nhiãu b i toĂn khâ sŁ håc mºt c¡ch nhµ nh ng, ng›n gồn v àp Tuy nhiản, nh trữớng ph thổng th thới lữổng giÊng dy cho phn lỵ thuyt thng chữa nhiãu nản hồc sinh thữớng thĐy phn kin thức n y rĐt khõ, vữổt hiu bit ca c¡c em V… v“y ” gióp b£n th¥n câ nhœng hiu bit sƠu sc hỡn vã lỵ thuyt thng dữ, phửc vử tt hỡn cho cổng tĂc bỗi dữùng hồc sinh giọi, tổi chồn ã t i "Thng v thng b nh phữỡng" nghiản cứu Mửc tiảu nghiản cứu Hằ thng lỵ thuyt, tng hổp mt s dng toĂn quan trồng vã thng v thng bnh phữỡng Nhiằm vử nghiản cứu Chữỡng hằ thng li lỵ thuyt vã thng dữ, thng bnh phữỡng chữỡng ho n thiằn vã phữỡng trnh thng v cĂch giÊi, cặn chữỡng trung tr…nh b y mºt v i øng döng cıa th°ng d÷ v th°ng d÷ b…nh ph÷ìng CuŁi cịng, ch÷ìng tŒng hỉp mºt sŁ b i to¡n th°ng d÷, th°ng d÷ b…nh ph÷ìng c¡c k… thi Olympic To¡n cĂc nữợc 4.KhĂch th v i tữổng nghiản cứu i tữổng nhiản cứu l lỵ thuyt thng dữ, thng b…nh ph÷ìng v øng dưng cıa chóng Ph⁄m vi nghiản cứu Nghiản cứu lỵ thuyt v ứng dửng ca th°ng d÷, th°ng d÷ b…nh ph÷ìng Ph÷ìng phĂp nghiản cứu thỹc hiằn lun vôn tĂc giÊ chı y‚u thu th“p v nghi¶n cøu c¡c t i liằu t nhiãu nguỗn khĂc nhau, rỗi phƠn tch lỵ thuyt vã thng dữ, thng b nh phữỡng, t â x¥y düng mºt sŁ øng dưng cıa nâ v bi¶n t“p theo h» thŁng tł c¡ch hi”u cıa b£n thƠn GiÊ thuyt khoa hồc Nu lun vôn ữổc thüc hi»n th nh cæng, nâ s‡ l mºt t i li»u tham kh£o bŒ ‰ch cho gi¡o vi¶n v hồc sinh mun tm hiu vã thng dữ, thng bnh phữỡng Trong õ phn lỵ thuyt ữổc chứng minh ch°t ch‡, c¡c b i to¡n øng dưng ÷ỉc h» thŁng theo d⁄ng v t÷ìng Łi ƒy ı v c“p nh“t theo møc º tł d„ ‚n khâ âng gõp mợi ca ãti Lun vôn  ch ữổc mt s dng toĂn ứng dửng lỵ thuyt thng dữ, thng bnh phữỡng, t õ ã xuĐt ữổc mt sŁ b i t“p mang t‰nh c“p nh“t C§u trúc ca lun vôn CĐu trúc ca lun vôn gỗm ba phƒn: phƒn mð ƒu, phƒn nºi dung v phƒn kt lun Ni dung lun vôn gỗm bn chữỡng: - Ch÷ìng Mºt sŁ ki‚n thøc cì b£n - Ch÷ìng Ph÷ìng tr…nh th°ng d÷ Ch÷ìng Mºt sŁ d⁄ng toĂn liản quan n thng v thng bnh phữỡng - Chữỡng Mt s dng toĂn vã thng t cĂc ã thi Olympic ho n th nh lun vôn, em  nhn ữổc sỹ giúp ù cıa thƒy cæ, b⁄n b–, °c bi»t l sü ch¿ bÊo hữợng dÔn tn tnh ca GS.TSKH Nguyn Vôn Mu, cịng c¡c thƒy cỉ Seminar bº mỉn To¡n cıa trữớng i hồc Khoa hồc Tỹ nhiản - i hồc QuŁc gia H Nºi Em xin b y tä lỈng bit ỡn chƠn th nh tợi GS.TSKH Nguyn Vôn Mu v c¡c thƒy cỉ gi¡o khoa To¡n - Cì - Tin hồc, trữớng i hồc Khoa hồc Tỹ nhiản - i hồc Quc gia H Ni  hữợng dÔn em ho n th nh khâa håc Cao håc 2014-2016 Do thới gian thỹc hiằn lun vôn khổng nhiãu, kin thức cặn hn ch nản l m lun vôn khæng tr¡nh khäi nhœng h⁄n ch‚ v sai sât Em mong nhn ữổc sỹ gõp ỵ v nhng ỵ kin phÊn biằn ca quỵ thy cổ v bn ồc Em xin chƠn th nh cÊm ỡn! Chữỡng Mt sŁ ki‚n thøc cì b£n Th°ng d÷ l mºt kh¡i niằm cỡ bÊn v quan trồng ca lỵ thuyt s Kh¡i ni»m th°ng d÷ Kaclì Fri ìrich Gauss (1777-1855) tr…nh b y t¡c ph'm "Disquistiones Arthmeticcae" n«m 1801 Trong ch÷ìng n y tr…nh b y l⁄i mºt sŁ kin thức quan trồng vã thng v thng b…nh ph÷ìng 1.1 Th°ng d÷ 1.1.1 Th°ng d÷ ành nghắa 1.1 Cho m l s nguyản dữỡng, a; l c¡c sŁ nguy¶n cho (a b) m, b ta nõi a v b ỗng hay thng modulo m, v vi‚t a = b (mod m) V‰ dư 1.1 D„ th§y 12 = 43 (mod 5) v 12 = 43 (mod 11), nh÷ng 12 khỉng cịng th°ng vợi 43 (mod 7); Mỉi s nguyản chfin thng vợi modulo 2, v mỉi s nguyản là thng vợi modulo 2; Nu x khổng chia h‚t cho 3, th… x = (mod 3) nh lỵ 1.1 Php thng a = b (mod m) câ ngh¾a v ch¿ hi»u a b chia h‚t cho m Nâi c¡ch kh¡c, c¡c sŁ a v b câ cịng sŁ d÷ chia cho m, n‚u v ch¿ n‚u hi»u a b chia h‚t cho m Chøng minh Gi£ sß a = b (mod m) Khi â c¡c sŁ a v b câ còng sŁ d÷ r chia cho m Bði v“y a = mq + r; b = mq0 + r, Trł v‚ vỵi v‚ hai â q; q0 l c¡c sŁ nguyản n o õ flng thức trản ta ữổc a b = mq Do â hi»u a b chia h‚t cho m mq0 = m(q q0) Ng÷ỉc l⁄i, gi£ sß hi»u a b chia h‚t cho m Khi õ tỗn ti s nguyản k, a b = k:m Chia (câ d÷) sŁ b cho m ta ÷ỉc b = q:m + r, â r < m Cng v vợi v cĂc flng thức trản, ta ữổc a = k:m + q:m + r = (k + q):m + r ỗng thới r vÔn thoÊ mÂn bĐt flng thøc k†p r < m, ngh¾a l a cõ s vợi b chia cho m, tức a = b (mod m) T nh lỵ 1.1 ta rót ÷ỉc mºt sŁ nh“n x†t sau: Nh“n x†t 1.1 C¡c ph†p th°ng d÷ câ th” cºng v‚ vợi v, nghắa l , nu = bi (mod m), th… a1 + a2 + + an = b1 + b2 + + bn (mod m): Nâi c¡ch kh¡c, n‚u v bi câ cịng sŁ d÷ chia cho m, th… c¡c tŒng a1 +a2 + +an v b1 + b2 + + bn cơng câ cịng sŁ d÷ chia cho m Chøng minh V… = bi (mod m) (0 bi(0 nh lỵ 1.1, cĂc sŁ n), n¶n theo i n) chia h‚t cho m i Bi vy tỗn ti cĂc s nguyản ki (a1 + a2 + = (a1 = V“y (a1 + a2 + + an) b1) + (a2 ” (b1 + b2 + b2) + â + bn) + (am bm) k1m + k2m + + knm = (k1 + k2 + + kn)m + bn) chia h‚t cho m, n¶n, theo + an) (b1 + b2 + a1 + a2 + bi = ki:m Khi + + + an = b1 + b2 + + bi + nh lỵ 1.1, + bn (mod m): Nh“n x†t 1.2 C¡c ph†p thng cõ th tr v vợi v, nghắa l tł a = b (mod m) v c = d (mod m) suy a c = b d (mod m) Chøng minh V… a = b (mod m) v c = d (mod m), nản theo nh lỵ 1.1, c¡c sŁ a b; c d chia h‚t cho m Do õ tỗn ti cĂc s nguyản Tr v vợi v‚ hai flng thøc (a c) Bði v“y (a c) k; l, ” a tr¶n ta (b d) = (a b) (b d) chia h‚t cho m Do b = k:m; c d = l:m ÷ỉc (c d) = km lm = (k l)m: õ, theo nh lỵ 1.1, (ac) = (b d) (mod m): Nh“n x†t 1.3 C¡c php thng cõ th nhƠn v vợi v, nghắa l , n‚u a1 = b1 (mod m); a2 = b2 (mod m); : : : ; = bi (mod m); : : : ; an = bn (mod m), th… a1a2 : : : : : : an = b1b2 : : : bi : : : bn(mod m) Chứng minh nh lỵ ữổc chứng minh bng quy n⁄p theo n Cì sð quy n⁄p: Vỵi n = ta câ a1 = b1 (mod m); a2 = b2 (mod m) nản theo nh lỵ 1.1, cĂc hi»u a1 b1; a2 b2 chia h‚t cho m Khi õ tỗn ti cĂc s nguyản k1; k2 a1 b1 = k1m; a2 b2 = k2m: Do â bb a1a2 b1b2 = a1a2 a1b2 + a1b2 = (a1a2 a1b2) + b1b2) (a1b2 = a1(a2 b1) b2) + b2(a1 = a1k2m + b2k1m = (a1k2 + b2k1)m: Bði v“y a1a2 b1b2 chia h‚t cho m n¶n, theo ành lỵ 1.1, a1a2 = b1b2 (mod m) Quy np, giÊ sò khflng nh  úng vợi n = t; t > 2, nghắa l t t php ỗng tũy þ a1 = b1 (mod m); a2 = b2 (mod m); : : : ; = bi (mod m); : : : ; at = bt (mod m) ¢ suy ÷ỉc a1a2 : : : : : : at = b1b2bibt (mod m) X†t t + php ỗng bĐt ký, a1 = b1 (mod m); a2 = b2 (mod m); : : : ; at = bt (mod m); at+1 = bt+1 (mod m) Khi õ, theo giÊ thit quy np t t php ỗng u  cõ a1a2 : : : at = b1b2 : : : bt (mod m): Kỵ hiằu, At = a1a2 : : : at, Bt = b1b2 : : : bt Khi õ, theo nh lỵ 1.1, hiằu At Bt chia ht cho m, nản tỗn ti s nguy¶n l, ” At Bt = l:m: Do at+1 = bt+1 (mod m) nản theo nh lỵ 1.1 at+1 bt+1 chia ht cho m Bi vy tỗn ti s nguyản k ” at+1 bt+1 = k:m: X†t hi»u Aa t t+1 B :b t t+1 = Aa t t+1 = At(at+1 Ab t t+1 + Ab t t+1 bt+1) + bt+1(At = At:k:m + bt+1:l:m = (At:k + bt+1:l)m: Bb t t+1 Bt) 86 3 3 = x 1+x 2+x 3+x vỵi x1 = x2 = 10:2002 V“y k = 4: 667 ; x3 = x4 = 2002 667 : Chøng minh k = l sŁ nhọ nhĐt thọa mÂn b i toĂn, hay ta chứng minh 2002 2002 khổng th vit ữổc dữợi dng tng cıa ba lơy thła ” h⁄n ch‚ sŁ l÷ỉng lơy thła modulo n, ta sß dưng ’(n) chia h‚t cho 3: X†t n = câ ’(7) = 6, nh÷ng thảm ba lụy tha modulo th cn quĂ nhiãu lợp thng dữ, nản ta xt n = cõ ’(9) = 6: 3 V… 2002 = (mod 9) v 2002 = = (mod 9) 2002 2002 M°t kh¡c, x = 0; 667 = (2002 ) (mod 9) vỵi x Z: Do â :2002 = (mod 9): 3 3 â ta th§y x + x + x 6= (mod 9): B i to¡n 4.14 T…m tĐt cÊ cĂc s nguyản dữỡng n cho n + l sŁ ch‰nh ph÷ìng? Líi gi£i 2 B ã 4.1 Nu s nguyản t p cõ dng 4k + l ữợc ca x + y th pjx; pjy Chøng minh Gi£ sß tr¡i l⁄i p 6x;j p 6yj) (x; p) = (y; p) = Do õ theo nh lỵ Fermat ta cõ x p Trong p (mod p); hay x + Nh“n x†t 4.3 T b ã trản ta thĐy vợi n Z mồi ữợc nguyản t là ca n + •u câ i d⁄ng 4i+ 1, v tł â mồi ữợc dữỡng ca n + ãu cõ dng (4k + 1); i = 0; 1: Tr li b i toĂn, giÊ sò tỗn ti m N cho n + = m : 2 7 7 Khi â ta câ m + 11 = n + = (n + 2)(n 2n + n + ); suy (n + 2)jm + 11 2 Rª r ng m + 11 = 1; (mod 4); suy n + = 1; (mod 4) ) n = (mod 4): 2 Tł â ta th§y r‹ng m + 11 phÊi cõ ữợc nguyản t p cõ dng 4k + 3: Tł â11 = N‚u p 6= 11 th… theo nh lỵ Fermat ta cõ 11 õ 11 p =( p =m p = (mod p); nh÷ng 87 Do v“y p = 11 ) m = 11k (k N) v 11j(n + 2): Hìn nœa ta câ n 5 2n + 6 n + = 7:2 = (mod 11); 2 suy 11 j(n + 2) ) n = 11h vợi h l ữợc dữỡng ca k + 1, theo b ã 4.1 cĂc ữợc nguyản t là ca k + ch câ d⁄ng 4i + 1, tøc l h ch¿ câ d⁄ng j â n = 11 h = 0; (mod 4); mƠu thuÔn v n = (mod 4): Do õ khổng tỗn ti n thọa mÂn • b i (4i + 1); j = 0; 1: Khi B i toĂn 4.15 Tm ữợc nguyản t nhä nh§t cıa 12 215 + Líi gi£i Gåi p l sŁ nguy¶n tŁ cƒn t…m Ta câ 12 = (mod p) ) (mod p).(*) °t h = ordp(12) ) hj2 16 )h=2 k 215 N‚u k 15 ) 12 16 16 V“y h = Theo nh lỵ Fermat nhọ p 16 = (mod p) ) j(p + 1: D„ d ng chøng minh ÷ỉc tŁ p = 16 16 + l sŁ nguy¶n tŁ Ta chøng minh sŁ nguy¶n + l sŁ cƒn t…m, hay chøng minh pj12 215 + 15 16 15 Ta câ 122 + = 22 :32 + = 2p 1:3 M°t kh¡c theo lu“t t÷ìng hØ Gauss ta câ m p M°t kh¡c + = (mod p) V“y p = 16 cƒn t…m B i to¡n 4.16 [IMO 2005] Gi£ sß a; b l hai s nguyản dữỡng cho n n + (a + n)j(b + n) 8n Z : Chøng minh r‹ng a = b: Líi gi£i Gi£ sß a 6= b, â tł gi£ thi‚t d„ th§y b > a: Chồn p l s nguyản t lợn hỡn b v n y th… n = (mod p 1) v n = a (mod p): Khi â theo ành lỵ Fermat ta cõ n r = r:(r Mt khĂc ta câ p a+1 ) =r +1l sŁ n a +n=a a=0 n (mod p) ) pj(a + n); 88 n n n m (a + n)j(b + n) ) pj(b + n): Hìn nœa n b +n=b a = (mod p) ) pj(ba); mƠu thuÔn v p > b: Do â a = b thäa m¢n b i to¡n B i to¡n 4.17 [Bulgarian 1995] T…m t§t c£ c¡c sŁ nguy¶n tŁ p; q cho pq l p p q q ữợc ca (5 )(5 ): Líi gi£i Khỉng m§t t‰nh tŒng qu¡t gi£ sò p q m p q: Ta thĐy nu s nguyản t k l GiÊ sò p > v pj(5 q q q q ) hay = (mod p): Theo nh lỵ Fermat th p p =2 M q p n¶n (p Suy p = 3: N‚u q suy q l V“y t§t c£ c¡c c°p (p; q) cƒn t…m l B i to¡n 4.18 [IMO 2003] Cho p l mt s nguyản t Chứng minh rng tỗn ti mt s nguyản t q cho vợi mồi s nguyản tŁ n, sŁ n Líi gi£i Ta câ pp suy cõ t nhĐt mt ữợc nguyản t ca p Gåi sŁ nguy¶n tŁ â l q v ta s‡ ch¿ q l sŁ cƒn t…m p Tht vy, giÊ sò tỗn ti s nguyản t n cho n = p (mod q); â theo c¡ch chån sŁ q ta câ q M°t kh¡c, theo nh lỵ Fermat ta cõ n = (mod q) v… q l Hìn nœa, p 6(qj cịng vợi nh nghắa ca q ta cõ p = (mod q) vổ lỵ v p l iãu phÊi chứng minh B i to¡n 4.19 [AIME 2001] Câ bao nhi¶u s nguyản dữỡng l j vit ữổc dữợi dng 10 j Líi gi£i Ta câ 10 i cịng vỵi 10 , â, cƒn ch¿ i; j cho 10 tŁ 7; 11; 13: j i D„ d ng kim tra ữổc ord1001(10) = 6; nản 10 (10 v ch¿ j i = 6n vỵi n l s nguyản dữỡng j i Suy ta cn m s s nguyản thọa mÂn j 0; n > 0: Tł â ta t…m ÷ỉc n = 1; 2; 3; : : : ; 15: Vỵi mØi n = 1; 2; 3; : : : ; 15 ta t‰nh ÷ỉc i; j b‹ng c¡ch 100 m¢n b i to¡n l B i to¡n 4.20 [Taiwanese 1999] T…m t§t c£ c¡c s nguyản dữỡng m; n cho (m; n) = v ’ (5 m m Líi gi£i Gåi Tł i•u ki»n b i to¡n suy Do (5 n m m Khi â: m +N‚u > ) 8j (5 l‰) +N‚u = ) k = v… n‚u k ) (p1 Khi â ta câ +N‚u = ta ÷ỉc 1).2 th… j(5 90 v n = 2(p1 1)(p2 1) : : : (pk 1): Kh£ n«ng N‚u n l· suy k = (ng÷ỉc l⁄i, v‚ tr¡i (4.2) chia ht cho vổ lỵ) Khi õ KhÊ n«ng N‚u n chfin, n ) (5 m l sŁ l· tł â ta câ N‚u pi = (mod 5) th… v‚ tr¡i (4.2) 6.5, v‚ ph£i (4.2) (væ l‰) Khi â x†t modullo cıa (4.1) v (4.2): m (4.1) , = = 4p1p2 : : : pk + = 4:( n (4.2) , = = 2(p1 1)(p2 1) : : : (pk (mod 4) hai iãu trản mƠu thuÔn vợi Vy khổng tỗn ti cĂc s nguyản d÷ìng m; n cho (m; n) = thäa m¢n ’ (5 m 1) = 4.3.3 n Mºt sŁ b i to¡n sŁ Fermat SŁ Fermat l mºt kh¡i ni»m to¡n håc, mang t¶n nh to¡n håc PhĂp Pierre de Fermat, ngữới u tiản ữa khĂi niằm n y Nõ l mt s nguyản dữỡng cõ d⁄ng Fn = 2n + 1: vỵi n l s nguyản khổng Ơm 2n Khi nghiản cứu cĂc s cõ dng +1, Fermat  tnh ữổc vợi n = 0; 1; 2; 3; th… sŁ câ dng trản l s nguyản t, t õ ữa dỹ oĂn cĂc s cõ dng nhữ trản ãu l sŁ nguy¶n tŁ Tł â c¡c sŁ câ d⁄ng thức nhữ trản ữổc gồi l s Fermat Tuy nhiản n nôm 1732, Euler  ph nh dỹ oĂn trản b‹ng c¡ch chøng minh F5 l hæp sŁ B‹ng c¡ch bi”u 641=5:2 +1=2 +5 91 28 Euler ¢ suy 5:2 = (mod 641), dÔn n :2 (mod 641) nản suy 32 4 = ( 1) = (mod 641) M°t kh¡c = = (mod 641) V“y F5 chia h‚t cho 641 Phƒn ti‚p theo nghiản cứu mt s v dử thĐy rng cõ th sò dửng nh lỵ tng Trung Hoa gi£i quy‚t c¡c b i to¡n li¶n quan sŁ Fermat n B i toĂn 4.21 Chứng minh rng tỗn ti s nguyản dữỡng k cho un = k + l hỉp sŁ vỵi måi n Líi gi£i X†t c¡c sŁ Fermat Fn = + Ta nhn thĐy cĂc s Fn ổi mt nguyản t cịng Th“t v“y, gi£ sß m > n v M 2m = (mod p) Suy = Ta  bit F5 cõ phƠn tch nguyản t l 6700417: Theo nh lỵ thng Trung hoa, tỗn ti s nguyản dữỡng k vợi k > max(F1; F2; F3; F4; p; q) cho ( k = (mod Fm); m = 1; 2; 3; k = (mod p) k = (mod q) Ta chøng minh k l n th… un = k + = Do â un l u N‚u m = â n l hæp sŁ N‚u m > ta câ n = c vỵi c l â V… un > k > q nản un l B i toĂn 4.22 Cho trữợc cĂc s nguyản dữỡng n; s Chứng minh rng tỗn ti n s nguyản dữỡng liản tip m mỉi s ãu cõ ữợc l lụy tha bc s ca mt s nguyản dữỡng lợn hỡn 92 Lới giÊi X†t d¢y sŁ Fermat Fn = 2n + 1(n = 1; 2; : : : ): Theo v‰ dö 4.21 ta câ (Fn; Fm) = 1; 8n 6= m: s s p dửng nh lỵ thng Trung Hoa cho n sŁ nguy¶n tŁ cịng F ; F ; : : : ; F s v n sŁ ri = i(i = 1; 2; : : : ; n) th tỗn ti s nguyản x cho hay V“y d¢y fx + 1; x + 2; : : : ; x + ng gỗm n s nguyản dữỡng liản tip m s hng thứ i s cõ ữợc l Fi B i to¡n ÷ỉc chøng minh B i to¡n 4.23 (IMO Shortlist 1998) X¡c ành t§t c£ s nguyản dữỡng n cho vợi n n y tỗn ti m Z n 2 1jm + 9: s Líi gi£i Gi£ sß n = :t(s; t N); t l N‚u t th… Ta câ t sŁ Tøc l t v p 6= v… Tł â suy Chøng tä 9l p n¶n 1jm + s Tł ¥y suy t = hay n = Ta chøng minh ¥y l b‹ng c¡ch ch¿ sŁ m ” Ta câ n n 2s 1=2 = (2 1)(2 + 1)(2 + 1)(2 22 + 1) : : : (2 2s + 1): 93 Tł â ” n M°t kh¡c c¡c sŁ Fermat câ t‰nh ch§t (2 2m + 1; 2n + 1) = 1; 8m 6= n: Theo nh lỵ thng Trung Hoa th tỗn ti nghiằm x0 thọa mÂn hằ phữỡng tr nh thng Tł â suy Suy vỵi m = 3x0, n 2 1j9(x + 1) = m + ¥y ch‰nh l gi¡ trà m cƒn t…m 94 Kt lun Lun vôn "Thng v thng bnh phữỡng "  giÊi quyt nhng vĐn ã sau Lu“n v«n tr…nh b y ƒy ı, ch‰nh xĂc lỵ thuyt thng dữ, thng bnh phữỡng vợi nhiãu v dử minh hồa Lun vôn  trung nghiản cứu tữỡng i y vã cĂc dng ph÷ìng tr…nh th°ng d÷ v ph÷ìng ph¡p gi£i cıa chóng Lun vôn  xƠy dỹng ữổc hằ thng cĂc dng toĂn liản quan thng dữ, thng bnh phữỡng Lu“n v«n t“p hỉp mºt sŁ b i thi Olympic ToĂn cĂc nữợc vã phn thng dữ, thng bnh phữỡng, cõ phƠn tch v ã xuĐt b i tữỡng tỹ Lun vôn giúp nƠng cao hiu bit ca bÊn thƠn vã thng dữ, thng bnh phữỡng, t õ bÊn thƠn cõ phữỡng phĂp nghiản cứu khoa hồc Lun vôn l nguỗn t i liằu tham kh£o cho gi¡o vi¶n v håc sinh 95 T i li»u tham kh£o [1] James J Tattersall Elementary number theory in nine chapters, Cambridge University Press 1999 [2] H Huy Kho¡i (2006), SŁ håc, NXBGD [3] Nguy„n Vơ L÷ìng CĂc b i giÊng vã S hồc [4] Nguyn Vôn M“u (2016), Hanoi Open Mathematical Competition [5] Nguy„n V«n M“u, Trƒn Nam Dơng, °ng Hịng Th›ng, °ng Huy Ru“n (2008), Mt s vĐn ã s hồc chồn lồc, NXB GiĂo döc [6] Nathanson M.B, Elementary methods in number theory, Springer, 1999 [7] ng Hũng Thng, Mt s lợp phữỡng trnh Diophant cì b£n [8] T⁄p ch‰ To¡n håc v tuŒi tr·, sŁ 469 th¡ng n«m 2016 [9] Titu Andreescu (2001), Diophant Equations, Birkhauser Boston [10] Titu Andreescu (2001), Mathematical Olympiad Challenges, Birkhauser Boston [11] Titu Andreescu, Bogdan Enescu (2004), Mathematical Olympiad Treasures, Birkhauser Boston [12] Titu Andreescu, Dorin Andrica, Zuming Feng (2007), 104 Number Theory Problems, Birkhauser Boston [13] Tuy”n t“p dü tuy”n OLYMPIC to¡n hoc QuŁc t‚ Tł nôm 1991-2013 CĂc t i liằu trản cĂc trang mng nh÷: https://vi.wikipedia.org/wiki/ ; http://diendantoanhoc.net/ ;http://123doc.org/; http://tailieu.vn/ [14] ... QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN  MAI THỊ NGỌC THẶNG DƯ VÀ THẶNG DƯ BÌNH PHƯƠNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người... thuyt c biằt quan trồng s hồc v  ữổc nhiãu nh To¡n håc nghi¶n cøu, v“n dưng vi»c gi£i nhi•u b i to¡n hay, khâ v câ øng dưng thüc t‚ Trong c¡c k… thi Olympic To¡n håc ð Viằt Nam v cĂc nữợc trản... 3.2.3 3.2.4 Mºt sŁ d⁄ng to¡n v• thng t cĂc ã thi Olympic 4.1 4.2 4.3 K‚t lu“n T i li»u tham kh£o Sß dưng h» th°ng d÷ ƒy ı tro B i to¡n t‰nh tŒng v chøng Mºt sŁ b i to¡n li¶n quan sŁ hồ 4.3.1 4.3.2