Nghiên cứu tổng hợp vật liệu phức hợp sắt polymaltose (iron polymaltose complex, IPC) từ các maltodextrin có DE khác nhau

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐẶNG THỊ TOAN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐẶNG THỊ TOAN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Giảng viên hướng dẫn PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH SANG Hà Nội – 2015 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các định lý hàm khả vi 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Định lý Fermat 1.1.3 Định lý Rolle 1.1.4 Định lý Lagrange 1.1.5 Định lý Cauchy 1.1.6 Công thức Taylor 1.2 Số phức, nghiệm liên hợp 1.2.1 Số phức 1.2.2 Nghiệm liên hợp 1.3 Hàm đơn điệu Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 1.3.1 Hàm đơn điệu 1.3.2 Giá trị lớn giá trị nhỏ nhât hàm số 1.3.3 Tính chất hàm đơn điệu CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP HÀM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 2.1.Phương pháp dùng khai triển Taylor 2.1.1 Phương trình bậc 2.1.2 Phương trình bậc 13 2.1.3 Bài tập giới thiệu 16 2.2 Phương pháp dùng tính đơn điệu hàm số 17 2.2.1 Ứng dụng giải phương trình 17 2.2.2 Ứng dụng vào hệ phương trình 23 2.2.3 Bài tập giới thiệu 29 2.3 Ứng dụng tính khả vi để giải phương trình, hệ phương trình 30 2.3.1 Dùng định lý Rolle để giải phương trình 30 2.3.2 Dùng định lý Lagrange để giải phương trình 34 2.3.3 Dùng định lý Cauchy để giải phương trình hệ phương trình 40 2.3.4 Bài tập giới thiệu 46 2.4 Phương pháp cực trị hàm số-Phương pháp đánh giá 47 2.4.1 Cơ sở phương pháp 47 2.4.2 Các ví dụ 49 4.3 Bài tập giới thiệu 57 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP HÀM GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH, BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH 59 3.1 Phương pháp hàm liên tục giải bất phương trình 59 3.1.1 Cơ sở phương pháp 59 3.1.2 Các ví dụ 59 3.1.3 Bài tập giới thiệu 62 3.2 Phương pháp cực trị hàm số - Phương pháp đánh giá để giải bất phương trình 63 3.2.1 Các ví dụ 63 3.2.2 Bài tập giới thiệu 67 3.3 Biện luận phương trình – Bất phương trình 67 3.3.1 Cơ sở phương pháp 67 3.3.2 Các ví dụ 68 3.3.3 Bài tập giới thiệu 75 3.4 Phương pháp hàm chứng minh bất đẳng thức 76 3.4.1 Các ví dụ 76 3.4.2 Bài tập giới thiệu 80 KẾT LUẬN 81 TÀI LIỆU THAM KHẢO 82 BẢNG CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT N Tập số tự nhiên N* Tập số tự nhiên khác Z Tập số nguyên Z+ Tập số nguyên dương Z- Tập số nguyên âm R Tập số thực R* Tập số thực khác R+ Tập số thực dương R- Tập số thực âm i Đơn vị ảo C Tập số phức TXĐ Tập xác định (a;b)={x  R:a 2) Tìm m để bất phương trình có nghiệm x [ , 1+ ] m ( x  x   1)  x (2  x)  ( Đáp số: m ≤ ) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:  x25x40   3 x  Tìm m để phương trình sau có nghiệm: m (  x   x  2)   x   x  1 x2 Chứng minh rằng:  m > phương trình : x  x   m( x  2) ln có nghiệm phân biệt Tìm m để bất phương trình sau nghiệm  x ≥ mx4 – 4x + m ≥ (Đáp số: m ≥ 27 ) 3.4 Phương pháp hàm chứng minh bất đẳng thức Việc chứng minh bất đẳng thức mặt giống việc tìm giá trị cực trị hàm Vì vậy, số tốn chứng minh bất đẳng thức dùng phương pháp hàm theo số bước:  Chọn biến số  Lập hàm số, tìm miền xác định  Đặt giải tốn 3.4.1 Các ví dụ Ví dụ 3.4.1.1: Cho a b số dương thỏa mãn:  2  2a  3b 1   log  Chứng minh: P= 3a+2b  35 76 Từ (*)  Thay b= Bài tốn đưa tìm giá trị lớn P để hệ (**) có nghiệm   2a      P2a   ' 1 40 P 24 P 0  0 P 35 35 Khi P  Vậy P = 3a+2b  35 ta có điều phải chứng minh Ví dụ 3.4.1.2: Cho a,b,c  0: a  b  c2  Chứng minh rằng: ab  bc  ca  , có Lời giải: Đặt t=a+b+c, suy ra: ab+bc+ca= t2  Xuất phát từ:  ab  bc  ca  t 3 2 2 a b c 3 Ta có: Bài tốn đưa tìm Xét 77 Có f '(t )  t  max f (t )  f (3)  [ 3;3] Ta có điều phải chứng minh Ví dụ 3.4.1.3: cho a,b,c>0 Chứng minh: P Xuất phát từ: A  B2  Lời giải: (A B)2 1 Ta có: a  b  c2   (a  b)  (c  1)  (a  b  c 1)2  (a  1)(b  1) (c  1)  ( abc )3 Đặt t=a+b+c+1>1, Khi đó: f (t )  t 78 P  max f (t )  [1;+] 1 , P  khia  b  c 1 4 Ta có điều phải chứng minh Ví dụ 3.4.1.4: Cho số dương x Chứng minh rằng: x x2  x  Đặt y0 x  x Phương trình Khi có nghiệm x  y0  y0 8y0 Vậy với số dương x thì: x  x2   Ví dụ 3.4.1.5: Cho  a  b  Chứng minh rằng: asina- bsinb>2(cosbcosa) Lời giải: f x   xsinx  2cosx với Xét  Có f ‘(x)=xcosx- sinx= (x-tanx)cosx0; tanx>x  với x (0; ) ) Vậy f(x) nghịch biến với x x (0;  ) Do đó, với  a  b   ta có: f(a)> f(b) Suy ra: asina+ 2cosa>bsinb+ 2cosb  asina- bsinb>2(cosb-cosa) Nhận xét: Đối với bất đẳng thức chứa nhiều biến số ta có thể: 79  Hoặc đặt phận làm ẩn phụ t, với điểu kiện (*) thích hợp xét hàm số f(t) thu miền (*)  Hoặc xét hàm số với đối số biến số có mặt miền biến thiên biến số  Hoặc xét hàm số phụ có tính chất sử dụng bất đẳng thức tổng quát đổi với hàm số 3.4.2 Bài tập giới thiệu Cho x,y,z>0: x+y+z  Chứng minh rằng:  1  xyz 27 xy yz zx (Hướng dẫn: Dùng bất đẳng thức Cauchy cho số Đặt t= xyz Chứng minh với x>0, ta ln có: x a ) x   sin x  x x ln(1x)x b) c )1 2ln x  x2 Chứng minh x > a > thì: a x  xa Chứng minh tam giác ABC ta ln có: 4(1-cosA)( 1-cosB)( 1-cosC)+7(cosA+cosB+cosC)  A B C 11 (Hướng dẫn: đặt t=sin sin sin , suy 0