Mô hình hóa sự phụ thuộc với các copula và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ DUNG MƠ HÌNH HĨA SỰ PHỤ THUỘC VỚI CÁC COPULA VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - NĂM 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ DUNG MƠ HÌNH HĨA SỰ PHỤ THUỘC VỚI CÁC COPULA VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số: 60 46 01 06 Người hướng dẫn khoa học: TS TRẦN TRỌNG NGUYÊN HÀ NỘI - NĂM 2014 Mưc lưc Mð ƒu Líi c£m ìn B£ng k‰ hi»u Ki‚n thøc chu'n bà 1.1 Copula 1.2 1.1.1 Giỵi thi 1.1.2 Mºt v i 1.1.3 C¡c bi¶ 1.1.4 C¡c co Sü phö thuºc 1.2.1 T÷ìng 1.2.2 Sü phư 1.2.3 Sü phị 1.2.4 H» sŁ 1.2.5 H» sŁ 1.2.6 Sü phư th Mỉ h…nh hâa sü phư thuºc vỵi c¡c copula v øng dưng 2.1 K thut xƠy dỹng cĂc copula nhiãu chiãu 2.2 2.1.1 Hå Farlie- 2.1.2 Hå Marsh C¡c Copula Elliptic 2.3 2.2.1 Copula G 2.2.2 t- copula C¡c Copula Archimede 2.4 2.3.1 C¡c tŒng 2.3.2 C¡c ành n 2.3.3 Sü phö th 2.3.4 C¡c copul Ùng dưng cıa mỉ h…nh hâa sü phư thuºc vỵi c¡c copula K‚t lu“n T i li»u tham kh£o Phö löc Mð ƒu Trong k nguy¶n hºi nh“p kinh t‚, c¡c trữớng kinh t khĂc cõ sỹ phử thuc nhĐt nh Nõi riảng, mt nữợc cĂc ng nh kinh t‚ kh¡c cơng câ sü phư thuºc nh§t ành, v‰ dư: sü phư thuºc giœa tr÷íng v ng v tr÷íng chøng kho¡n, tr÷íng chøng kho¡n v tr÷íng dƒu mä, N‚u ta o l÷íng ÷ỉc sü phư thuºc giœa c¡c tr÷íng t i ch‰nh vỵi th… s‡ qu£n trà rıi ro tt hỡn Nhữ ta  bit, nu cĂc th trữớng cõ sỹ phử thuc tuyn tnh vợi th sò dửng hằ s tữỡng quan tuyn tnh v hi»p ph÷ìng sai ” t‰nh to¡n Nh÷ng n‚u c¡c th trữớng khổng cõ sỹ phử thuc tuyn tnh vợi m chóng câ sü phư thuºc phi tuy‚n th… chóng ta khỉng th” dịng h» sŁ t÷ìng quan tuy‚n tnh v hiằp phữỡng sai tnh toĂn Vy vĐn • °t l : N‚u giœa c¡c tr÷íng câ sü phư thuºc phi tuy‚n vỵi th… chóng ta dịng cỉng cư n o ” t‰nh to¡n? ” giÊi quyt vĐn ã n y s dũng mổ hnh hõa sỹ phử thuc gia cĂc bin nhÔu nhiản bng phữỡng phĂp copula Copula l cĂc h m liản kt hoc ni cĂc phƠn phi biản duyản mt chiãu vợi cĂc h m phƠn phi nhiãu chiãu Copula thữớng v ữổc quan tƠm cĂc lắnh vỹc nghiản cứu vã sỹ phử thuc xƠy dỹng cĂc phƠn phi nhiãu chiãu Trong lắnh vỹc t i chnh, copula thữớng ÷ỉc sß dưng nh÷ mºt cỉng cư quan trång cĂc b i toĂn nghiản cứu sỹ tữỡng quan gia c¡c tr÷íng, o l÷íng rıi ro cıa c¡c danh mửc u tữ v nhiãu b i toĂn liản quan khĂc V vy, nhng nôm gn Ơy nhng nghiản cứu vã copula v cĂc ứng dửng ca nõ ữổc rĐt nhiãu ngữới quan tƠm Trong lun vôn n y tr…nh b y v• c¡c hå copula v mỉ h…nh hâa sü phư thuºc vỵi c¡c copula thỉng qua viằc nghiản cứu sỹ phử thuc uổi gia hai phƠn phŁi C¡c k‚t qu£ n y cung c§p mºt cì sð cho nhœng quan t¥m ‚n mỉ h…nh hâa sỹ phử thuc lỵ thuyt v cĂc ứng dửng cıa nâ thüc t‚ Vỵi mong muŁn t…m hi”u vã cĂc vĐn ã trản, lun vôn nghiản cứu vã • t i: Mỉ h…nh hâa sü phư thuºc vỵi c¡c copula v øng döng Ngo i phƒn mð ƒu, k‚t lu“n v t i li»u tham kh£o, lu“n vôn chia l m hai chữỡng: Chữỡng 1: Kin thức chu'n bà Ch÷ìng n y tr…nh b y nhœng kh¡i ni»m cì sð, t‰nh ch§t cıa copula, sü phư thuºc v mºt sŁ v‰ dư minh håa Ch÷ìng 2: Mỉ h…nh hâa sü phư thuºc vỵi c¡c copula v øng dưng Ch÷ìng n y tr…nh b y vi»c mỉ h…nh hâa sü phư thuºc vỵi c¡c copula thỉng qua sü phư thuºc i cıa c¡c ph¥n phŁi copula Phƒn cui ca chữỡng n y, lun vôn trnh b y øng dưng cıa mỉ h…nh hâa sü phư thuºc vỵi c¡c copula vỵi c¡c sŁ li»u thüc t‚ Lới cÊm ỡn BÊn lun vôn n y ữổc ho n th nh dữợi sỹ hữợng dÔn nghiảm khc v t“n t…nh ch¿ b£o cıa TS Trƒn Trång Nguy¶n Thƒy  d nh nhiãu thới gian hữợng dÔn cụng nhữ gi£i ¡p c¡c th›c m›c cıa tæi suŁt qu¡ tr…nh l m lu“n v«n Tỉi muŁn b y tä lặng bit ỡn sƠu sc n ngữới thy ca mnh Qua Ơy, tổi xin gòi tợi cĂc thy cổ Khoa To¡n- Cì- Tin håc, Tr÷íng ⁄i håc Khoa håc Tü nhiản, i hồc Quc gia H Ni, cụng nhữ cĂc thƒy cỉ ¢ tham gia gi£ng d⁄y khâa cao håc 20112013, lới cÊm ỡn sƠu sc nhĐt i vợi cổng lao d⁄y dØ suŁt qu¡ tr…nh gi¡o döc o t⁄o cıa nh tr÷íng Tỉi xin c£m ìn gia …nh, bn b v tĐt cÊ mồi ngữới  quan tƠm, to iãu kiằn, ng viản c vụ tổi tổi ho n th nh nhi»m vö cıa m…nh H Nºi, Th¡ng 01 n«m 2014 B£ng k‰ hi»u R: T“p sŁ thüc R: T“p sŁ thüc mð rºng[ R =R ; 1] R I = [0; 1] n I =I I I = n [0; 1] [0; 1] = fx R j0 x 1g (0; 1) = fx R j0 < x < 1g [0; 1) = fx R j0 x < 1g (0; 1] = fx R j0 < x 1g Hå copula FGM: Hå copula Farlie- Gumbel- Morgenstern F : Nghàch £o cıa F t : Nghch Êo ca t t : t- phƠn phi vợi º tü Ch÷ìng Ki‚n thøc chu'n bà Ch÷ìng n y tr…nh b y c¡c kh¡i ni»m cì bÊn vã copula, cĂc tnh chĐt ca chúng v khĂi niằm sỹ phử thuc sò dửng cho chữỡng sau 1.1 1.1.1 Copula Giợi thiằu vã copula GiÊ sò R bi”u ÷íng thflng thüc thỉng th÷íng ( ; 1] v rºng [ c¡c B cıa hai kho£ng âng B = [x1; x2] [y1; y2] C¡c ¿nh cıa h…nh chœ nh“t B l (x1; y1) ; (x1; y2) ; (x2; y2) ; (x2; y1) H…nh vng ìn I l n- tr‰ H l mºt h m m mi•n x¡c cıa RanH l mºt t“p cıa R ành ngh¾a 1.1 Cho S1; S2; :::; Sn l c¡c t“p khæng rØng cıa R , â R k‰ hi»u l ÷íng thflng thüc mð rºng [ ; 1] Gi£ sß H l h m thüc vợi n bin trản miãn xĂc nh DomH = S S2 ::: Sn v cho a b (trong â a = (a1; a2; :::; an) ; > b = (b1; b2; :::; bn) v hºp câ t§t c£ c¡c ¿nh DomH Khi â th” t‰ch-H cıa B ÷æc cho bði VH (B) = P sgn (c) H (c) vợi tng ữổc thỹc hiằn ti tĐt cÊ cĂc ¿nh c cıa B , v sgn (c) ÷ỉc cho bði: sgn (c) = > : Mºt c¡ch t÷ìng ÷ìng, th” t‰ch- H cıa mºt n- hºp B = [a; b] l thø tü thø n kh¡c cıa H B VH (B) = b aH (t) = b n an b n an 1 ::: b a H (t) â b k H (t) = H (t1; t2; :::; tk 1; bk; tk+1; :::; tn) H (t1; t2; :::; tk 1; ak; tk+1; :::; tn) ành ngh¾a 1.2 Mºt h m thüc H cıa n bi‚n l n t«ng n‚u V H (B) > cıa t§t c£ n- hºp B câ ak ¿nh n‹m mi•n x¡c ành DomH hay câ th” nâi th” tch ca nõ trản hp bĐt k l khổng Ơm GiÊ sò miãn ca mt h m thỹc H ca n bi‚n ÷ỉc cho bði DomH = S mºt phn tò nhọ nhĐt l ak Chúng ta nõi rng H câ ¡y (ground: S2 ::: Sn ð â mØi Sk ¡y) n‚u H (t) = vỵi måi t DomH cho tk = ak vợi t nhĐt mºt k N‚u mØi Sk l khæng rØng v câ mt phn tò lợn nhĐt l bk , õ nõi rng H cõ phƠn phi biản biản duyản, v phƠn phi biản duyản mt chiãu ca H l h m Hk cho bði DomHk = Sk v P [N = 3] = Cb F1 (k1) ; F2 (k2) ; F3 (k3) = F1 (k1) + F2 (k2) + F3 (k3) 2+ +C (F1 (k1) ; F2 (k2)) + C (F1 (k1) ; F3 (k3)) + C (F2 (k2) ; F3 (k3)) C 1; (F1 (k1) ; F2 (k2) ; F3 (k3)) â C i (u; v) = exp v ( C 1; (u1; u2; u3) = exp Vi»c tham sŁ hâa c¡c copula Gumbel l = ” so s¡nh hi»u qu£ sỹ phử thuc cĐu trúc Gumbel vợi Gauss, giĂ sò X i i t§t c£ i; ki = k t§t c£ i v lognormal(0; 1) vỵi (Xi; Xj) = 0:5 vợi tĐt cÊ i 6= j iãu n y cho ph†p P [N = n] = + ( 1) â C1 (u) = u v m f2; :::; n 1g Trong tr÷íng hỉp Gumbel Cm (F (k) ; :::; F (k)) = exp v tr÷íng hæp Gauss Cm (F (k) ; :::; F (k)) = m ( (F (k)) ; :::; (F (k))) l â ( ” tr¡nh k‰ hi»u phøc t⁄p) çng t÷ìng quan m ( l = sin (F (k)) ; :::; bi”u tham sŁ nh§t cıa copula Gauss (F (k))) câ th” t‰nh to¡n ữổc bng cĂch xĐp x s tch l phƠn sau (xem Johnson v Kozt p.48) 70 m l â k‰ hi»u l k = V aR0:99 (X1) 10:25 t¿ lằ cĂc khÊ nông toĂn ữổc tnh dữợi cĂc gi£ thi‚t Gauss tr÷íng hỉp bi‚n v bi‚n P Gumbel [N=3] PGaussian[N=3] l kh¡ th§p n‚u c§u tróc phư thuºc ÷ỉc cho bði copula Gumbel V… v“y, cÊ ữợc lữổng ca cĂc phƠn phi biản duyản v tữỡng quan hng l tt nhĐt cõ th, ri ro mổ hnh t khổng ỵ giÊ thit phử thuc l rĐt lợn cÊ vợi n nhọ 3a.jpg Hnh 2.4: CĂc mÔu lĐy t hai phƠn phi vợi cĂc biản duyản lognormal, hằ s Kendall tau bng 0:5 v c¡c c§u tróc phư thuºc kh¡c 71 3b.jpg Hnh 2.5: XĂc suĐt ca toĂn vợi n = cĐu trúc phử thuc ữổc cho bi copula Gumbel ( ữớng cong trản) v copula Gauss ( ữớng cong dữợi) 72 3c.jpg Hnh 2.6: XĂc suĐt ca toĂn vợi n = cĐu trúc phử thuc ÷ỉc cho bði copula Gumbel ( ÷íng cong tr¶n) v copula Gauss ( ữớng cong dữợi) Rê r ng l vi»c t‰nh kh£ n«ng to¡n P [N = n] cõ liản quan n viằc xĂc nh cĐu trúc phử thuºc cì b£n câ t‰nh ch§t phư thuºc i Tuy nhiản, Ơy l mt tnh chĐt gn úng hn ch ca d liằu GiÊ sò vợi v dử vã bi”u di„n sü rıi ro cıa mºt danh möc ƒu tữ ca cĂc tn thĐt tiãm nông cĂc khu vỹc a lỵ gn õ tợi sỹ thiằt hi ca t i s£n N‚u tai håa tü nhi¶n x£y ra, dÔn n tn thĐt rĐt lợn cho mt khu vỹc n o õ, rĐt cõ khÊ nông cĂc cổng ty bÊo him cụng phÊi i mt vợi tn thĐt rĐt lợn cho khu vỹc lƠn cn Trong trữớng hổp n y cõ và hổp lỵ giÊ sò rng cĐu tróc phư thuºc cì b£n câ t‰nh ch§t phư thuºc uổi bng cÊ s lữổng giợi hn  bit ca d liằu lch sò cho thĐy iãu ngữổc li nh giĂ hổp ỗng n y cƒn t‰nh to¡n dü ki‚n c¡c tŒn th§t ” t¡i b£o hi”m, E (Ln) H…nh 2:8 cho th§y tŒn th§t dỹ kin s tĂi bÊo him vợi cĐu trúc phử thuºc Gumbel v Gauss tr÷íng hỉp ba bi‚n C¡c kt quÊ thu ữổc sò dửng mổ phọng Monte Carlo GiÊ sò cÊ ba tn thĐt vữổt quĂ 99% giĂ trà rıi ro N‚u ta sß dưng mºt sü phư thuºc c§u tróc 73 3d.jpg H…nh 2.7: T¿ l» P Gumbel [N = n] =P Gaussian [N = n] vỵi n = ( ữớng cong dữợi) v n = ( ữớng cong trản) Gauss cĐu trúc sü phư thuºc thüc sü ÷ỉc cho bði copula Gumbel s dÔn n thiằt hi cho cổng ty bÊo him l kho£ng lƒn ho°c nhi•u hìn dü ki‚n Łi vợi mt n lợn hỡn tnh hnh s tỗi tằ hỡn nhiãu CĂc kt quÊ thỹc nghiằm cho thĐy giĂ cÊ hổp ỗng m phử thuc v o ỗng vữổt ngữùng mức cao, nhng hiu bit vã kin thức mi tữỡng quan cp v phƠn phi biản duyản l khæng ı C¡c k‚t qu£ câ th” d„ d ng ữổc tng quĂt cho trữớng hổp vợi cĂc phƠn phi biản duyản khĂc, tữỡng quan cp khĂc v l < n Tuy nhi¶n, â s‡ khỉng d„ d ng ” quan s¡t sü £nh h÷ðng cıa vi»c lüa chån copula kh¡c 74 3e.jpg H…nh 2.8: E Gumbrl (Ln) ( ữớng cong trản) v E Gaussian (Ln) ( ữớng cong dữợi) cĂc kt quÊ mổ phọng vợi n = 3g.jpg H…nh 2.9: H…nh ƒu ti¶n bi”u di„n lỉi suĐt c phiu hng ng y vợi BMW- Siemens (X1; Y 1) câ mºt t2- copula, (X2; Y 2) câ mºt copula Gauss v (X3; Y 3) câ mºt copula Clayton TĐt cÊ cĂc biản duyản l t4- phƠn phi v tĐt cÊ cĂc cp cõ hằ s tữỡng quan tuy‚n t‰nh 0:64 75 K‚t lu“n Trong lu“n v«n n y  ch lỵ ti kin thức v• c¡c copula l i•u cƒn thi‚t cho sü hi”u bit sỹ phử thuc gia cĂc bin ngÔu nhiản Lun vôn  trnh b y cĂc khĂi niằm v tnh ch§t cıa copula, c¡c ph†p o cıa sü k‚t hỉp v c¡c kh¡i ni»m sü phư thuºc nh÷ sü phư thuc uổi  cung cĐp mt phữỡng phĂp tỹ nhiản ” nghi¶n cøu sü phư thuºc Hìn nœa, c¡c kh¡i ni»m ph†p o sü phư thuºc câ c¡c t‰nh ch§t tt àp ca cĂc php o bin i tông ngt ca cĂc bin ngÔu nhiản cỡ bÊn iãu n y cụng cõ nghắa l vĐn ã ca viằc tm kim cĂc mổ hnh nhiãu chiãu m phũ hổp vợi cĂc phƠn phi biản duyản xĂc nh trữợc l ỡn giÊn hỡn Lun vôn  trnh b y mt s lữổng lợn cĂc hồ copula v m rng nhiãu chiãu mt cĂch tỹ nhiản cõ cĂc tnh chĐt thú v v c§u tróc phư thuºc V… hƒu h‚t c¡c t i liằu lắnh vỹc n y cỡ bÊn l liản quan n trữớng hổp hai bin, lun vôn  trung v o vi»c mð rºng nhi•u chi•u cıa c¡c hå copula ìn bi‚n v mð rºng c¡c k‚t qu£ hai chiãu tợi s chiãu tng quĂt iãu n y l t quan im lỵ thuyt cõ th cho k‚t qu£ nhi•u hìn thüc h nh, v… nâ cung c§p mºt cì sð cho c¡c cỉng cư mỉ phäng tŒng qu¡t vỵi mỉ h…nh phư thuºc thüc tin Sỹ ứng dửng quÊn lỵ ri ro ch º b£o hi”m â chóng tỉi sß dưng c¡c ph†p o copula cì b£n cıa sü k‚t hỉp m khỉng bà mºt sŁ m°t h⁄n ch‚ cıa t÷ìng quan tuyn tnh Mc dũ bÊn thƠn  c gng h⁄n ch‚ v• thíi gian, tr…nh 76 º cơng nhữ kinh nghiằm khoa hồc nản lun vôn cặn nhiãu thi‚u sât Cơng khn khŒ cıa lu“n v«n m nhiãu vĐn ã sƠu ca lỵ thuyt cụng nhữ ứng dưng cıa mỉ h…nh hâa sü phư thuºc vỵi c¡c copula chữa ữổc quan tƠm nhiãu Tổi hy vồng vợi sỹ õng gõp ỵ kin quỵ bĂu ca quỵ thy cổ giĂo v bn ồc, lun vôn s ữổc ho n thi»n v ph¡t tri”n hìn 77 T i li»u tham kh£o [1] Trƒn Trång Nguy¶n, Cì sð to¡n t i ch‰nh, NXB Khoa håc v kÿ thu“t, 2010 [2] Nguyn Vit Phú, Nguyn Duy Tin, Cỡ s lỵ thuyt x¡c su§t, NXB ⁄i håc QuŁc Gia H Nºi, 2004 [3] Trƒn Hịng Thao, Nh“p mỉn to¡n t i ch‰nh, NXB Khoa håc v kÿ thu“t, 2009 [4] Nguy„n Duy Tin, Vụ Vit Yản, Lỵ thuyt xĂc suĐt, NXB GiĂo Döc, 2009 [5] Embrechs P.,McNeil A.J and Straumann Risk Management: Properties and Pitfalls, http://www.math.ethz.ch= embrechts, 1999 [6] Fang K.-T., Kotz S and Ng K.-W., Symmetric Multivariate and Related Distribution, Chap-man & Hall, London, 1987 [7] Joe H, Multivariate Models and Dependence Concepts, Chapman & Hall, London, 1997 [8] Johnson N.L and Kotz S , Distributions in Statistics: Continuous Multivariate Distributions, John Weley & Sons, New York , 1972 [9] Li D.X , The valuation of basket credit derivatives, CreditMetrix Monitor, 4,34-50, 1979 78 [10] Marshall A.W and Olkin I , Domains of attraction of multivariate extreme value distributions, The Annals of probabilaty, 111, 168-177, 1983 [11] Nelsen R.B , An Introduction to Copulas, Springer, New York, 1999 [12] Schweizer B and Sklar A, Probabilistic Metric Spaces, North- Holland, New York, 1983 [13] Sklar A, Randon variables, distribution functions, and copula- a pearsonal look backward and :: forward, Distributions with Fixed Marginals and Related Topics, ed by L Ruschendorff, B Schweizer, and M.D Taylor, 1-14, Hayward, Ca Institute of Mathematical Statistics, 1996 79 Phö löc B£ng 2.3 80 B£ng 2:3: C (u; v) max u maxuvu (1 u)(1 v) exp ln max ( uv + (1 max uv exp ( ln u ln v) 10 11 12 uv 1+ max h + (u 1/ 13 exp h 14 h + u 1/ 15 max 16 17 1+ (1+u) 18 max 19 ln e /u + e /v 20 21 22 ln max 81 [ 1; 1) f0g [1; 1) [ 1;1) [1; 1) ( ; 1) f0g [1; 1) (0; 1] [1; 1) (0; 1] (0; 1] (0; 1=2] [1; 1) (0; 1) [1; 1) [1; 1) [0; 1) ( ; 1) f0g [2; 1) (0; 1) (0; 1) [1; 1) (0; 1] Chú ỵ mt v i hồ bÊng 2:3: 82 (2:3:1) Ơy l hồ copula ữổc nghiản cứu bi Clayton (1987), Oakes (1982; 1986), Cox v Oakes (1984), Cook v Johnson (1981; 1986) Genest v MacKay (1986) ÷ỉc gåi l tŒng qu¡t hâa hå Cook v Johnson; Hutchinson v Lai (1990) gåi l hå copula Pareto; â Genest v Rivest (1993) gå l hå Clayton (2:3:3) ¥y l hå Ali- Mikhail- Haq, m ÷ỉc suy tł phữỡng phĂp i s (2:3:4) Ơy l hồ copula u tiản ữổc thÊo lun bi Gumbel (1960b), õ cĂc t¡c gi£ kh¡c gåi l hå Gunbel Tuy nhi¶n, bði v tản ca Gumbel  ữổc gn cht vợi hồ Archimede (2:3:9) v hồ n y cụng ữổc xuĐt hiằn Hougaard (1986), Hutchinson v Lai (1990) gåi l hå Gumbel- Hougaard (2:3:5) Ơy l hồ Frank, m ữổc xuĐt hi»n ƒu ti¶n Frank (1979) mºt phƒn khỉng thuc thng kả Mt v i tnh chĐt thng kả cıa hå n y ÷ỉc nâi ‚n (Nelsen 1986; Genest 1987) i•u n y l ch¿ câ mºt copula Archimede m thọa mÂn phữỡng trnh h m sng sõt ỗng thới ca hai bin ngÔu nhiản trản m cõ h m phƠn phi ỗng thới l C ữổc cho bi vợi i xứng xuyản tƠm Ơy l mt hai hå bao h m to n di»n b£ng (2:3:6) Ơy l hồ ữổc thÊo lun Jeo (1993; 1997), v cĂc phn tò ca hồ n y xuĐt hi»n Frank 1981 (2:3:9) Copula hå n y l cĂc copula sng sõt liản kt vợi phƠn phi mơ hai chi•u Gumbel (Gumbel 1060a) (2:3:15) Hå n y xu§t hi»n Genest v Ghoudi 1994 83 ... TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ DUNG MƠ HÌNH HĨA SỰ PHỤ THUỘC VỚI CÁC COPULA VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số: 60 46 01 06 Người... c¡c copula v ứng dửng 2.1 K thut xƠy dỹng cĂc copula nhiãu chi•u 2.2 2.1.1 Hå Farlie- 2.1.2 Hå Marsh C¡c Copula Elliptic 2.3 2.2.1 Copula G 2.2.2 t- copula. .. v t‰nh chĐt ca copula u tiản xĂc nh cĂc subcopula nhữ mt lợp ca cĂc h m n- tông cỡ s vợi cĂc biản, õ xĂc nh cĂc copula nhữ cĂc subcopula vợi miãn xĂc n nh I nh nghắa 1.4 Mt subcopula n- chiãu