Điểm osculation của sóng rayleigh trong một số mô hình

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - DOÃN THU HƢƠNG ĐIỂM OSCULATION CỦA SĨNG RAYLEIGH TRONG MỘT SỐ MƠ HÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - DOÃN THU HƢƠNG ĐIỂM OSCULATION CỦA SÓNG RAYLEIGH TRONG MỘT SỐ MƠ HÌNH Mã số: 60 44 01 07 Chun ngành: Cơ học vật thể rắn LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRẦN THANH TUẤN Hà Nội - 2015 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo hướng dẫn TS Trần Thanh Tuấn, người giao đề tài quan tâm, tận tình hướng dẫn em suốt trình thực luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới nhóm Seminar mơn Cơ học PGS TS Phạm Chí Vĩnh chủ trì, tồn thể thầy giáo khoa Tốn - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên - Đại Học Quốc Gia Hà Nội đãdạy bảo, cung cấp kiến thức bổ ích cho em suốt q trình học tập nghiên cứu khoa Em xin cảm ơn thầy, giáo, cán Phịng Sau đại học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại Học QuốcGia Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi trình thực luận văn Nhân dịp này, em cảm ơn gia đình, bạn bè ln động viên, tạo điều kiện cho em suốt trình học tập thực luận văn Hà Nội, ngày tháng năm 2015 Học viên Doãn Thu Hƣơng Mục Lục Mục Lục Lời mở đầu Chương 1: Phương trình tán sắc sóng mặt Rayleigh truyền đàn hồi trực hướng .7 1.1 Các phương trình truyền sóng 1.2 Trường hợp có hai mặt tự 1.3 Trường hợp có mặt tự do, mặt bị ngàm 10 Chương Các công thức xác định điểm tiếp xúc 13 2.1 Trường hợp có hai mặt tự 13 2.2 Trường hợp có mặt đáy bị ngàm 15 Trường hợp: C  A   C  A 17 Trường hợp C   A 20 2.3 Tính trơn đường cong phổ vận tốc điểm tiếp xúc .23 Chương Trường hợp đẳng hướng ví dụ minh họa số 31 3.1 Tấm có hai biên tự 31 3.2 Trường hợp có mặt tự do, mặt đáy ngàm 33 3.3 Ví dụ minh họa số tập nghiệm điểm tiếp xúc S , S S 35 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 Các công trình khoa học cơng bố 41 Lời mở đầu Phương trình tán sắc sóng mặt Rayleigh mơ hình khác thường dẫn phương trình siêu việt dạng ẩn phụ thuộc vào hai biến vận tốc truyền sóng tần số sóng với tham số vật liệu mơ hình Trong việc giải số tìm nghiệm phương trình tán sắc này, tần số sóng thường cho trước vận tốc truyền sóng tìm phương pháp số khác Nói chung, với giá trị tần số sóng, có nhiều nghiệm vận tốc nghiệm vận tốc ứng với mode truyền sóng khác sóng mặt Rayleigh Khi nghiệm vận tốc truyền sóng tìm với giá trị khác tần số sóng tranh miêu tả phụ thuộc chúng gọi đường cong phổ mode truyền sóng Thơng thường đường cong phổ nằm xen kẽ Tuy nhiên số trường hợp đặc biệt giá trị tham số mơ hình, tồn cặp đường cong (ứng với mode khác nhau) tiến gần “tiếp xúc” với Các điểm tiếp xúc điểm thuộc hai mode khác tốn truyền sóng Rayleigh chúng điểm tương ứng với nghiệm bội phương trình tán sắc Có nhiều thuật ngữ tiếng Anh cho điểm đặc biệt “osculation points” hay “avoided crossing points” luận văn sử dụng thuật ngữ “điểm tiếp xúc” Những điểm tiếp xúc khơng xuất tốn truyền sóng Rayleigh mà cịn xuất nhiều tốn thuộc lĩnh vực khác vật lý lượng tử, vật lý chất rắn, học, với nhiều thuật ngữ khác (xem Kausel cộng sự, 2015, với tài liệu tham khảo báo) Nói chung điểm tiếp xúc nghiệm bội toán giá trị riêng tương ứng với lĩnh vực trên, chúng có số tính chất đặc biệt Trong lĩnh vực địa chấn, cụ thể phương pháp tỷ số H/V-là phương pháp liên quan đến sóng mặt Rayleigh, tính chất đặc biệt đường cong tỷ số H/V phát điểm tiếp xúc Đó điểm tiếp xúc, đường cong có điểm cực đại chuyển thành điểm không (xem Trần Thanh Tuấn, 2009) Do điểm cực đại điểm không hai điểm quan trọng phương pháp tỷ số H/V nên điểm tiếp xúc tập đường cong phổ vận tốc sóng mặt Rayleigh cần nghiên cứu Trong lĩnh vực địa chấn, điểm tiếp xúc quan sát thấy từ lâu (ví dụ Sezawa Kanai, 1935) công trình nghiên cứu lý thuyết điểm cịn Theo Kausel cộng (2015) nói điểm tiếp xúc lĩnh vực địa chấn đề cập rõ ràng sách Levshin (1973) sau đề cập nhắc đến số công trình Forbriger (2006) Liu cộng (2009) Gần đây, số kết giải tích điểm tiếp xúc sóng Rayleigh đàn hồi, cụ thể công thức xác định điểm tiếp xúc, công bố Trần Thanh Tuấn (2009) bổ sung Kausel cộng (2015) Tuy nhiên công thức tìm cho trường hợp đàn hồi đẳng hướng Nội dung luận văn cao học tìm cơng thức điểm tiếp xúc sóng Rayleigh với điều kiện biên khác làm từ vật liệu trực hướng Hơn nữa, tính chất trơn phổ đường cong vận tốc điểm tiếp xúc khảo sát Luận văn phần mở đầu kết luận có chương Nội dung chương tìm phương trình tán sắc sóng Rayleigh truyền trong trường hợp có hai biên tự trường hợp có biên tự biên ngàm Chương khảo sát phương trình tán sắc tìm để tìm cơng thức xác định điểm tiếp xúc khảo sát tính trơn phổ đường cong vận tốc điểm tiếp xúc Chương trình bày kết nhận trường hợp đẳng hướng minh họa vài kết ví dụ số Chƣơng 1: Phƣơng trình tán sắc sóng mặt Rayleigh truyền đàn hồi trực hƣớng Chương sử dụng phương pháp truyền thống để tìm phương trình tán sắc sóng mặt Rayleigh truyền trực hướng Đầu tiên, phương trình trạng thái phương trình chuyển động trình bày lại theo sách chuyên khảo Sau đó, tùy vào điều kiện biên tấm, phương trình tán sắc sóng Rayleigh thiết lập Các phương trình tán sắc sử dụng việc nghiên cứu điểm tiếp xúc chương 1.1 Các phƣơng trình truyền sóng Xét tốn trực hướng có độ dày h thơng số vật liệu c 1 , c , c 2 , c 6 Sóng mặt Rayleigh truyền mặt phẳng theo trục x1 trùng với hướng tắt dần theo trục x vuông góc với mặt phẳng Trục O x1 nằm đáy có phương trình x  mặt có phương trình x  h Do tốn truyền sóng Rayleigh biến dạng phẳng nên trường chuyển dịch có dạng u i  u i ( x , x , t ), ( i  1, ), u ( x , x , t )  , t thời gian Mối liên hệ ứng suất chuyển dịch cho (ví dụ xem Ting, 1996)    11 22 12 c u c u 11 c u 12 ,1 ,1 c (u 66 u i 2,2 c u 1,2 dấu phẩy đạo hàm theo biến không gian Trong trường hợp không xét đến trọng lực phương trình chuyển động sóng Rayleigh có dạng Giả sử sóng lan truyền theo phương x1 hàm chuyển dịch biểu diễn dạng 12 22 2,2 u ) ,1 Thay dạng hàm chuyển dịch vào phương trình chuyển động (1.3) sau sử dụng phương trình trạng thái (1.2), ta thu hệ phương trình vi phân chuyển động U i ( x ) Giải hệ ta có nghiệm tổng quát hàm chuyển dịch có dạng (xem Phạm Chí Vĩnh Ogden, 2004) B i ( i  c c b 22 66 X c2 với chung có bốn nghiệm phức  b b chúng Nghĩa là, trường hợp b ,b chọn số phức có phần thực dương Nếu b thực dương b phương trình (1.5), ta ký hiệu với Sử dụng đại lượng không thứ nguyên  e phương trình (1.6) có dạng b4  e (1.8 ) có dạn g (1.10) (1.9) (1.11) Theo cơng thức Viet ta có: S(x) P(x) Các số hạng công thức hàm chuyển dịch (1.5) tương ứng với bốn thành phần sóng gồm hai sóng lên hai sóng xuống sóng qP qSV Phương trình tán sắc để xác định vận tốc truyền sóng c phụ thuộc vào tần số xác định từ điều kiện biên Trong phần chương này, hai trường hợp biên xem xét Đó trường hợp có hai mặt biên tự trường hợp có mặt tự mặt bị ngàm Hai trường hợp trường hợp tới hạn mơ hình đặt bán không gian Trường hợp đầu trường hợp tới hạn bán khơng gian có độ cứng nhỏ, trường hợp sau trường hợp bán khơng gian có độ cứng lớn so với độ cứng 1.2 Trƣờng hợp có hai mặt tự Từ điều kiện tự ứng suất mặt mặt ta có   (0) (h) (0)0 2 (1.13) (h)0 2 Sử dụng công thức chuyển dịch (1.5) ứng suất (1.2) vào điều kiện biên thu hệ phương trình đại số số tích B1,B2,B3,B4 phân dạng ma trận sau: M ma trận M có dạng M  xác định cơng cụ giải tích tốt hơn, ví dụ sử dụng định lý L’Hospital Tuy nhiên, biểu thức t321 t322 có biểu diễn phức tạp nên luận văn khơng nghiên cứu tính trơn điểm tiếp xúc loại Chƣơng Trƣờng hợp đẳng hƣớng ví dụ minh họa số Trong trường hợp đẳng hướng, hệ số vật liệu vô hướng (1.9) có dạng (Phạm Chí Vĩnh Nguyễn Thị Khánh Linh, 2012) 2 đặc trưng cho với   2 vận tốc sóng dọc ngang tấm, nghiệm trưng (1.10) có dạng b , b phương trình đặc b1 1x , b3 1x 3.1 Tấm có hai biên tự Xét phương trình tán sắc trường hợp tự (1.16), trường hợp đẳng hướng ta có (x2)4 B  8(x2)2 Khi đó, phương trình (1.16) đưa dạng phương trình tán sắc lớp đẳng hướng tự trình bày khóa luận tốt nghiệp Dỗn Thu Hương (2011) Khi phương trình tán sắc (1.16) biểu diễn tách thành hai nhánh đối xứng phản đối xứng phương trình (2.6), ta có t1 B t3 Bằng cách thay biểu thức B (3.3) vào biểu diễn ý mối liên hệ t a n h ( x )  i t a n ( i x ) , ta nhận phương trình mode đối xứng phản đối xứng sau tan(  tan(  tan( x1/2) Các phương trình trình bày nhiều sách chuyên khảo ví dụ Achenback (1973) Trong trường hợp có hai biên tự do,do điề tạp nên phức e e 2.5, e Vĩnh Ogden (2004), môi trường đẳng hướng, để phương trình Rayleigh có nhiều nghiệm thực hệ số  phải thỏa mãn   Giá trị   ví dụ minh họa thỏa mãn điều kiện Với giá trị tham số trên, phương trình Rayleigh có nghiệm thực Nghiệm nhỏ x R  , hai nghiệm lại x1  x  Nghiệm x R vận tốc truyền sóng Rayleigh bán khơng gian làm vật liệu Hai nghiệm lại vận tốc truyền sóng Rayleigh điểm tiếp xúc Tần số điểm tiếp xúc xác định từ phương trình (2.13) Hình 1: Các đường cong contour phổ vận tốc sóng Rayleigh tự điểm tiếp xúc Hình vẽ đường cong contour phương trình tán sắc (1.16) với tham số chọn Trong vùng tần số vận tốc khảo sát hình vẽ, quan sát điểm tiếp xúc Hai điểm đánh dấu hình vng điểm tiếp xúc có vận tốc x bốn điểm đánh dấu tròn điểm tiếp xúc có vận tốc x1 Tần số điểm tiếp xúc xác định từ phương trình (2.13) 3.2 Trƣờng hợp có mặt tự do, mặt đáy ngàm Trong trường họp bị ngàm đáy,thay thông số vật liệu đẳng hướng (3.1) vào phương trình (1.25) ta có A  ngàm (1.23) ta dễ dàng nhận lại phương trình tán sắc sóng Rayleigh mơ hình lớp có đáy bị ngàm trình bày phương trình (2.14) luận án tiến sỹ Trần Thanh Tuấn (2009) Đối với lớp nghiệm thứ điểm tiếp xúc S nên   / Do đó, từ cơng thức (2.28) ta có x  ký hiệu vận tốc sóng ngang truyền lớp Tần số điểm tiếp xúc có dạng (từ phương trình (2.38))   a Do kha Kết trùng với kết nhận Trần Thanh Tuấn (2009) (xem phương trình 4.11) Đối với lớp nghiệm S , trường hợp đẳng hướng ta có  x a2 Từ điều kiện x a  ta có điều kiện tham số vật liệu lớp để tồn lớp nghiệm điểm tiếp xúc   1/4 Kết nhận Trần Thanh Tuấn (2009) Kausel cộng (2015) Tần số điểm tiếp xúc S  Các ràng buộc R hợp với điều kiện /    / với ý p  q  Chú ý rằng, trường hợp đẳng hướng, phương trình xác định tần số điểm tiếp xúc (2.46) đưa hai phương trình (4.12) (4.13) Trần Thanh Tuấn (2009) Tuy nhiên, cách tìm tần số điểm tiếp xúc ràng buộc tham số vật liệu khác so với cách thực luận văn Về mặt cơng thức tìm luận văn điểm tiếp xúc (2.50) gọn so với công thức (4.15) (4.16) Trần Thanh Tuấn (2009), mặt tốn học cơng thức tương đương với Trong Trần Thanh Tuấn (2009), phương trình (2.46), thay lấy tổ hợp tổng hiệu phương trình, phương trình chia cho Tương tự vậy, tần số điểm tiếp xúc thuộc tập nghiệm định từ phương trình (2.55) có dạng  4 1 S xác  Các ràng buộc R từ phương trình (2.57)của số vật liệu lớp trường hợp với điều kiện /    / với ý r Tập nghiệm S trường hợp đẳng hướng khơng tìm Trần Thanh Tuấn (2009), nhiên bổ sung Kausel cộng (2015) 3.3 Ví dụ minh họa số tập nghiệm điểm tiếp xúc S , S S Để khảo sát số tập nghiệm S phương trình (2.38) ta chọn tham số có giá trị thỏa mãn e  , e  , e  Hình 2: Các đường cong tán sắc với điểm tiếp xúc S Hình vẽ biểu diễn đường contour phương trình tán sắc (1.23) với thông số Các đường contour bao gồm các mode đối xứng phản đối xứng Bốn đường tròn nhỏ biểu thị cho bốn điểm tiếp xúc thuộc lớp nghiệm S tính tốn từ phương trình (2.38) ta có xa trình ràng buộc R thỏa mãn p  q  Khi từ điều kiện ràng buộc (2.57) ta có Có nhiều tập giá trị thêm e , e , e thỏa mãn đẳng thức với điều kiện (3.20) e1 , e , e  0, e1 e  e 32  0, e1  e 22  Các điều kiện xuất phát từ điều kiện lượng biến dạng xác định dương vật liệu điều kiện Giả sử ta chọn e truyền sóng điểm tiếp xúc x a kết minh họa Hình vẽ 3a Nếu ta chọn tham số khác có giá trị e x 8/3 a  36/27,  a 3b Trong ví dụ minh họa ta chọn hệ số p q cơng thức (2.55) có giá trị p  1, q  Khi đó, tham số vật liệu phải thỏa mãn điều kiện sau để tồn lớp nghiệm điểm tiếp xúc S e e ( e1  1) (4e (a) (b) Hình 3: Các điểm tiếp xúc thuộc nhóm nghiệm Giả sử ta chọn hai giá trị tham số e  1 / 8 , e2 2, e3 1/2 xúc (theo công thức (2.55)) q e1 S2 với p  q 611/44, e2 1  1, 1/2 e3 Cả hai giá trị cho vận tốc điểm tiếp xa2  18.1818 thay p  (2.55)) Và số thứ cho tần số (thay  a  2.4559 b số thứ hai cho tần số ộ  a  3.4732 (a) Hình 4: Các điểm tiếp xúc thuộc nhóm nghiệm S với p  1, q  Một số kết số điểm tiếp xúc thuộc tập nghiệm S thường xảy mode bậc cao Và nhiều kết số có tập nghiệm S tồn điểm tiếp xúc xảy mode (mode 0), mặt toán học điều chưa chứng minh Kết quan trong địa vật lý nói chung thiết bị đo đạc đo tín hiệu mode mang phần lớn lượng sóng mặt Rayleigh Kết luận Luận văn khảo sát tốn truyền sóng mặt Rayleigh trực hướng chịu hai điều kiện biên khác Phương trình tán sắc sóng Rayleigh trường hợp điều kiện biên nhận phương pháp truyền thống Các phương trình tán sắc sử dụng để khảo sát điểm tiếp xúc sóng mặt Rayleigh trường hợp Các kết đạt luận văn là: - Nhận phương trình tán sắc sóng mặt Rayleigh truyền trực hướng hai trường hợp điều kiện biên: có hai mặt tự có mặt tự do, mặt ngàm - Các công thức xác định điểm tiếp xúc trường hợp xác định sử dụng ý tưởng từ phương pháp lý thuyết tia Tolstoy Usdin (1953) - Đã khảo sát đạo hàm đường cong phổ vận tốc sóng mặt Rayleigh điểm tiếp xúc Kết điểm tiếp xúc, đường cong phổ vận tốc tính trơn Đạo hàm chúng điểm không liên tục Tuy nhiên, đạo hàm trái đường cong phổ vận tốc điểm tiếp xúc mode đối xứng với đạo hàm phải tương ứng mode phản đối xứng Tương tự vậy, đạo hàm phải đường cong phổ vận tốc điểm tiếp xúc mode đối xứng với đạo hàm trái tương ứng mode phản đối xứng - Trong trường hợp đẳng hướng, kết nhận luận văn đưa kết nhận tác giả khác - Đã khảo sát số số trường hợp nghiệm điểm tiếp xúc Các kết đạt luận văn có ý nghĩa khoa học Tài liệu tham khảo Doãn Thu Hương (2011) , “Sóng Rayleigh Lam truyền mơi trường mơi trường khơng theo phương z” Khóa luận tốt nghiệp ngành học, Trường ĐH Khoa Học Tự Nhiên Achenbach, J D "Waves in elastic solids." Nord Holland, Amsterdam (1973) Forbriger, Thomas "Einige Gedanken zu: Oskulationen von Dispersionskurven, Entartung und Hybridisierung von Moden." (2006) Kausel, Eduardo, Peter Malischewsky, and João Barbosa "Osculations of spectral lines in a layered medium." Wave Motion 56 (2015): 22-42 Levshin, A L "Surface and channel seismic waves." Nauka, Moscow (1973) Liu, Xue‐Feng, You‐Hua Fan, and Xiao‐Fei Chen "Research on the Cross of the Dispersion Curves of Rayleigh Waves and Multi ‐ModesCoupling Phenomenon." Chinese Journal of Geophysics 52.5 (2009): 994-1002 Sezawa, Katsutada, and Kiyoshi Kanai "Discontinuity in Dispersion Curves of Rayleigh-Waves." Proceedings of the Imperial Academy 11.1 (1935): 13-14 Ting.T.C.T (1996) Anisotropic Elasticity: Theory and Applications, Oxford Unversity Press NewYork Tolstoy, Ivan, and Eugene Usdin "Dispersive properties of stratified elastic and liquid media: A ray theory." Geophysics 18.4 (1953): 844-870 10 Tran Thanh Tuan "The ellipticity (H/V-ratio) of Rayleigh surface waves." PhD diss., 2009 11.Vinh, Pham Chi, and Nguyen Thi Khanh Linh "An approximate secular equation of Rayleigh waves propagating in an orthotropic elastic half-space coated by a thin orthotropic elastic layer." Wave motion 49.7 (2012): 681-689 12 Vinh, Pham Chi, and R W Ogden "On formulas for the Rayleigh wave speed."Wave Motion 39.3 (2004): 191-197 13 Vinh, Pham Chi, and R W Ogden "Formulas for the Rayleigh wave speed in orthotropic elastic solids." Archives of Mechanics 56.3 (2004): 247265 Các cơng trình khoa học cơng bố Trần Thanh Tuấn, Peter Malischewsky, Dỗn Thu Hương (2013) Tính chất tỷ số H/V điểm osculation mơ hình lớp có đáy bị ngàm Tuyển tập Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ XI Thành phố Hồ Chí Minh, 7-9/11/2013, p.1275-1282 \ ... tham số chọn Trong vùng tần số vận tốc khảo sát hình vẽ, quan sát điểm tiếp xúc Hai điểm đánh dấu hình vng điểm tiếp xúc có vận tốc x bốn điểm đánh dấu tròn điểm tiếp xúc có vận tốc x1 Tần số điểm. .. vận tốc truyền sóng tần số sóng với tham số vật liệu mơ hình Trong việc giải số tìm nghiệm phương trình tán sắc này, tần số sóng thường cho trước vận tốc truyền sóng tìm phương pháp số khác Nói... lại vận tốc truyền sóng Rayleigh điểm tiếp xúc Tần số điểm tiếp xúc xác định từ phương trình (2.13) Hình 1: Các đường cong contour phổ vận tốc sóng Rayleigh tự điểm tiếp xúc Hình vẽ đường cong