KHẢO sát KHẢ NĂNG GIÃN nở TĂNG tốc của vũ TRỤ TRONG một số mô HÌNH BRANEWORLD

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA VẬT LÝ ĐỖ THỊ NGỌC DƯƠNG KHẢO SÁT KHẢ NĂNG GIÃN NỞ TĂNG TỐC CỦA VŨ TRỤ TRONG MỘT SỐ MÔ HÌNH BRANEWORLD TP HỒ CHÍ MINH-2011 Lời cảm ơn Lời đầu tiên, xin chân thành cảm ơn thầy cô Bộ môn Vật Lý Lý Thuyết tận tình dạy, giúp có hội tiếp thu kiến thức trình học tập tìm hiểu sâu Vật lý Tôi xin chân thành biết ơn sâu sắc TS Võ Thành Văn, cảm ơn thầy tin tưởng, hướng dẫn giúp đỡ hoàn thành luận văn Luận văn gửi tới bố mẹ gia đình, người đặt trọn niềm tin nơi chỗ dựa vững cho sống, tạo điều kiện vật chất tinh thần để theo đuổi đường học vấn Tôi gửi lời cảm ơn đến người bạn thân thiết hết lòng giúp đỡ, chia sẻ lúc khó khăn, mệt mỏi Đỗ Thị Ngọc Dương Mục lục Lời cảm ơn Mục lục Những kí hiệu Hình vẽ luận Phần mở đầu văn i ii iii iv v Chương Giãn nở tăng tốc mô hình Randall-Sundrum 1.1 Mô hình Randall - Sundrum biến đổi theo thời gian 1.1.1 Các phương trình 1.1.2 Hệ số Hubble hai brane 1.1.3 Sự giãn nở tăng tốc brane 1.2 Khảo sát trường vô hướng χ mô hình Randall-Sundrum trường Quintessence 1.2.1 Hàm tác dụng biến phân hàm tác dụng 1.2.2 Tensor năng-xung lượng 1.2.3 Các phương trình vũ trụ học 5D 1.2.4 Sự giãn nở tăng tốc 1.2.5 Mô hình với Quintessence 1.3 Kết luận 2 19 Chương Giãn nở tăng tốc mô hình DGP 2.1 Giới thiệu 2.2 Hệ số metric 5D 2.3 Phương trình gia tốc 2.3.1 Vũ trụ với không gian phẳng thời kỳ xạ vượt trội 2.3.2 Brane vượt trội số vũ trụ Λ 2.4 Phương trình trạng thái 2.5 So sánh mô hình RS mô hình DGP 46 46 47 51 51 53 54 58 24 25 27 31 39 42 44 iii Mục lục 2.6 Kết luận Chương Mô hình kết hợp DGP RS 3.1 Giới thiệu 3.2 Phương trình Friedmann 3.3 Sự khôi phục lại vũ trụ chuẩn 3.4 Phương trình gia tốc 3.5 Kết luận Phần kết luận, hướng phát triển Tài liệu Phụ lục: Biến phân hàm tác dụng Phụ lục: Tensor Einstein metric FRW mở rộng đối không-thời gian 5D với 60 62 62 63 67 70 78 80 83 85 90 Những kí hiệu DGP RS ΛCDM 4D 5D FRW y Λb Λ, Λ0 , Λc ω ωc a(t) ρb , pb ρB , PB H Mpl M [A] Dvali, Gapadadze, Porrati Lisa Randall, Raman Sundrum Lambda Cold Dark Matter chiều chiều Friedmann - Robertson - Walker Chiều thứ thêm vào Hằng số vũ trụ bulk Hằng số vũ trụ brane Phương trình trạng thái bulk Phương trình trạng thái brane Hệ số kích thước vũ trụ (the scale factor) Mật độ lượng mật độ áp suất brane Mật độ lượng mật độ áp suất bulk Tham số Hubble Thang khối lượng Planck không-thời gian 4D Thang khối lượng Planck không-thời gian 5D Bước nhảy A Hình vẽ luận văn Hình 1.1 Đồ thị biểu diễn phát triển hệ số kích thước vũ trụ theo thời gian mô hình RS Hình 1.2 Đồ thị biểu diễn phát triển hệ số kích thước vũ trụ theo thời gian mô hình khảo sát trường vô hướng χ RS trường Quintessence Hình 2.1 Gia tốc giãn nở vũ trụ theo thời gian mô hình DGP RS với ωc = Hình 2.2 Gia tốc giãn nở vũ trụ theo thời gian mô hình DGP RS với ωc = −1 Phần mở đầu Các quan sát thiên văn gần cung cấp chứng mạnh mẽ sống vũ trụ giãn nở tăng tốc [1] Trong trình tìm hiểu rõ vũ trụ để giải thích cho giãn nở tăng tốc, phải đối mặt với vấn đề [2, 3]: • Vấn đề số vũ trụ: Năng lượng chân không nhỏ so với kết tính toán vật lý hạt ( khoảng 120 bậc độ lớn) • Vấn đề trùng hợp ngẫu nhiên: Trong vũ trụ sớm, mật độ lượng chân không không đáng kể so với mật độ vật chất xạ Nhưng thời điểm tại, mật độ lượng chân không (ρΛ ) bậc với mật độ vật chất (ρm ) vượt trội hoàn toàn tương lai • Vấn đề hệ thống thứ bậc: Sự khác nhiều độ lớn thang điện yếu mEW = 103 GeV thang Planck Mpl = 1018 GeV - Tỉ số thang điện yếu khối lượng Planck nhỏ mEW /M pl ∼ 10−16 Để giải vấn đề trên, nhiều mô hình vũ trụ học đề nghị mô hình số vũ trụ ΛCDM, mô hình lượng tối động lực học "Quintessence" Tuy nhiên, chưa có mô hình thực thành công, đưa giải thích chất cho vấn đề Bắt nguồn từ lý thuyết dây, mô hình braneworld, không-thời gian lớn (3 + 1) chiều, đưa cách tiếp cận để tìm hiểu phát triển vũ trụ nhận nhiều quan tâm Mô hình braneworld đặc trưng hai ý tưởng bản: • Giả thiết tồn chiều không gian thêm vào chiều không- thời gian mà sống Không-thời gian nhiều chiều thường gọi không-thời gian bulk • Vũ trụ gọi brane gắn không-thời gian bulk Các hạt "thông thường" hạt mô hình Weiberg-Salam giả thiết bị giới hạn brane trường hấp dẫn truyền bulk[4] vi Phần mở đầu Ngày nay, tượng giãn nở tăng tốc vũ trụ thừa nhận thực nghiệm chưa giải thích thỏa thuyết Theo lý thuyết tương đối rộng, giãn nở tăng tốc vũ trụ chứng cho tồn loại tương tác đẩy thiên hà cách xa lẫn lượng loại tương tác đặt tên lượng tối Hằng số vũ trụ Λ, đưa vào phương trình trường hấp dẫn Einstein vào năm 1917 nhằm mô tả vũ trụ tĩnh với phương trình trạng thái ω = −1, xem ứng viên đơn giản cho lượng tối Từ mô hình chuẩn 4D, số vũ trụ đưa vào mô hình braneworld, cụ thể mô hình braneworld Randall-Sundrum với mong muốn tìm lời giải thích tốt cho vấn đề giãn nở tăng tốc vũ trụ Mô hình braneworld RandallSundrum (RS)[5, 6] khảo sát không-thời gian chiều lấp đầy số vũ trụ âm Tùy vào đặc điểm chiều thứ compact hay vô hạn mà mô hình chia thành hai loại: Mô hình RS1 mô hình RS2 Mô hình RS1[5] đưa cách giải vấn đề hệ thống thứ bậc Mô hình bao gồm bulk chiều với chiều thứ năm y thêm vào compact có hai brane Hai brane chiều đặt điểm cố định y = y = yc Brane y = brane ẩn hay brane Planck lượng cao Brane y = yc brane quan sát hay brane TeV lượng thấp Ứng suất hai brane σ −σ với σ số dương Mô hình RS2[6] khảo sát cách khôi phục lại hấp dẫn 4D brane gắn không-thời gian bulk 5D Trong mô hình này, chiều thêm vào mở rộng tới vô hạn, tức brane có ứng suất âm RS1 bị dịch chuyển vô hạn Còn lại brane, vậy, mô hình RS2 gọi mô hình RS brane, mô hình RS1 gọi mô hình RS hai brane Các lý thuyết với có mặt số vũ trụ Λ phải đương đầu với vấn đề số vũ trụ giá trị quan sát số vũ trụ nhỏ ∼ 10−55 ) Vì so với thang Planck ( ρΛ /MP4 l ∼ 10−123 ) hay thang điện yếu ( ρΛ /MEW vậy, mô hình Randall-Sundrum với giả thiết không-thời gian bulk 5D lấp đầy số vũ trụ Λb âm tránh khỏi vấn đề số vũ trụ Một cách tiếp cận khác không cần đến lượng tối để giải thích cho giãn nở tăng tốc vũ trụ bắt nguồn từ lý thuyết dây thông qua kịch braneworld Một mô hình braneworld đơn giản mô tả phát triển vũ trụ theo chiều hướng mô hình DGP[7] Trong mô hình này, hấp dẫn brane yếu bị rò rỉ từ brane 4D vào bulk 5D thang đo lớn Do yếu hấp dẫn brane nên dẫn đến giãn nở tăng tốc vũ trụ Tuy nhiên, lúc thu giãn nở tăng tốc Chiều thêm vào vừa có khả tăng cường gia tốc giãn nở làm chậm trình giãn nở tăng tốc chí gây giãn nở giảm tốc Nhằm mục đích phân tích toán giãn nở tăng tốc vũ trụ, luận văn “Khảo sát khả giãn nở tăng tốc vũ trụ số mô hình braneworld ” tập Phần mở đầu vii trung khảo sát giãn nở tăng tốc vũ trụ số mô hình braneworld quan tâm nay: Mô hình Randall-Sundrum mô hình DGP Chúng khảo sát metric Friedmann - Robertson - Walker ( FRW) mở rộng không thời gian 5D Giải phương trình Einstein trực tiếp, thu phương trình vũ trụ học không-thời gian 5D Các tính chất vũ trụ học giải thích thông qua phương trình vũ trụ học Với mong muốn khắc phục hạn chế mô hình Randall-Sundrum mô hình DGP, xây dựng mô hình kết hợp hai mô hình braneworld Randall-Sundrum DGP khảo sát giãn nở tăng tốc mô hình Các mô hình trường vô hướng mô hình Quintessence xem ứng viên khác cho lượng tối Chúng khảo sát trường vô hướng χ mô hình Randall-Sundrum trường Quintessence Để thể nội dung này, luận văn gồm chương: + Chương Chúng dựa mô hình hai brane Randall-Sundrum gắn bulk 5D lấp đầy số vũ trụ âm để khảo sát giãn nở tăng tốc vũ trụ Chúng tìm biểu thức cụ thể hệ số Hubble, tìm phương trình cho hệ số kích thước vũ trụ, phương trình gia tốc tìm điều kiện để xuất giãn nở tăng tốc vũ trụ Tiếp theo, đưa trường vô hướng Quintessence vào mô hình Randall-Sundrum cách giả thiết hai brane bị vượt trội trường vô hướng Quintessence Chúng xác định mật độ lượng, mật độ áp suất, tìm phương trình vũ trụ học không-thời gian 5D khảo sát giãn nở tăng tốc với Quintessence cụ thể + Chương hai Chúng hướng đến cách tiếp cận khác, không cần đến lượng tối, để giải thích cho giãn nở tăng tốc vũ trụ - mô hình DGP Chúng tìm biểu thức cụ thể hệ số metric 5D n(t, y ), a(t, y ) biểu diễn theo số hạng metric 4D Sau đó, khảo sát đại lượng trường hợp brane lấp đầy vật chất khác nhau, từ tìm gia tốc giãn nở vũ trụ Cuối cùng, khảo sát phương trình trạng thái thành phần "năng lượng tối hiệu dụng" đóng góp chiều thêm vào + Chương ba Chúng xây dựng mô hình kết hợp mô hình có mặt số vũ trụ Λb mô hình rò rỉ hấp dẫn theo kịch braneworld Cụ thể, kết hợp mô hình braneworld Randall-Sundrum mô hình DGP thành mô hình thống Chúng tìm phương trình Friedmann, khảo sát điều kiện để khôi phục lại vũ trụ chuẩn 4D Cuối cùng, tìm phương trình gia tốc điều kiện để xuất giãn nở tăng tốc Chương Giãn nở tăng tốc mô hình Randall-Sundrum Mục lục 1.1 Mô hình Randall - Sundrum biến đổi theo thời gian 1.1.1 Các phương trình 1.1.2 Hệ số Hubble hai brane 1.1.3 Sự giãn nở tăng tốc brane 1.2 Khảo sát trường vô hướng χ mô hình Randall-Sundrum trường Quintessence 1.2.1 Hàm tác dụng biến phân hàm tác dụng 1.2.2 Tensor năng-xung lượng 1.2.3 Các phương trình vũ trụ học 5D 1.2.4 Sự giãn nở tăng tốc 1.2.5 Mô hình với Quintessence 1.3 Kết luận 2 19 24 25 27 31 39 42 44 Nội dung chính: Trong chương này, khảo sát mô hình hai brane Randall-Sundrum, thực tính toán lại kết đạt [8] Chúng tìm biểu thức cụ thể hệ số Hubble, mối liên hệ hệ số Hubble với mật độ lượng mật độ áp suất hai brane Từ đó, tìm phương trình cho hệ số kích thước vũ trụ, phương trình gia tốc khảo sát giãn nở tăng tốc vũ trụ Các mô hình trường vô hướng xem ứng viên khác cho lượng tối Những mô hình mô tả lượng tối biến đổi theo thời gian không gian [10] Chúng đưa trường vô hướng vào kịch braneworld Cụ thể, khảo sát trường vô hướng χ mô hình Randall-Sundrum trường Quintessence, tức khảo sát mô hình hai brane Randall-Sundrum hai brane lấp đầy trường vô hướng Quintessence gắn bulk với số vũ trụ âm Phụ lục 1: Biến phân hàm tác dụng Chúng ta có hàm tác dụng S = Sgraviry + Svis + Shid (3.49) Thực lấy biến phân hàm tác dụng này, δS = δSgraviry + δSvis + δShid (3.50) Các thành phần biến phân thu sau: • Tính δSgraviry yc δSgravity = δ d x √ dy −G −Λb + 2M R −yc yc = d4 x dy δ −yc yc = √ −G −Λb + 2M R yc √ dy − Λb δ −G + d x −yc d x (3.51) √ dy 2M δ ( −GR) −yc Theo [28], ta có √ 1√ δ −G = − −G GAB δGAB (3.52) √ √ ⇒ δ ( −GR) = δ (GAB RAB −G) √ √ √ = RAB −GδGAB + RAB GAB δ −G + GAB −GδRAB √ √ √ = RAB −GδGAB − RAB GAB −G GAB δGAB + GAB −GδRAB √ √ −GδGAB + GAB −GδRAB = RAB − GAB R 86 Phụ lục: Biến phân hàm tác dụng yc ⇒ d4 x yc √ dyδ (R −G) = d4 x −yc √ RAB − GAB R dy −yc −GδGAB √ + −GGAB δRAB yc = dy RAB − GAB R d x −yc yc + d x √ −GδGAB √ dy −GGAB δRAB −yc (3.53) Mặt khác: ∂ ∂ C δ Γ δ ΓC − AB AC C B ∂x ∂x ∂ AC ∂ = GAB C δ ΓC δ ΓB AB − G AB C ∂x ∂x ∂wC = C ∂x GAB δRAB = GAB Với AC wC = GAB δ ΓC δ ΓB AB − G AB ⇒ GAB δRAB = √ ∂ √ −GwC C −G ∂x (3.54) Như yc d4 x yc √ dy −GGAB δRAB = d4 x −yc dy ∂ −yc √ −GwC ∂xC (3.55) Theo định lý Gauss [28] chuyển từ tích phân khối sang tích phân mặt yc d x dy −yc ∂ √ −GwC ∂xC yc = dΩ √ dy −GwC (3.56) −yc Với giả thuyết trường hấp dẫn hữu hạn điểm tới hạn bề mặt nên yc dΩ −yc √ dy −GwC = (3.57) 87 Phụ lục: Biến phân hàm tác dụng Do đó, yc √ dy −GGAB δRAB = d x yc dΩ −yc √ dy −GwC = (3.58) −yc Thế (3.58) vào (3.53) yc ⇒ yc √ dyδ (R −G) = d x d x −yc dy RAB − GAB R −yc √ −GδGAB (3.59) Từ phương trình (3.52) (3.59), vào (3.51), cuối thu yc δSgravity = d4 x dy − −yc −4M RAB − GAB R √ − Λb GAB δGAB −G (3.60) • Tính δSvis √ d4 x −gvis {Lvis − Vvis } Svis = = √ d4 x −gvis = √ d4 x −gvis µν − gvis ∂µ χ∂ν χ − Vvis (χ) − (∇χ)2 − Vvis (χ) Ở đây, theo [10] Lvis = − (∇χ)2 với χ trường vô hướng ⇒ δSvis = √ µν d4 x − gvis ∂µ χ∂ν χ − Vvis (χ) δ −gvis √ µν + −gvis δ − gvis ∂µ χ∂ν χ − Vvis (χ) αβ √ vis µν = d4 x − gvis ∂α χ∂β χ − Vvis (χ) − −gvis gµν δgvis 2 √ µν + −gvis − ∂µ χ∂ν χ δgvis = d4 x − vis − gµν √ µν −gvis δgvis ∂µ χ∂ν χ αβ g ∂ χ∂ χ + Vvis (χ) vis α β (3.61) 88 Phụ lục: Biến phân hàm tác dụng vis (xµ ) ≡ G (xµ , y = y ) [5], nên Với gµν µν c d4 x − ⇒ δSvis = √ µ ν −gvis δA δB δ (y − yc ) ∂µ χ∂ν χ (3.62) − Gµν αβ G ∂α χ∂β χ + Vvis (χ) Trường hợp vượt trội động (Lvis thu δSvis = δGAB Vvis , coi Lvis = 0) √ µ ν δB δ (y − yc )δGAB d4 x Vvis −gvis δA (3.63) • Tính δShid √ d4 x −ghid {Lhid − Vhid } Shid = ⇒ δShid = = √ d4 x −ghid = √ d4 x −ghid µν ∂µ χ∂ν χ − Vhid (χ) − ghid − (∇χ)2 − Vhid (χ) √ µν d4 x − ghid ∂µ χ∂ν χ − Vhid (χ) δ −ghid √ µν + −ghid δ − ghid ∂µ χ∂ν χ − Vhid (χ) αβ √ hid µν = d4 x − ghid ∂α χ∂β χ − Vhid (χ) − −ghid gµν δghid 2 √ µν + −ghid − ∂µ χ∂ν χ δghid = d4 x − hid − gµν √ µν −ghid δghid ∂µ χ∂ν χ αβ g ∂ χ∂ χ + Vhid (χ) hid α β (3.64) 89 Phụ lục: Biến phân hàm tác dụng hid (xµ ) ≡ G (xµ , y = 0) [5], nên Với gµν µν ⇒ δShid = d4 x − √ µ ν −ghid δA δB δ (y ) ∂µ χ∂ν χ (3.65) − Gµν αβ G ∂α χ∂β χ + Vhid (χ) δGAB Trường hợp vượt trội động (Lhid Vhid , coi Lhid = 0) thu √ µ ν (3.66) δB δ (y )δGAB δShid = d4 x Vhid −ghid δA Phụ lục : Tensor Einstein metric FRW mở rộng không-thời gian 5D Xuất phát từ metric (1.120) ds25 = gAB dxA dxB = −n2 (t, y )dt2 + a2 (t, y ) dr2 + r2 (dθ2 + sin2 θdφ2 ) + b2 (t, y )dy − kr2 có thành phần tensor metric GAB = diag −n2 (t, y ), a2 (t, y ) , a2 (t, y )r2 , a2 (t, y )r2 sin2 θ, b2 (t, y ) − kr2 ⇒ GAB = diag −n−2 (t, y ), (3.67) − kr2 −2 , a (t, y )r−2 , a−2 (t, y )r−2 sin−2 θ, b−2 (t, y ) a2 (t, y ) (3.68) Từ tensor metric này, tính giá trị số hạng Christoffel Dạng tổng quát số hạng Christoffel 5D: AD ΓA BC = G ∂GDB ∂GDC ∂GBC + − C B ∂x ∂x ∂xD (3.69) Khai triển (3.69), ta được: A0 ∂G0B ∂G0C ∂GBC ∂G1B ∂G1C ∂GBC ΓA + − + GA1 + − BC = G C B C B ∂t ∂x1 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂G2B ∂G2C ∂GBC A3 ∂G3B ∂G3C ∂GBC + GA2 + − + G + − ∂x2 ∂x3 ∂xC ∂xB ∂xC ∂xB ∂G4B ∂G4C ∂GBC + GA4 + − C B ∂y ∂x ∂x (3.70) Phụ lục: Tensor Einstein metric FRW mở rộng không-thời gian 5D 91 Nhận xét: Từ thành phần tensor metric GAB khai triển (3.70) nhận thấy số hạng Christoffel ΓA BC khác không khi: - Một số A, B, C phải - Phải có số trùng Chúng tìm thành phần kí hiệu Christoffel sau: • Khi A = từ khai triển (3.69), ta được: Γ0BC = G00 ∂G0C ∂GBC ∂G0B + − C B ∂t ∂x ∂x -Với B=C=0 ∂G00 ∂G00 ∂G00 Γ000 = G00 + − ∂t ∂t ∂t ∂G = G00 00 ∂t ∂ (−n2 (t, y ) = (−n−2 (t, y )) ∂t n˙ = n - Với B=0, C=4: Γ004 = G00 = ∂G00 ∂G04 ∂G04 + − ∂y ∂t ∂t ∂G = G00 00 ∂y n n - Với: B=C=1: Γ011 = G00 ∂G01 ∂G11 ∂G01 + − ∂x ∂x1 ∂t a2 (t,y) ∂( ) 1 ∂G = − G00 11 = − (−n−2 (t, y )) 1−kr ∂t ∂t aa˙ = (1 − kr2 )n2 Tương tự, tính thành phần lại kí hiệu Christoffel sau: 92 Phụ lục:Tensor Einstein metric FRW mở rộng không-thời gian 5D - Với B=C=2: ∂G02 ∂G02 ∂G22 Γ022 = G00 + − ∂x ∂x1 ∂t ∂G ∂ (a2 (t, y )r2 ) = − G00 22 = − (−n−2 (t, y )) ∂t ∂t aar ˙ = n - Với B=C=3: Γ033 = G00 ∂G031 ∂G03 ∂G33 + − ∂x1 ∂x1 ∂t ∂ (a2 (t, y )r2 sin2 θ) ∂G = − G00 33 = − (−n−2 (t, y )) ∂t ∂t 2 r sin θaa˙ = n - Với C=0, B=4: Γ040 = n n Γ044 = bb˙ n2 -Với B=C=4: • Với A=1, từ khai triển (3.70), suy ra: Γ1BC = G11 ∂G1B ∂G1C ∂GBC + − C B ∂r ∂x ∂x - Với B=0, C=1: Γ101 = a˙ a Γ110 = a˙ a - Với B=1, C=0: Với B=1, C=1: Γ111 = kr − kr2 Phụ lục: Tensor Einstein metric FRW mở rộng không-thời gian 5D -Với B=1, C=4: Γ114 = a a - Với B=C=2: Γ122 = r kr1 − - Với B=C=3: Γ133 = r kr2 − sin2 θ - Với B=4, C=1: Γ141 = a a • Với A=2: Γ2BC = G22 ∂G2C ∂GBC ∂G2B + − ∂θ ∂xC ∂xB -Với B=0, C=2 : Γ202 = a˙ a Γ212 = Γ220 = a˙ a Γ221 = Γ224 = a a - Với B=1, C=2 : r -Với B=2, C=0: - Với B=2, C=1: r - Với B=2, C=4 : - Với B=C=3: Γ233 = − cos θ sin θ 93 94 Phụ lục:Tensor Einstein metric FRW mở rộng không-thời gian 5D - Với B=4, C=2: Γ242 = a a • Với A=3: Γ3BC = G33 ∂G3B ∂G3C ∂GBC + − ∂φ ∂xC ∂xB - Với B=0, C=3: Γ303 = a˙ a Γ313 = - Với B=1, C=3: r - Với B=2, C=3: Γ223 = cot θ - Với B=3, C=0: Γ330 = a˙ a Γ331 = - Với B=3, C=1: r - Với B=3, C=2: Γ332 = cot θ - Với B=3, C=4: Γ334 = a a Γ343 = a a - Với B=4, C=3 : • Với A=4: Γ4BC = G44 ∂G4B ∂G4C ∂GBC + − ∂y ∂xC ∂xB Phụ lục: Tensor Einstein metric FRW mở rộng không-thời gian 5D - Với B=C=0: Γ400 = nn b2 - Với B=0, C=4: Γ404 = b˙ b - Với B=C=1: Γ411 = (kr2 aa − 1) b2 - Với B=C=2: Γ422 = − r2 aa b2 - Với B=C=3: Γ433 r2 aa sin2 θ =− b2 - Với B=4, C=0: Γ440 = b˙ b Γ444 = b b - Với B=C=4: Bây tính thành phần tensor Ricci 95 96 Phụ lục:Tensor Einstein metric FRW mở rộng không-thời gian 5D ∂ ΓC ∂ ΓC C D D AB AC − + ΓC AB ΓCD − ΓAC ΓBD ∂xC ∂xB ∂ Γ0 ∂ Γ1 ∂ Γ2 ∂ Γ4 = AB + AB + AB + AB ∂t ∂r ∂θ ∂y ∂ ΓA0 ∂ ΓA1 ∂ ΓA2 ∂ Γ3A3 ∂ Γ4A4 − − − − − ∂xB ∂xB ∂xB ∂xB ∂xB 1 0 0 + ΓAB Γ00 − ΓA0 ΓB0 + ΓAB Γ01 − ΓA0 Γ0B1 + Γ0AB Γ202 RAB = − Γ2A0 Γ0B2 + Γ0AB Γ303 − Γ3A0 Γ0B3 + Γ0AB Γ404 − Γ4A0 Γ0B4 − Γ0A1 Γ1B0 + Γ1AB Γ111 − Γ1A1 Γ1B1 + Γ1AB Γ212 − Γ2A1 Γ1B2 + Γ1AB Γ313 − Γ3A1 Γ1B3 + Γ1AB Γ414 − Γ4A1 Γ1B4 − Γ0A2 Γ2B0 + Γ2AB Γ121 − Γ1A2 Γ2B1 + Γ2AB Γ222 − Γ2A2 Γ2B2 + Γ2AB Γ323 − Γ3A2 Γ2B3 + Γ2AB Γ424 − Γ4A2 Γ2B4 − Γ0A3 Γ3B0 + Γ3AB Γ131 − Γ1A3 Γ3B1 + Γ3AB Γ232 − Γ2A3 Γ3B2 + Γ3AB Γ333 − Γ3A3 Γ3B3 + Γ3AB Γ434 − Γ4A3 Γ3B4 + Γ4AB Γ040 − Γ0A4 Γ4B0 + Γ4AB Γ141 − Γ1A4 Γ4B1 + Γ4AB Γ242 − Γ2A4 Γ4B2 + Γ4AB Γ343 − Γ3A4 Γ4B3 + Γ4AB Γ444 − Γ4A4 Γ4B4 • Khi A=0, B=0, từ khai triển (3.71), suy ra: R00 = ∂ Γ100 ∂ Γ2 ∂ Γ4 + 00 + 00 ∂r ∂θ ∂y ∂ Γ01 ∂ Γ02 ∂ Γ303 ∂ Γ404 − − − − ∂t ∂t ∂t ∂t + Γ000 Γ101 + Γ000 Γ202 + Γ000 Γ303 + Γ000 Γ404 − Γ400 Γ004 − Γ101 Γ101 + Γ100 Γ212 − Γ202 Γ202 − Γ303 Γ303 + Γ400 Γ040 − Γ004 Γ400 + Γ400 Γ141 + Γ400 Γ242 + Γ400 Γ343 + Γ400 Γ444 − Γ404 Γ404 ˙ ∂ nn ∂ aa˙ ∂ aa˙ ∂ aa˙ ∂ bb b2 = − − − − ∂y ∂t ∂t ∂t ∂t ˙ n˙ a˙ n˙ a˙ n˙ a˙ n˙ b nn n + + + + − na na na nb b n a˙ a˙ a˙ a˙ a˙ a˙ nn n − − − + aa aa aa b n n nn nn a nn a nn a nn b b˙ b˙ − + + + + − n b2 b2 a b2 a b2 a b2 b bb (3.71) Phụ lục: Tensor Einstein metric FRW mở rộng không-thời gian 5D 97 n2 nn 3a˙ b˙ 3¨a ¨b =− − + + + + 2− b3 b b a b a b n˙ a˙ n˙ a˙ n˙ b˙ nn n n˙ a˙ + + + − + na na na nb b n a˙ a˙ a˙ a˙ a˙ a˙ nn n − − − + aa aa aa b n n nn nn a nn a nn b b˙ b˙ nn a − + + + − + n b2 b2 a b2 a b2 a b2 b bb ¨ 2nb n nn 3¨a b =− − + − b b a b ˙ n˙ a˙ n˙ b nn a nn b +3 + +3 + na nb b a b b 2nb n ⇒ R00 = 3n a ab2 − nn b nn 3a˙ n˙ b˙ n˙ 3¨a ¨b + + + − − b3 b2 an bn a b Tương tự, tính thành phần lại tensor Ricci sau: • Khi A=0, B=4: R04 = 3n a˙ na + 3a b˙ ab − 3a˙ a • Khi A=B=1: 2a aa b aa n aa + − + kr2 − (kr2 − 1)b2 (kr2 − 1)b3 (kr2 − 1)b2 n (kr2 − 1)b2 2a˙ aa˙ b˙ aa˙ n˙ a¨ a − − + + 2 2 (kr − 1)n (kr − 1)n b (kr − 1)n (kr − 1)n2 R11 = − 2k + • Khi A=B=2: r2 aa b r2 aa n r2 aa 2r2 a˙ − − + b2 b3 b2 n b2 n2 2 r a˙˙b r aa˙ n˙ r a¨ a + − + bn n3 n2 R22 =kr2 − 2r2 a + • Khi A=B=3: r2 a sin2 θa b − b2 b3 r2 sin2 θa n r2 a sin2 θa 2r2 sin2 θa˙ − + b2 n b2 n2 2 r2 a sin θa˙ b˙ r2 a sin θa˙ n˙ r2 a sin2 ¨ a + − + bn n n R33 =2kr2 sin2 θ − 2r2 sin2 θa + 98 Phụ lục:Tensor Einstein metric FRW mở rộng không-thời gian 5D • Khi A=4, B=0: R40 = 3n a˙ na + 3a b˙ ab − 3a˙ a • Khi A=B=4: R44 = 3a b ab + bn 3a n 3ba˙ b˙ bb˙ n˙ b¨b − − + − + bn a n an n n Độ cong vô hướng (số hạng Ricci vô hướng): R =GAB RAB = G00 R00 + G11 R11 + G22 R22 + G33 R33 + G44 R44 = 6k a2 − 6a + 6a b − 6a n + 2b b − 6a − 2n a2 b ab3 ab2 n b3 n ab2 b2 n 6a˙ 6a˙ b˙ 6a˙ n˙ 2b˙ n˙ 6¨a 2¨b + 2+ − − + + a n abn2 an3 bn3 an2 bn2 Các thành phần tensor Einstein GAB = RAB − GAB R ⇔ GA B AC =G (3.72) A RCB − δB R • Khi A=B=0 từ (3.72), suy ra: 2 G00 =G0C RC0 − R = G00 R00 − R = − n−2 (t, y ) 3n a ab2 − nn b nn 3a˙ n˙ b˙ n˙ 3¨a ¨b + + + − − b3 b2 an bn a b 6k 6a 6a b 6a n 2b b 6a − 2+ − + − 2 a a b ab ab n b n ab 6a˙ b˙ 6a˙ n˙ 2b˙ n˙ 6¨a 2¨b 2n 6a˙ − + 2+ − − + + 3 2 − b n =− 3k a2 a n + 3a a2 b abn − 3a b ab3 an + 3a ab2 bn − 3a˙ a2 n2 an − (3.73) bn 3a˙ b˙ abn2 Tương tự, tính thành phần lại tensor Einstein: • Với A=0, B=4: G04 = −3 n a˙ 3a b˙ 3a˙ − + an abn an (3.74) 99 Phụ lục: Tensor Einstein metric FRW mở rộng không-thời gian 5D • Với A=1, B=1: G11 k bb a2 2a b 2a n 2a =− + 2 − + − + a a b ab ab n nb ab ¨b n a˙ 2a˙ b˙ 2a˙ n˙ b˙ n˙ 2¨a + − 2− + + − − b n a n abn2 an3 bn3 an2 bn2 (3.75) • Với A=B=2;3 G22 = G33 = G11 (3.76) • Với A=4,B=0: G40 = n a˙ 3a b˙ 3a˙ + − 2 ab n ab ab (3.77) • Với A=B=4: G44 = − 3k a2 + 3a a2 b + 3a n ab2 n − 3a˙ a2 n2 + 3a˙ n˙ an3 − 3¨a an2 (3.78) [...]... trong mô hình khảo sát trên, kích thước vũ trụ và gia tốc giãn nở thu được đều là hàm tuần hoàn theo thời gian Quá trình giãn nở của vũ trụ là một quá trình không liên tục Vũ trụ chỉ giãn nở trong một khoảng thời gian rồi co lại về thời điểm ban đầu Trong phần tiếp theo, chúng tôi đề nghị một mô hình mới với mong muốn có thể thu được một quá trình giãn nở tăng tốc liên tục của vũ trụ 1.2 Khảo sát trường... Planck trong không-thời gian (4 + 1) chiều, R là độ cong vô hướng 5D, Λb là hằng số vũ trụ trong không-thời gian 5D -L, V là động năng và thế năng của trường vô hướng Trong mô hình này, hằng số vũ trụ trong không-thời gian 4 chiều được cho bằng 1 Trong phần này, thay vì ký hiệu Sc , S0 để chỉ brane quan sát được và không quan sát được, chúng tôi sử dụng ký hiệu Svis , Shid 26 Giãn nở tăng tốc trong mô hình. .. trụ 1.2 Khảo sát trường vô hướng χ trong mô hình RandallSundrum như một trường Quintessence Trong phần này, chúng tôi khảo sát mô hình hai brane Randall-Sundrum với giả thiết hai brane được lấp đầy bởi trường vô hướng Quintessence và được gắn trong 1.2 Khảo sát trường vô hướng χ trong mô hình Randall-Sundrum như một trường Quintessence 25 bulk 5D lấp đầy bởi hằng số vũ trụ âm Λb Chúng tôi sử dụng nguyên... tensor năng- xung lượng trong bulk và trong 2 brane, từ đó xác định mật độ năng lượng và mật độ áp suất toàn phần Chúng tôi tìm các phương trình cơ bản của vũ trụ học bao gồm: phương trình Friedmann, phương trình gia tốc, phương trình liên tục trong không-thời gian 5D Sau đó, chúng tôi sử dụng các phương trình này để mô tả cho mô hình đang khảo sát, xem xét các điều kiện để xuất hiện sự giãn nở tăng tốc của. .. 12l(1 + ωc ) 12l(1 + ωc ) 3l(1 + ωc ) kích thước vũ trụ co ngược trở về giá trị ac = 0 Như vậy, sự phát triển của vũ trụ bao gồm hai quá trình: giãn nở trong một khoảng thời gian và sau đó co trở về thời điểm ban đầu Ở đây, chúng tôi chỉ quan tâm tới quá trình giãn nở Để tìm gia tốc của sự giãn nở, chúng tôi thực hiện như sau: Lấy đạo hàm theo thời gian hệ số kích thước ac , với ac được cho bởi (1.79)... số của metric với mật độ năng lượng và mật độ áp suất trên hai brane Hai phương trình này mô tả hai brane 3 chiều đồng nhất và đẳng hướng Bây giờ, chúng tôi sẽ sử dụng các phương trình này để khảo sát sự phát triển vũ trụ học trên hai brane 1.1.2 Hệ số Hubble trên hai brane Trong phần này, chúng tôi sẽ thực hiện tìm phương trình cụ thể đối với hệ số Hubble trên hai brane Trước tiên chúng tôi khảo sát. .. hình đang khảo sát, xem xét các điều kiện để xuất hiện sự giãn nở tăng tốc của vũ trụ 1.2.1 Hàm tác dụng và biến phân hàm tác dụng Khảo sát mô hình hai brane Randall-Sundrum, trong đó hai brane được lấp đầy bởi trường vô hướng Quintessence và được gắn trong bulk 5D lấp đầy bởi hằng số vũ trụ âm Λb Hàm tác dụng trong mô hình có dạng [5, 6] S = Sgraviry + Svis + Shid (1.83) Với yc Sgraviry = 4 d x √... gia tốc ¨ac = −C l2 2 + 3ωc + cos2 [3l(1 + ωc )τ ] (5 + 6ωc ) cos[3l(1 + ωc )τ ] 3(1 + ωc ) (1.82) Để xuất hiện sự giãn nở tăng tốc thì ¨a > 0 ⇔ 2 + 3ωc + cos2 [3l(1 + ωc )τ < 0 Vì 0 ≤ cos2 [3l(1 + ωc )τ ≤ 1 nên: Với cos2 [3l(1 + ωc )τ = 0 ⇒ 2 + 3ωc < 0 ⇒ ωc < − 2 3 Với cos2 [3l(1 + ωc )τ = 1 ⇒ 2 + 3ωc + 1 < 0 ⇒ ωc < −1 2 Vậy trong quá trình giãn nở, khi ωc < − vũ trụ sẽ giãn nở tăng tốc 3 Như vậy, trong. ..2 Giãn nở tăng tốc trong mô hình Randall-Sundrum 1.1 Mô hình Randall - Sundrum biến đổi theo thời gian 1.1.1 Các phương trình cơ bản Khảo sát hai brane 3 chiều trong bulk Anti de Sitter 5 chiều Giả thiết 2 brane đồng nhất và đẳng hướng Chiều thứ 5 tuần hoàn và có tính đối xứng phản chiếu (reflection symmetry) Không-thời gian 3 chiều được mô tả bởi metric [10] dΣ2k = γµν... hai brane Trước tiên chúng tôi khảo sát mô hình Randall và Sundrum [5, 6] Metric trong mô hình có dạng: dS52 = e−2l|y| ηµν dxµ dxν − dy 2 (1.13) Với l = (−Λb /6)1/2 là kích thước của chiều thứ 5 thêm vào, ηµν là metric Minkowski 4D Trong tọa độ cầu, metric (1.13) trở thành dS52 = e−2l|y| dt2 − e−2l|y| (dr2 + r2 dΩ2 ) − dy 2 (1.14) 4 Giãn nở tăng tốc trong mô hình Randall-Sundrum với dΩ2 = dθ2 + sin2