Công thức black – scholes trong toán tài chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - PHẠM QUANG KHẢI CÔNG THỨC BLACK – SCHOLES TRONG TỐN TÀI CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà nội – Năm 2013 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - PHẠM QUANG KHẢI CƠNG THỨC BLACK – SCHOLES TRONG TỐN TÀI CHÍNH Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS TRẦN HÙNG THAO Hà nội – Năm 2013 LỜI MỞ ĐẦU Trong việc định giá gói tài sản tài thị trƣờng chứng khốn mơ hình Black – Sholes đời vào năm 1973 đƣợc đánh dấu nhƣ bƣớc ngoặt có tính chất cách mạng, làm thay đổi hẳn q trình tính tốn đầu tƣ thị trƣờng tài Mỹ Châu Âu kể từ Mơ hình định giá quyền chọn đƣợc gắn liền với tên tuổi Fischer Black, Myron Scholes Merton Miller sở cho giải thƣởng Nobel kinh tế năm 1986 Để tới phƣơng trình giá cơng thức định giá, tác giả mơ hình giả thiết biến đổi giá chứng khoán sở S t  theo thời gian t trình chuyển động Brown hình học:  S t   S 0exp   dS t    S t dt S t dWt , hệ số   đƣợc định giả thiết số,  biểu thị tốc độ biến đổi trung bình giá chứng khốn S t  cịn  đƣợc gọi độ biến động, thể mức độ tham gia nhiễu ngẫu nhiên dWt Trong trình ứng dụng sau, mơ hình Black – Sholes cổ điển tỏ có nhiều hạn chế, chƣa phản ánh tốt phát triển thực tế việc định giá hợp đồng quyền chọn Các nhà nghiên cứu toán học kinh tế tài mở rộng mơ hình cho phù hợp với thực tế Sự mở rộng đƣợc phát triển theo hai hƣớng chính: Hƣớng thứ nhằm thay trình điều khiển Wiener (chuyển động Brown) Wt trình khác, chẳng hạn q trình khuếch tán có bƣớc nhảy hay trình Lévy, hay trình tổng hợp nhiều loại chuyển động ngẫu nhiên hay q trình phân thứ Đã có nhiều thành cơng theo hƣớng này, phải kể đến cơng trình E.Eberlein, T.Bjork, D.Nualart… Một khuynh hƣớng tự nhiên thứ hai không xem tốc độ biến đổi  tốc độ biến động  chứng khoán số mà phải xem chúng biến đổi theo thời gian t :    t ,    t , biến ngẫu nhiên hàm ngẫu nhiên Theo hƣớng này, gần xuất cơng trình đặc biệt hai tác giả Richard J.Criego Anatoly V.Swishchuk, nghiên cứu mơ hình Black – Scholes với hệ số   phụ thuộc vào xích Markov: trạng thái xích Markov xem giá chứng khốn tn theo mơ hình Black – Scholes cổ điển, nhƣng theo thời gian với chuyển trạng thái xích Markov giá chứng khốn lại ứng với mơ hình Black – Scholes cổ điển khác Ta nói cách sơ lƣợc ta có mơ hình Black – Scholes đƣợc “nhúng” môi trƣờng ngẫu nhiên tạo xích Markov Luận văn tổng hợp cách có hệ thống kết cơng trình Luận văn gồm chƣơng: Chương I gồm kiến thức mở đầu, trình bày số khái niệm Tốn Tài Chính Giải tích ngẫu nhiên liên quan đến đề tài luận văn nhƣ Quyền chọn, Trái phiếu lãi suất, Toán tử sinh cực vi, cơng thức Feynman – Kac … Chương II trình bày chung phƣơng trình vi phân ngẫu nhiên mà hệ số dịch chuyển (drift)  hệ số khuếch tán (diffusion)  phụ thuộc vào xích Markov Chương III trình bày mơ hình Black – Scholes với hệ số   phụ thuộc vào xích Markov, dẫn giải cách tìm cơng thức định giá Black – Scholes cho mơ hình quyền chọn thông qua phƣơng pháp Feynman – Kac Phần cuối luận văn, ngồi Kết luận cịn có Phụ lục liên quan tới kĩ thuật tính tốn nội dung luận văn, Phụ lục gồm Phương pháp độ đo xác suất rủi ro trung tính Phụ lục gồm Các định lý Girsanov biến đổi độ đo Luận văn đƣợc hoàn thành sau thời gian dài nỗ lực tác giả với hƣớng dẫn nhiệt tình động viên liên tục thầy hƣớng dẫn PGS – TS Trần Hùng Thao Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Trần Hùng Thao, ngƣời hết lòng bảo, động viên, giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến trƣờng Đại học Khoa học Tự nhiên nơi tác giả đƣợc học tập, nghiên cứu suốt trình học Cao học trình làm luận văn, cảm ơn trƣờng Đại học Hàng hải Việt Nam nơi tác giả công tác tạo điều kiện tốt để tác giả tập trung học tập hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, động nghiệp giúp đỡ động viên tác giả suốt thời gian qua Tuy có nhiều cố gắng nhƣng khả hạn chế, thời gian không dài nên luận văn không tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận đƣợc góp ý thầy cô bạn đồng nghiệp Hy vọng sau luận văn tác giả có hội phát triển thêm nội dung khoa học thú vị luân văn Ngày 30 tháng 10 năm 2013 Học viên Phạm Quang Khải MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU MỤC LỤC CHƢƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Trái phiếu, cổ phiếu, lãi suất 1.1.1 Trái phiếu 1.1.2 Cổ phiếu 1.1.3 Lãi suất 1.2 Thị trƣờng đầy đủ không đầy đủ 1.2.1 Cơ hội có độ chênh thị giá 1.2.2 Nguyên lý đáp ứng khái niệm thị trƣờng đầy 1.3 Quyền chọn mua kiểu Châu Âu 1.4 Q trình Markov, xích Markov tốn tử sinh cực vi 1.4.1 Quá trình Markov 1.4.2 Xích Markov 1.4.3 Toán tử sinh cực vi 1.5 Quá trình Poisson chuyển động Brown 1.5.1 Quá trình Poisson 1.5.2 Quá trình Poisson phức hợp 1.5.3 Chuyển động Brown ( hay trình Wiener ) 1.6 Công thức Feynman – Kac CHƢƠNG II QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN ĐIỀU KHIỂN BẰNG XÍCH MARKOV……………………………………………………………… 30 2.1 Q trình ngẫu nhiên đƣợc điều khiển xích Markov 2.2 Các kết CHƢƠNG III MƠ HÌNH BLACK – SCHOLES ĐỐI VỚI THỊ TRƢỜNG KHÔNG ĐẦY ĐỦ (B,S,X) 3.1 Công thức Feynman-Kac cho q trình tiến hóa ngẫu nhiên Z 39 3.2 Phƣơng trình Black – Scholes cho thị trƣờng chứng khốn khơng đầy đủ B, S, X  42 3.3 Quyền chọn mua kiểu Châu Âu thị trƣờng B, S, X  .44 3.4 Công thức Black – Sholes cho thị trƣờng B, S , X  45 Kết luận .48 PHỤ LỤC 49 Tài liệu tham khảo .56 CHƢƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số khái niệm Tốn Tài Giải tích ngẫu nhiên liên quan đến đề tài luận văn Trƣớc tiên, ta nêu khái niệm tài sản sở trái phiếu cổ phiếu sở tạo gói tài sản mà nhà đầu tƣ muốn thiết lập.Các gói tài sản gọi tài sản phái sinh Tài sản phái sinh đặc biệt mà ta đề cập tới loại hợp đồng tài mà ta gọi quyền chọn, gồm quyền chọn mua quyền chọn bán Và mơ hình Black-Scholes mơ hình cho phép định giá quyền chọn mua (hoặc bán) mà ta nói chƣơng đƣợc phát triển chƣơng sau với tham gia xích Markov Phần sau chƣơng nói xích Markov vấn đề liên quan đến luận án, 1.1 Trái phiếu, cổ phiếu, lãi suất 1.1.1 Trái phiếu Khái niệm Trái phiếu loại chứng khoán quy định nghĩa vụ ngƣời phát hành (ngƣời vay tiền) phải trả cho ngƣời nắm giữ chứng khoán (ngƣời cho vay) khoản tiền xác định, thƣờng khoảng thời gian cụ thể, phải hoàn trả khoản cho vay ban đầu đáo hạn Đặc điểm a Một trái phiếu thơng thƣờng có ba đặc trƣng chính, -Mệnh giá -Lãi suất định kỳ (coupon) - Thời hạn b Trái phiếu thể quan hệ chủ nợ – nợ ngƣời phát hành ngƣời đầu tƣ Phát hành trái phiếu vay vốn Mua trái phiếu cho ngƣời phát hành vay vốn nhƣ vậy, trái chủ chủ nợ ngƣời phát hành Là chủ nợ, ngƣời nắm giữ trái phiếu (trái chủ) có quyền địi khoản tốn theo cam kết khối lƣợng thời hạn, song khơng có quyền tham gia vào vấn đề bên phát hành c Lãi suất trái phiếu khác nhau, đƣợc quy định yếu tố: Cung cầu vốn thị trƣờng tín dụng Lƣợng cung cầu vốn lại tuỳ thuộc vào chu kỳ kinh tế, động thái sách ngân hàng trung ƣơng, mức độ thâm hụt ngân sách phủ phƣơng thức tài trợ thâm hụt Mức rủi ro nhà phát hành đợt phát hành Cấu trúc rủi ro lãi suất quy định lãi suất trái phiếu Rủi ro lớn, lãi suất cao Thời gian đáo hạn trái phiếu Nếu trái phiếu có mức rủi ro nhƣ nhau, nhìn chung thời gian đáo hạn dài lãi suất cao 1.1.2 Cổ phiếu Cổ phiếu chứng công ty cổ phần phát hành bút toán ghi sổ xác nhận quyền sở hữu cổ phần cơng ty Cổ phiếu ghi tên khơng ghi tên Cổ phiếu phải có nội dung chủ yếu sau đây: Tên, địa trụ sở cơng ty; Số ngày cấp Giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh; Số lƣợng cổ phần loại cổ phần; Mệnh giá cổ phần tổng mệnh giá số cổ phần ghi cổ phiếu; Họ, tên, địa thƣờng trú, quốc tịch, số Giấy chứng minh nhân dân, Hộ chiếu chứng thực cá nhân hợp pháp khác cổ đông cá nhân; tên, địa thƣờng trú, quốc tịch, số định thành lập số đăng ký kinh doanh cổ đông tổ chức cổ phiếu có ghi tên; Tóm tắt thủ tục chuyển nhƣợng cổ phần; Chữ ký mẫu ngƣời đại diện theo pháp luật dấu công ty; Số đăng ký sổ đăng ký cổ đông công ty ngày phát hành cổ phiếu; Các nội dung khác theo quy định dƣới cổ phiếu cổ phần ƣu đãi 1.1.3 Lãi suất Lãi suất tỷ lệ tổng số tiền phải trả so với tổng số tiền vay khoảng thời gian định Lãi suất ngƣời vay phải trả để đƣợc sử dụng tiền không thuộc sở hữu họ lợi tức ngƣời cho vay có đƣợc việc trì hỗn chi tiêu Có nhiều loại lãi suất nhƣ: lãi suất tiền vay; lãi suất tiền gửi; lãi suất tái cấp vốn; lãi suất liên ngân hàng, v.v Theo John Maynard Keynes lãi suất tƣợng tiền tệ phản ánh mối quan hệ cung cầu tiền Cung tiền đƣợc xác định cách ngoại sinh, cầu tiền phản ánh nhu cầu đầu cơ, phòng ngừa giao dịch tiền Trái với Keynes, nhà kinh tế học cổ điển trƣớc coi lãi suất tƣợng thực tế, đƣợc xác định áp lực suất - cầu vốn cho mục đích đầu tƣ - tiết kiệm Tác động tới kinh tế Thông qua vay nợ 10 Kết luận Nhƣ luận văn này, tơi trình bày: 1/ Những kiến thức trái phiếu lãi suất Tốn Tài chính, với khái niệm xích Markov, tốn tử sinh cực vi, mối liên hệ toán Cauchy phƣơng trình đạo hàm riêng lời giải phƣơng trình vi phân ngẫu nhiên qua Đinh lý Feynman-Kac 2/ Một lý thuyết Phƣơng trình vi phân ngẫu nhiên phụ thuộc vào hai nguồn ngẫu nhiên, mà chuyển động Brown, nguồn ngẫu nhiên thứ hai xích Markov xuất hệ số chuyển dịch hệ số khuếch tán (độ biến động) 3/ Mơ hình Black-Scholes khung cảnh lý thuyết trên, tức mơ hình quyền chọn châu Âu kiểu Black-Scholes thị trƣờng không đầy đủ tham gia xích Markov.Cơng thức định giá cho mơ hình đƣợc trình bày rõ ràng Tác giả hy vọng rằng, sau luận văn này, học hỏi thêm để sâu vào hƣớng cho mơ hình Tốn Tài khác 48 PHỤ LỤC Phụ lục Phƣơng pháp độ đo xác suất rủi ro trung tính Giả sử Vt giá phƣơng án đầu tƣ thời điểm t nhằm thực hợp đồng phái sinh có giá trị đáo hạn X Đó q trình ngẫu nhiên xét không gian đƣợc lọc , F ,Ft ,0  t  T , P, Ft  luồng thơng tin thị trƣờng với F0  ,  P xác suất ban đầu Nói chung, dƣới độ đo ban đầu P Vt  khơng phải martingale Ft Ngƣời ta tìm độ đo xác suất Q hệ số tất định k t  cho: (a) Q tƣơng đƣơng với độ đo xác suất P Dƣới độ đo Q trình Vt  k t Vt martingale (b) luồng thông tin thị trƣờng Ft , tức   EQ Vt Fs Vs với s  t EQ kí hiệu kỳ vọng lấy theo độ đo xác suất Q Đặc biệt, ta lấy s  (thời điểm ban đầu) t  T (thời điểm đáo hạn), hệ thức cho ta:   EQ VT F0 V0 , Nhƣng F0  ,  nên EQ  F0   EQ , tức kỳ vọng có điều kiện F0 nhƣ khơng điều kiện Vậy ta có   EQ VT V0 49 hay EQ k T VT   k 0V0 Vì k t  hàm tất định nên ta rút  T  V0  k  0 EQ VT  k Vì ta giả thiết có ngun lý AAO nên theo Định lý 6.1, tồn phƣơng án đáp ứng  với giá Vt Vt   cho VT  XT ( XT : giá trị đáo hạn định trƣớc hợp đồng) Cuối ta có T  V0  k  0 EQ XT  k  Hệ thức cho ta biết cần đầu tƣ vốn ban đầu V0 nhƣ để đạt đƣợc giá trị hợp đồng XT nhƣ mong muốn Ngoài ra, ta biết đƣợc giá hợp đồng phái sinh thời điểm t bất kỳ,  t  T : Vt  k T    EQ XT , k t theo cách suy diễn tƣơng tự nhƣ Hệ số k t  đƣợc gọi hệ số chiết khấu hay hệ số tính lùi nhờ ta tính lùi giá tài sản từ thời điểm đáo hạn T giá thời điểm trƣớc Trong trƣờng hợp tổng quát, k t  cịn q trình ngẫu nhiên Khi giá tính lùi Vt cho công thức:  k T , V E t Q  Trên ý tƣởng phƣơng pháp độ chênh thị giá để định giá tài sản (tức hợp đồng) phái sinh kiểu Châu Âu Phƣơng pháp đƣợc gọi phƣơng pháp rủi ro trung tính 50 Xác suất rủi ro trung tính hay độ đo martingale Xét tài sản phái sinh kiểu Châu Âu có thời gian đáo hạn XT , đƣợc viết tài sản sở S S   St ,0  t  T , Để đơn giản, giả thiết S – chiều (tức tài sản sở, chẳng hạn cổ phiếu) Giả thiết giá S q trình ngẫu nhiên khơng gian xác suất đƣợc lọc , F ,Ft ,0  t  T , P  Ft  lọc mang thông tin thị trƣờng Giả sử hệ số chiết khấu là trình ngẫu nhiên xác định không gian xác suất đƣợc lọc nói Thơng thƣờng ngƣời ta hay chọn  t   er khấu e r T t  T t  , hệ số chiết , lãi suất khơng có rủi ro r tất định hệ số chiết khấu tất định 1.Định nghĩa 14 Một độ đo xác suất Q , F  đƣợc gọi xác suất rủi ro trung tính nếu: (a) Q tƣơng đƣơng với P nghĩa QA  P A=0 với AF (b) Hầu chắn ta có Trong E Q ký vọng có điều kiện F s Chú ý 51 (i) Tính chất (b) tính chất martingale q trình giá chiết khấu Do xác suất Q đƣợc gọi độ đo martingale (ii) Giả sử Q độ đo martingale Gọi Vt trình giá chiến lƣợc đầu tƣ tự tài trợ xây dựng tài sản sở S Ngƣời ta chứng minh đƣợc trình giá chiết khấu martingale Q, Ft  Nói riêng, ta có Nếu thị trƣờng đầy đủ, giá hợp đồng phái sinh  X  đƣợc đáp ứng chiến lƣợc tự tài trợ cho VT V (iii) Ngƣời ta chứng minh đƣợc kết quan trọng sau đây; kết thƣờng gọi Định lý (Định lý định giá tài sản) Một thị trường khơng có độ chênh thị giá (AAO) tồn xác suất rủi ro trung tính Q (hay độ đo martingale Q ) Chứng minh kết địi hỏi cơng cụ tốn học khó, vƣợt q mục đích Luận Văn nên khơng đƣa vào Chúng ta tham khảo thêm Essentials of Stochastic Finance Shiryaev A.N Stochastic Processes with Application to Finance Masaaki Kijima 52 Phụ lục Các định lý Girsanov Các định lý Girsanov cung cấp cho ta phƣơng tiện để thực phép biến đổi độ đo xác suất từ độ đo P cho sang độ đo Q (tƣơng đƣơng với P) cho dƣới độ đo trình giá tài sản X cho trở thành trình X martingale Nhờ ta tính đƣợc giá X suy X Đó ý tƣởng phƣơng pháp độ chênh thị giá, phƣơng pháp tốn học tài chính, dùng để tính giá tài sản phái sinh kiểu châu Âu Định lý Girsanov trình Wiener cho ta công cụ để chứng minh công thức Black – Scholes định giá Quyền Chọn Châu Âu Định lý Girsanov thứ Cho không gian xác suất , F , P Y t là trình Itơ có vi phân ngẫu nhiên nhƣ sau: dY t   at,dt  dW t , t  T , Y 0  hệ số dịch chuyển a t,thỏa mãn điều kiện Novikov  exp  E t a s,ds    0 W t  chuyển động Brown Đặt Mt Định nghĩa độ đo Q Ft , với Ft  - đại số sinh biến ngẫu nhiên W s0 s t , nhƣ sau: dQ   MT   dP 53 Khi đó, Q độ đo xác suất Ft Y t  trở thành martingale họ Ft Trường hợp đặc biệt Nếu a t,    (hằng số) Yt  .t  Wt , Mt  e Yt  trở thành martingale dƣới xác suất Q xác định bởi: dQ  MT dP Định lý Girsanov thứ hai Cho Y t  q trình Itơ có vi phân ngẫu nhiên Giả thiết tồn q trình thích nghi u t, T 0 u2 cho   t,  u t,     t,    t, Đặt Mt gọi Q xác suất xác định Giả thiết điều kiện Novikov đƣợc thỏa mãn: E  exp   0 t u s,ds   54 Khi (a) Với độ đo Q , trình W t  xác định t W t   u s ,ds  W t  chuyển động Brown Ft (b) Với độ đo Q , trình Y t  q trình Itơ với vi phân Itô nhƣ sau dYt    t,  dt   t,dWt Định lý Girsanov thứ ba Cho X t  Y t  hai q trình khuếch tán Itơ lời giải (theo thứ tự) hai phƣơng trình vi phân: dX t   bX t dt   X t dW t ; X  x, t  T dY t  b Y t    t ,   dt   Y t dW t ; Y0  x, t  T hàm bx  x thỏa mãn điều kiện định lý tồn lời giải phƣơng trình vi phân ngẫu nhiên,   t, thỏa mãn T 0 2 Giả sử u t, thỏa mãn điều kiện Novikov: Định nghĩa M t , Q W t  nhƣ định lý Girsanov thứ hai Khi i) Q độ đo xác suất Ft dYt  bY t dt  Y t dW t ii) Luật phân phối Y t  ứng với độ đo Q trùng với luật phân phối X t  ứng với độ đo P 55 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Hữu – Vƣơng Quân Hoàng, Các phương pháp tốn học tài chính, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội, 2007 [2] Nguyễn Văn Nam, Vƣơng Trọng Nghĩa, Giáo trình Thị trường chứng khốn, NXB Tài Chính, Hà Nội, 2002 [3] Nguyễn Duy Tiến, Các mơ hình xác suất ứng dụng Phần III Giải tích ngẫu nhiên, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội, 2005 [4] Trần Hùng Thao, Nhập mơn Tốn học Tài chính, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội, tái 2009 [5] I I Gihman and A V Skorohod, The theory of stochastic processes Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1975, [6] Masaaki Kijima, Stochastic Processes with Application to Finance, Chapman & Hall/CRP, Florida, 2003 [7]Richard J.Criego and Anatoly V.Swishchuk, A Black – Scholes Formula for a Market in a Random Environment, 2000 [8] Shiryaev A.N, Essentials of Stochastic Finance, Facts, Models, Theory World Scientific, 1999 [9] Steve Shreve, Stochastic Calculus and Finance, 1996 56 ... KHẢI CÔNG THỨC BLACK – SCHOLES TRONG TỐN TÀI CHÍNH Chun ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS TRẦN HÙNG THAO Hà nội – Năm... hình Black – Scholes cổ điển, nhƣng theo thời gian với chuyển trạng thái xích Markov giá chứng khốn lại ứng với mơ hình Black – Scholes cổ điển khác Ta nói cách sơ lƣợc ta có mơ hình Black – Scholes. .. gồm kiến thức mở đầu, trình bày số khái niệm Tốn Tài Chính Giải tích ngẫu nhiên liên quan đến đề tài luận văn nhƣ Quyền chọn, Trái phiếu lãi suất, Toán tử sinh cực vi, công thức Feynman – Kac …