Đang tải... (xem toàn văn)
(Luận án tiến sĩ) Các định lý ergodic và luật số lớn đối với mảng các biến ngẫu nhiên đa trị(Luận án tiến sĩ) Các định lý ergodic và luật số lớn đối với mảng các biến ngẫu nhiên đa trị(Luận án tiến sĩ) Các định lý ergodic và luật số lớn đối với mảng các biến ngẫu nhiên đa trị(Luận án tiến sĩ) Các định lý ergodic và luật số lớn đối với mảng các biến ngẫu nhiên đa trị(Luận án tiến sĩ) Các định lý ergodic và luật số lớn đối với mảng các biến ngẫu nhiên đa trị(Luận án tiến sĩ) Các định lý ergodic và luật số lớn đối với mảng các biến ngẫu nhiên đa trị(Luận án tiến sĩ) Các định lý ergodic và luật số lớn đối với mảng các biến ngẫu nhiên đa trị(Luận án tiến sĩ) Các định lý ergodic và luật số lớn đối với mảng các biến ngẫu nhiên đa trị(Luận án tiến sĩ) Các định lý ergodic và luật số lớn đối với mảng các biến ngẫu nhiên đa trị(Luận án tiến sĩ) Các định lý ergodic và luật số lớn đối với mảng các biến ngẫu nhiên đa trị(Luận án tiến sĩ) Các định lý ergodic và luật số lớn đối với mảng các biến ngẫu nhiên đa trị(Luận án tiến sĩ) Các định lý ergodic và luật số lớn đối với mảng các biến ngẫu nhiên đa trị(Luận án tiến sĩ) Các định lý ergodic và luật số lớn đối với mảng các biến ngẫu nhiên đa trị
Bộ giáo dục đào tạo TRường đại học vinh - Dương xuân giáp CáC ĐịNH Lý ergodic luật số lớn mảng biến ngẫu nhiên đa trị Luận án tiến sĩ toán học NGHệ AN - 2016 Bộ giáo dục đào tạo TRường đại học vinh - Dương xuân giáp CáC ĐịNH Lý ergodic LUậT Số LớN Đối với mảng biến ngẫu nhiên đa trị Luận án tiến sĩ toán học Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất Thống kê toán học MÃ số: 62 46 01 06 Ngêi híng dÉn khoa häc: gs ts Ngun văn quảng GS Charles castaing Nghệ an - 2016 i LỜI CAM ĐOAN Luận án hoàn thành Trường Đại học Vinh, hướng dẫn GS TS Nguyễn Văn Quảng GS Charles Castaing Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các kết trình bày luận án trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố trước Tác giả Dương Xuân Giáp ii LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn GS TS Nguyễn Văn Quảng GS Charles Castaing Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới hai Thầy-những người đặt toán, hướng dẫn, giúp đỡ tận tình chu đáo suốt trình tác giả học tập thực luận án Tác giả xin cảm ơn TS Nguyễn Văn Huấn ThS Nguyễn Trần Thuận thảo luận góp ý từ lúc viết thảo hồn thiện luận án Trong q trình hồn thành luận án, tác giả nhận quan tâm góp ý PGS TS Nguyễn Thành Quang, PGS TS Trần Xuân Sinh, PGS TS Trần Văn Ân, TS Nguyễn Trung Hòa, TS Nguyễn Thị Thế, PGS TS Lê Văn Thành, PGS TS Kiều Phương Chi, TS Nguyễn Thanh Diệu, TS Võ Thị Hồng Vân, TS Vũ Thị Hồng Thanh, TS Lê Hồng Sơn nhà khoa học bạn bè đồng nghiệp Tác giả xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Khoa Sư phạm Tốn học Phịng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh hỗ trợ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu sinh Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Viện Nghiên cứu cao cấp Tốn hỗ trợ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả học tập nghiên cứu Viện Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới người họ hàng người bạn thân thiết ln động viên khích lệ tác giả suốt q trình học tập cơng tác Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình ln chỗ dựa vững cho tác giả yên tâm học tập, nghiên cứu công tác Dương Xuân Giáp iii MỤC LỤC Một số ký hiệu thường dùng luận án Mở đầu Chương Một số tính chất hội tụ Mosco hội tụ Wijsman 13 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 13 1.2 Một số tính chất hội tụ Mosco hội tụ Wijsman mảng tập đóng khơng gian Banach 21 1.3 Một số tính chất hội tụ Mosco hội tụ Wijsman mảng biến ngẫu nhiên đa trị 1.4 Nhận xét 29 32 Chương Định lý ergodic Birkhoff dạng nhiều chiều 33 2.1 Một số kiến thức chuẩn bị 33 2.2 Định lý ergodic Birkhoff dạng nhiều chiều cho phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach thực, khả ly 35 2.3 Định lý ergodic Birkhoff dạng nhiều chiều cho biến ngẫu nhiên đa trị 40 2.4 Định lý ergodic Birkhoff dạng hai chiều cho biến ngẫu nhiên mờ 48 Chương Luật số lớn mảng hai chiều biến ngẫu nhiên đa trị 3.1 Một số kết bổ trợ 53 53 3.2 Luật số lớn mảng hai chiều biến ngẫu nhiên đa trị 57 Chương Luật số lớn mảng tam giác biến ngẫu nhiên đa trị 4.1 Dạng định lý Stolz cho trường hợp mảng tam giác 77 77 4.2 Luật số lớn mảng tam giác biến ngẫu nhiên đa trị 79 Kết luận chung kiến nghị 92 Danh mục cơng trình liên quan trực tiếp đến luận án 93 Tài liệu tham khảo 94 MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN N Q R R+ n nmin nmax tập hợp số nguyên dương tập hợp số hữu tỉ tập hợp số thực tập hợp số thực không âm phần tử n := (n1 , n2 , , nd ) ∈ Nd phần tử := (1, 1, , 1) ∈ Nd phần tử := (2, 2, , 2) ∈ Nd phần tử := (3, 3, , 3) ∈ Nd giá trị nmin := min{ni : i = 1, 2, , d} giá trị nmax := max{ni : i = 1, 2, , d} |n| giá trị |n| := d ni i=1 X x A X∗ B∗ S∗ c(X) coA clA (Ω, A, P) T IT BX Bc(X) AF x∗ , x EF t- lim inf An nmax →∞ t- lim sup An nmax →∞ M- lim nmax →∞ Wijs- An lim nmax →∞ An không gian Banach thực, khả ly chuẩn phần tử x ∈ X chuẩn tập A, với A ⊂ X không gian đối ngẫu X hình cầu đơn vị đóng X∗ mặt cầu đơn vị X∗ không gian tập đóng, khác rỗng X bao lồi đóng tập A, với A ⊂ X bao đóng tập A, với A ⊂ X không gian xác suất phép biến đổi bảo tồn độ đo khơng gian xác suất (Ω, A, P) σ -đại số tập T -bất biến σ -đại số Borel X σ -đại s Effră os ca c(X) -i s A mà biến ngẫu nhiên đa trị F đo giá trị phiếm hàm x∗ (x∗ ∈ X∗ ) điểm x ∈ X kỳ vọng biến ngẫu nhiên F giới hạn mảng {An : n ∈ Nd } ⊂ c(X) ứng với tôpô t nmax → ∞ giới hạn mảng {An : n ∈ Nd } ⊂ c(X) ứng với tôpô t nmax → ∞ giới hạn dạng Mosco mảng {An : n ∈ Nd } ⊂ c(X) nmax → ∞ giới hạn dạng Wijsman mảng {An : n ∈ Nd } ⊂ c(X) nmax → ∞ IA h.c.c m∨n m∧n log+ a a+ a− tr i tr i-j ✷ hàm tiêu A hầu chắn giá trị lớn hai số thực m n giá trị nhỏ hai số thực m n lôgarit số a ∨ 1, với a ∈ R+ giá trị a+ := max{a, 0}, a ∈ R giá trị a− := max{−a, 0}, a ∈ R trang thứ i tài liệu trích dẫn từ trang thứ i đến trang thứ j tài liệu trích dẫn kết thúc chứng minh MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài 1.1 Thời gian gần đây, định lý ergodic luật số lớn biến ngẫu nhiên đa trị nhiều nhà tốn học quan tâm nghiên cứu có nhiều ứng dụng tối ưu ngẫu nhiên, thống kê, toán kinh tế, y học số lĩnh vực khác Biến ngẫu nhiên đa trị mở rộng phần tử ngẫu nhiên Chính vậy, việc nghiên cứu định lý ergodic luật số lớn cho biến ngẫu nhiên đa trị khơng có ý nghĩa lý thuyết mà cịn có ý nghĩa thực tiễn 1.2 Thực tiễn đòi hỏi nghiên cứu mảng nhiều chiều biến ngẫu nhiên Đối với cấu trúc nhiều chiều, quan hệ thứ tự thông thường tập số khơng có tính chất tuyến tính Do đó, mở rộng định lý giới hạn biến ngẫu nhiên đa trị từ trường hợp dãy sang trường hợp mảng nhiều số ứng với nmax → ∞ nmin → ∞, gặp nhiều điều bất thường Điều góp phần làm cho kết nghiên cứu định lý giới hạn đa trị dạng luật số lớn dạng định lý ergodic cấu trúc nhiều chiều có nhiều ý nghĩa 1.3 Lý thuyết ergodic bắt nguồn từ ngành học thống kê Nghiên cứu định lý ergodic bắt đầu vào năm 1931-1932 G D Birkhoff [10] J v Neumann [59] Trong thập kỷ gần đây, định lý ergodic Birkhoff mở rộng theo hai hướng chính: cho cấu trúc nhiều chiều cho hàm đa trị Theo hướng thứ nhất, vào năm 1951-không lâu sau H E Robbins đặt tốn tính đắn định lý ergodic Birkhoff cho trường hợp hai chiều (xem [21]), N Dunford [21] A Zygmund [75] thiết lập định lý ergodic Birkhoff họ khơng giao hốn phép biến đổi bảo toàn độ đo tương ứng cho trường hợp tham số rời rạc tham số liên tục Kết sau N Dunford, J T Schwartz [22] N A Fava [27] tổng quát lên cho trường hợp toán tử Các kết tiếp tục mở rộng cho trường hợp tổng có trọng số cơng trình R L Jones J Olsen [46], M Lin M Weber [52], F Mukhamedov, M Mukhamedov S Temir [58], T Yoshimoto [73] Theo hướng thứ hai, vào năm 1991, J Ba´n [5] thiết lập định lý ergodic Birkhoff cho biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập compact giá trị mờ không gian Banach ứng với hội tụ theo khoảng cách Hausdorff Cho tới năm 2003, C Choirat, C Hess R A Seri [17] thu định lý ergodic Birkhoff cho biến ngẫu nhiên đa trị nhận giá trị tập lồi ứng với hội tụ Kuratowski Gần đây, H Ziat [74] chứng minh định lý ergodic Birkhoff cho biến ngẫu nhiên đa trị theo loại hội tụ: Mosco, Wijsman Slice Do đó, nghiên cứu định lý ergodic Birkhoff cho cấu trúc nhiều chiều cho hàm đa trị vấn đề có tính thời 1.4 Luật số lớn đa trị chứng minh lần vào năm 1975 Z Artstein R A Vitale [3] cho biến ngẫu nhiên độc lập phân phối, nhận giá trị không gian tập compact Rd , ứng với hội tụ theo khoảng cách Hausdorff Kết sau mở rộng theo hai hướng chính: cho biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian tập compact không gian Banach cho biến ngẫu nhiên nhận giá trị khơng gian tập đóng (có thể khơng bị chặn) không gian Banach Theo hướng thứ nhất, tham khảo cơng trình N Cressie [20], C Hess [34], M L Puri D A Ralescu [61], E Gin´e, M G Hahn J Zinn [31], F Hiai [40], Z Artstein J C Hansen [1], A Colubi, M Lo´pez-D´iaz, J S Dom´inguez-Menchero M A Gil [19], P Tera´n I Molchanov [69], K A Fu L X Zhang [29], Theo hướng thứ hai, luật số lớn chứng minh Z Artstein S Hart [2] cho hội tụ Kuratowski biến ngẫu nhiên độc lập phân phối, nhận giá trị không gian tập đóng Rd Sau tiếp tục nghiên cứu F Hiai [41] C Hess [37, 38, 39] cho loại hội tụ Mosco Wijsman Cho đến nay, nghiên cứu luật số lớn cho biến ngẫu nhiên đa trị vấn đề có tính thời lý thuyết xác suất 1.5 Luật số lớn đa trị chủ yếu tập trung nghiên cứu biến ngẫu nhiên độc lập Tuy nhiên, thực tế lúc giả thiết biến ngẫu nhiên độc lập Một hướng phát triển luật số lớn đa trị nghiên cứu luật số lớn dãy mảng biến ngẫu nhiên đa trị mà điều kiện độc lập thay điều kiện phụ thuộc độc lập đơi một, phụ thuộc hốn đổi được, phụ thuộc 2-hốn đổi Đây hướng nghiên cứu có giá trị mặt thực tiễn 1.6 Các định lý giới hạn dạng luật số lớn dạng định lý ergodic xác suất đa trị thường nghiên cứu cho biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian tập compact không gian tập compact yếu không gian tập lồi khơng gian tập đóng, khơng gian Banach Do đó, kết theo hướng nghiên cứu chứng minh chúng có kết hợp giao thoa lý thuyết xác suất, giải tích lồi giải tích hàm 1.7 Hội tụ theo khoảng cách Hausdorff thường sử dụng nghiên cứu biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập compact Đối với biến ngẫu nhiên đa trị nhận giá trị tập đóng, người ta thường sử dụng loại hội tụ: hội tụ Kuratowski (ứng với tôpô Fell, xem [9]), hội tụ Mosco (được giới thiệu [56, 57]) hội tụ Wijsman (được giới thiệu [70, 71]) Hội tụ Kuratowski phù hợp cho việc thiết lập luật số lớn đa trị không gian hữu hạn chiều Hội tụ Mosco mở rộng hội tụ Kuratowski không gian Banach Loại hội tụ phù hợp cho không gian phản xạ có ứng dụng thú vị bất đẳng thức biến phân (xem [56, 57]) Với mở rộng phù hợp cho không gian không phản xạ, hội tụ Wijsman giới thiệu thích hợp cho việc nghiên cứu tốc độ hội tụ sử dụng để chứng minh luật số lớn cho hội tụ Slice-một loại hội tụ có nhiều ứng dụng tối ưu ngẫu nhiên Do vậy, nghiên cứu định lý giới hạn cho biến ngẫu nhiên đa trị theo loại hội ... nhiên đa trị 3.1 Một số kết bổ trợ 53 53 3.2 Luật số lớn mảng hai chiều biến ngẫu nhiên đa trị 57 Chương Luật số lớn mảng tam giác biến ngẫu nhiên đa trị 4.1 Dạng định lý. .. là: ? ?Các định lý ergodic luật số lớn mảng biến ngẫu nhiên đa trị? ?? Mục đích nghiên cứu Mục đích luận án thiết lập định lý ergodic Birkhoff dạng nhiều chiều, thiết lập luật số lớn mảng hai số mảng. .. 2.3 Định lý ergodic Birkhoff dạng nhiều chiều cho biến ngẫu nhiên đa trị 40 2.4 Định lý ergodic Birkhoff dạng hai chiều cho biến ngẫu nhiên mờ 48 Chương Luật số lớn mảng hai chiều biến ngẫu nhiên