Luận văn luật số lớn đối với martingale trên trường ngẫu nhiên

Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN H C PH M TH THU PHƯƠNG LU T S L N Đ I V I MARTINGALE TRÊN TRƯ NG NG U NHIÊN LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C Chuyên ngành: Lý thuy t xác su t th ng kê toán h c Mã s : 60 46 01 06 Ngư i hư ng d n khoa h c GS.TSKH Nguy n Duy Ti n HÀ N I - 2015 M cl c L i c m ơn M đu M t s kí hi u Ki n th c chu n b 1.1 Kì v ng có u ki n 1.1.1 Đ nh nghĩa 91.1.2 M t s tính ch t b u ki n 1.2 Dãy martingale 12 1.2.1 Đ nh nghĩa 12 1.2.2 Các tính ch t 14 c a kì v ng có n Trư ng martingale 2.1 Trư ng martingale tr c giao 24 24 2.1.1 Đ nh nghĩa ví d 24 2.1.2 Các b t đ ng th c b n 27 2.1.3 σ-trư ng t nhiên tr c giao 31 2.1.4 Khái ni m h i t 33 2.2 Trư ng martingale 40 2.2.1 Đ nh nghĩa 40 2.2.2 M t s tính ch t 41 Lu t s l n 3.1 Lu t y u s l n 46 46 3.2 Lu t m nh s l n Tài li u tham kh o 55 64 L i c m ơn Trư c trình bày n i dung c a khóa lu n, em xin g i l i c m ơn sâu s c t i GS.TSKH Nguy n Duy Ti n ngư i t n tình hư ng d n đ em có th hoàn thành khóa lu n Em xin bày t lòng bi t ơn chân thành t i toàn th th y cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin h c, Đ i h c Khoa H c T Nhiên, Đ i H c Qu c Gia Hà N i d y b o em t n tình su t trình h c t p t i khoa Nhân d p em xin đư c g i l i c m ơn chân thành t i gia đình, b n bè bên em, c vũ, đ ng viên, giúp đ em su t trình h c t p th c hi n khóa lu n t t nghi p Hà N i, Ngày 17 tháng 12 năm 2015 H c viên Ph m Th Thu Phương M đu Xác su t m t b ph n c a toán h c nghiên c u hi n tư ng ng u nhiên Lý thuy t xác su t nh m tìm nh ng quy lu t nh ng hi n tư ng "tư ng ch ng" quy lu t M t nh ng hi n tư ng ng u nhiên đư c nghiên c u ngày tr thành công c toán h c quan tr ng lĩnh v c c a xác su t gi i tích lý thuy t v martingale Martingale b t đ u t trò chơi trò chơi đư c hi u theo nghĩa r ng: chơi bài, mua s s , đánh s đ , c phi u hay b v n đ u tư Khi b t đ u cu c chơi, ngư i chơi có v n M0, thông tin ban đ u mà ngư i chơi bi t đư c Φ0 Sau ván chơi th nh t, v n c a ngư i chơi s bi n ng u nhiên M1, thông tin sau ván chơi th nh t s tăng lên:Φ0 ⊂ Φ1 Ti p t c chơi ván th hai, v n sau chơi ván hai s bi n ng u nhiên M2 thông tin bây gi s tăng lên:F0 ⊂ F1 ⊂ F2 B ng cách đó, ti n v n s có sau ván th n bi n ng u nhiên Mn, thông tin sau chơi ván th n Fn Như v y, v n c a ngư i chơi thông tin thu th p đư c l p thành dãy {Mn, Fn} V phương di n toán h c, ta có th xem Fn dãy σ − trư ng không gi m, dãy Mn bi n ng u nhiên ph thu c vào Fn − đo đư c -Trò chơi đư c xem không thi t h i ho c công b ng: V n ván sau = v n ván trư c E (Mn+1|Φn) = Mn đư c g i martingale -Trò chơi đư c xem thi t h i: V n ván sau ≤ v n ván trư c E (Mn+1|Φn) ≤ Mn đư c g i martingale -Trò chơi đư c xem có l i: V n ván sau ≥ v n ván trư c E (Mn+1|Φn) ≥ Mn đư c g i martingale dư i Th i gian đ u tiên ngư i chơi đ t đư c m c đích đ t đư c g i th i m d ng Lý thuy t martingale m t mô hình toán h c quan tr ng có nhi u ng d ng th ng kê, phương trình vi phân, toán kinh t Đ c bi t, g n có nhi u ng d ng thú v ch ng khoán, thu hút nhi u nhà toán h c quan tâm V phương di n xác su t, martingale s m r ng c a t ng bi n ng u nhiên đ c l p kì v ng không Các đ nh lý gi i h n đóng vai trò quan tr ng lý thuy t xác su t, chúng đư c ví nh ng viên ng c c a xác su t, Kolmogorov t ng nói "Giá tr ch p nh n đư c c a lý thuy t xác su t đ nh lí gi i h n, k t qu ch y u nh t quan tr ng nh t c a lý thuy t xác su t lu t s l n" Lu n văn trình bày v lu t s l n cho Martingale v i ch s nhi u chi u Lu n văn đ c p t i khái ni m v trư ng Martingale, trư ng hi u Martingale, ch ng minh b t đ ng th c Doob c a trư ng hi u Mar- tingale, ch ng minh đ nh đ nh lí v lu t m nh s l n lu t y u s l n cho trư ng hi u Martingale B c c lu n văn bao g m: Chương Ki n th c chu n b G m khái ni m b n v xác su t gi i thi u khái quát v kì v ng có u ki n, martingale m t ch s v i th i gian r i r c g m có b t đ ng th c b n, b t đ ng th c Doob đ nh lý Doob v s h i t c a martingale Chương Trư ng martingale G m ph n: Ph n 1:Gi i thi u v martingale g m: khái ni m martingale tr c giao, b t đ ng th c b n, đ nh lý h i t Cairoli v s h i t c a martingale tr c giao Ph n 2: D a lý thuy t c a martingale m t ch s martingale tr c giao s đưa khái ni m v trư ng martingale, m i liên h gi a martingale tr c giao martingale Qua th a nh n k t qu v b t đ ng th c tính h i t c a martingale xây d ng v i martingale tr c giao, trư ng h u martingale Chương Lu t s l n G m ph n: Ph n 1: Lu t y u s l n M t s đ nh lý quan Ph n 2: Lu t m nh s l n M t s đ nh lý quan tr ng M t s kí hi u (Ω, Φ, P) : không gian xác su t R : trư ng s th c N : trư ng s t nhiên I : hàm ch tiêu Β : t p Borel Φ : σ − đ i s tương thích Γ :σ−đ is E : kì v ng L1 : t p bi n ng u nhiên kh tích trên(Ω, Φ , P) L1 : t p t t c hàm kh tích c p đo n [0, 1] L2 : t p t t c hàm kh tích c p đo n [0, 1] Kí hi u vi t t t h.c.c : h u ch c ch n LM SL : lu t m nh s l n α = (α1, , αd) = (1, 1, , 1) ∈ Nd n = (n1, , nd) m = (m1, , md) m n : m1 ≥ n1, m2 ≥ n2, , md ≥ nd m n:m n, m = n d |n| = α |n | = i=1 d i=1 ni n α ii Nd := {n = (n1, , nd)|ni ∈ N} Zd := {n = (n1, , nd)|ni ∈ Z} Chương Ki n th c chu n b 1.1 1.1.1 Kì v ng có u ki n Đ nh nghĩa Đ nh nghĩa 1.1.1 Gi s (Ω, Φ, P) không gian xác su t; X : Ω −→ R, E|X| < ∞ bi n ng u nhiên Γ σ-đ i s c a Φ Khi đó, bi n ng u nhiên Y đư c g i kì v ng có u ki n c a X đ i v i σ-đ i s Γ n u: • Y bi n ng u nhiên Γ-đo đư c • V i m i A ∈ Γ ta có: Y dP = A XdP A Γ Ta kí hi u Y = E(X|Γ) hay Y = E X 1.1.2 M t s tính ch t b n c a kì v ng có u ki n Gi s (Ω, Φ, P) không gian xác su t, bi n ng u nhiên đ u có kì v ng, Γ σ-đ i s c a Φ Đ nh lý 1.1.1 N u X = c (h ng s ) thì: E(X, Γ) = E(c|Γ) = c (h.c.c.) p −1   ≤p | | n i p ∈ Za d i | iX + j j  i + k E m a x n k  ≤C n1 j  = | E ni i j ∈a+ |  Z d X pi | pb j | n p  =| k n:k + a | i iE ∈ Z| d X i E  b 2n p p ) < | |p ≤a E t i k| ∈i h Z| X d e i + o k b ( ∈ T p ( a k 2 c ó ) ( ) | a =E j| i ∈ X Z d | j i | p b p ) , j − j − i k = C h i ) d d n 23) b đ (3.2 2) Đ nh lý ti p theo ch ng minh m t u ki n đ y đ khác cho (3.23) đ g g i s u t y r o n r g a đ b i u E đ | ó X | ( i k ( i n c a c c h m L ( x ) v R p ( x ) Đ nh lý 3.2.2 Cho {Xn, Φn; n ∈ Zd} trư ng hi u martingale l y g i tr tr o n g k h ô n g g i a n t h c L y g +∞ c c h n g s d +∞ T p N (x) = card{n; bn ≤ x} v imi x> N u {Xn; n ∈ Zd} b ch n ng u nhiên b i m t bi n n ng u g nhiên X s c h o a o c h { b b , n } l tr n |n| → o n bn → n E | X ≤ | b p m v i ∀ n m R p ( | X | ) kn n < ∞ , 60 E| X | L (| X |) < ∞ K h i đ ó n 1< b ( Thêm vào đó, n u sup b2 +1 < ∞, ta có LMSL n n b2n max |S | → |n| → ∞ bn k n k (3.26) C h n g m i n h C h o i n , t a c ó t p  Yni = XiI{|Xi|>bn − ∗} E(XiI{|Xi|>bn |Φi ) n } Zni = XiI{|Xi|≤bn − }∗ E(XiI{|Xi|≤bn |Φi ) j } Rõ ràng: Xn = Yni + Zni v i mi1in Cho > tùy ý, s d ng b t đ ng th c Chebyshew b đ 3.2.3 ta đư   c a P max A = Y ≥ bn  i + i∈ Z d j i + k ≤n i∈ Zd |n| ≤ bn |ai|E i+1 j i+k X j maxn k bn |ai|E|X|I{ n1 i∈Z d |X|≥bn} ∞ ≤C n b bn B = P(|X| > s)ds + C P(|X| > bn) < ∞ n   n P max a Z ni ≥ bn i + k p −1 p ≤p | | Z ni 1kn | n| n i + p −  ≤ C ≤ n |n| bn ∈ Zd|ai| n C { | p |X| I p X | E ≤ b b n n ≤ C i pp n p 1n } ∞ p b b s − P(|X| > s)ds < ∞ n i∈ Zd |ai|  i+1 j i+n } E|Xn|pI{|Xi|≤bn  Do đó,  P(1maxn |Si| ≥ bn) ≤ maxn 1  Yni ≥ bn i i  + j i + k  + P  m a x n a i Z n i ≥ b n  h < ∞ Tóm l i, trư ng h p bn α k= |n | thu đư c m t s u ∈ Z dk i +i j i +n k Đ m i i u đ p y h i đ h n c h n g m Đ n h l ý C h o X n c h o đ n h i n ý l , Φ trư ng hi u martingale l y giá tr không gian th c v i p > L y α1, , αd h ng s dương th a mãn < {α1, , αd} < q, s s nguyên dương cho p αs = {α1, , αd} N u Xn; n ∈ Zd b ch n ng u nhiên b i bi n n g u n h i ê n X n s a o ∈ c h o ; n Z d l E ( | X | r l o g q − n , ) k n n { α , | n | v L M | X | ) < , S L m ∞ a α v i r = x | } S | K → h i k h i m đ i ó | n (3.28) | C h }|Φ Y i = R X g i m | i X n h i | n α n |n |) ≤ g P  y t i X { n | = | t p Y | n α | α a E ( X > max Yni ≥ |n | h i  t − , α o X  |≥ } n có h k n Chúng ta P(max |Si | I i r C 1  > | + Zni v i m i õ I { ), Zni = XiI{|X E(XiI ) n n ∗ i n i i n k n i∈Zd i +1 j i +k  +P  max kn  i∈Zd α i+1 j i+k Zni ≥ |n |  Khi đó, đ ch ng minh (3.25) u ki n đ ch ng minh  A=  a Y n P i ≥ |  m n a α x |  < ∞ n k n 1 i i  ∈ Z d B= P  m a x Z n i α |  < ∞ h c j i ≥ n i t +n a n | i đ c ó c h + k n An C h 1P {| h X o l | A ý ≥ |n v α | } + B C bi n P n | 1n{ g | X || m n i ≥ n t |} h d t α < Đ nh lý 3.2.4 Cho {Xn, Φn; d ∞ n ∈ Z } trư ng hi u martingale l y giá tr không gian th c v i p > L y α1, , αd h ng s dương gi n v g n h b tr n đ o n g c h n g m , Đ n h Bth a mãn {α1, , αd} = l y P ≤q, s s nguyên cho αs = =