(Luận văn thạc sĩ) Về phương trình Laplace

(Luận văn thạc sĩ) Về phương trình Laplace(Luận văn thạc sĩ) Về phương trình Laplace(Luận văn thạc sĩ) Về phương trình Laplace(Luận văn thạc sĩ) Về phương trình Laplace(Luận văn thạc sĩ) Về phương trình Laplace(Luận văn thạc sĩ) Về phương trình Laplace(Luận văn thạc sĩ) Về phương trình Laplace(Luận văn thạc sĩ) Về phương trình Laplace(Luận văn thạc sĩ) Về phương trình Laplace(Luận văn thạc sĩ) Về phương trình Laplace(Luận văn thạc sĩ) Về phương trình Laplace(Luận văn thạc sĩ) Về phương trình Laplace(Luận văn thạc sĩ) Về phương trình Laplace(Luận văn thạc sĩ) Về phương trình Laplace(Luận văn thạc sĩ) Về phương trình Laplace(Luận văn thạc sĩ) Về phương trình Laplace(Luận văn thạc sĩ) Về phương trình Laplace(Luận văn thạc sĩ) Về phương trình Laplace(Luận văn thạc sĩ) Về phương trình Laplace(Luận văn thạc sĩ) Về phương trình Laplace(Luận văn thạc sĩ) Về phương trình Laplace(Luận văn thạc sĩ) Về phương trình Laplace

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN ĐỨC TÙNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN ĐỨC TÙNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH ĐINH NHO HÀO Thái Nguyên - 2016 i Mục lục Lời mở đầu Chương 1 Phương trình Laplace xuất xứ phương trình Laplace 1.1 Phương trình đạo hàm riêng Laplace 3 1.2 4 Xuất xứ phương trình Laplace 1.2.1 Ba định luật Keple 1.2.2 1.2.3 Xây dựng phương trình đạo hàm riêng Laplace Một số mơ hình vật lý khác phương trình Laplace 11 Chương Các tính chất phương trình Laplace 2.1 Tính bất biến tốn tử Laplace 2.1.1 2.1.2 2.2 2.3 2.4 14 14 Toán tử Laplace Tính bất biến tốn tử Laplace 14 16 Điều kiện Cauchy-Riemann Hàm điều hịa số tính chất chúng 20 21 2.3.1 2.3.2 Hàm điều hòa Biểu diễn Green hàm điều hòa 21 22 2.3.3 Tính chất hàm điều hịa 24 Điều kiện cần đủ để toán Cauchy cho phương trình Laplace có nghiệm 29 2.4.1 2.4.2 Các toán biên Tính phụ thuộc liên tục nghiệm 29 30 2.4.3 Sự tồn nghiệm tốn Dirichlet phương trình Laplace hình cầu 32 Các định lý hội tụ 34 2.4.4 ii 2.4.5 Sự tồn nghiệm toán Dirichlet miền 2.4.6 bị chặn - Phương pháp Perron Bài toán Cauchy cho phương trình Laplace 35 36 KẾT LUẬN 39 Tài liệu tham khảo 40 Lời mở đầu Phương trình Laplace nhà tốn học người Pháp Pierre-Simon Laplace (23 tháng 1749 – tháng 1827) đưa có ứng dụng nhiều thực tế Ngồi ra, Laplace cịn nhà thiên văn học có cơng xây dựng tảng ngành thiên văn học cách tóm tắt mở rộng cơng trình nghiên cứu người trước sách tập với tựa đề Mécanique Céleste (Cơ học Thiên thể) (1799-1825) Cuốn sách chuyển đổi nghiên cứu học cổ điển mang tính hình học Isaac Newton thành nghiên cứu dựa vi tích phân, biết đến học (vật lý) Ông người đưa phương trình Laplace Biến đổi Laplace xuất tất ngành toán lý — ngành mà ông người sáng lập Toán tử Laplace, sử dụng nhiều toán học ứng dụng, đặt theo tên ông Trong luận văn này, chúng tơi trình bày xuất xứ số tính chất phương trình Laplace Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Phương trình Laplace xuất xứ phương trình Laplace Chương giới thiệu phương trình Laplace số mơ hình vật lý phương trình Laplace Chương 2: Nghiệm phương trình Laplace Chương đưa số tính chất phương trình Laplace điều kiện Cauchy-Riemann, tính giải tích nghiệm, điều kiện cần đủ để nghiệm tốn Cauchy cho phương trình Laplace có nghiệm Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn GS.TSKH Đinh Nho Hào Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Tốn K8B (khóa 2014-2016) động viên giúp đỡ tác giả nhiều q trình học tập Tơi xin chân thành cảm ơn! Tác giả Nguyễn Đức Tùng Chương Phương trình Laplace xuất xứ phương trình Laplace Phương trình Laplace phương trình đạo hàm riêng đặt theo tên nhà toán học người Pháp Pierre-Simon DeLaplace (1749-1827) Ông người đưa phương trình Laplace Chương giới thiệu xuất xứ ý nghĩa vật lý phương trình Laplace 1.1 Phương trình đạo hàm riêng Laplace Định nghĩa 1.1.1 Trong không gian n chiều, cho u hàm thực khả vi lần Phương trình Laplace phương trình: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + + = ∂ xn2 ∂ x12 ∂ x22 (1.1) Khi vế phải không nhất: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + + = f (x1 , x2 , , xn ) f ∈ Rn 2 ∂ xn ∂ x1 ∂ x2 (1.2) phương trình gọi phương trình Poisson Ta thường gặp phương trình Laplace khơng gian chiều hệ tọa độ khác sau: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + = (i) Trong hệ tọa độ Descartes: + ∂x ∂ y2 ∂ z2 1∂ ∂u ∂ 2u ∂ 2u (ii) Trong hệ tọa độ trụ: r + + = r ∂r ∂r r ∂r ∂z (iii) Trong hệ tọa độ cầu: ∂ ρ2 ∂ ρ ρ2 ∂u ∂ρ + ρ sin2 θ ∂ ∂θ sinθ ∂u ∂θ + ∂ 2u = ρ sin2 θ ∂ ϕ Nghiệm phương trình Laplace hàm điều hịa 1.2 1.2.1 Xuất xứ phương trình Laplace Ba định luật Keple Như biết, Tycho Brahe (1546-1601) nhà thiên văn học người Đan Mạch , người quan sát bầu trời khơng qua kính viễn vọng vịng khoảng 20 năm ông để lại liêu quan trọng Từ liệu đó, nhà thiên văn học người Đức Jahannes Keple nghiên cứu đưa ba quy luật sau: (i) Mọi hành tinh chuyển động theo quy đạo hình eliptic Mặt Trời tiêu điểm (ii) Đoạn thẳng nối mặt trời với hành tinh quét diện tích khoảng thời gian (iii) Tỉ số lập phương trục lớn bình phương chu kì quay giống với hành tinh.( tỉ số số) Các quy luật đẹp phức tạp Sau , Newton tìm biểu thức đơn giản cho quy luật Đó định luật vận vật hấp dẫn : "lực hấp dẫn hai vật tỉ lệ thuận với khối lượng chúng tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách chúng Thay xét lực hút vật có khối lượng đơn vị đến vật khác, ta xét lực hấp dẫn khảo sát phương trình sau M u=γ (1.3) (x − xo )2 + (y − yo )2 + (z − zo )2 với γ số, (xo ; yo ; zo ) tọa độ vật hút, M khối lượng Các lực hút thành phần Fx , Fy , Fz tác dụng  vào vật có khối lượng đơn ∂u   F =  x  ∂x   ∂u vị đặt điểm (x, y, z) xác định sau : Fy =  ∂y    ∂u  Fz = ∂z Trường hấp dẫn u xác định véc tơ F = (Fx ; Fy ; Fz ) Trong trường hợp lực hấp dẫn hệ chất điểm (tâm khối lượng Mi đặt điểm có tọa độ (xi ; yi ; zi )) lực hút tính theo cơng thức: u = γ∑ i M (x − xi )2 + (y − yi )2 + (z − zi )2 (1.4) Laplace đề xuất để nghiên cứu lực hấp dẫn ta khơng sử dụng hàm u mà từ phương trình vi phân mà hàm thỏa mãn 1.2.2 Xây dựng phương trình đạo hàm riêng Laplace Trước tiên ta khảo sát thành phần cơng thức (1.4) Ta tính đạo hàm Ta kí hiệu khoảng cách hai điểm (x; y; z) (xi ; yi ; zi ) r= (x − xi )2 + (y − yi )2 + (z − zi )2 lấy đạo hàm riêng theo biến x hàm r ta được: ∂r = ∂x x − xi (x − xi )2 + (y − yi )2 + (z − zi )2 = x − xi r (1.5) ∂ r y − yi ∂ r z − z i = , = ∂y r ∂z r Từ ta đạo hàm sau: Tương tự ta được:  ∂r ∂ ui x − xi  ∂   = −γMi 2x = −γMi   r r  ∂x y − yi ∂ ui = −γMi  ∂ y r    ∂ u z − zi   = −γMi ∂z r (1.6) Lấy đạo hàm lần ta nhận được: ∂ ui = −γMi ∂ x2 r3 − (x − xi ) ∂∂rx r6 Tương  tự ta được: 3(y − yi )2 ∂ ui    = γMi − + ∂y r r5 ∂ 2u 3(z − zi )2    2i = γMi − + ∂z r r5 Từ ta phương trình: = γMi 3(x − xi )2 − 3+ r r5 ∂ ui ∂ ui ∂ ui + + = ∂ x2 ∂ y2 ∂ z2 (1.7) Với u = ∑ ui ta đẳng thức sau: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + = ∂ x2 ∂ y2 ∂ z2 (1.8) Đẳng thức gọi phương trình Laplace Theo cách xây dựng trên, Laplace không cho ta công thức tường minh lực, mà cho ta công thức trường u cách thay phép tốn vào phương trình vi phân Ta coi phương trình vi phân mơ tả tương tác trường u Laplace cho ý tưởng dùng phương trình vi phân để mơ tả trường u, phương trình tác động khắp nơi ngồi điểm mà tập trung khối lượng hấp dẫn (tại điểm x = xi , y = yi , z = zi ta khơng tính đạo hàm theo công thức trên) 26 Định lý 2.3.6 Nếu u ∈ C2 (Ω) thỏa mãn: u(x) = ∂ B(x,r) udS cho hình cầu B(x, r) ⊂ Ω u hàm điều hịa Chứng minh Nếu ∆u khơng đồng với 0, tồn số hình cầu B(x, r) ⊂ Ω, ta nói ∆u > B(x, r) Nhưng sau cho φ trên, = φ (r) = r n B(x,r) ∆u(y)dy >0 Mâu thuẫn với giả thiết Từ đó, ta điều phải chứng minh Định lý 2.3.7 ( Nguyên lý cựu trị mạnh) Giả sử hàm u ∈ C2 (Ω) thỏa mãn hệ thức ∆u ≥ 0(∆u ≤ 0) Ω tồn ξ ∈ Ω cho u(ξ ) = supΩ u (u(ξ ) = in fΩ u) Khi đó, u hàm Do hàm điều hòa Ω, khác số không đạt giá trị lớn nhất, nhỏ điểm Ω Hệ 2.3.8 (Nguyên lý cựu trị mạnh miền bị chặn) Giả sử Ω miền bị chặn u ∈ Ω hàm điều hịa Ω Khi đó, inf u ≤ u(x) ≤ sup u ∂Ω ∂Ω Chứng minh Giả sử tồn điểm x0 ∈ Ω u(x0 ) = M = maxΩ u Từ đó, với < r < dist(x0 , ∂ Ω), theo tính chất giá trị trung bình ta có M = u(x0 ) = B(x,r) udy ≤ M Đẳng thức giữ u ≡ M B(x0 , r), ta thấy u(y) = M với y ∈ B(x0 , r) Do đó, với tập {x Ω|u(x) = M} tập mở tương đối đóng Ω Từ đó, ta có điều phải chứng minh Định lý 2.3.9 (Ước lượng dẫn xuất) Giả sử u hàm điều hịa Ω Từ đó, |Dα u(x0 )| ≤ Ck ||u||L1 (B(x0 ,r))) rn+k 27 cho hình cầu B(x0 , r) ⊂ Ω α mà |α| = k Ở đó, C0 = (2n+1 nk)k ,Ck = α(n) α(n) (k = 1, 2, ) Chứng minh 1.Ta thiết lập công thức dựa vào k, trường hợp k = có nhờ nguyên lý giá trị trung bình Cho k = 1, ta ý phân biệt phương trình Laplace mà uxi (i = n) hàm điều hòa Hệ 2n |uxi (x0 ) = | x0 ,r\2 uxi dx| = | α(n)rn B(x0 ,r\2 uvi dS| ≤ 2n ||u||L∞ (∂ B(x0 , 2r ) r Nếu x ∈ ∂ B(x0 , r\2), B(x0 , r\2) ⊂ B(x0 , r) ⊂ U, |u(x) ≤ α(n) r n ||u||L1 (B(x0 ,r)) Từ ta |Dα u(x0 )| ≤ Ck ||u||L1 (B(x0 ,r))) rn+k Nếu |α| = 1, thay trở lại ta điều phải chứng minh cho k = Giả sử k ≥ công thức co hiệu lực với tất hình cầu Ω α ≤ k − 1.Với B(x0 , r) ∈ Ω |α| = k Từ Dα u = (Dβ )xi với i ∈ {1, , n}, |β | = k − Theo chứng minh ta có: |Dα u(x0 )| ≤ 2n ||u||L∞ (∂ B(x0 , 2r ) r Nếu x ∈ ∂ B(x0 , kr ), B(x, k−1 k r) ⊂ B(x0 , r) ⊂ Ω Ta được: k−1 |Dβ u(x )| ≤ (2n+1 n(k − 1))) α(n)( k−1 k r n+k−1 ||u||L1 (B(x0 ,r)) Kết hợp ước lượng ta được: k |Dα u(x (2n+1 nk)) ||u||L1 (B(x0 ,r)) )| ≤ rn+k Ta điều kiện định lý cho |α| = k 28 Định lý 2.3.10 (Tính giải tích) Giả sử u hàm điều hịa Ω Khi đó, u giải tích Ω Chứng minh Với điểm x0 ∈ u Ta phải cho thấy u đại diện dãy lũy thừa lân cận x0 Đặt r = 41 dist(x0 , ∂ Ω) Khi đó, M = α(n)r n ||u||L1 (B(x0 ,2r)) < ∞ Từ B(x, r) ⊂ B(x0 , 2r) ⊂ Ω cho x ∈ B(x0 , r), theo định lý (2.4) ta có ||Dα uL∞ (B(x0 ,r)) Ta có |α| 2n+1 n ≤M r |α||α| kk < ek cho tất số nguyên dương k, k! |α||α| ≤ e|α| |α|! với α Lại có |α|! |α|=k α! nk = (1 + + 1)k = ∑ Từ |α||α| ≤ e|α| |α|!, kết hợp với bất bẳng thức ta có ||Dα uL∞ (B(x0 ,r)) 2n+1 n2 e ≤ CM r |α| α! Khai triển Taylor cho u x0 Dα u(x0 ) (x − x0 )α ∑ α! α Nhận thấy dãy lũy thừa hội tụ Từ |x − x0 | < r 2n+2 n3 e Để xác minh điều này, ta tính tốn cho N hữu hạn: Dα u(x0 )(x − x0 )α RN (x) = u(x) − ∑ ∑ α! k=0 |α|=k α D u(x0 + t(x − x0 ))(x − x0 )α = ∑ α! |α|=N N−1 29 với ≤ t ≤ 1, t phụ thuộc vào x Ta thành lập công thức cách viết khai triển Taylor cho hàm biến g(t) = u(x0 + t(x − x0 )), t = Ta có ước lượng sau: |RN (x)| ≤ CM ∑ |α|=N N 2n+1 n2 e r r 2n+2 n3 e N = CM → N → ∞ 2N Định lý 2.3.11 Giả B = Bξ (R) hình cầu tâm ξ bán kính R u ∈ C(B) hàm điều hòa khác số B nhận giá trị nhỏ x0 ∈ ∂ B ∂u Nếu x0 tồn đạo hàm hướng hợp với véc tơ pháp tuyến ngồi ∂µ ∂ B x0 góc nhọn ∂u (x0 ) < ∂µ Định lý 2.3.12 Giả sử Ω miền bị chặn biên trơn, u ∈ C1 (Ω) hàm điều hịa Ω Khi ∂u dS = ∂Ω ∂v Chứng minh Áp dụng công thức Green với hàm v ≡ ta nhận hệ thức cần chứng minh 2.4 2.4.1 Điều kiện cần đủ để tốn Cauchy cho phương trình Laplace có nghiệm Các toán biên Giả sử Ω miền bị chặn Rn , ψ hàm liên tục cho trước ∂ Ω Chúng ta xét ba toán biên sau phương trình Laplace, Poisson: 1, Bài tốn biên thứ (Dirichlet): tốn tìm nghiệm u ∈ C2 (Ω) C(Ω phương trình Laplace thỏa mãn điều kiện biên u|∂ Ω=ψ 2, Bài toán biên thứ hai (Neumann): tốn tìm nghiệm u ∈ C2 (Ω) C1 (Ω) phương trình Laplace, Poisson Ω thỏa mãn điều kiện biên 30 ∂u | =ψ ∂ v ∂Ω 3, Bài tốn thứ ba (hỗn hợp): tốn tìm nghiệm u ∈ C2 (Ω) C1 (Ω) phương trình Laplace, Poisson Ω thỏa mãn điều kiện biên ∂u + au |∂ Ω = ψ ∂v Sau đây, số điều kiện đảm bảo cho tính đặt chỉnh theo nghĩa Hadamar tốn biên 2.4.2 Tính phụ thuộc liên tục nghiệm Định lý 2.4.1 Giả sử u ∈ C2 (Ω) ∩ C1 (Ω) nghiệm tốn biên thứ phương trình Laplace Ω ∆u = 0, x ∈ Ω u|∂ Ω = ψ (2.12) Khi ta đánh giá |u(x)| ≤ max |ψ|, ∀x ∈ Ω (2.13) ∂Ω Do đó, tốn biên thứ (2.8) có khơng q nghiệm C(Ω) nghiệm phụ thuộc liên tục vào kiện biên ψ Chứng minh Theo nguyên lý cực trị hàm điều hịa miền bị chặn ta có minu ≤ u(x) ≤ maxu, ∀x ∈ Ω ∂Ω ∂Ω Từ ta có đánh giá nghiệm Giả sử u1 , u2 ∈ C(Ω) hai nghiệm toán (2.12) ứng với kiện biên ψ ψ1 , ψ2 Khi u1 − u2 nghiệm tốn ứng với kiện biên ψ = ψ1 − ψ2 Theo đánh giá ta có |u1 (x) − u2 (x)| ≤ max|ψ1 − ψ2 |, ∀x ∈ Ω ∂Ω 31 Từ bất đẳng thức suy u1 = u2 Ω ψ1 = ψ2 ∂ Ω Hay toán biên có khơng q nghiệm Hơn |ψ1 − ψ2 | < ε ∂ Ω ta có |u1 − u2 | < ε Ω hay nghiệm toán phụ thuộc liên tục vào kiện biên ψ Định lý 2.4.2 Giả sử u ∈ C2 (Ω) ∩ C1 (Ω) nghiệm tốn biên thứ phương trình Poisson Ω ∆u = f (x), x ∈ Ω (2.14) u|∂ Ω = ψ Khi với x ∈ Ω ta có đánh giá minu − M1 sup| f | ≤ u(x) ≤ maxu + M1 sup| f | ∂Ω ∂Ω Ω (2.15) Ω M1 = M1 (Ω) số Do tốn biên thứ có khơng q nghiệm C(Ω) nghiệm phụ thuộc liên tục vào vế phải f kiện biên ψ Chú ý 2.4.3 Các đánh giá gọi đánh gia tiên nghiệm toàn biên thứ Định lý 2.4.4 Giả sử ∂ Ω trơn với x0 ∈ ∂ Ω tồn hình cầu BR bán kính R cho x0 ∈ ∂ BR BR ⊂ Ω (tính chất cầu thang) Khi hai nghiệm tốn biên thứ hai phương trình Laplace:   ∆u = 0, x ∈ Ω  ∂u ∂v ∂Ω =ψ (2.16) sai khác số Định lý 2.4.5 Giả sử Ω miền thỏa mãn điều kiện đinh lý (2.12) u ∈ C2 (Ω) ∩ C1 (Ω) nghiệm tốn (2.12) Khi tồn 32 số C = C(Ω), M = M(Ω) cho |u(x) −C| ≤ Mmax|ψ|, ∀x ∈ Ω (2.17) ∂Ω Định lý 2.4.6 Giả sử ∂ Ω trơn tồn số a0 > cho a(x) ≥ a0 ∂ Ω, u ∈ C2 (Ω) ∩ C1 (Ω) nghiệm tốn biên thứ ba phương trình Laplace:   ∆u = 0, x ∈ Ω  ∂u ∂v + au =ψ (2.18) ∂Ω Khi ta có đánh giá tiên nghiệm |u(x)| ≤ 2.4.3 max|ψ|, ∀x ∈ Ω a0 ∂ Ω (2.19) Sự tồn nghiệm tốn Dirichlet phương trình Laplace hình cầu Trước hết ta chứng minh tồn nghiệm tốn Dirichlet phương trình Laplace hình cầu Theo biểu diễn Green hàm điều hịa , ta tìm hàm Green tốn tử Laplace hình cầu ta có cơng thức biểu diễn nghiệm bào tốn Dirichlet tương ứng Do ta xây dựng hàm Green cho trường hợp Ω = BR = BR (0) Với ξ ∈ BR , hàm Green G(x, ξ ) = Γ(|x − ξ |) + h(x) với h(x) hàm điều hịa BR có giá trị biên ∂ Ω với −Γ(|x − ξ |) Để ý hàm h(x) = Γ(λ |x − η|), λ ∈ R hàm điều hòa x = η, nên ta chọn η ∈ BR hàm điều hịa BR , cần chọn hệ số λ thích hợp để h(x) = −Γ(|x −ξ |) hay |x −ξ | = λ |x −η| x ∈ R Việc chọn η λ thực phương pháp phản xạ (đối xứng) 33 qua mặt cầu ∂ BR Cụ thể, kí hiệu R2 ,ξ |ξ |2 ξ= =0 ∞, ξ = điểm đối xứng (nghich đảo) ξ qua mặt cầu ∂ BR Rõ ràng, ξ ∈ BR ξ ∈ BR nên ta chọn η = ξ Khi dễ dàng kiểm tra x ∈ ∂ BR |x − ξ | = nên chọn λ = sau G(x, ξ ) = |ξ | |x − ξ |, ∀ξ = R |ξ | R Từ ta xác định hàm Green Γ(|x − ξ |) − Γ |ξ | R |x − ξ | ,ξ = Γ(|x|) − Γ(R), ξ = (2.20) Tính tốn trực tiếp ta có ∂ G R2 − |ξ |2 = |x − ξ |−n ≥ 0, ∀x ∈ ∂ BR ∂v nωn R Do theo biểu diễn Green (2.10), u ∈ C(BR ) hàm điều hịa BR ta có cơng thức Poisson R2 − |ξ |2 u(ξ ) = nωn R u dS, ξ ∈ BR |x − ξ |n (2.21) ∂ BR Vế phải (2.17) gọi tích phân Poisson hàm u Bây chủ việc chứng tỏ hàm u xác định công thức (2.17) nghiệm cần tìm Điều khẳng định định lý sau: Định lý 2.4.7 Giả sử ψ hàm liên tục ∂ BR Khi hàm u xác định 34 u(ξ ) =    R2 −|ξ |2 nωn R ∂ BR u dS, ξ |x−ξ |n ∈ BR (2.22) ψ(x), ξ ∈ ∂ BR thuộc C2 (BR ) ∩C(BR ) thỏa mãn phương trình δ u = BR hay u nghiệm tốn Dirichlet phương trình Laplace hình cầu BR Việc chứng minh tồn nghiệm tốn Dirichlet phương trình Laplace miền Ω tổng quát 2.4.4 Các định lý hội tụ Trong mục đưa số kết từ công thức Poisson Định lý 2.4.8 Giả sử u hàm liên tục miền Ω Khi u hàm điều hịa Ω với hình cầu BR = BR (ξ ) ⊂⊂ Ω ta có u(ξ ) = nωn Rn−1 udS ∂ BR Định lý 2.4.9 Giới hạn dãy hàm điều hòa miền Ω hội tụ hàm điều hịa Định lý 2.4.10 (Harnack hội tụ) Giả sử un dãy đơn điệu không giảm hàm đơn điệu không giảm hàm điều hịa Ω có điểm ξ ∈ Ω cho dãy uN (ξ ) bị chặn Khi dãy uN hội tụ miền bị chặn Ω ⊂⊂ Ω tới hàm điều hịa Định lý 2.4.11 (đánh giá tiên nghiệm đạo hàm) Giả sử u ∈ C(Ω) hàm điều hòa Ω, Ω1 tập compac tùy ý Ω Khi đó, đa số α ta có α sup|D u| ≤ Ω1 d = dist(Ω1 , ∂ Ω) n|α| d |α| supu Ω (2.23) 35 Định lý 2.4.12 Mọi dãy bị chặn hàm điều hòa Ω chứa dãy hội tụ điều hòa Ω chứa dãy hộ tụ tâp compact Ω tới hàm điều hòa 2.4.5 Sự tồn nghiệm toán Dirichlet miền bị chặn Phương pháp Perron Trong mục nghiên cứu tồn nghiệm toán Dirichlet phương trình Laplace miền bị chặn bất kỳ, theo phương pháp Perron Định lý 2.4.13 (Hàm điều hòa, hàm điều hòa) Hàm u ∈ C(Ω) gọi hàm điều hòa (trên điều hòa) miền Ω, hình cầu B ⊂⊂ Ω với hàm h điều hòa B cho u ≤ h(u ≥ h) ∂ B, ta có u ≤ h(u ≥ h) B Dễ thấy hàm điều hòa Ω hàm điều hòa hàm điều hòa Các hàm điều hịa điều hịa có tính chất bổ đề sau: Bổ đề 2.4.14 Giả sử u ∈ C(Ω) hàm điều hịa Ω Khi u nhận giá trị lớn ∂ Ω Bổ đề 2.4.15 Giả sử u, v ∈ C(Ω) tương ứng hàm điều hòa hàm điều hòa Ω, u < v ∂ Ω Khi ta có u ≤ v Ω Bổ đề 2.4.16 Giả sử u1 , u2 , , un dãy hàm điều hòa Ω Khi hàm u(x) = max{u1 (x), un (x)} hàm điều hòa Ω Định nghĩa 2.4.17 (Hàm cắt điều hòa) Cho u hàm điều hịa Ω hình cầu B ⊂⊂ Ω Gọi u) hàm điều hòa B với hàm u ∂ B Ta gọi hàm cắt điều hòa hàm u B Ω hàm  u(x), x ∈ B U(x) = u(x), x ∈ Ω\B (2.24) 36 Bổ đề 2.4.18 Hàm cắt điều hòa hàm điều hòa hình cầu B Ω hàm điều hòa Ω Chú ý 2.4.19 Tương tự có kết tương ứng với hàm điều hòa cách thay u −u bổ đề Cho ψ hàm bị chặn biên ∂ Ω Kí hiệu Sψ tập hợp tất hàm u ∈ C(Ω) 2.4.6 Bài tốn Cauchy cho phương trình Laplace Xét tốn Cauchy sau: uxx + uyy = Ω ux (x, 0) = φ0 (x), uy (x, 0) = φ1 (x) với |x| < với Ω = (−l, l) × [0, h) Hadamar nhận xét φ0 (x) φ1 (x) điều kiện cần thiết cho tồn nghiệm φ0 (x) φ1 (x) hàm giải tích Giả sử φ0 (x)≡ u(x, y) lời giải Ω; −u(x, y) lời giải Ω với Ω Ω đối xứng qua trục hoành Hàm v(x, y) = u(x, y) Ω v(x, y) = −u Ω thuộc lớp C1 điều hòa Ω + Ω ngoại trừ hầu hết điểm thuộc trục hồnh Nhưng từ tính chất tốt hàm điều hịa, từ v(x, y) điều hịa giải tích Ω + Ω Vì , vy (x, 0) = φ1 (x) thiết giải (−l, l) ∈ Ω + Ω Hadamar nhận thấy điều kiện tương thích cho φ0 (x) φ1 (x) phải thỏa mãn để tốn Cauchy có nghiệm Điều kiện tương thích đưa Marcel-Riesz Giả sử u(x, y) hàm điều hòa tập mở S không gian lớp C1 (S) biên ∂ S có độ cong trơn Sử dụng cơng thức Green ta có: u(P) = 2π (Q) ∂ 1 ∂ u(Q) log log − dS ∂ n P0 Q ∂n P0 Q P ∈ S (2.25) 37 Với P0 thuộc biên S Theo tính chất vị lớp kép ta có 1 u(P0 ) = u(P0 ) + 2π (Q) ∂ ∂ u(Q) log − log dS ∂ n PQ ∂n PQ (2.26) Giả sử P0 ∈ C1 với C1 cung thuộc ∂ S ∂ S = C1 +C2 Ta xét V1 (P0 ) = 2π V2 (P) = 2π ∂ 1 ∂ u(Q) log log − dS ∂ n PQ ∂n PQ (2.27) ∂ 1 ∂ u(Q) log log − dS ∂ n PQ ∂n PQ (2.28) (Q) C1 (Q) C2 Từ ta có: µP0 −V1 (P0 ) = V2 (P0 ) Nhưng V2 (P) hàm giải tích mặt phẳng trừ cung C2 , V2 (P) giải tích C2 Do u(P0 ) −V2 (P0 ) phải vết hàm giải tích C2 , hay nói cách khác, tồn hàm giải tích cho u(P0 ) −V2 (P0 ) C2 Bởi vậy, tồn hàm giải tích u(x, y) ∂u S nhận liệu Cauchy (u )trên C2 , liệu phải ∂n thỏa mãn liệu tương thích phát biểu hàm số 1 µP0 − 2π (Q) ∂ u(Q) ∂ 1 − dS log log ∂ n PQ ∂n PQ (2.29) khai triển thành hàm giải tích lân cận C1 Điều kiện nàu dẫn tới hạn chế liệu chấp nhận ∂u tốn (u ) C2 Ví dụ, giả sử toán Cauchy xét Ω Ta ∂n giả thiết S chứa Ω C2 đoạn (a, b) với −l < a < b < l Từ điều kiện Riecz, ta nhận thấy 1 φ0 (x) − 2π b a φ1 (ξ )log|x − ξ |dξ (2.30) phải hàm giải tích với a < x < b Điều kiểm tra C1 thuộc trục x, Vì ∂ log =0 ∂ n P0 Q (2.31) 38 Thật vậy, P0 = (x, 0), Q = (ξ , y) ∂ log ∂y (x − ξ )2 + y2 =− y=0 2y |x − ξ |2 + y2 = 0, x = ξ (2.32) y=0 Bởi điều kiện giải tích (2.30) điều kiện cần để tồn nghiệm toán Cauchy Ω 39 KẾT LUẬN Luận văn trình bày tổng quan phương trình Laplace xuất xứ phương trình Laplace, cách xây dựng phương trình Laplace, số mơ hình vật lý phương trình Laplace số tính chất phương trình Laplace (tính bất biến tốn tử Laplace, tính chất hàm điều hòa, điều kiện Cauchy - Riemann, điều kiện cần đủ để toán Cauchy cho phương trình Laplace có nghiệm Nội dung luận văn là: Xuất xứ phương trình Laplace 2.Tính bất biến toán tử Laplace 3.Điều kiện Cauchy - Riemann Điều kiện cần đủ để toán Cauchy cho phương trình Laplace có nghiệm 40 Tài liệu tham khảo [1] Godunov S.K.,(1979), Phương trình vật lý tốn, Nauka, Moscow [2] Mikhailov V.P.,(1980), Partial Differential Equations, Mir Publishers, Moscow [3] C.Pucci, Somes topics in Parabolic and elliptic equation, University of Maryland, 1958 ... LUẬN Luận văn trình bày tổng quan phương trình Laplace xuất xứ phương trình Laplace, cách xây dựng phương trình Laplace, số mơ hình vật lý phương trình Laplace số tính chất phương trình Laplace. .. tính chất phương trình Laplace Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Phương trình Laplace xuất xứ phương trình Laplace Chương giới thiệu phương trình Laplace số mơ hình vật lý phương trình Laplace. .. giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập Tơi xin chân thành cảm ơn! Tác giả Nguyễn Đức Tùng Chương Phương trình Laplace xuất xứ phương trình Laplace Phương trình Laplace phương trình đạo hàm riêng đặt