Định lý 2.4.1. Giả sử u ∈C2(Ω)∩C1(Ω) là nghiệm của bài toán biên thứ nhất đối với phương trình Laplace trongΩ.
( ∆u=0,x∈Ω u|∂Ω=ψ (2.12) Khi đó ta đánh giá |u(x)| ≤max ∂Ω |ψ|,∀x∈Ω. (2.13)
Do đó, bài toán biên thứ nhất (2.8) có không quá một nghiệm trongC(Ω) và nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện biênψ.
Chứng minh.
Theo nguyên lý cực trị đối với hàm điều hòa trong miền bị chặn ta có
min
∂Ω
u≤u(x)≤max
∂Ω
u,∀x∈Ω Từ đây ta có đánh giá về nghiệm.
Giả sử u1,u2 ∈C(Ω) là hai nghiệm của bài toán (2.12) ứng với dữ kiện biênψ làψ1,ψ2. Khi đóu1−u2là nghiệm của bài toán đó ứng với dữ kiện biênψ =ψ1−ψ2. Theo đánh giá ta có
|u1(x)−u2(x)| ≤max
∂Ω
|ψ1−ψ2|,∀x∈Ω .
Từ bất đẳng thức này chúng ta suy ra u1=u2 trongΩ nếuψ1=ψ2 trên
∂Ω. Hay bài toán biên trên có không quá một nghiệm.
Hơn nữa nếu|ψ1−ψ2|<ε trên∂Ωthì ta cũng sẽ có|u1−u2|<ε trong Ωhay nghiệm của bài toán phụ thuộc liên tục vào dữ kiện biên ψ.
Định lý 2.4.2. Giả sử u ∈C2(Ω)∩C1(Ω) là nghiệm của bài toán biên thứ nhất đối với phương trình Poisson trongΩ.
(
∆u= f(x),x∈Ω
u|∂Ω=ψ
(2.14)
Khi đó với mọi x∈Ωta có đánh giá
min ∂Ω u−M1sup Ω |f| ≤u(x)≤max ∂Ω u+M1sup Ω |f| (2.15) trong đóM1=M1(Ω)là hằng số.
Do đó bài toán biên thứ nhất có không quá một nghiệm trongC(Ω) và nghiệm phụ thuộc liên tục vào vế phải f và dữ kiện biên ψ.
Chú ý 2.4.3. Các đánh giá được gọi là các đánh gia tiên nghiệm toàn biên thứ nhất.
Định lý 2.4.4. Giả sử∂Ωtrơn và với mỗi x0∈∂Ωđều tồn tại một hình cầu
BR bán kính R sao cho x0 ∈∂BR và BR ⊂Ω (tính chất cầu thang). Khi đó hai nghiệm bất kỳ của bài toán biên thứ hai đối với phương trình Laplace:
∆u=0,x∈Ω ∂u ∂v ∂Ω =ψ (2.16) chỉ có thể sai khác nhau một hằng số.
Định lý 2.4.5. Giả sửΩ là miền thỏa mãn các điều kiện của đinh lý (2.12) và u ∈C2(Ω)∩C1(Ω) là nghiệm của bài toán (2.12). Khi đó tồn tại các
hằng sốC=C(Ω), M =M(Ω)sao cho
|u(x)−C| ≤Mmax
∂Ω
|ψ|,∀x∈Ω (2.17)
Định lý 2.4.6. Giả sử∂Ω trơn và tồn tại hằng sốa0 >0 sao cho a(x)≥a0
trên ∂Ω, u ∈C2(Ω)∩C1(Ω) là nghiệm của bài toán biên thứ ba đối với phương trình Laplace: ∆u=0,x∈Ω ∂u ∂v+au ∂Ω =ψ (2.18)
Khi đó ta có đánh giá tiên nghiệm
|u(x)| ≤ 1 a0max
∂Ω
|ψ|,∀x∈Ω. (2.19)