203 bài tập hệ PHƯƠNG TRÌNH

tổng hợp các bài tập về hệ phương trình hay nhất

Gv:Hoàng Hải-36a Trần Hưng Đạo-Hoàn Kiếm-HN ĐT: 0932333922 203 BÀI TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH B ài` 1:Giải hệ phương trình: 2 2 3 3 30 35 x y xy x y          ĐS: 2 3 3 2 x x y y            Hướng dẫn : Đặt S=x+y, P=xy ( hệ đối xứng loại 1) Bài 2: Giải hệ phương trình 3 3 2 2 ( )xy x y x y         ĐS: 1 1 x y       HD: Đặt S=x-y, P=xy Bài 3: giải hệ phương trình : 1 1 1 1 ( ) ( ),P=(x+ )( )x y y x y x y     2 2 2 2 1 1 4 1 1 4 x y x y x y x y                ĐS: 1 1 x y      HD: Đặt S= 1 1 1 1 ( ) ( ),P=(x+ )( )x y y x y x y     Bài 4:Giải hệ phương trình : 2 2 5 7 x y xy x y xy          ĐS: 1 2 2 1 x x y y            HD: Đặt S=x+y, P=xy Bài 5: Giải hệ phương trình 2 2 3 2 2 3x x xy y xy y           ĐS: 1 3 3 1 3 3 x x x y y y                          HD: Đặt S=x+y, P=xy Bài 6: Giải hệ phương trình 3 3 2 2 8 xx y y x y         ĐS: 2 0 0 2 x x y y            HD: Đặt S=x+y,P=xy Bài 7: Giải hệ phương trình 3 3 7 2( ) x y xy x y        ĐS: 1 2 2 1 x x y y              HD: Đặt S=x-y, P=xy Bài 8:Giải hệ phương trình 3 3 2 2 xx y y y x          ĐS: 0 0 x y      HD: Lấy pt(1)-(2) làm xuất hiện nhân tử chung x-y (hệ phương trình đối xứng loại 2) Gv:Hoàng Hải-36a Trần Hưng Đạo-Hoàn Kiếm-HN ĐT: 0932333922 Bài 9:Giải hệ phương trình 2 3 4 4 2 3 4 4 x y y x              ĐS: 11 3 9 3 11 9 x x y y                HD: Lấy pt(1)-(2) và trục căn thức làm xuất hiện nhân tử chung x-y Bài 11: Giải hệ phương trình (ĐH Khối B-2003) 2 2 2 2 2 3 2 3 x x y y y x            ĐS: 1 1 x y      HD: lấy pt(1)-(2) làm xuất hiện nhân tử chung x-y Bài 12:Giải hệ phương trình 2 1 1 2 1 0x x y x y xy            ĐS: 1 1 1 1 x x y y              HD:từ pt(1) làm xuất hiện nhân tử chung x-y bằng cách chuyển vế và nhóm lại Bài 13: Giải hệ phương trình 2 3 18 0 osx cosx y c y x y y          ĐS: 3 3 x y      HD: (1)  x-cosx=y-cosy. Xét hàm số f(t)= t-cost  x=y Bài 14: Giải hệ phương trình 2 2 3 2 0 3 2 0x x y y            ĐS: 1 2 1 2 x x y y            HD: lấy pt(1)-(2) làm xuất hiện nhân tử chung x-y Bài 15: Giải hệ phương trình 2 2 2 2x x xy x y y xy y            ĐS: 3 0 2 0 3 2 x x y y                HD: lấy pt(1)-(2) làm xuất hiện nhân tử chung x-y Bài 16: Giải hệ phương trình 1 7 4 1 7 4 x y y x              ĐS: 8 8 x y      HD: lấy pt(1)-(2) và trục căn thức làm xuất hiện nhân tử chung x-y Bài 17: Giải hệ phương trình 4 2 2 2 698 81 3 4 4 0x x y x y xy y              ĐS:hệ vô nghiệm Gv:Hoàng Hải-36a Trần Hưng Đạo-Hoàn Kiếm-HN ĐT: 0932333922 HD: Từ pt(2) ta tìm được miền giá trị của x,y và kết hợp pt(1) Bài 18:Giải hệ phương trình 3 3 2 3 1 2 3 ( ) ( ) x y x y          ĐS: 1 1 2 1 2 x x y y                HD: pt(1) chia cho 3 x , pt(2) chia cho x sau đó lấy pt(1)+(2) ta được pt dạng f(y)=f( 1 y ) Bài 19: Giải hệ phương trình (HSG QG 1998-1999 Bảng A) 2 1 2 2 1 3 2 1 4 5 1 2 4 1 2 0 x x x ( ) x ln( ) y y y y y x                   ĐS: 0 1 x y       HD: Từ pt(1) ta đặt t=2x-y và xét hàm số f(t)  t=1 sau đó thế vào pt(2) xét hàm f(y) Bài 20: Giải hệ phương trình (HSG QG 2000-2001 Bảng B) 7 2 5 2 2 x x x y y y x y              ĐS: 10 77 11 77 2 x y          HD: Đặt u= 2 2 7 2 5x ; v= x xy y u v     và kết hợp với pt(1) 5 2 x v   ; kết hợp pt(2)  x=2y-1 Bài 21: Giải hệ phương trình (HSG QG 1995-1996 Bảng A) 1 3 1 2 1 2 1 4 2 x( _ ) x( ) x y x y             ĐS: 11 4 7 21 22 8 7 7 x Y            HD: Xét đk sau đó chia 2 vế của hpt 3x và 2y , cộng trừ 2 vế sau khi ta được hệ mới , lấy pt(1) nhân với pt(2) đưa về pt đẳng cấp với ẩn x,y Bài 22: Giải hệ phương trình 2 2 3 2 16 2 4 33 x x xy y x y y           ĐS: 3 3 3 3 2 3 2 3 x x y y                        HD: Đặt u=x-1; v=y-2 sau đó đặt u+v=S, uv=P Bài 23: Giải hệ phương trình : 2 2 2 2 2 5 4 6 2 0 1 2 3 2 ( x ) ( x ) ( x ) x x y y y y y                ĐS: 3 3 8 4 11 2 4 x x y y                   HD: Pt(1) là pt đẳng cấp với ẩn 2x+y và 2x-y Bài 23: Giải hệ phương trình Gv:Hoàng Hải-36a Trần Hưng Đạo-Hoàn Kiếm-HN ĐT: 0932333922 2 2 2 2 3 4 1 3 2 9 8 3 x x x x y y y y              ĐS: 3 13 3 13 2 2 0 4 x x y y                   HD: Đặt u= 2 2 3 4x; v=yx y  Bài 24: Giải hệ phương trình 8 5 x x x y y y x y           ĐS: 9 4 x y      HD: Từ (1) nhóm lại và bình phương 2 vế sau đó thế phương trình (2) vào pt(1) Bài 25: Giải hệ phương trình : 3 3 7 2( ) x y xy x y        ĐS: 2 1 1 2 x x y y              HD: Đặt y=tx (hệ phương trình đẳng cấp ) Bài 26: Giải hệ phương trình 2 2 5 2 5 2 2 x x xy y y x y xy             ĐS: 2 2 1 1 x x y y              HD: Đặt y=tx (hệ phương trình đẳng cấp ) Bài 27: Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 3 10 ( ) x ( ) y x y x x y y          ĐS: 4 4 4 4 2 2 1 1 5 3 5 3 2 5 2 5 5 27 5 3 2 125 2 5 x x y y x x y y                                   HD: : Đặt y=tx (hệ phương trình đẳng cấp ) Bài 28: Giải hệ phương trình 2 2 2 8 2 4 xx y y x y           ĐS: 4 4 x y      HD: Bình phương pt(2)rút x+y thay vào pt(1) và đặt t= xy Bài 29: Giải hệ phương trình 30 35 x y y x x x y y          ĐS: 4 9 9 4 x x y y            HD: Đặt ;u x v y  hpt với ẩn u,v ( hệ đối xứng loại 1) Bài 30: Giải hệ phương trình Gv:Hoàng Hải-36a Trần Hưng Đạo-Hoàn Kiếm-HN ĐT: 0932333922 2 2 3 3 3 3 2 3 6 ( ) (x y x y y x x y           ĐS: 8 64 64 8 x x y y            HD: Đặt 3 3 , v=u x y  hpt với ẩn u,v ( hệ đối xứng loại 1) Bài 31: Giải hệ phương trình 6 5 6 2 9 x x x y x y x y xy             ĐS: hệ vô nghiệm HD: Đặt u= 6x x y  u từ pt(1) Bài 32: Giải hệ phương trình 7 2 7 0, x y y x xy x xy y xy x y                ĐS: hệ vô nghiệm HD: Đặt ,u x v y  hpt với ẩn u,v (hệ đối xứng loại 1) Bài 33: Giải hệ phương trình 5 2 3 4 42 5 3 2 42 ( ) x ( ) y y x x y              ĐS: 5 2 26 27 5 2 26 9 x y            HD: Xét đk sau đó chia 2 vế của hpt x và 2y . Cộng trừ 2 vế sau khi chia ta được hệ mới , lấy pt (1) nhân với pt(2) đưa về pt đẳng cấp với ẩn x,y Bài 34:Giải hệ phương trình 2 4 2 4 2 2 2 3 3 2 3 2 1 2 1 1 2 ( x ) ( ) ( ) x y x y x y x y x x x y                 ĐS: 1 1 x y      HD: Cộng 2 vế của 2 pt với nhau sau đó đánh giá 2 vế của pt mới Bài 35: Giải hệ phương trình 10 6 6 14 x y x y            ĐS: Hệ vô nghiệm HD: lấy pt(1)  pt(2) ta được hpt mới . Đặt u= 6 6 ; v=x x y y    ( hệ đối xứng loại 1 với ẩn u,v) Bài 36: Giải hệ phương trình Gv:Hoàng Hải-36a Trần Hưng Đạo-Hoàn Kiếm-HN ĐT: 0932333922 2 2 2 2 9 5 5 3 30 6 x x x x y x x y x y y                ĐS: 5 3 x y      HD: Từ pt(2) rút 9 5 x thế vào pt(1) và đặt t= x y Bài 37: Giải hệ phương trình (THTT) 2 4 4 32 3 32 6 24 x x y x x y              ĐS: 16 3 x y      HD: lấy pt(1)+pt(2) sau đó dùng bất đẳng thức bunyakovsky(hai số căn cùng bậc ) đánh giá vế trái 12 , vp 12 Bài 38: Giải hệ phương trình (ĐHSP Hà Nội 2000) 2 2 2 2 2 6 1 5 xy xy x y x          ĐS: 1 1 2 2 1 x x y y              HD:Chia 2 x và đặt 1 ; v=y+ y u x x  Bài 39: Giải hệ phương trình ( THTT 2009) 2 2 2 1 1 3 4 1 1 5 ( )( ) xx y x y x xy x x               ĐS: 2 1 5 1 2 x x y y                 HD:Thế y+1 từ pt(2) vào pt(1) Bài 40: Giải hệ phương trình 2 2 2 2 1 2 2x xy x y x y x y y x y              ĐS: 2 5 x y      HD: pt(1) là pt tích có nhân tử chung là x+y Bài 41: Giải hệ phương trình 2 2 2 5 4 4 5 4 16 8 16 0 ( x )( ) x x x y x y y y               ĐS: 2 5 x y      HD: Giải pt(2) , coi x là tham số còn y là ẩn của pt bậc 2 Bài 42: Giải hệ phương trình (THTT 2009) 2 2 1 4 1 2 ( ) ( )( ) x y x y y x y x y              ĐS: 4 0 4 5 4 0 0 x x x y y y                     HD: Xét đk sau đó chia 2 vế của 2 pt cho y và đặt 2 1 2; x u v x y y      Bài 43:Giải hệ phương trình (THTT) Gv:Hoàng Hải-36a Trần Hưng Đạo-Hoàn Kiếm-HN ĐT: 0932333922 3 3 2 5 2 2 1x y x y x y           ĐS: 0 1 1 0 x x y y            HD: Thế pt(1) vào vế phải của pt(2) Bài 44: Giải hệ phương trình (THTT) 3 3 7 2( ) x y xy x y        ĐS: 2 1 1 2 x x y y              HD: Nhân pt(1) cả 2 vế với 2 rồi thế pt(2) vào vế phải của pt(1) Bài 46: Giải hệ phương trình 3 3 2 2 2 9 2 3 3 ( )( x )x y x y y x xy y             ĐS: 2 2 1 1 x x y y              HD: Thế số 3 ở pt(2) vào số 3 vế phải của pt(1) Bài 47: Giải hệ phương trình (THTT2009) 2 2 2 2 3 4 4 7 1 2 3 x ( ) x y x y x y x y                ĐS: 1 0 x y      HD : Biến đổi pt(1) xuất hiện 2 ( )x y và pt(2) cuae hệ xuất hiện x-y sau đó đặt 1 ,u x y v x y x y       Bài 48:Giải hệ phương trình (THTT 2009) 3 3 8 4 5 5 1 xx y y x y           ĐS: 4 4 1 5 2 1 5 2 x y                HD: Từ pt(2)  đk của x,y sau đó xét hàm số f(t)= 3 5t t x y   Bài 49: Giải hệ phương trình 2 1 2 1 2 2 3 1 2 2 3 1 x y x x x y y y                  ĐS: 1 1 x y      HD: Đặt u=x-1, v=y-1 ta được hệ mới với ẩn u,v và lấy pt(1) trừ pt(2), xét hàm số f(t)= 2 1 3 t t t   Bài 50: Giải hệ phương trình (Dự bị khối B 2007) 2 3 2 2 2 3 2 2 9 2 2 9 x x x y x x y x y y y x y y                  ĐS: 0 1 0 1 x x y y            HD: Cộng 2 vế của 2 pt sau đó đánh giá vế trái xy , vế phải xy Gv:Hoàng Hải-36a Trần Hưng Đạo-Hoàn Kiếm-HN ĐT: 0932333922 Bài 51:Giải hệ phương trình (THTT 2009) 3 3 3 4 2 6 2 xy x x y y             ĐS: 2 2 x y      HD: Từ pt(1) biến đổi 2 2 1 2( ) ( )y x x     tương tự pt(2) biến đổi x-2=… Sau đó biện luận xung quanh số 2 Bài 52: Giải hệ phương trình (THTT 2004) 2 2 1 2 3 2 0log log x y x y e e x            ĐS: 2 4 2 4 x x y y            HD: Từ pt(1) biến đổi y x e y e x   và xét hàm số f(t)= t e t Bài 53: Giải hệ phương trình 2 2 1 1 1 3 x y y x            ĐS: 3 2 1 2 x y          HD: Đặt cost=x , y=sint Bài 54: Giải hệ phương trình (THTT 2006) 2 2 3 1 4 2 3 xx y y x y            ĐS: 1 2 2 1 x x y y                HD: Đặt S=x+y, P=xy Bài 55:P Giải hệ phương trình (THTT 2007) 3 2 3 2 1 2 1 2 ( ) ( ) x x x y y y y x              ĐS: 1 5 1 2 1 1 5 2 x x y y                  HD: Cách 1: lấy pt(1)-(2) làm xuất hiện nhân tử chung x-y Cách 2: Đưa về hệ hoán vị vòng quang y=f(x); x=f(y) Bài 56: Giải hệ phương trình 2 2 2 1 1 1 35 0 12 1 ( )( )x x y y y y x               ĐS: 5 5 3 4 5 5 3 4 x x y y                     HD: Ta có : 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1( )( ) va (y+ )( )x x x x y y y           kết hợp với pt(1) ta được hệ , giải hệ này  y=-x sau đó thay vào pt(2) Bài 57: Giải hệ pt Gv:Hoàng Hải-36a Trần Hưng Đạo-Hoàn Kiếm-HN ĐT: 0932333922 2 2 5 3 1 125 125 6 15 0 x y y y           ĐS: 10 10 5 5 15 15 5 5 x x y y                     HD: Cách 1: Thế x từ pt(2) 3 64 4 5 4 3 5 . y x  sau đó áp dụng BĐT cauchy cho các số 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 ; ; ; ;x x y y y y x  thay vào pt(1) Cách2 : Đặt t= 15 5 y  pt ẩn t có nghiệm duy nhất t=1 Bài 58: Giải hệ phương trình 2 4 2 3 9 4 2 3 48 48 155 0 3 3 3 3 2 3 1 2 3 1 1 1 3 2 6 2 3 3 2 6 2 3 2 2 3 6 2 3 6 2 1 1 3 2 6 2 3 3 2 6 2 3 2 2 6 2 3 3 2 6 ( x ) x DS: ( ) ( ) ( ) ( ) x y y y y x x y y x x y y x x y y                                                                                     HD: Cách 1: thế 9-3y từ pt(1) vào pt(2)  pt bậc hai với ẩn 2 4xy  Bài 59: Giải hệ phương trình 3 2 3 2 2000 0 500 0x x xy y y yx            ĐS: 20 30 0 3 0 10 30 3 x x y y                  HD: Thế 2 2 x y từ pt(2) 2 2 4x y  Bài 60: Giải hệ phương trình 2 2 2 2 3 3 3 0 x-y x x y x y y x y               ĐS: 2 1 1 1 x x y y             HD: Đặt z=x+yi , Nhân pt(2) với I rồi cộng 2 vế py(1) với pt(2)  pt bậc 2 ẩn z Bài 61:Giải hệ phương trình Gv:Hoàng Hải-36a Trần Hưng Đạo-Hoàn Kiếm-HN ĐT: 0932333922 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 9 x x ( x) ( ) y y x y y                 ĐS: 9 73 9 73 36 36 9 73 9 73 36 36 x x y y                        HD: Dùng BĐT bunyakovsky cho pt(1) x y  Bài 62: Giải hệ phương trình(THTT 2010) 2 2 2 2 3 2 1 1 4 22 x y x y y x y x               ĐS: 2 14 3 53 1 2 4 53 x x y y                    HD: Đặt 2 2 1 , y x y u v x     Bài 63: Giải hệ phương trình (THTT 2010) 3 4 1 8 1( ) x y x x y            ĐS: 2 1 x y      HD: Thế pt(2) vào pt(1) và xét 1 bên là hàm đòng biến , 1 bên là hàm nghịch biến với pt sau khi thế Bài 64: Giải hệ phương trình 5 4 10 6 2 4 8 6x+5 x xy y y y            ĐS: 1 1 1 1 x x y y             HD: Chia pt(1) cho 5 x sau đó xét hàm số f(t)= 5 t t Bài 65: Giải hệ phương trình 3 3 2 2 9 2 4 0 x y x y x y            ĐS: 1 1 1 1 x x y y             HD: Nhân 2 vế của pt(2) với 3 rồi lấy pt(1)-(2)  hằng đẳng thức 3 3 A B Bài 66: Giải hệ phương trình (ĐH- Khối B2002) 3 2 x y x y x y x y             ĐS: 3 1 2 1 1 2 x x y y                HD: Cách 1: pt(1) có nhân tuwr chung 3 x y Cách 2: Đặt 2t x y    pt(2) là pt bậc hai ẩn t Bài 67:Giải hệ phương trình(ĐH-Khối D 2002) 3 2 1 2 5 4 4 2 2 2 x x x x y y y            ĐS: 0 2 1 4 x x y y            . Hải-36a Trần Hưng Đạo-Hoàn Kiếm-HN ĐT: 0932333922 203 BÀI TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH B ài` 1:Giải hệ phương trình: 2 2 3 3 30 35 x y xy x y         . P=xy ( hệ đối xứng loại 1) Bài 2: Giải hệ phương trình 3 3 2 2 ( )xy x y x y         ĐS: 1 1 x y       HD: Đặt S=x-y, P=xy Bài 3: giải hệ phương