Bai giang math4 vietnamese

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC TS BÙI XUÂN DIỆU Bài Giảng TỐN ĐẠI CƯƠNG (lưu hành nội bộ) TÍCH PHÂN BỘI, TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ, TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT, LÝ THUYẾT TRƯỜNG, CHUỖI Tóm tắt lý thuyết, ví dụ, tập lời giải Hà Nội- 2018 (bản cập nhật Ngày tháng năm 2018) Tập Bài giảng q trình hồn thiện chứa lỗi đánh máy, lỗi kí hiệu chỗ sai chưa kiểm tra hết Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến để tập Bài giảng hoàn thiện Mọi ý kiến đóng góp xin vui lịng gửi địa “dieu.buixuan@hust.edu.vn” Warning: This lecture notes have not been reviewed and may contain errors or typos Use at your own risk! Hà Nội, Ngày tháng năm 2018 MỤC Mục lục LỤC Chương Tích phân bội Tích phân kép 1.1 Định nghĩa 1.2 Tính tích phân kép hệ toạ độ Descartes 1.3 Phép đổi biến số tích phân kép 1.4 Bài tập ôn tập Tích phân bội ba 2.1 Định nghĩa tính chất 2.2 Tính tích phân bội ba hệ toạ độ Descartes 2.3 Đổi biến số tích phân bội ba 2.4 Bài tập ôn tập Các ứng dụng tích phân bội 3.1 Tính diện tích hình phẳng 3.2 Tính thể tích vật thể 3.3 Tính diện tích mặt cong 3.4 Bài tập ôn tập Chương Tích phân phụ thuộc tham số Tích phân xác định phụ thuộc tham số 1.1 Giới thiệu 1.2 Các tính chất tích phân xác định phụ thuộc tham số 1.3 Các tính chất tích phân phụ thuộc tham số với cận biến đổi 1.4 Bài tập Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 2.1 Các tính chất tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 2.2 Bài tập 2.3 Một số tích phân quan trọng 77 77 77 81 82 85 85 95 100 5 10 22 34 37 37 39 42 58 61 61 67 74 75 77 MỤC LỤC 2.4 Bài tập ôn tập Tích phân Euler 3.1 Hàm Gamma 3.2 Hàm Beta 3.3 Bài tập 3.4 Đọc thêm: Tích phân Euler Phép tính vi tích phân cấp phân số Chương Tích phân đường 100 104 104 105 108 110 117 Tích phân đường loại I 117 1.1 Định nghĩa tính chất 117 1.2 Các cơng thức tính tích phân đường loại I 120 1.3 Tích phân đường không gian 121 1.4 Bài tập 122 1.5 Bài tập ôn tập 124 Tích phân đường loại II 126 2.1 Định nghĩa tính chất 126 2.2 Các cơng thức tính tích phân đường loại II 128 2.3 Tích phân đường khơng gian 128 2.4 Bài tập 129 2.5 Công thức Green 131 2.6 Ứng dụng tích phân đường loại II 137 2.7 Điều kiện để tích phân đường khơng phụ thuộc đường lấy tích phân 139 2.8 Tích phân đường (trong không gian) không phụ thuộc đường 141 2.9 Tích phân đường khơng phụ thuộc đường định luật bảo toàn lượng142 Chương Tích phân mặt 145 Tích phân mặt loại I 1.1 Diện tích mặt cong 1.2 Bài toán dẫn đến tích phân mặt loại I 1.3 Các công thức tính tích phân mặt loại I 1.4 Bài tập Tích phân mặt loại II 2.1 Định hướng mặt cong 2.2 Bài toán dẫn đến tích phân mặt loại II 2.3 Các cơng thức tính tích phân mặt loại II 2.4 Công thức Ostrogradsky 2.5 Dạng véctơ công thức Green 2.6 Công thức Stokes 2.7 Công thức liên hệ tích phân mặt loại I loại II 145 145 147 148 149 153 153 154 155 160 163 164 166 MỤC LỤC Chương Lý thuyết trường 169 Trường vô hướng 1.1 Định nghĩa 1.2 Đạo hàm theo hướng 1.3 Gradient 1.4 Bài tập Trường véctơ 2.1 Định nghĩa 2.2 Thông lượng, trường ống 2.3 Hoàn lưu, véctơ xoáy 2.4 Trường - hàm vị 2.5 Tích phân đường (trong không gian) không phụ thuộc đường 2.6 Bài tập Chương Chuỗi (11LT+11BT) Đại cương chuỗi số Chuỗi số dương 2.1 Tiêu chuẩn tích phân 2.2 Các tiêu chuẩn so sánh 2.3 Tiêu chuẩn d’Alambert 2.4 Tiêu chuẩn Cauchy 2.5 Đọc thêm: Tiêu chuẩn d’Alambert vs Tiêu chuẩn Cauchy 2.6 Bài tập ôn tập Chuỗi số với số hạng có dấu 3.1 Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ 3.2 Chuỗi đan dấu 3.3 Hội tụ tuyệt đối vs Bán hội tụ 3.4 Phép nhân chuỗi 3.5 Khi dùng tiêu chuẩn nào? 3.6 Ví dụ chuỗi bán hội tụ chuỗi đan dấu 3.7 Bài tập ôn tập Chuỗi hàm số 4.1 Chuỗi hàm số hội tụ 4.2 Chuỗi hàm số hội tụ 4.3 Các tính chất chuỗi hàm số hội tụ 4.4 Một số ý chuỗi hàm 4.5 Bài tập ôn tập Chuỗi lũy thừa 169 169 169 170 171 173 173 173 174 175 175 176 185 185 191 191 193 199 201 203 205 209 209 211 212 214 216 218 220 227 227 229 231 235 236 238 MỤC LỤC 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 Các tính chất chuỗi lũy thừa Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa Khai triển Maclaurin số hàm số sơ cấp Đọc thêm: Công thức Euler Ứng dụng chuỗi lũy thừa Bài tập ôn tập 241 243 245 248 250 251 CHƯƠNG TÍCH §1 TÍCH PHÂN BỘI PHÂN KÉP 1.1 Định nghĩa Diện tích tích phân xác định Cho f ( x ) hàm số xác định với a ≤ x ≤ b • Chia khoảng [ a, b] thành n khoảng nhỏ [ xi−1 , xi ] với độ dài ∆x = • Chọn xi∗ ∈ [ xi−1 , xi ] b− a n Chương Tích phân bội • Lập tổng Riemann n ∑ f ( xi∗ )∆x S(n) = i =1 Tổng Rieman diện tích hình chữ nhật hình vẽ • Lấy giới hạn để thu tích phân xác định từ a đến b hàm số f ( x ): b f ( x )dx = lim S(n), n→∞ a (với điều kiện giới hạn không phụ thuộc vào cách chọn điểm xi∗ ) Thể tích tích phân bội hai hình chữ nhật Một cách hồn tồn tương tự trên, xét hàm số f phụ thuộc vào hai biến số x, y xác định hình chữ nhật đóng R = [ a, b] × [c, d] = {( x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} Gọi S miền nằm phía mặt z = f ( x, y) phía hình chữ nhật R, nghĩa S = {( x, y, z) ∈ R3 : ≤ z ≤ f ( x, y), ( x, y) ∈ R} • Chia miền R thành miền hình chữ nhật con, cách chia khoảng [ a, b] thành a m khoảng với độ dài b− m , chia khoảng [ c, d ] thành n khoảng Tích phân kép c với độ dài d− n Như vậy, miền R chia thành m × n hình chữ nhật Rij = [ xi−1 , xi ] × [y j−1 , y j ] hình chữ nhật có diện tích ∆S = ∆x∆y • Trên hình chữ nhật Rij ta chọn điểm ( xij∗ , yij∗ ) Khi thể tích phần S nằm phía hình chữ nhật Rij xấp xỉ f ( xij∗ , yij∗ )∆S • Tiếp tục q trình thu cơng thức xấp xỉ thể tích miền S: m V (S) ≈ n ∑ ∑ f ( xij∗ , yij∗ )∆S i =1 j =1 Dễ dàng nhận thấy ta chia miền R nhỏ cơng thức xấp xỉ tốt Định nghĩa 1.1 Tích phân kép (hay tích phân bội hai) hàm số f ( x ) miền hình chữ nhật R m f ( x, y)dxdy = lim m,n→∞ R n ∑ ∑ f ( xij∗ , yij∗ )∆S, i =1 j =1 giới hạn tồn không phụ thuộc vào cách chọn điểm ( xij∗ , yij∗ ) Chú ý 1.1 Nếu f ( x, y) ≥ thể tích miền nằm phía mặt cong z = f ( x, y) phía hình chữ nhật R = [ a, b] × [c, d] V= f ( x, y)dxdy R Chương Tích phân bội Tích phân lặp Định lý Fubini Giả sử f ( x, y) hàm số khả tích R = [ a, b] × [c, d] Xét hai tích phân lặp sau:     b d  I1 = a c d f ( x, y)dy dx, I2 = c b  f ( x, y)dx  dy a Định lý 1.1 (Định lý Fubini) Nếu f ( x, y) hàm số liên tục miền hình chữ nhật R = [ a, b] × [c, d] f ( x, y)dxdy = f ( x, y)dy = dx f ( x, y)dx dy a c c a R b d d b Chứng minh Trong khuôn khổ Bài giảng này, thay đưa chứng minh cho trường hợp tổng quát, chứng minh cho trường hợp f ( x, y) ≥ Trước hết, thể tích miền nằm phía mặt z = f ( x, y) phía hình chữ nhật R tính theo cơng thức V= f ( x, y)dxdy R Trong học phần Giải tích I, phần ứng dụng tích phân xác định để tính thể tích, có cơng thức khác, b A( x )dx, V= a A( x ) diện tích thiết diện miền V cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox Nhìn vào hình vẽ, thấy A( x ) diện tích miền miền nằm phía đường z = f ( x, y), x cố định c ≤ y ≤ d Do đó, A( x ) = c d b d f ( x, y)dy ⇒ f ( x, y)dxdy = a R f ( x, y)dy dx c Chuỗi lũy thừa +∞ a) ∑ n =1 +∞ b) ∑ n =1 +∞ c) ∑ n =1 241 +∞ 2n+1 ( x − 1) n d) ∑ 2n−1 ( x + 1) n e) ∑ n 2n+1 ( x − 2) n n =1 +∞ n =1 2n+1 n (x + 2) n (2x −1)n 3n−1 +∞ ∑ n =1 (2x +1)n 3n+1 Bài tập 6.30 Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa sau a) d) ∞ x2n (2n)! b) 3n ( x + ) n ∑ √n + n =0 e) ∑ (−1)n n =0 ∞ ∞ n ( x + 2) n ∑ 3n +1 n =0 c) ∞ ∑ n =1 f) n!(2x − 1)n ∞ n ( x + 1) n ∑ 4n n =0 ∞ x2n ∑ n=2 n (ln n ) 5.1 Các tính chất chuỗi lũy thừa ∞ Định lý 6.44 Giả sử chuỗi lũy thừa ∑ an x n có bán kính hội tụ R > đặt n =0 ∞ f ( x ) = ∑ an x n với | x | < R Khi n =0 Chuỗi lũy thừa hội tụ khoảng [ a, b] ⊂ (− R, R) f ( x ) hàm số liên tục (− R, R) f ( x ) hàm số khả vi (và liên tục) khoảng (− R, R) f ′ (x) = ∞ ∑ n =0 d an x n dx dx = a1 + 2a2 x + · · · + nan x n−1 + · · · f ( x ) hàm số khả tích đoạn [ a, b] ⊂ (− R, R) x f (t)dt = a0 x + a1 x2 x n +1 + · · · + an +··· n+1 Sau áp dụng tính chất để khai triển số hàm số đơn giản thành chuỗi lũy thừa Trước hết, xét chuỗi hàm số đơn giản (chuỗi hình học) mà ta gặp Ví dụ 1.5: ∞ = + x + x2 + · · · = ∑ x n 1−x n =0 241 (| x | < 1) 242 Chương Chuỗi (11LT+11BT) Thay x − x phương trình cho ta ∞ = ∑ (−1)n x n 1+x n =0 Đặt f ( x ) = ln(1 + x ), ta có f ′ ( x ) = f (x) = 1+ x (6.12) ∞ = ∑ (−1)n x n Do n =0 ∞ ∞ ∑ (−1)n xn = ∑ (−1)n n =0 n =0 x n +1 + C n+1 Kết hợp với f (0) = ta có C = Vậy ta có biểu thức chuỗi lũy thừa hàm số f ( x ) = ln(1 + x ) ∞ ∞ xn x n +1 = ∑ (−1)n+1 ln(1 + x ) = ∑ (−1)n n + n =1 n n =0 Ví dụ 5.55 Tìm biểu diễn chuỗi lũy thừa hàm số f ( x ) = 1+ x Lời giải Thay x x2 phương trình 6.12 ta có ∞ = ∑ (−1)n x2n + x2 n =0 (6.13) Ví dụ 5.56 Tìm biểu diễn chuỗi lũy thừa hàm số f ( x ) = arctan x Lời giải Theo Phương trình 6.13 ta có ∞ = ∑ (−1)n x2n f (x) = 1+x n =0 ′ Do f (x) = ∞ ∞ ∑ (−1)n x2n = C + ∑ (−1)n n =0 n =0 x2n+1 2n + Kết hợp với điều kiện f (0) = ta có C = Kết luận: ∞ f (x) = ∑ (−1)n n =0 x2n+1 2n + Bài tập 6.31 Một cách tương tự, tìm biểu diễn chuỗi lũy thừa hàm số f ( x ) = arccot x [Gợi ý] Có thể sử dụng đẳng thức arctan x + arccot x = thừa hàm số f ( x ) = arccot x π để suy biểu diễn chuỗi lũy Bài tập 6.32 Tìm biểu diễn chuỗi lũy thừa hàm số sau: 3−x d) f ( x ) = x −x−2 a) f ( x ) = − 4x2 x+2 e) f ( x ) = 2x − x − b) f ( x ) = 242 1−x 1+x x2 + x f) f ( x ) = (1 − x )3 c) f ( x ) = Chuỗi lũy thừa 243 5.2 Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa Trong trước, áp dụng tính chất chuỗi lũy thừa để tìm biểu diễn lũy thừa số hàm số phân thức định Trong trường hợp f ( x ) hàm số bất kỳ, tìm biểu diễn lũy thừa f ( x ) nào? Mục đích để trả lời câu hỏi Định lý 6.45 Nếu hàm số f ( x ) có biểu diễn chuỗi lũy thừa điểm a, nghĩa ∞ f (x) = ∑ an ( x − a)n , n =0 | x − a| < R, hệ số chuỗi lũy thừa xác định công thức an = f (n) ( a) n! Như hàm số f ( x ) có biểu diễn chuỗi lũy thừa a, • phải có đạo hàm cấp lân cận điểm a, • biểu diễn chuỗi lũy thừa phải có dạng ∞ ∑ n =0 f (n) ( a ) ( x − a)n n! (6.14) Lời giải Theo giả thiết, f ( x ) = a0 + a1 ( x − a ) + a2 ( x − a )2 + · · · + a n ( x − a ) n + · · · (6.15) Thay x = a vào phương trình (6.15) ta f ( a ) = a0 Đạo hàm vế phương trình (6.15): f ′ ( x ) = a1 + 2a2 ( x − a) + · · · + nan ( x − a)n−1 + · · · (6.16) Thay x = a vào phương trình (6.16) ta f ′ ( a ) = a1 Tiếp tục trình ta an = f (n) ( a) n! Điều kiện hàm số f ( x ) có đạo hàm cấp lân cận điểm a điều kiện cần, chưa phải điều kiện đủ Nghĩa là, có hàm số khả vi vô hạn lại không khai triển thành chuỗi Taylor Ví dụ hàm số sau  e− x2 x = f (x) = 0 x = có f (n) (0) = với n nên chuỗi Maclaurin 243 244 Chương Chuỗi (11LT+11BT) Định nghĩa 6.29 Chuỗi lũy thừa Phương trình 6.14 gọi chuỗi Taylor hàm số f ( x ) điểm a Trường hợp a = chuỗi Taylor trở thành ∞ ∑ n =0 f ( n ) (0) n x n! (6.17) Chuỗi 6.17 gọi chuỗi Maclaurin hàm số f ( x ) Ví dụ 5.57 Tìm chuỗi Maclaurin hàm số f ( x ) = e x tìm bán kính hội tụ Lời giải f ( x ) = e x ⇒ f (n) ( x ) = e x Do f (n) (0) = với n Chuỗi Maclaurin hàm số f ( x ) ∞ x x2 xn f ( n ) (0) n x + + · · · + +··· = + ∑ n! 1! 2! n! n =1 Để tìm bán kính hội tụ, xét a n +1 an = n! ( n +1) ! = R = ∞, i.e., chuỗi cho hội tụ với x ∞ Định nghĩa 6.30 Nếu chuỗi Taylor ∑ n =0 n +1 f (n) ( a) n! ( x → n → ∞ Do bán kính hội tụ − a)n hội tụ đến hàm số f ( x ) lân cận Ba ( R) = { x : | x − a| < R} điểm a ta nói hàm số f ( x ) khai triển thành chuỗi Taylor lân cận Hai câu hỏi đặt chuỗi Taylor hàm số f ( x ): ∞ • Chuỗi Taylor F ( x ) = ∑ n =0 f (n) ( a) n! ( x − a)n có hội tụ khơng? • Nếu hội tụ liệu có hội tụ đến hàm số f ( x ) hay không? Định lý sau trả lời câu hỏi Định lý 6.46 Nếu f ( x ) có đạo hàm cấp lân cận Ba ( R) = { x : | x − a| < R} ∞ điểm a | f (n) (ξ )| ≤ M với ξ ∈ Ba ( R), chuỗi Taylor ∑ n =0 f (n) ( a) n! ( x − a)n hội tụ đến f ( x ) lân cận Ba ( R) Nghĩa f ( x ) khai triển thành chuỗi Taylor a, ∞ f (x) = ∑ n =0 f (n) ( a ) ( x − a)n , n! ∞ Ví dụ 5.58 Chứng minh e x = ∑ n =0 xn n! , ∀ x ∈ R 244 | x − a| < R Chuỗi lũy thừa 245 Lời giải Xét lân cận B0 ( R) = { x : | x | < R} với R > Hàm số f ( x ) = e x có | f n ( x )| = e x < e R = M, ∀ x ∈ B0 ( R) Theo Định lý 6.46, f ( x ) khai triển thành chuỗi Taylor x = lân cận B0 ( R), ∞ ex = xn ∑ , ∀ x ∈ B0 ( R) n=0 n! ∞ Vì số R chọn cách tùy ý nên e x = ∑ n =0 xn n! , ∀ x ∈ R 5.3 Khai triển Maclaurin số hàm số sơ cấp ∞ 1− x = ∑ xn 1+ x = ∑ (−1)n x n ex = ∑ n =0 ∞ n =0 ∞ n =0 ∞ sin x xn n! 2n+1 sinh x n =0 ∞ cosh x = ∑ n =0 ∞ arctan x arcsin x = ∑ n =0 ∞ ln(1 + x ) x2 2! +···+ xn n! +··· R=∞ 2n+1 + x5 5! x +··· − · · · + (−1)n (2n +1) ! = 1− x2 2! + x4 4! − · · · + (−1)n (x2n)! + · · · x2n+1 (2n+1)! = x+ x3 3! + x5 5! +···+ x2n+1 (2n+1)! x2n (2n)! = 1+ x2 2! + x4 4! +···+ x2n (2n)! = x− x3 + x5 − · · · + (−1)n x2n+1 + · · · 2n 2n+1 = ∑ (−1)n x2n+1 n =0 ∞ R=1 x3 3! = ∑ (−1)n (x2n)! = ∑ = − x + x2 − · · · + (−1)n x n + · · · = x− x = ∑ (−1)n (2n +1) ! n =0 ∞ R=1 = + 1!x + n =0 ∞ cos x = + x + x2 + · · · + x n + · · · (2n−1)!! x2n+1 (2n)!! 2n+1 n = ∑ (−1)n−1 xn n =1 ∞ ln(1 − x ) =− ∑ (1 + x ) k = xn n = x− x2 x3 + x2 − = + kx + R=∞ +··· R=∞ +··· R=∞ 2n+1 1.3 x = x + 21 x3 + 2.4 +···+ = −x − n =1 ∞ k ∑ (n) x n n =0 2n (2n−1)!! x2n+1 (2n)!! 2n+1 +··· n − · · · + (−1)n−1 xn + · · · x3 −···− k ( k −1) 2! x xn n R=∞ R=1 R=1 R=1 −··· R=1 + · · · + (nk ) x n + · · · R=1 Để khai triển hàm số thành chuỗi Taylor (Maclaurin) có hai phương pháp Phương pháp 1: Tính đạo hàm cấp cao f (n) ( x ) để suy chuỗi lũy thừa f ( x ) ∞ x = a ∑ n =0 f (n) ( a) n! ( x − a)n Tuy nhiên, khơng phải lúc việc tính đạo hàm cấp cao f ( x ) dễ dàng Vì người ta thường làm theo cách sau (2) Các hàm số hyperbolic: sinh x = e x −e− x , cosh = e x +e− x 245 246 Chương Chuỗi (11LT+11BT) Phương pháp 2: Dựa vào khai triển Maclaurin hàm số sơ cấp biết Chẳng hạn như: Ví dụ 5.59 a) Tìm khai triển Maclaurin hàm số f ( x ) = arcsin x b) Tính đạo hàm cấp cao arcsin(n) (0) [Lời giải] a) Nhận xét (arcsin x )′ = √ 1− x Trong trường hợp có lẽ "khơng có" "rất khó" để tìm cơng thức tính đạo hàm cấp cao hàm số arcsin x Vì vậy, ta xuất phát từ cơng thức khai triển Maclaurin hàm số (1 + x )α ∞ (1 + x ) α = α ( α − 1) ( α − n + 1) n x n! n =0 ∑ Thay α = − 12 ta ∞ − − − − − ( n − 1) 2 √ = ∑ xn = n! 1+x n =0 ∞ (−1)n (2n − 1)!! n x ∑ 2n n! n =0 Thay x − x2 ta ∞ ∞ (−1)n (2n − 1)!! (2n − 1)!! 2n n = ∑ (− x ) = ∑ x (arcsin x ) = √ n 2 n! (2n)!! 1−x n =0 n =0 ′ Do x ∞ arcsin x = ∞ (2n − 1)!! 2n (2n − 1)!! ∑ (2n)!! t dt = ∑ (2n)!! n =0 n =0 x ∞ (2n − 1)!! x2n+1 t dt = ∑ (2n)!! 2n + n =0 2n b) Dựa vào công thức khai triển Maclaurin hàm số arcsin x suy  arcsin(2n) (0) = 0, arcsin(2n+1) (0) = [(2n − 1)!!]2 Bài tập 6.33 Một cách tương tự, tìm khai triển Maclaurin hàm số f ( x ) = arccos x [Gợi ý] Có thể dựa vào đẳng thức arcsin x + arccos x = rin hàm số f ( x ) = arccos x π để suy khai triển Maclau- Ví dụ 5.60 Khai triển hàm số f ( x ) = sin 2x + x cos 2x thành chuỗi Maclaurin 246 Chuỗi lũy thừa 247 [Lời giải] Thay x 2x khai triển Maclaurin hàm số sin x cos x ta có: ∞ ∞ (2x )2n (2x )2n+1 , cos 2x = ∑ (−1)n sin 2x = ∑ (−1)n (2n + 1)! (2n)! n =0 n =0 Do ∞ sin 2x + x cos 2x = ∑ (−1)n n =0 ∞ ∞ (2x )2n 2n + 2n+1 (2x )2n+1 + x ∑ (−1)n = ∑ (−1)n 22n x (2n + 1)! (2n)! (2n + 1)! n =0 n =0 Ví dụ 5.61 Khai triển f ( x ) = cos πx thành chuỗi lũy thừa x − [Lời giải] Đặt t = x − ⇒ x = t + cos Thay x π 3t πx π 2π π 2π π = cos (t + 2) = cos cos t − sin sin t 3 3 3 khai triển Maclaurin hàm số sin x cos x ta 2n+1 2n π ∞ π n 3t , cos t = ∑ (−1) (2n)! n =0 π ∞ π n 3t sin t = ∑ (−1) (2n + 1)! n =0 Vậy √ ∞ π 2n π 2n+1 πx ∞ n 3t n 3t cos (−1) = − ∑ (−1) − n =0 (2n)! n∑ (2n + 1)! =0 √ ∞ π 2n π 2n+1 ∞ n n 2n = − ∑ (−1) (−1) ( x − 2) − ( x − 2)2n+1 n =0 (2n)! n∑ ( 2n + ) ! =0 Ví dụ 5.62 Khai triển f ( x ) = x2 +5x +6 thành chuỗi lũy thừa x − [Lời giải] Đặt t = x − ⇒ x = t + x2 1 1 1 = = = − = t+3 t+4 1+ + 5x + ( t + 1) + 5( t + 1) + t + 7t + 12 Thay x 1+ t khai triển hàm số t ∞ t = ∑ (−1) n =0 n t (6.18) n , 1+ 1+ x = ∑ (−1) 1 − + 4t ta ∞ t t n n =0 n t Do ∞ = (−1)n n∑ x2 + 5x + =0 t n ∞ − ∑ (−1)n n =0 t n ∞ = ∑ (−1)n n =0 3n +1 Ví dụ 5.63 (Giữa kì, K61) Khai triển thành chuỗi Maclaurin hàm số 247 − 4n +1 ( x − 1) n 248 Chương Chuỗi (11LT+11BT) a) f ( x ) = ln(1 + 2x ), c) f ( x ) = b) f ( x ) = ln(1 − 2x ), d) f ( x ) = , x2 −3x +2 x2 +3x +2 5.4 Đọc thêm: Công thức Euler Chứng minh công thức Euler sau ∞ π2 = ∑ n2 n =1 Có nhiều cách để chứng minh công thức này, cách sử dụng khai triển Fourier (xem Hệ ??) Sau đây, tác giả giới thiệu hai phương pháp chứng minh khác dựa vào Tích phân kép (Giải tích II) dựa vào khai triển Maclaurin Dùng tích phân kép (Giải tích II) để chứng minh Cơng thức Euler Trước hết, ∞ = ∑ n2 ∑ n =0 n =1 x n dx = ∞ 1 n ∞ n y dy = x dx yn dy = n +1 nên 1 ∑ ∑ ( xy) ( xy) dxdy = n =0 0 1 1 ∞ n n dxdy = 0 n =0 0 dxdy − xy Để tính tích phân kép ta thực phép đổi biến x = u − v, y = u + v Khi J = miền D biến thành miền Duv hình vẽ (Tại sao? Phải dựa vào nhận xét phép đổi biến biến biên miền D thành biên miền Duv ) v x 1 O y O 248 u Chuỗi lũy thừa 249 Ta có dudv − u2 + v2 dxdy = − xy I= Duv D =4 u du Vì z 0 dv + − u2 + v2 du 1− u (6.19) dv − u2 + v2 t z z dt = arctan arctan = 2 a a a a a +t nên √ I=4 1 − u2 arctan√ u − u2 du + √ 1 − u2 1−u arctan√ du = I1 + I2 − u2 Đặt u = sin θ tích phân I1 ta π cos θ I1 = − sin2 θ arctan sin θ − sin2 θ π dθ = π θdθ = π2 18 arctan(tan θ )dθ = π2 arctan(tan θ )dθ = 0 (6.20) Đặt u = cos 2θ tích phân I2 ta π I2 = Kết luận I = π2 18 √ − cos 2θ arctan √ − cos2 2θ − cos2 2θ + π2 sin 2θ = π dθ = π2 Dùng khai triển Maclaurin để chứng minh công thức Euler Trước hết ∞ ∞ ∞ 1 1 ∞ ∞ 1 = − = − = ∑ ∑ ∑ ∑ 2 n∑ n2 n=1 (2n)2 n n =1 n n=0 (2n + 1) n =1 n =1 =1 n ∞ ∑ Do ∞ 1 π2 π2 ⇔ = = ∑ (2n + 1)2 ∑ n2 n =0 n =1 ∞ Xuất phát từ công thức khai triển Maclaurin hàm số arcsin x, ∞ arcsin x = (2n − 1)!! x2n+1 ∑ (2n)!! 2n + , n =0 249 (| x | ≤ 1) (6.21) 250 Chương Chuỗi (11LT+11BT) thay x sin t ta ∞ (2n − 1)!! sin2n+1 t ∑ (2n)!! 2n + , n =0 t= Lấy tích phân từ đến π (|t| ≤ π ) hai vế ta π2 = π π ∞ (2n − 1)!! tdt = ∑ n=0 (2n ) !! (2n + 1) sin2n+1 tdt Sử dụng cơng thức tích phân phần π sin2n+1 tdt I2n+1 = π =− sin2n xd cos x = − sin2n x cos x suy công thức truy hồi π π 2n sin2n−1 x cos2 xdx + = 2n( I2n−1 − I2n+1 ) I2n+1 = (2n)!! (2n)!! 2n I2n = · · · = I1 = 2n + (2n + 1)!! (2n + 1)!! Thay vào (6.22) ∞ π2 = ∑ ( 2n + ) n =0 (6.21) chứng minh 5.5 Ứng dụng chuỗi lũy thừa Tính gần (xem lại học phần Giải tích I) Ví dụ 5.64 Tính gần e− x dx với độ xác 10−3 Tính giới hạn (xem lại học phần Giải tích I) Ví dụ 5.65 a) Tính lim x →0 x −sin x x3 ∞ b) Xét hội tụ chuỗi số ∑ n =1 √1 n − sin √1n 250 (6.22) Chuỗi lũy thừa 251 5.6 Bài tập ôn tập Bài tập 6.34 Chứng minh công thức sau a) b) c) d) ∞ (−1)n+1 ∑ n = ln n =1 f) ∞ ∑ i =1 1 + n n = ln n ∞ = ln n=0 (2n + 1)(2n + 2) ∑ g) ∞ (−1)n = ln − ∑ n=0 ( n + 1)( n + 2) ∞ ∑ n(4n2 − 1) n =1 h) = ln − ∞ e) ∑ n = ln 2 n n =1 i) ∞ = ln 2n(2n − 1) n =1 ∑ ∞ 1 1 (−1)n ∑ n! = − 1! + 2! − 3! + · · · = e n =0 ∞ 1 1 1 = + + + + + · · · = e 0! 1! 2! 3! 4! n=0 n! ∑ Bài tập 6.35 Tìm miền hội tụ chuỗi hàm số sau lnn ( x + n1 ) ∑ √x − e n =1 ∞ a) ∞ d) cos nx ∑ 2nx n =1 ∞ ∞ b) (−1)n+1 ∑ + n2 x n =1 c) ∞ ∞ e) (n + x )n ∑ x +n n =0 n xn ∑ + x2n n =1 f) ∑ tann ( x + n ) n =1 [Gợi ý] √ n → ln x > n n → ∞, chuỗi hàm số cho phân kì x > e Kết luận: miền hội tụ ∅ a) Tập xác định: x > e Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy ta có an = ln x + b) Nếu x = | an | = 1, chuỗi phân kì (−1)n+1 ∞ (−1)n+1 = ∑ x n=1 1x + n2 n =1 + n x ∞ Nếu x = 0, ∑ dãy số dương, giảm n → ∞, nên chuỗi cho + n x hội tụ (theo tiêu chuẩn Leibniz) Miền hội tụ chuỗi hàm số cho R∗ Với x, n+x n ∼ e x x , nên chuỗi hàm số cho hội tụ x > x n n n Miền hội tụ (1, +∞) c) Ta có an = ∞ cos nx 1 Chuỗi hàm số ≤ ∑ nx nx x 2 n =1 ∞ cos nx hàm số ∑ hội tụ x > nx n =1 d) Nếu x > 251 n hội tụ 2x > 1, chuỗi 252 Chương Chuỗi (11LT+11BT) Nếu x ≤ 0, giả sử chuỗi cho hội tụ x Khi đó, theo điều kiện cần để chuỗi số hội tụ cos nx = ⇒ lim cos nx = 0, lim n→∞ n→∞ 2nx điều xảy Miền hội tụ (0, +∞) | x |n 1 n < 1, chuỗi hàm số cho hội tụ as n → ∞; ∼ |x| |x| + x2n | x |n ∼ | x |n as n → ∞; | x | < 1, chuỗi hàm số cho hội tụ | x | < 1: | an | = + x2n | x | = 1, | an | = 0, chuỗi hàm số cho phân kì Miền hội tụ R\{±1} e) | x | > 1: | an | = f) n | an | = tan x + n → tan x n → ∞ π π + kπ < x < + kπ, chuỗi hàm số cho hội tụ 4 π Nếu tan x = ⇔ x = ± + kπ: an → e±2 = n → ∞, chuỗi hàm số cho phân kì Nếu tan x < ⇔ − Nếu tan x > 1, chuỗi hàm số cho phân kì π π Miền hội tụ: − + kπ, + kπ ; (k ∈ Z) 4 Bài tập 6.36 Kiểm tra tính hội tụ chuỗi hàm số sau ∞ a) ∑ (1 − x ) x n khoảng [0, 1] n =1 ∞ b) ∑ ln + n =1 ∞ c) ∑ 2n sin n =1 ∞ d) ∑ an n =1 x2 n2 ln n khoảng [− a, a], ( a > 0) x khoảng [− a, a], ( a > 0) 3n 2x + x+2 n khoảng [−1, 1], (| a| < 1) [Gợi ý] a) Sn ( x ) = x − x n+1 → x ≤ x < 1, Sn (1) → n → ∞ Vì hàm số  0, x = 1, f (x) =  x, ≤ x < không liên tục [0, 1], nên chuỗi hàm số cho không hội tụ 252 Chuỗi lũy thừa 253 b) Ta có ln(1 + x ) ≤ x, ∀ x ≥ 0, nên ln + ∞ x2 ≤ n ln2 n x2 n ln2 n ≤ a2 n ln2 n , ∀ x ∈ [− a, a] hội tụ, nên theo tiêu chuẩn Weierstrass, chuỗi hàm n ln2 n số cho hội tụ [− a, a] Mặt khác, chuỗi a2 ∑ n =1 ∞ n x n ; chuỗi hội tụ nên theo tiêu chuẩn Weierstrass, chuỗi ≤ a ∑ 3n n =1 hàm số cho hội tụ khoảng [− a, a] c) 2n sin d) Ta có ∞ 2x + 2x + ∈ [−1, 1] với x ∈ [−1, 1], nên an x+2 x+2 n ≤ | a|n Mặt khác, chuỗi ∑ | a|n hội tụ, nên theo tiêu chuẩn Weierstrass, chuỗi hàm số cho hội tụ n =1 [−1, 1] Bài tập 6.37 Tìm bán kính hội tụ miền hội tụ chuỗi lũy thừa sau ∞ ∞ xn √ a) ∑ n n =1 ∞ d) 2n n! ∑ n =1 (2n)! b) ∞ ∑x n ln(n + 1) n =1 ∞ x2n e) x3n+1 ∑ (−2)n n + n =1 [Gợi ý] c) ∑ n =1 ∞ f) 1+ n n2 xn 2n−1 x n−1 √ 3n −1 n=1 (2n − 1) ∑ a) R = 1, miền hội tụ [−1, 1) b) R = 1, miền hội tụ (−1, 1) c) R = , miền hội tụ e 1 − , e e d) R = +∞, miền hội tụ (−∞, +∞) 1 , miền hội tụ − √ ,√ e) R = √ 3 2 √ √ √ 3 f) R = , miền hội tụ − , 2 Bài tập 6.38 Tìm tổng chuỗi hàm số sau ∞ ∞ a) x n +1 ∑ (2n)!! n =1 ∞ d) ∑ n =1 n x n −1 b) (−1)n−1 x2n ∑ 2n − n =1 ∞ c) ∞ e) ∑ n ( n + 2) x n n =1 253 x4n+1 ∑ n=0 4n + ∞ f) (−1)n ∑ 4n2 − n =1 254 Chương Chuỗi (11LT+11BT) [Gợi ý] a) S( x ) = x (e − 1), ∀ x ∈ R x b) R = 1, ∀ x ∈ (−1, 1): S( x ) = x arctan x 1+x ln + arctan x 1−x c) R = 1, ∀ x ∈ (−1, 1): S( x ) = d) R = 1, ∀ x ∈ (−1, 1): S( x ) = 1+x (1 − x )3 e) R = 1, ∀ x ∈ (−1, 1): S( x ) = x2 − 3x ( x − 1)3 (−1)n x2n x2 + = − arctan x 2x n=1 (2n + 1)(2n − 1) ∞ f) Xét chuỗi hàm số S( x ) = ∑ (−1)n π = lim S( x ) = − 2 x →1 n=1 4n − ∞ ∑ Bài tập 6.39 Tìm miền hội tụ chuỗi hàm số sau ∞ a) ∑ n =1 ∞ b) ∑ n =1 ∞ c) ∑ n =1 ∞ ( x −2) n , n2 n2 ( x −1) n d) ∑ n =1 ∞ , e) ∑ n =1 ∞ ( x −3)2n+5 , n2 +4 f) ∑ n =1 ∞ (2x −1)2n n2n , n 2n −1 g) ∑ n =1 2x −1 x +1 n ∞ , h) ∑ n =1 ∞ ( x +1) n n +1 , i) ∑ n =1 ( x +5)2n−1 2n4n , (−1)n (2n−1)2n ( x −1)n , (3n−2)2n n! nn ( x + 3) n Bài tập 6.40 Tính tổng chuỗi sau ∞ a) ∑ n =0 ∞ b) ∑ n =1 x2n+5 ,x 32n (2n+1) ∞ c) ∑ ∈ (−3, 3), n =0 ∞ (−1)n−1 , (2n−1)3n−1 d) ∑ n =1 x2n+2 ,x (2n+1)(2n+2) 1+2n n2 + n ∈ (−1, 1), x n , x ∈ (−1, 1) Bài tập 6.41 Khai triển thành chuỗi Maclaurin a) f ( x ) = c) f ( x ) = √ x + x +1 , x2 −4x +3 b) f ( x ) = sin 3x + x cos 3x, Bài tập 6.42 , 4− x d) f ( x ) = ln(1 + x − 2x2 ) √ a) Khai triển f ( x ) = x thành chuỗi lũy thừa x − 4, b) Khai triển f ( x ) = sin πx thành chuỗi lũy thừa x − 1, 254 Chuỗi lũy thừa 255 c) Khai triển f ( x ) = x2 +3x +2 thành chuỗi lũy thừa x + 4, d) Khai triển f ( x ) = ln x thành chuỗi lũy thừa 1− x 1+ x Bài tập 6.43 Chứng minh a) ecos x = e − x2 2! + 4x4! − 31x 6! + · · · , − ∞ < x < ∞ ∞ √ −1)!! x2n+1 b) ln( x + x2 + 1) = ∑ (−1)n (2n , −1 ≤ x ≤ (2n)!! 2n+1 n =0 c) ln(1+ x ) 1+ x = x − + 21 x2 + + 21 + 13 x3 − · · · , −1 < x < d) (ln(1 + x ))2 = x2 − + 12 2x3 + + 21 + 31 255 2x4 − · · · , −1 < x ≤