Đáp án đề thi giúp cho các bạn sinh viên nắm bắt được cấu trúc và cách giải đề thi, dạng đề thi chính để có kế hoạch ôn thi một cách tốt hơn. Tài liệu hữu ích cho các các bạn sinh viên đang theo học môn này và những ai quan tâm đến môn học này dùng làm tài liệu tham khảo.
ĐÁP ÁN TOÁN CHO KỸ SƯ (ngày thi 23/7/2020) Điểm Nội dung Câu hỏi Câu1 a) 2đ 3đ Tên cách giải hệ phương trình tuyến tính: Phương pháp Gauss (GaussJordan), phương pháp Cramer (sử dụng định thức), phương pháp ma trận đảo, phương pháp cộng-trừ đại số kết hợp phương pháp thế, ngồi cịn sử dụng máy tính (casio PC/Latop có cài đặt phần mềm phù hợp excel, matlab, maple,…) 0.5ñ Cách Phương pháp Cramer 1 D = m = − m ; Dx = 1 m = (2 − m)(m − 1) 2−m m m 0.25ñ 1 0.25ñ =m−2 m = (2 − m)(3 − 2m) ; D z = 2−m 2−m m Dy = -Trường hợp m : D nên hệ phương trình có nghiệm x = y = z = Dx D Dy D Dz D = m −1 = − 2m = −1 - Trường hợp m = : D = D x = D y = D z = 2 x + y + z = 5 x + y + z = 4 x + y + z = 1 0 : 1 : 0 A = 2 : → → 1 : − 0 0 : 2 : 0 x = y = − − z = , α (heä có vô số nghiệm có ẩn tự do) Kết luận -1- 0.5đ ▪ x = m −1 m : Hệ phương trình có nghiệm nhaát y = − 2m z = −1 ▪ x = m = : Hệ phương trình có vô số nghiệm y = − − , α (1 aån tự do) z = 0.5đ Cách Phương pháp Gauss Lập ma trận bổ sung 1 m − : 2 1 : A = 5 m : → → − 2m : − 0 m − : − m m : − m 0.5đ m : Hệ phương trình tương đương với x + (m − 2) z x = m −1 y + (5 − 2m) z = − y = − 2m z = (m − 2) z −1 = 2−m = 0.5đ m = : Hệ phương trình tương đương với x x = = − y = − − , α (hệ có vơ số nghiệm-1 ẩn tự do) z = = + 0.z = +z y 0.z Kết luận ▪ x = m −1 m : Hệ phương trình có nghiệm y = − 2m z = −1 x = m = : Hệ phương trình có vô số nghieäm y = − − , α (1 ẩn tự do) z = b) Hệ phương trình tương đương với 1đ 1 i1 i2 = E2 − E1 AX = B − R1 R2 − R2 R3 i3 E3 − E2 X A det A = − R1 0.25ñ B 1 R2 = R1R2 + R2 R3 + R1R3 R3 − R2 0.5đ Vì R1, R2 , R3 số dương nên det A , tồn A−1 -2- 0.5đ AX = B A−1 AX = A−1B X = A−1B 0.25đ Vậy đẳng thức X = A−1B Câu a) 0.5ñ b) 1ñ 3.5ñ Nghiệm tổng quát hệ X ' (t ) = AX (t ) + F (t ) 3e 2t 1 10 1 X (t ) = C1 X1 + C2 X + C3 X + X p (t ) = C1 e − 3t + C2 − 1e − 4t + C3 et + te2t 7e 2t 1 1 1 với C1, C2 , C3 = consts 0.5ñ Phương pháp biến thiên số (Variation of Parameters) Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng X ' (t ) = AX (t ) + F (t ) , với A = aij nn , phương pháp biến thiên số sau: Bước Giải hệ phương trình vi phân tương ứng X ' (t ) = AX (t ) tìm hệ x11 (t ) x12 (t ) x1n (t ) x21 (t ) x22 (t ) x2 n (t ) nghiệm X = , X2 = , , X n = Nghiệm tổng quát hệ 0,5ñ x (t ) x (t ) x (t ) n1 n2 nn X ' (t ) = AX (t ) x11 (t ) x12 (t ) x1n (t ) x21 (t ) x22 (t ) x2 n (t ) + + Cn + C2 với C1 , C2 , , Cn = conts X o (t ) = C1 x (t ) x (t ) x (t ) n2 nn n1 Bước (Biến thiên số) Nghiệm tổng quát hệ X ' (t ) = AX (t ) + F (t ) x11 (t ) x12 (t ) x1n (t ) x21 (t ) x22 (t ) x2 n (t ) + + Cn (t ) X (t ) = C1 (t ) + C2 (t ) = x (t ) x (t ) x (t ) n2 nn n1 x11 (t ) x12 (t ) x1n (t ) C1 (t ) x21 (t ) x22 (t ) x2 n (t ) C2 (t ) (*) x (t ) x (t ) x (t ) C (t ) n2 nn n1 n Trong C1 (t ), C2 (t ), ,Cn (t ) xác định từ hệ 0,5ñ x11 (t ) x12 (t ) x1n (t ) C1 ' (t ) f1 (t ) x21 (t ) x22 (t ) x2 n (t ) C2 ' (t ) f (t ) = (**) x (t ) x (t ) x (t ) C ' (t ) f (t ) n2 nn n n n (t ) C '( t ) -3- F (t ) C1 (t ) = dt + K1 C (t ) = dt + K ⎯tích ⎯phân ⎯ ⎯→ Giải hệ (**) với Cn (t ) = dt + K n K1, K2 , , Kn = conts , thay vào (*) ta nghiệm tổng quát phương trình X ' (t ) = AX (t ) + F (t ) C1 ' (t ) = C ' (t ) = Cn ' (t ) = Lưu ý Nếu sử dụng ma trận đảo giải (**) ta được: (t )C ' (t ) = F (t ) C ' (t ) = −1 (t ) F (t ) C (t ) = −1 (t ) F (t )dt + K c) 2ñ Cách Phương pháp biến thiên số (Variation of Parameters) Hệ phương trình viết lại x' = y + e −5t x e −5t x' X ' (t ) = AX (t ) + F (t ) + = y ' − − y 12 y ' = − x − y + 12 X' A X x' 0 F (t ) x Giải hệ tương ứng = y ' − − y X' det( A − I ) = 0− −1 A X = −1 = 2 + 3 + = −3− = −2 − 2 vec tơ riêng sở * = -1 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ nghiệm → X1 = 0,5ñ − −t e 1 1 vec tô riêng sở * = -2 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ nghiệm → X = e − 2t − 1 −1 − 2 1 Nghiệm tổng quát hệ nhất: X o = C1 e − t + C2 e − 2t ; C1 , C2 = conts − 1 − 2 1 Nghiệm tổng quát hệ nhất: X (t ) = C1 (t ) e − t + C2 (t ) e − 2t (*) − 1 Trong C1 (t ), C2 (t ) xác định từ hệ − 2e − t −t e e −2t C1 ' (t ) e −5t (**) = − e − 2t C2 ' (t ) 12 Giải (**) C1 (t ) = (−e −4t − 12et )dt + K1 C1 ' (t ) = −e −4t − 12et , K1 , K = conts 2t − 3t 2t − 3t C ' ( t ) = − 24 e − e C ( t ) = ( − 24 e − e ) dt + K 2 − 4t t C1 (t ) = e − 12e + K1 với K1 , K = conts Thay vào (*) nghiệm − 3t 2t C2 (t ) = −12e + e + K -4- 0,5ñ − 2 1 1 X (t ) = ( e − 4t − 12et + K1 ) e − t + (−12e 2t + e − 3t + K ) e − 2t − 1 − 5t −t − 2t x = − K e + K e − e + 12 với K1 , K = conts y = K1e − t − K 2e − 2t − e − 5t 12 − K + K − + 12 = x ( ) = K1 y ( 0) = K1 − K − K =0 12 0,5ñ 47 35 = = 47 − t 35 − 2t − 5t x = − e + e − e + 12 Vậy nghiệm cần tìm 47 − t 35 − 2t − 5t y = e − e − e 12 47 35 x(t ) = lim (− e − t + e − 2t − e − 5t + 12) = 12 tlim → + t → + 47 − t 35 − 2t − 5t lim y (t ) = lim ( e − e − e ) = t → + 12 t → + Sau khoảng thời gian t đủ lớn, tọa độ gần mặt phẳng Oxy điểm M (x(t ); y(t )) (12;0) c) 2ñ 0,5ñ Cách Áp dụng phép biến đổi Laplace Đặt X = L x, Y = L y; biến đổi Laplace hai vế ta được: L x − 2L y = L e −5t sX − 2Y = s + 12 L x + L y + 3L y = L 12 X + ( s + 3)Y = s 0.75ñ s + 27 s + 120 A B C D X = = + + + s( s + 2)(s + 1)(s + 7) s s + s + s + 12s + 59 E F G Y= = + + ( s + 2)(s + 1)(s + 7) s + s + s + 0.25đ Biến đổi ngược hai vế ta được: 1 D x = −1 x = L −1 [ X ] L [ A s + B s + + C s + + s + 5] −1 1 y = L [Y ] y = L −1[ E +F +G ] s +1 s+2 s+5 x = A + Be −t −t + Ce y = Ee + Fe −2 t − 2t + De −5 t + Ge − 5t lim x(t ) = lim ( A + Be−t + Ce −2t + De −5t ) = A t → + t → + lim y (t ) = lim ( Ee−t + Fe−2t + Ge −5t ) = t → + t → + Sau khoảng thời gian t đủ lớn, tọa độ gần mặt phẳng Oxy -5- 0.5đ điểm M (x(t ); y(t )) ( A;0) (12;0) 0.5đ Tìm A, B, C , D dựa vào s + 27 s + 120 A B C D = + + + s ( s + 1)(s + 2)(s + 5) s s + s + s + A= + 27 + 120 = 12 , (0 + 1)(0 + 2)(0 + 5) B= (−2) + 27 (−2) + 120 35 C= = ( −2)(−2 + 1)(−2 + 5) (−1) + 27 (−1) + 120 47 =− , (−1)(−1 + 2)(−1 + 5) (−5) + 27 (−5) + 120 D= =− (−5)(−5 + 1)(−5 + 2) Tìm E , F , G dựa vào 12s + 59 E F G = + + ( s + 1)(s + 2)(s + 5) s + s + s + E= 12 (−1) + 59 47 = , (−1 + 2)(−1 + 5) G= 12 (−5) + 59 −1 = (−5 + 1)(−5 + 2) 12 F= 12 (−2) + 59 35 =− (−2 + 1)(−2 + 5) 47 − t 35 − 2t − 5t x = 12 − e + e − e Vậy nghiệm hệ phương trình 47 − t 35 − 2t − 5t y= e − e − e 12 Lưu ý Ngoài hai phương pháp giải phương pháp khử Câu a) 0,5đ b) 1,5đ 3,5đ Đặt: x = r sin cos , y = r sin sin , z = r cos k( 2u u 2u 2u 2u 2u 2u cot u u u k ( + + + + + + ) = )= 2 2 2 2 r x r r r sin y r z r t t Áp dụng tốn truyền sóng chiều Nghiệm -6- 0,5ñ Với An , Bn xác định sau Với L = , f ( x) = x( − x) , g ( x) = u ( x, t ) = ( An cos nat + Bn sin nat ) sin nx 0,5ñ n =1 An = x( − x) sin nxdx (áp dụng tích phân phần) cos nx sin nx x( x − ) + ( − x) − cos nx n n n n = (1 + (−1) n +1 ) n Bn = sin nxdx = na 0 = Vậy nghiệm toán cần giải u ( x, t ) = ( n =1 c) 1,5ñ + 4(−1) n +1 + 4(−1) n +1 cos nat + sin nat ) sin nx = cos nat sin nx n3 n3 n =1 Giải phương trình truyền nhiệt 0,5đ 0,25đ 0,25đ 2u u + e− x = , x 1, t x t u (1, t ) = 0, t ( BC ) u (0, t ) = 0, −x x 1 ( IC ) u ( x,0) = − e Đây phương trình khơng nên ta đổi biến u ( x, t ) = v( x, t ) + ( x) với điều kiện u v x = x + ' ( x) 2u v 2u u ta = + ' ' ( x) , thay vào phương trình + e − x = x t x x u v = t t 2v v + ' ' ( x) + e − x = t x Thay điều kiện (BC) &(IC) vào đưa toán cần giải hai toán Bài toán 1: ' ' ( x) + e− x = với (0) = 0, (1) = v v x = t ,0 x 1, t Bài toán 2: v(0, t ) = 0, v(1, t ) = (BC) v( x,0) = − e − x − ( x) (IC) Giải toán 1: ' ' ( x) + e− x = ' ( x) = − e− x dx + C1 = e− x + C1 -7- 0,5ñ ( x) = (e− x + C1 )dx + C2 = −e − x + C1 x + C2 C = e −1 − − + C2 = (0) = 0, (1) = −1 − e + C1 + C2 = C2 = 0,5ñ ( x) = − e− x + (e−1 − 1) x 2v v x = t ,0 x 1, t Thay vào toán v(0, t ) = 0, v(1, t ) = (BC) v( x,0) = (1 − e −1 ) x (IC) Áp dụng toán truyền nhiệt chiều (thuần nhất) Nghiệm: Suy nghiệm toán 1 2 v( x, t ) = 2 (1 − e−1 ) x sin nxdx e− n t sin nx n =1 (−1) n +1 − n 2 t e = 2 (1 − e −1 ) sin nx n n =1 (tính tích phân phần) 0,5đ Vậy nghiệm toán cần giải n +1 − n 2 t −1 ( −1) e sin nx u ( x, t ) = v( x, t ) + ( x) = − e + (e − 1) x + 2 (1 − e ) n n =1 −x −1 ……………………………………………………………………Heát………………………………………………………………………… -8- ... 5) B= (? ?2) + 27 (? ?2) + 120 35 C= = ( ? ?2) (? ?2 + 1)(? ?2 + 5) (−1) + 27 (−1) + 120 47 =− , (−1)(−1 + 2) (−1 + 5) (−5) + 27 (−5) + 120 D= =− (−5)(−5 + 1)(−5 + 2) Tìm E , F , G dựa vào 12s + 59... 1)(s + 2) (s + 5) s + s + s + E= 12 (−1) + 59 47 = , (−1 + 2) (−1 + 5) G= 12 (−5) + 59 −1 = (−5 + 1)(−5 + 2) 12 F= 12 (? ?2) + 59 35 =− (? ?2 + 1)(? ?2 + 5) 47 − t 35 − 2t − 5t x = 12 − e +... i2 = E2 − E1 AX = B − R1 R2 − R2 R3 i3 E3 − E2 X A det A = − R1 0 .25 ñ B 1 R2 = R1R2 + R2 R3 + R1R3 R3 − R2 0.5đ Vì R1, R2 , R3 số dương