Khái niệm tổng quát của quá trình nguẫ nhiên

http://www.ebook.edu.vn Phần II QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN Chương 5 NHỮNG KHÁI NIỆM TỔNG QUÁT §5.1. MỞ ĐẦU Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu những khái niệm căn bản nhất về quá trình ngẫu nhiên (QTNN). Khởi đầu, lý thuyết QTNN được phát triển gắn với dao động và nhiễu trong những hệ vật lý. QTNN đưa ra những mô hình hữu hiệu để nghiên cứu các lĩnh vực khác nhau như vật lý thống kê, thông tin liên lạc, phân tích chuỗi thời gian, phân tích hoạt động mạng máy tính và khoa học quản lý. 5.1.1. Các định nghĩa *Giả sử I là tập vô hạn nào đó còn ( ) S, Pℑ, là không gian xác suất cơ bản. Họ các biến ngẫu nhiên (BNN) { } t X,t I∈ cùng xác định trên ( ) S, Pℑ, được gọi là hàm ngẫu nhiên. Tập chỉ số I được gọi là tập xác định; tập giá trị E của các BNN được gọi là tập giá trị của hàm ngẫu nhiên. t X Khi I ⊂ ¡ , tham biến t thường đóng vai trò thời gian (cũng có thể có ý nghĩa khác) và chúng ta gọi { } t X,t I∈ là QTNN. Hơn nữa, nếu I là tập đếm được thì ta gọi { } t X,t I∈ là QTNN với thời gian rời rạc hay dãy các BNN. Đặc biệt, ta gọi { } n X,n∈N hoặc { } n00 X,n n,n 1, .=+ là dãy các BNN một phía. Nếu I =Z thì ta gọi { } n X,n∈Z là dãy các BNN hai phía. Khi I là một khoảng suy rộng của , chúng ta gọi R { } t X,t I∈ là QTNN thời gian liên tục, đơn giản là QTNN. Đối với các trường hợp khác, ví dụ k I = R , { } t X,t I∈ được gọi là trường ngẫu nhiên. Chúng ta sẽ nghiên cứu chủ yếu QTNN thời gian rời rạc hoặc thời gian liên tục. Trong quyển sách này nếu không nói gì thêm, QTNN xem xét là QTNN thực, ở đó tập giá trị là tập con của . Khi tập giá trị là tập con của , chúng ta có QTNN phức, chúng ta sẽ nói rõ QT là phức. R C *Thực chất, chúng ta đang đề cập đến hàm 2 biến X {X(t, ), t I, S} = ς∈ς∈ sao cho: Khi cố định, là một BNN; tI∈ X(t, )ς 32 http://www.ebook.edu.vn Khi cố định, là một hàm số thông thường trên I, được gọi là một quỹ đạo (tên khác: thể hiện, hàm chọn) của QT ứng với kết cục của thí nghiệm ngẫu nhiên. Sς∈ X(t, )ς ς *Cũng là chính đáng, và đôi khi lại là thoả đáng nhất khi coi QTNN như là một ánh xạ ứng mỗi với quỹ đạo Sς∈ X(., )ς - một hàm số thông thường trên I. Thuật ngữ hàm ngẫu nhiên có lẽ xuất phát từ quan điểm này. Như vậy, chúng ta lại có thể coi QTNN như là họ của các quỹ đạo hay là một tổng thể (ensemble) của các thể hiện (hay các hàm chọn) của nó. Sự khác biệt giữa các quan niệm nêu trên về QTNN nằm ở mục đích và phương pháp nghiên cứu. Để tiện lợi chúng ta hay viết X(t) thay cho , cũng như hay viết t X () Xt,ζ thay cho ( ) t X ζ là giá trị của quá trình (QT) tại thời điểm t khi kết quả của thí nghiệm ngẫu nhiên là ζ (khi xảy ra biến cố sơ cấp S ζ∈ ). Chúng ta cũng hay ký hiệu QT bởi {{X(t, ), t I, S}ς∈ς∈ X(t), t I}, {X(t)} ∈ hay đơn giản là X. 5.1.2. Phân loại sơ bộ. Tùy theo tập chỉ số I và không gian giá trị E (trong Vật lý, E được gọi là không gian trạng thái), người ta phân QTNN làm bốn loại sau đây: i) I liên tục, E liên tục: QTNN với thời gian liên tục và trạng thái liên tục (tên khác: QTNN liên tục); ii) I liên tục, E rời rạc: QTNN với thời gian liên tục và trạng thái rời rạc (tên khác: QTNN rời rạc); iii) I rời rạc, E liên tục: QTNN với thời gian rời rạc và trạng thái liên tục (tên khác: dãy ng ẫu nhiên liên tục ). iv) I rời rạc, E rời rạc: QTNN với thời gian rời rạc và trạng thái rời rạc (tên khác: dãy ngẫu nhiên rời rạc). Theo các tính chất của quỹ đạo, người ta có thể phân loại QTNN một cách tỉ mỉ hơn. Chẳng hạn, khi I là khoảng suy rộng nào đó của R , ta nói { } t X,t I∈ là: * QT liên tục theo quỹ đạo nếu hầu hết các quỹ đạo của nó là hàm liên tục; * QT bước nhảy nếu hầu hết các quỹ đạo của nó là hàm bậc thang… Lưu ý rằng trong cuốn sách này, thuật ngữ “hầu hết” hay “hầu chắc chắn” được sử dụng với ý nghĩa rằng, các tính chất kể đến xảy ra với xác suất 1. Hình 5.1(a) mô tả một quỹ đạo điển hình c ủa QTNN liên tục {X(t)}. Hình 5.1(b) mô tả dãy ngẫu nhiên có được bằng cách lấy mẫu QT {X(t)} theo chu kỳ T 0 chọn trước: ( ) n0 X X nT , n 0,1,2, .== Hình 5.1(c) mô tả quỹ đạo của QT dấu của QT ban đầu: Khi X(t) dương, Y(t) nhận giá trị 1; giá trị -1 được nhận tại những 33 http://www.ebook.edu.vn thời điểm còn lại. Dãy rời rạc ở Hình 5.1(d) mô tả dãy mẫu với chu kỳ lấy mẫu T 0 của QT dấu () {} Yt . (a) (c) (d) (b) Hình 5.1. Các dạng quỹ đạo của quá trình ngẫu nhiên 5.1.3. Ví dụ về QTNN Ví dụ 5.1. Điện tâm đồ Điện tâm đồ là “bức tranh” của tim người thực hiện bằng sóng điện trường hay siêu âm). Có nhiều “nhiễu” trên những bức tranh này bởi vì sóng điện trường (hay siêu âm) được phản xạ từ nhiều nơi bên trong lồng ngực. Ví dụ 5.2. Đầu ra của kênh thông tin thường bị méo do nhiễu điện từ. Lưu ý rằng cả tín hiệu đầu vào cũng như tín hiệu điều chế đều có không gian trạng thái gián đoạn, tín hiệu đầu ra lại có không gian trạng thái liên tục. Cả ba tín hiệu có thời gian liên tục. Ví dụ 5.3. Tín hiệu âm thanh . Tín hiệu âm thanh có thể được xem là ngẫu nhiên từ chỗ dãy các âm lượng tạo nên tín hiệu là bất định. Cả không gian trạng thái và thời gian đều liên tục. Ví dụ 5.4. Tín hiệu FM với nhiễu. Tín hiệu FM (tín hiệu điều chế tần số) điển hình có dạng: () () t cf 0 Xt cos2ft 2k asds ⎛⎞ =π+π ⎜⎟ ⎝⎠ ∫ , 34 http://www.ebook.edu.vn trong đó f c là tần số mang, thường nằm trong dải tần 88 108MHz÷ , k f là hệ số điều chế máy phát (transmitter`s modulation constant), còn a(s) là tín hiệu âm thanh cần truyền đi. Thậm chí không có nhiễu, X(t) là tín hiệu ngẫu nhiên từ chỗ a(s) là ngẫu nhiên. Ví dụ 5.5. Sóng sin ngẫu nhiên . Cho [ ] UU0;1: là biến ngẫu nhiên có phân bố đều trên [0;1]. Xét quá trình ( ) ( ) ( ) Xt, U sin2 t,tζ = ζ π∈R . Mỗi hàm mẫu của nó là một hàm hình sin theo thời gian với biên độ ngẫu nhiên. Ví dụ 5.6. Dãy nhiễu trắng . Dãy các BNN {X(n)} được gọi là dãy nhiễu trắng nếu nó quy tâm (kỳ vọng không), cùng phương sai và không tương quan. Một quỹ đạo điển hình của dãy nhiễu trắng với 2 1σ = thể hiện ở Hình 5.2. Dãy nhiễu trắng và QTNN nhiễu trắng có vai trò quan trọng trong nghiên cứu QTNN. Hình 5.2. Một thể hiện của dãy nhiễu trắng Gauss với phương sai 1. 5.1.4. Họ các phân bố hữu hạn chiều Giả sử ( ) { } Xt,t I∈ là QTNN. Đối với thời điểm 1 tI∈ cố định, X(t 1 ) là biến ngẫu nhiên với hàm phân bố F X (x 1 ,t 1 ) xác định bởi ( ) ( ) { } X11 1 1 Fx,t PXt x=<. (5.1.1) Bây giờ giả sử { } 1n Jt, .,t= là một tập con hữu hạn của I. Hàm phân bố đồng thời của ( ) ( ) 1n Xt , .,Xt : ( ) ( ) ( ) { } X1 n1 n 1 1 n n F x , .,x ;t , ., t P X t x , .,X t x=< < (5.1.2) 35 http://www.ebook.edu.vn được gọi là hàm phân bố hữu hạn chiều (ở đây có n chiều) của quá trình ( ) { } Xt ứng với tập chỉ số J. Tập các hàm phân bố hữu hạn chiều được gọi là họ các hàm phân bố hữu hạn chiều. Rõ ràng, họ các hàm phân bố hữu hạn chiều có hai tính chất sau đây: i) Tính chất đối xứng: Hàm phân bố hữu hạn chiều không thay đổi nếu ta hoán vị bộ chỉ số (1, 2,…,n). Ví dụ, khi hoán vị hai chỉ số đầu chúng ta có: ( ) X12 n12 n F x ,x , ., x ; t ,t , .,t = ( ) X 213 n213 n F x ,x ,x , .,x ;t ,t ,t , ., t . (5.1.3) ii) Tính nhất quán theo nghĩa ( ) ( ) X1 n1 n X1 n11 n1 x n lim F x , ., x ;t , .,t F x , .,x ;t , ., t − − →∞ = . (5.1.4) Ngược lại, cho họ hàm phân bố hữu hạn chiều thoả mãn hai tính chất nêu trên thì tồn tại QTNN ( ) { } Xt,t T∈ với họ hàm phân bố hữu hạn chiều đã cho. Đó chính là nội dung của định lý tồn tại của Kolmogorov (người Nga). Rất nhiều tính chất quan trọng của QTNN được quy định bởi tính chất của các hàm phân bố hữu hạn chiều của nó, trong đó quan trọng nhất là hàm phân bố một chiều F(x; t) và hàm phân bố hai chiều F(x 1 , x 2 ; t 1 , t 2 ). Thông thường, chúng ta phải nghiên cứu đồng thời một số QT. Từ đó, mở rộng (5.1.2), chúng ta đưa vào khái niệm hàm phân bố đồng thời của hai quá trình ( ) { } ( ) { } XXt,YYt==: ( ) XY 1 n 1 m 1 n 1 m F x , ., x , y , ., y ;t , ., t ,s , .,s = ( ) ( ) ( ) ( ) { } 11 n n11 mm P X t x ; .;X t x ;Y s y ;Y s s=< < < <. (5.1.5) Độc giả cũng có thể dễ dàng mở rộng sang trường hợp có hữu hạn QT. §5.2. MỘT SỐ LỚP QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN 5.2.1. Quá trình cấp II QTNN ( ) { } XXt,tI=∈được gọi là QT cấp p (p > 0) nếu với mọi ( ) tI,Xt∈ là biến ngẫu nhiên khả tích cấp p, tức là () p EX t < ∞ . Từ bất đẳng thức Liapunov (xem [4 ], Phần III tr 127) () ( ) () ( ) 1/q 1/p qp EX t EX t ,0 q p≤ << (5.2.1) suy ra nếu QT là cấp p thì nó cũng là cấp q với 0 < q < p. Trường hợp quan trọng nhất khi p = 2, lúc đó ta có QT cấp hai. Đối với QT cấp hai ( ) { } XXt,tI=∈đặt 36 http://www.ebook.edu.vn ( ) () ()() () X X t E (X(t)); Rt,sEXtXs,t,sI µ= =∈; ( ) ( ) ( ) ( ) X C t,s Cov X t ,X s , t,s I=∈. (5.2.2) và gọi ( ) X tµ là hàm kỳ vọng, R X (t,s) là hàm tự tương quan và C X (t,s) là hàm tự hiệp phương sai của quá trình X đã cho. Khi biết hàm kỳ vọng , hàm tự hiệp phương sai và hàm tự tương quan có thể biểu diễn qua nhau theo công thức ( ) ( ) ( ) ( ) XXXX C t,s R t,s t s=−µµ . (5.2.3) Cũng từ đây, nếu QT là quy tâm, tức là hàm trung bình bằng 0, thì hàm tự tương quan và hàm tự hiệp phương sai trùng nhau. Nhiều khi chúng ta cần tìm () () 2 EXt Xs⎡ −⎤ ⎣ ⎦ là kỳ vọng của bình phương số gia X(t) – X(s) của quá trình tại hai điểm t, s. Đại lượng này có thể tính thông qua hàm tự tương quan: () () ( ) ( ) ( ) 2 XXX E X t X s R t,t 2R t,s R s,s⎡−⎤= − + ⎣⎦ . (5.2.4) Trong kỹ thuật, thường thì ( ) { } Xt là dạng sóng theo thời gian của điện áp hay dòng trên kháng 1 ôm. Công suất của QT tại thời điểm t là X 2 (t) và công suất trung bình tại thời điểm này là E(X 2 (t)), ký hiệu bởi P X (t). Như vậy, trong biểu thức (5.2.2) cho t = s ta nhận được công suất trung bình ( ) ( ) ( ) 2 XX Pt E[Xt]R t,t== (5.2.5) và hàm phương sai () () () () () ( 2 22 XX X X X tC(t,t)EXt t Rt,t tσ= = −µ = −µ ) . (5.2.6) Để chuẩn hoá hàm tự hiệp phương sai, người ta dùng hệ số tự tương quan () ( ) () () X X XX Ct,s t,s Ct,tCs,s ρ= . (5.2.7) Hàm trung bình và hàm tự tương quan là hai thống kê quan trọng nhất của QT. Tuy nhiên, để tính chúng phải thông qua trung bình tổng thể, tức là phải biết mật độ xác suất hai chiều của QT - điều rất khó thực hiện trong thực tế. Ở bài § 3.5 tiếp theo chúng ta sẽ giới thiệu cách tính xấp xỉ các hàm này trong tình huống khi việc lấy trung bình tổng thể không thể làm được. X (t)µ X R (t,s) Đối với hai QTNN cùng xác định trên I và không gian xác suất ( ) S, Pℑ , , đặt ( ) ( ) ( ) XY Rt,sE[XtYs= ], (5.2.8) ( ) XY X Y C t,s E[(X(t) (t))(Y(s) (s))]; t,s I=−µ −µ ∈, (5.2.9) 37 http://www.ebook.edu.vn XY XY XY XY C(t,s) (t,s) C(t,t)C(s,s) ρ= (5.2.10) và được gọi lần lượt là hàm tương quan chéo, hàm hiệp phương sai chéo và hệ số tương quan chéo của hai quá trình X và Y. Dễ thấy quan hệ (5.2.3) có thể mở rộng cho hàm hiệp phương sai chéo: ( ) ( ) ( ) ( ) XY XY X Y C t,s R t,s t s= −µ µ . (5.2.11) Hai quá trình X và Y được gọi là không tương quan nếu: ( ) XY Ct,s0, t,sI= ∀∈. (5.2.12) Điều này tương đương với ( ) XY R t,s E[X(t)].E[Y(t)], t ,s I= ∈ . Hai quá trình X và Y được gọi là trực giao nếu: ( ) XY R t,s E[X(t)Y(s)] 0, t,s I= =∀∈. (5.2.13) Rõ ràng, nếu một trong hai QT là quy tâm thì hai khái niện không tương quan và trực giao là tương đương: X quy tâm: X,Y không tương quan ⇔ X, Y trực giao. Ví dụ 5.7. Ví dụ tầm thường về QTNN là tín hiệu tất định X(t) = f(t), trong đó f(t) là hàm số cho trước. Đối với trường hợp này, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) XX tft;Rt,sftfsµ= = . Ví dụ 5.8. Xét quá trình ( ) { } Xt với () ( ) 0,2 t s XX t3;Rt,s94e − − µ= =+ . Hãy tìm kỳ vọng, phương sai, hiệp phương sai của các biến ngẫu nhiên Z = X(5); W = X(8). Ta có E[Z] = E[W] = 3 ( ) ( ) () 22 XX X E[Z ] R 5,5 13; E[W ] R 8,8 13; E[Z W] R 5,8 11,195. == = == = Vậy D[Z] = D[W] = 13 - = 4 2 3 Cov(Z, W) = E[Z W] – E[Z]E[W] = 2,195. 5.2.2. Quá trình số gia độc lập Định nghĩa. QTNN ( ) { } XXt,tI=∈được gọi là QT số gia độc lập nếu các số gia của nó trên những khoảng thời gian rời nhau là những BNN độc lập: Với mọi t 0 , t 1 , …, t n trên I: t 0 < t 1 < …< t n , các số gia ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 01 0 n n X t ,X t X t , .,X t X t 1 − −− là những BNN độc lập. 38 http://www.ebook.edu.vn Thêm vào đó, nếu luật phân bố của X(t) – X(s) chỉ phụ thuộc vào hiệu t – s thì ta gọi X là quá trình số gia độc lập thuần nhất. Ví dụ 5.9. Cho { } n ,n 0,1, .ξ= là dãy BNN độc lập. Dãy tổng riêng {X n } 001012012 X ; X ; X , .=ξ =ξ +ξ =ξ +ξ +ξ lập thành dãy số gia độc lập (hãy chứng minh !). Định nghĩa . Cho { } t XX,tI=∈là QT cấp hai: () 2 EXt t I.<∞∀ ∈ Ta nói X là QT số gia không tương quan nếu hai số gia của nó trên những khoảng thời gian rời nhau là những BNN không tương quan. Cụ thể là, với t 0 , t 1 , t 2 , t 3 bất kỳ trên I sao cho t 0 < t 1 < t 2 < t 3 ta có: 1032 Cov(X(t ) X(t ), X(t ) X(t )) 0−−=. Rõ ràng là, nếu X là QT số gia độc lập và là QT cấp hai thì X là QT số gia không tương quan. Điều ngược lại nói chung không đúng (có những phản ví dụ chứng tỏ điều này). 5.2.3. Quá trình dừng QT dừng có vai trò đặc biệt quan trọng trong vô tuyến điện cũng như nhiều ngành khác. Về đại thể, quá trình dừng có “dáng điệu” bất biến theo thời gian. Chúng ta phân QT dừng làm hai loại: theo nghĩa hẹp và theo nghĩa rộng. a) Quá trình dừng theo nghĩa hẹp Định nghĩa. Ta nói QTNN { } t XX,tI=∈là QT dừng theo nghĩa hẹp (hay QT dừng mạnh) nếu với số tự nhiên n bất kỳ, với J = {t 1 ,…, t n } là tập con tùy ý của I và với số thực h bất kỳ sao cho { } 1n K t h, .,t h I= ++⊂, các VTNN 1n (X(t ), .,X(t )) và 1n (X(t h), .,X(t h))+ + có cùng luật phân bố. Nói ngắn gọn, đó là quá trình có họ phân bố hữu hạn chiều bất biến với phép dịch chuyển thời gian. Thường người ta xét trường hợp I = R ; cũng có thể xét các trường hợp khác, ví dụ [ ) I0;=+∞ hay [ ] Ia;b= . Thực tế, việc kiểm tra điều kiện dừng nói trên rất khó khăn. Tuy nhiên, lại có thể phát biểu một loạt điều kiện cần (nhưng không đủ) để một quá trình (QT) là dừng theo nghĩa hẹp. Nếu vi phạm dù 1 trong các điều kiện này thì khẳng định rằng QT không là dừng theo nghĩa hẹp. * Cho n = 1. Chúng ta nhận được ( ) ( ) XX F x,t F x,t h , x , t,h : t,t h I=+∀∈∀+ R ∈. Như vậy, đối với QT dừng theo nghĩa hẹp hàm phân bố một chiều không phụ thuộc vào thời gian. 39 http://www.ebook.edu.vn * Nếu QT là cấp k (k nguyên không âm) thì k k E(X (t)) , t I=υ ∀ ∈ . Đặc biệt, nếu QT là cấp hai thì hàm trung bình và phương sai là hằng số: ( ) ( ) () () X 22 X tE[Xt]; tD[Xt] , t µ= =µ σ= =σ ∀∈I. * Bây giờ chọn n = 2, t 0 cố định tùy ý trên I nhận được: ( ) ( ) ( ) X 1 212 X 1 200 2 1 F x ,x ;t ,t F x ,x ;t ,t t t .=+− Như vậy, một điều kiện đủ là: Hàm phân bố hai chiều chỉ phụ thuộc hiệu thời gian: ( ) ( ) X1212 X12 Fx,x;t,t Fx,x;= τ với 21 ttτ =−. Nếu các hàm phân bố có mật độ thì điều kiện này tương đương với ( ) ( ) X1212 X122 1 fx,x;t,t fx,x;t t= − . * Tương tự, hàm tự tương quan R X (t,s) và hàm tự hiệp phương sai C X (t,s) chỉ phụ thuộc vào hiệu thời gian: ( ) ( ) ( ) ( ) XX Rt,sE[XtXs]Rts==−; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) XX Ct,sCovXt,Xs Cts==.− Thực vậy, ( ) ( ) ( ) X 22 Rt,s xydFx,y;t,s xydFx,y;ts== ∫∫ ∫∫ RR − chỉ phụ thuộc vào hiệu t - s. Tương tự cho hàm ( ) X Ct,s. Những trình bày về dừng theo nghĩa hẹp nêu trên có thể được mở rộng thành dừng theo nghĩa hẹp đồng thời của hai QT: Hai QT ( ) { } Xt và ( ) { } Yt được gọi là dừng theo nghĩa hẹp đồng thời nếu các hàm phân bố đồng thời của chúng (xác định theo (5.1.5)) bất biến với phép dịch chuyển thời gian. b) Quá trình dừng theo nghĩa rộng Định nghĩa. Giả sử { } t XX,tI=∈ là QT cấp hai. Ta nói rằng X là QT dừng theo nghĩa rộng nếu: i) Hàm kỳ vọng là hằng số ( ) ( ) XX tE[Xt] , tµ= =µ ∈I; ii) Hàm tự tương quan chỉ phụ thuộc vào hiệu thời gian ( ) ( ) ( ) ( ) XX Rt,sE[XtXs]R , ts= =ττ=− trong đó ( ) X R τ là hàm nào đó của biến τ . 40 http://www.ebook.edu.vn Để tiện lợi, QT dừng theo nghĩa rộng được gọi tắt là QT dừng. Lưu ý rằng nếu xảy ra (i) thì điều kiện (ii) tương đương với ii’) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) XXXX Ct,sE[(Xt t)(Xs s)C , ts = −µ −µ = τ τ= − là hàm chỉ phụ thuộc vào hiệu t – s. Người ta cũng gọi hàm ( ) X R τ , ( ) X C τ lần lượt là hàm tự tương quan và tự hiệp phương sai của quá trình dừng X. Các điều kiện (ii) và (ii’) được viết dưới dạng tiện lợi sau đây: ( ) ( ) ()( XX XX Rt ,tR Ct ,t C . +τ = τ +τ = τ ) ; Phương sai của QT dừng là hằng số: ( ) ( ) ( ) 22 XX D[X t ] t C 0 =σ = =σ ,t I∀ ∈ . Người ta gọi là kỳ vọng chung, X µ 2 X σ là phương sai chung của QT X. Rõ ràng, mỗi QT dừng theo nghĩa hẹp và là cấp hai sẽ là một QT dừng theo nghĩa rộng. Ngược lại nói chung không đúng (có những ví dụ minh hoạ điều này). Sau đây chúng ta nêu ra một số tính chất của hàm tự tương quan. Định lý 5.1. Cho ( ) X R τ là hàm tự tương quan của QT dừng nhận giá trị thực ( ) { } Xt,t∈ R . Khi đó: i) ( ) X R τ là hàm chẵn, tức là ( ) ( ) XX RR,−τ= τ ∀τ∈ R . ii) Hàm ( ) X R τ đạt cực đại tại 0τ = : ( ) ( ) XX RR0,τ≤ ∀τ∈ R . iii) ( ) X R τ là hàm xác định không âm theo nghĩa: Với mỗi bộ 2n số thực t 1 ,…, t n , b 1 ,…,b n bất kỳ luôn xảy ra bất đẳng thức: () n ij X i j i,j 1 b bR t t 0 = − ≥ ∑ . (5.2.14) Chứng minh. i) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) XX X XX RR0R0,R,0R−τ = − τ = τ = τ = τ . ii) Áp dụng bất Cauchy-Schwarz, ta có ( ) ( ) ( ) ( ) () () ( ) () XX 1/2 22 X RR,0EXX0 EX EX 0 R 0. τ= τ = τ ≤τ = iii) () () () 2 nn ii ij i j i1 i,j1 0E bXt bbE[XtXt] == ⎛⎞ ≤= ⎜⎟ ⎝⎠ ∑∑ = 41 [...]... X′ ( t 0 ) được gọi là đạo hàm của quá trình {X ( t ) , t ∈ I} tại điểm t0 Nếu (5.4.4) xảy ra tại mọi điểm t 0 ∈ I thì quá trình {X ( t )} được gọi là MS khả vi, quá trình {X′ ( t )} được gọi là đạo hàm của quá trình {X ( t )} Định lý 5.13 Giả sử {X ( t )} là QTNN cấp hai với hàm tự tương quan R X ( t,s ) Nếu R X ( t,s ) là hàm khả vi cấp hai tại điểm (t0, t0) thì quá trình {X ( t )} 59 http://www.ebook.edu.vn... X T là giá trị trung bình thời gian trên [- T; T] của {X(t)} Khi T →∞ , giới hạn lim X T là giá trị trung bình của quỹ đạo trên toàn trục số Đối với QTNN t →∞ tổng quát, giới hạn đã nêu là một BNN, tức là phụ thuộc vào ζ∈S Tuy nhiên: Đối với QT ergodic, chúng ta có thể lấy trung bình thời gian của một quỹ đạo bất kỳ làm trung bình tổng thể của quá trình : E[X(t)] = A[X(t)] Định lý 5.8 Giả sử {X (... được hàm tương quan của hai QT bởi vì ta không thể nào biết hết các thể hiện của chúng Nói chung, chúng ta chỉ biết một đoạn của một quỹ đạo của mỗi quá trình Như vậy, chúng ta cần phải giả sử rằng, các QT của chúng ta là ergodic đồng thời (hay ít ra là ergodic tương quan đồng thời) Thực ra các giải thiết này- gọi là giả thiết ergodic- ít quan trọng, ta vẫn tiến hành công việc của ta cho dù các QT... làm việc với chỉ một hàm mẫu của quá trình Khi ấy, dù muốn hay không, chúng ta vẫn phải tìm giá trị trung bình, hàm tự tương quan… chỉ từ một hàm dạng sóng theo thời gian Từ giả thiết ergodic, chúng ta có thể coi những giá trị tính được là những tham số thống kê của quá trình Nhiều người cảm thấy khó chấp nhận những lời bàn luận này Tuy nhiên cần phải nhớ rằng, lý thuyết của chúng ta chỉ phục vụ để... thì QT đạo hàm lại là quá trình cấp hai Tính chất sau đây cho phép chúng ta tính hàm trung bình và hàm tự tương quan của QT đạo hàm cũng như hàm tự tương quan chéo của nó với quá trình xuất phát (xem chứng minh trong [6],tr 221) Định lý 5.14 Giả sử {X ( t ) , t ∈ I} là QTNN MS- khả vi với hàm trung bình µ X ( t ) , hàm tự tương quan R X (t,s) Khi đó µ X ( t ) là hàm khả vi; quá trình {X′ ( t )} là QT... qua khái niệm đo được của QTNN QTNN {X(t), t ∈ I } được gọi là đo được nếu ánh xạ ( ( )) % X : I × S; σ ℜ[ I ] × ℑ → (¡ , ℜ) là ánh xạ đo được, trong đó ℜ là ( ) σ - đại số Borel trên ¡ ; ℜ[ I ] là σ - đại số Borel trên I, σ ℜ[ I ] × ℑ là σ - đại số tích của ( ) ( ) % ℜ[ I ] với ℑ , còn σ ℜ[ I ] × ℑ là σ - đại số đầy đủ của σ - đại số σ ℜ[ I ] × ℑ 64 http://www.ebook.edu.vn §5.5 HAI QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN... ra (5.4.8) và nhận được đpcm Hệ quả 1) Nếu R X ( t,s ) liên tục trên hình vuông [a; b]× [a; b] thì quá trình {X ( t )} là MS - khả tích trên [a; b] 2) Mỗi quá trình MS - liên tục là một quá trình MS - khả tích (trên đoạn [a; b]) Tích phân vừa xây dựng (còn được gọi là MS – tích phân) có các tính chất của tích phân xác định thông thường: tính chất tuyến tính, tính chất xác định không âm, hệ 62 http://www.ebook.edu.vn... hệ thức (3.5.10) chúng ta cần đến những mô men cấp 4 Tuy nhiên, với quá trình Gauss, vấn đề trở nên đơn giản hơn Hệ quả Cho {X ( t )} là QT dừng Gauss với kỳ vọng µ đã biết QT {X ( t )} là ergodic phương sai khi và chỉ khi 1T 2 lim ∫ CX ( τ ) dτ = 0 T →+∞ T 0 (5.3.11) Khi đó, {X ( t )} cũng là quá trình ergodic kỳ vọng Chứng minh Đối với quá trình Gauss, áp dụng hệ thức (1.31) ta có C (X −µ )2 (τ)... phương sai hay theo mô men cấp p nào đó; áp dụng cho quá trình dừng hay cho quá trình bất kỳ Những định lý ergodic được phát hiện đầu tiên vào nửa đầu thế kỷ XX bởi J.Von.Neumann, B.Birkoff (Mĩ), A.Ia Khinchin (Nga) Nói một cách ngắn gọn, tính chất ergodic đảm bảo rằng: Nếu một tham số thống kê nào đó của QT được tính bằng kỳ vọng, tức là trung bình tổng thể thì tham số đó cũng có thể được tính theo... được thay thế bởi hàm tự hiệp phương sai của 52 http://www.ebook.edu.vn quá trình {Z ( t )} : C Z ( τ ) = E ⎡ X ( t+λ +τ ) X ( t+τ ) X ( t+λ ) X ( t ) ⎤ − C2 ( λ ) X ⎣ ⎦ Áp dụng định lý Slutsky ta đi đến kết luận: Quá trình {X ( t )} là ergodic tự hiệp phương sai nếu và chỉ nếu 1T lim ∫ C Z ( τ ) dτ = 0 T →+∞ T 0 (5.3.14) Nếu bây giờ giả thiết thêm {X ( t )} là quá trinh Gauss thì 2 C Z ( τ ) = CX ( . II QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN Chương 5 NHỮNG KHÁI NIỆM TỔNG QUÁT §5.1. MỞ ĐẦU Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu những khái niệm căn bản nhất về quá trình. hiệu ngẫu nhiên từ chỗ a(s) là ngẫu nhiên. Ví dụ 5.5. Sóng sin ngẫu nhiên . Cho [ ] UU0;1: là biến ngẫu nhiên có phân bố đều trên [0;1]. Xét quá trình (