Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 28 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
28
Dung lượng
214,33 KB
Nội dung
Chu . o . ng 1 Ma trˆa . n - D - i . nh th´u . c 1.1 Ma trˆa . n 1.1.1 D - i . nh nghı ˜ a va` ca´c kha´i niˆe . m Cho K la` mˆo . t tru . `o . ng. D - i . nh nghı ˜ a 1.1. Cho m, n la` hai sˆo ´ nguyˆen du . o . ng. Ta go . i mˆo . t ma trˆa . n A cˆa ´ p m × n la` mˆo . t ba ’ ng gˆo ` m m.n phˆa ` n tu . ’ a ij ∈ K (i = 1, m; j = 1, n) d¯u . o . . c s˘a ´ p xˆe ´ p tha`nh m do`ng va` n cˆo . t nhu . sau: A = a 11 a 12 . . . a 1n a 21 a 22 . . . a 2n · · · · · · · · · · · · a m1 a m2 . . . a mn Kı´ hiˆe . u: A = (a ij ) m×n . Ca´c phˆa ` n tu . ’ o . ’ do`ng th´u . i va` cˆo . t th´u . j d¯u . o . . c go . i la` phˆa ` n tu . ’ a ij . Ca´c phˆa ` n tu . ’ a i1 , a i2 , . . . , a in d¯u . o . . c go . i la` ca´c phˆa ` n tu . ’ thuˆo . c do`ng th´u . i. Ca´c phˆa ` n tu . ’ a 1j , a 2j , . . . , a mj d¯u . o . . c go . i la` ca´c phˆa ` n tu . ’ thuˆo . c cˆo . t th´u . j. Vı´ du . : −1 3 6 0 6 −2 1 8 2 2 5 1 la` ma trˆa . n cˆa ´ p 3 × 4 (3 ha`ng, 4 cˆo . t) Ca´c kha´i niˆe . m kha´c: 1. Ma trˆa . n khˆong. Mˆo . t ma trˆa . n cˆa ´ p m × n d¯u . o . . c go . i la` ma trˆa . n khˆong nˆe ´ u mo . i phˆa ` n tu . ’ d¯ˆe ` u b˘a ` ng 0. 2. Ma trˆa . n vuˆong. Mˆo . t ma trˆa . n A = (a ij ) m×n d¯u . o . . c go . i la` ma trˆa . n vuˆong nˆe ´ u m = n. Lu´c d¯o´ ta go . i A la` ma trˆa . n vuˆong cˆa ´ p n, kı´ hiˆe . u A = (a ij ) n . 3 4 1. Ma trˆa . n - D - i . nh th´u . c 3. Cho ma trˆa . n vuˆong A = (a ij ) n = a 11 a 12 . . . a 1n a 21 a 22 . . . a 2n · · · · · · · · · · · · a n1 a n2 . . . a nn Ca´c phˆa ` n tu . ’ a 11 , a 22 , . . . , a nn go . i la` ca´c phˆa ` n tu . ’ thuˆo . c d¯u . `o . ng che´o chı´nh. Ca´c phˆa ` n tu . ’ a 1n , a 2n−1 , . . . , a n1 go . i la` ca´c phˆa ` n tu . ’ n˘a ` m trˆen d¯u . `o . ng che´o phu . . 4. Ma trˆa . n d¯o . n vi . . Cho ma trˆa . n vuˆong A = (a ij ) n . A d¯u . o . . c go . i la` ma trˆa . n d¯o . n vi . nˆe ´ u mo . i phˆa ` n tu . ’ n˘a ` m trˆen d¯u . `o . ng che´o chı´nh d¯ˆe ` u b˘a ` ng 1 co`n ca´c phˆa ` n tu . ’ kha´c d¯ˆe ` u b˘a ` ng 0. Lu´c d¯o´ A d¯u . o . . c kı´ hiˆe . u la` I n : ma trˆa . n d¯o . n vi . cˆa ´ p n. Vı´ du . . I 2 = 1 0 0 1 I 3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 5. Ma trˆa . n che´o. Cho A = (a ij ) n . A d¯u . o . . c go . i la` ma trˆa . n che´o nˆe ´ u mo . i phˆa ` n tu . ’ khˆong thuˆo . c d¯u . `o . ng che´o chı´nh d¯ˆe ` u b˘a ` ng 0. Vı´ du . . A = 1 0 0 0 −2 0 0 0 5 la` ma trˆa . n che´o. 6. Ma trˆa . n tam gia´c. Cho A = (a ij ) n . A la` ma trˆa . n tam gia´c trˆen nˆe ´ u mo . i phˆa ` n tu . ’ n˘a ` m du . ´o . i d¯u . `o . ng che´o chı´nh d¯ˆe ` u b˘a ` ng 0. A la` ma trˆa . n tam gia´c du . ´o . i nˆe ´ u mo . i phˆa ` n tu . ’ n˘a ` m trˆen d¯u . `o . ng che´o chı´nh d¯ˆe ` u b˘a ` ng 0. A la` mˆo . t ma trˆa . n tam gia´c nˆe ´ u no´ la` ma trˆa . n tam gia´c trˆen ho˘a . c du . ´o . i. A = a 11 a 12 . . . a 1n−1 a 1n 0 a 22 . . . a 2n−1 a 2n · · · · · · · · · · · · · · · 0 0 . . . a n−1n−1 a n−1n 0 0 . . . 0 a nn la` ma trˆa . n tam gia´c trˆen. B = a 11 0 . . . 0 0 a 21 a 22 . . . 0 0 · · · · · · · · · · · · · · · a n−11 a n−11 . . . a n−1n−1 0 a n1 a n2 . . . a n−1n a nn la` ma trˆa . n tam gia´c du . ´o . i. Ba`i gia ’ ng D - a . i sˆo ´ tuyˆe ´ n tı´nh 1.1. Ma trˆa . n 5 7. Ma trˆa . n A = (a ij ) 1×n = [a 11 , a 12 , . . . , a 1n ] d¯u . o . . c go . i la` ma trˆa . n do`ng. Ma trˆa . n B = (b ij ) m×1 = a 11 a 21 · · · a m1 d¯u . o . . c go . i la` ma trˆa . n cˆo . t. 8. Ma trˆa . n bˆa . c thang. Ma trˆa . n cˆa ´ p m × n co´ a ij = 0 ; ∀i, j , i > j go . i la` ma trˆa . n bˆa . c thang. Vı´ du . : A = 3 4 5 6 7 8 0 0 7 6 9 4 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 la` ma trˆa . n bˆa . c thang. 9. Hai ma trˆa . n A = (a ij ) m×n va` B = (b ij ) m×n d¯u . o . . c go . i la` b˘a ` ng nhau nˆe ´ u a ij = b ij , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n. 1.1.2 Ca´c phe´p toa´n trˆen ma trˆa . n a. Cˆo . ng ma trˆa . n. D - i . nh nghı ˜ a 1.2. Cho hai ma trˆa . n cu`ng cˆa ´ p A = (a ij ) m×n va` B = (b ij ) m×n . Tˆo ’ ng cu ’ a hai ma trˆa . n A, B la` mˆo . t ma trˆa . n C = (c ij ) m×n v´o . i c ij = a ij + b ij , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n. Kı´ hiˆe . u: A + B = C. Vı´ du . . 1 2 2 4 −2 5 7 −3 4 + 6 3 −8 2 −2 1 0 0 5 = 1 + 6 2 + 3 2 + (−8) 4 + 2 −2 + (−2) 5 + 1 7 + 0 −3 + 0 4 + 5 = 7 5 −6 6 0 6 7 −3 9 Tı´nh chˆa ´ t 1.1. Cho A, B, C, 0 la` ca´c ma trˆa . n cu`ng cˆa ´ p, khi d¯o´ ta co´: (i) (A + B) + C = A + (B + C) (tı´nh kˆe ´ t ho . . p) (ii) A + B = B + A(tı´nh giao hoa´n) (iii) A + 0 = 0 + A = A Ba`i gia ’ ng D - a . i sˆo ´ tuyˆe ´ n tı´nh 6 1. Ma trˆa . n - D - i . nh th´u . c (iv) A + (−A) = (−A) + A = 0 b. Nhˆan mˆo . t phˆa ` n tu . ’ cu ’ a tru . `o . ng K v´o . i ma trˆa . n. D - i . nh nghı ˜ a 1.3. Cho A = (a ij ) m×n , k ∈ K. Phe´p nhˆan mˆo . t phˆa ` n tu . ’ cu ’ a tru . `o . ng K v´o . i ma trˆa . n A cho ta mˆo . t ma trˆa . n B = (b ij ) m×n v´o . i b ij = k.a ij , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n. Kı´ hiˆe . u: kA. kA = B = (b ij ) m×n = ka 11 . . . ka 1n . . . . . . . . . ka m1 . . . ka mn D - ˘a . t biˆe . t, khi k = −1 ∈ K, thay cho (−1)A, ta se ˜ viˆe ´ t −A va` go . i no´ la` ma trˆa . n d¯ˆo ´ i cu ’ a A. Nhu . vˆa . y: (−a ij ) m×n = −(a ij ) m×n ∀i = 1, m, ∀j = 1, n. Vı´ du . . 2. 1 2 2 4 −2 5 7 −3 4 = 2 4 4 8 −4 10 14 −6 8 Tı´nh chˆa ´ t 1.2. Cho A, B la` ca´c ma trˆa . n cu`ng cˆa ´ p, α, β ∈ K. Khi d¯o´ ta co´: (i) α(A + B) = αA + αB (ii) (α + β)A = αA + βA (iii) α(βA) = (αβ)A = β(αA) (iv) 1.A = A c. Phe´p nhˆan hai ma trˆa . n. D - i . nh nghı ˜ a 1.4. Cho A = (a ij ) m×n la` ma trˆa . n cˆa ´ p m × n trˆen K va` B = (b jk ) n×p la` ma trˆa . n cˆa ´ p n × p trˆen K. Ta go . i la` tı´ch cu ’ a A v´o . i B, kı´ hiˆe . u AB, mˆo . t ma trˆa . n C = (c ik ) m×p cˆa ´ p m × p trˆen K ma` ca´c phˆa ` n tu . ’ cu ’ a no´ d¯u . o . . c xa´c d¯inh nhu . sau: c ik = n j=1 a ij b jk ; ∀i = 1, m, ∀k = 1, p. Minh ho . a: Vı´ du . . Cho ca´c ma trˆa . n: A = 1 2 −1 3 1 2 , B = 1 3 2 1 3 −1 , C = 2 −1 1 0 Ba`i gia ’ ng D - a . i sˆo ´ tuyˆe ´ n tı´nh 1.1. Ma trˆa . n 7 Khi d¯o´: AB = 1 2 −1 3 1 2 1 3 2 1 3 −1 = 1.1 + 2.2 + (−1).3 1.3 + 2.1 + (−1).(−1) 3.1 + 1.2 + 2.3 3.3 + 1.1 + 2.(−1) = 2 6 11 8 BA = 1 3 2 1 3 −1 1 2 −1 3 1 2 = 10 5 5 5 5 0 0 0 −5 AC va` CB khˆong xa´c d¯i . nh. Nhˆa . n xe´t: 1 D - iˆe ` u kiˆe . n d¯ˆe ’ phe´p nhˆan hai ma trˆa . n thu . . c hiˆe . n d¯u . o . . c la` sˆo ´ cˆo . t cu ’ a ma trˆa . n 1 b˘a ` ng sˆo ´ do`ng cu ’ a ma trˆa . n 2. 2 AB = BA. Phe´p nhˆan hai ma trˆa . n khˆong co´ tı´nh giao hoa´n. Ta kı´ hiˆe . u M m,n (K) la` tˆa . p tˆa ´ t ca ’ nh˜u . ng ma trˆa . n cˆa ´ p m × n trˆen tru . `o . ng K, M n (K) la` tˆa . p tˆa ´ t ca ’ nh˜u . ng ma trˆa . n vuˆong cˆa ´ p n trˆen tru . `o . ng K. Tı´nh chˆa ´ t 1.3. V´o . i phe´p nhˆan hai ma trˆa . n ta co´ ca´c tı´nh chˆa ´ t sau: (i) (AB)C = A(BC); A ∈ M m,n (K), B ∈ M n,p (K), C ∈ M p,q (K). (ii) A(B + C) = AB + AC; A ∈ M m,n (K), B, C ∈ M n,p (K). (A + B)C = AC + BC; A, B ∈ M m,n (K), C ∈ M n,p (K). (iii) α(AB) = (αA)B = A(αB); A ∈ M m,n (K), B ∈ M n,p (K), α ∈ K. (iv) AI n = A = I m A; A ∈ M m,n (K), I m , I n la` ca´c ma trˆa . n d¯o . n vi . cˆa ´ p lˆa ` n lu . o . . t la` m, n. d. Chuyˆe ’ n vi . ma trˆa . n. D - i . nh nghı ˜ a 1.5. Cho A = (a ij ) m×n . Chuyˆe ’ n vi . cu ’ a ma trˆan A la` ma trˆa . n B co´ cˆa ´ p n × m va` ca´c phˆa ` n tu . ’ d¯u . o . . c xa´c d¯i . nh nhu . sau: b ij = a ji , i = 1, m, j = 1, n. Ta kı´ hiˆe . u ma trˆa . n chuyˆe ’ n vi . cu ’ a ma trˆan A la` A t . No´i mˆo . t ca´ch kha´c chuyˆe ’ n vi . cu ’ a ma trˆa . n A la` ma trˆa . n B d¯u . o . . c suy ra b˘a ` ng ca´ch d¯ˆo ’ i do`ng tha`nh cˆo . t va` cˆo . t tha`nh do`ng. Ba`i gia ’ ng D - a . i sˆo ´ tuyˆe ´ n tı´nh 8 1. Ma trˆa . n - D - i . nh th´u . c Vı´ du . . A = 1 −1 0 2 2 3 −5 0 1 0 3 4 3×4 A t = 1 2 1 −1 3 0 0 −5 3 2 0 4 4×3 Tı´nh chˆa ´ t 1.4. Phe´p chuyˆe ’ n vi . ma trˆa . n co´ nh˜u . ng tı´nh chˆa ´ t sau: 1. (A ± B) t = A t ± B t , A, B ∈ M m,n (K). 2. (αA) t = αA t , A ∈ M m,n (K), α ∈ K. 3. (AB) t = B t A t , A ∈ M m,n (K), B ∈ M n,p (K). 4. (I n ) t = I n , I n la` ma trˆa . n d¯o . n vi . cˆa ´ p n. 5. A la` ma trˆa . n che´o thı` A t = A. 1.1.3 Ma trˆa . n d¯ˆo ´ i x´u . ng va` ma trˆa . n pha ’ n x´u . ng. D - i . nh nghı ˜ a 1.6. Cho A la` ma trˆa . n vuˆong cˆa ´ p n . +) A go . i la` ma trˆa . n d¯ˆo ´ i x´u . ng nˆe ´ u A t = A. +) A go . i la` ma trˆa . n pha ’ n x´u . ng nˆe ´ u A t = −A. Vı´ du . . Cho A = 1 −2 1 −2 3 1 0 1 −1 . Ta co´ A t = 1 −2 1 −2 3 1 0 1 −1 = A. Vˆa . y A la` ma trˆa . n d¯ˆo ´ i x´u . ng. Cho B = 0 −2 1 2 0 3 −1 −3 0 . Ta co´ B t = 0 2 −1 −2 0 −3 1 3 0 = −B. Vˆa . y B la` ma trˆa . n pha ’ n x´u . ng. Nhˆa . n xe´t. Nˆe ´ u A la` mˆo . t ma trˆa . n pha ’ n x´u . ng thı` ca´c phˆa ` n tu . ’ trˆen d¯u . `o . ng che´o chı´nh cu ’ a no´ b˘a ` ng 0. Ba`i gia ’ ng D - a . i sˆo ´ tuyˆe ´ n tı´nh 1.1. Ma trˆa . n 9 1.1.4 D - a th´u . c ma trˆa . n. D - i . nh nghı ˜ a 1.7. Cho A la` mˆo . t ma trˆa . n vuˆong trˆen K va` p(x) = a 0 + a 1 x + · · · + a n x n ∈ K[x] la` mˆo . t d¯a th´u . c cu ’ a biˆe ´ n x v´o . i hˆe . sˆo ´ trˆen K. Khi d¯o´ ma trˆa . n a 0 I + a 1 A + · · · + a n A n , trong d¯o´, I la` ma trˆa . n d¯o . n vi . cu`ng cˆa ´ p v´o . i A, d¯u . o . . c go . i la` gia´ tri . cu ’ a d¯a th´u . c p(x) tai x = A, kı´ hiˆe . u p(A). No´ cu ˜ ng d¯u . o . . c go . i la` d¯a th´u . c ma trˆa . n. A go . i la` mˆo . t nghiˆe . m ma trˆa . n cu ’ a d¯a th´u . c p(x) nˆe ´ u d¯a th´u . c ma trˆa . n p(A) = 0 (ma trˆa . n khˆong cu`ng cˆa ´ p v´o . i A). Ba`i tˆa . p. 1.1.1 Cho ca´c ma trˆa . n: A = 1 2 −1 0 2 1 ; B = 1 3 2 1 −3 −2 ; C = 2 5 0 3 4 2 ; D = 1 4 2 5 3 6 . Tı´nh: a) 5A − 3B + 2C + 4D; b) A + 2B − 3C − 5D. 1.1.2 Cho ma trˆa . n: A = 1 −2 6 4 3 −8 2 −2 5 . Tı`m ma trˆa . n X sao cho: a) 3A + 2X = I 3 ; b) 5A − 3X = I 3 . 1.1.3 Kı´ hiˆe . u (r × s) la` mˆo . t ma trˆa . n cˆa ´ p r × s trˆen K. Tı`m m, n ∈ N\{0} trong ca´c tru . `o . ng ho . . p sau: a) (3 × 4) × (4 × 5) = (m × n); b) (2 × 3) × (m × n) = (2 × 6); c) (2 × m) × (4 × 3) = (2 × n). 1.1.4 Tı´nh: a) 1 2 −3 3 0 4 1 1 0 2 0 1 1 0 1 0 2 1 1 4 2 1 3 2 4 3 ; b) 3 2 −4 −2 5 ; c) 1 1 0 1 n ; d) λ 1 0 λ n ; e) cos ϕ − sin ϕ sin ϕ cos ϕ n ; (n ∈ N, 0 ≤ ϕ < 2π). Ba`i gia ’ ng D - a . i sˆo ´ tuyˆe ´ n tı´nh 10 1. Ma trˆa . n - D - i . nh th´u . c 1.1.5 Cho ma trˆa . n: A = 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 . Tı´nh ca´c ma trˆa . n: AA t va` A t A. 1.1.6 Ch´u . ng minh ca´c tı´nh chˆa ´ t 1.1, 1.2, 1.3, 1.4. 1.1.7 Cho d¯a th´u . c p(x) = x 2 − 3x + 1. Tı´nh ca´c d¯a th´u . c ma trˆa . n p(A), p(B) biˆe ´ t A = 1 2 0 4 ; B = 1 2 −3 3 0 4 0 −1 0 . 1.1.8 Ch´u . ng minh r˘a ` ng: a) A = 2 0 0 0 2 0 0 0 −1 la` mˆo . t nghiˆe . m cu ’ a p(x) = x 3 − 3x 2 + 4; b) B = a b c d ∈ M 2 (K) la` nghiˆe . m cu ’ a q(x) = x 2 − (a + d)x + +(ad − bc) ∈ K[x]. 1.1.9* V´o . i mˆo ˜ i ma trˆa . n vuˆong A = (a ij ) n ∈ M n (K), ta go . i tˆo ’ ng ca´c phˆa ` n tu . ’ trˆen d¯u . `o . ng che´o chı´nh cu ’ a A la` vˆe ´ t cu ’ a no´, kı´ hiˆe . u tr(A). T´u . c la`: tr(A) = a 11 + a 22 + · · · + a nn . Ch´u . ng minh r˘a ` ng v´o . i mo . i A, B ∈ M n (K) ta d¯ˆe ` u co´: tr(AB) = tr(BA). 1.1.10* Ch´u . ng minh r˘a ` ng khˆong tˆo ` n ta . i ca´c ma trˆa . n vuˆong A, B ∈ M n (K) sao cho AB − BA = I n . 1.2 D - i . nh th´u . c 1.2.1 Phe´p thˆe ´ - Nghi . ch thˆe ´ . D - i . nh nghı ˜ a 1.8. Cho n la` mˆo . t sˆo ´ nguyˆen du . o . ng va` X la` mˆo . t tˆa . p ho . . p co´ n phˆa ` n tu . ’ . Mˆo . t phe´p thˆe ´ bˆa . c n la` mˆo . t song a´nh σ t`u . X lˆen chı´nh no´. Khˆong Ba`i gia ’ ng D - a . i sˆo ´ tuyˆe ´ n tı´nh 1.2. D - i . nh th´u . c 11 mˆa ´ t tı´nh tˆo ’ ng qua´t, ta thu . `o . ng lˆa ´ y X = {1, 2, ., n}. Khi d¯o´ mˆo ˜ i phe´p thˆe ´ bˆa . c n thu . `o . ng d¯u . o . . c kı´ hiˆe . u: σ = 1 2 · · · n σ(1) σ(2) · · · σ(n) Kı´ hiˆe . u S n la` tˆa . p ho . . p tˆa ´ t ca ’ ca´c phe´p thˆe ´ bˆa . c n thı` S n la` tˆa . p ho . . p gˆo ` m n! = 1.2 .n phˆa ` n tu . ’ . Khi n > 1, c˘a . p sˆo ´ (khˆong th´u . tu . . ) phˆan biˆe . t {i, j} ⊂ {1, 2, ., n} go . i la` mˆo . t nghi . ch thˆe ´ nˆe ´ u i − j σ(i) − σ(j) < 0. Kı´ hiˆe . u N(σ) la` sˆo ´ ca´c nghi . ch thˆe ´ cu ’ a phe´p thˆe ´ σ. Vı´ du . . Tı`m tˆa ´ t ca ’ ca´c phe´p thˆe ´ bˆa . c 3 cu ’ a I = {1, 2, 3}. Ta thˆa ´ y tˆa . p I co´ 3 phˆa ` n tu . ’ vˆa . y S 3 se ˜ co´ 6 phˆa ` n tu . ’ : σ 0 = 1 2 3 1 2 3 , σ 1 = 1 2 3 1 3 2 , σ 2 = 1 2 3 2 1 3 , σ 3 = 1 2 3 2 3 1 , σ 4 = 1 2 3 3 1 2 , σ 5 = 1 2 3 3 2 1 . Tı`m sˆo ´ ca´c nghi . ch thˆe ´ cu ’ a mˆo ˜ i phe´p thˆe ´ trˆen. N(σ 0 ) = 0, N(σ 1 ) = 1 (nghi . ch thˆe ´ (2,3)), N(σ 2 ) = 1 (nghi . ch thˆe ´ (1,2)), N(σ 3 ) = 2 ( nghi . ch thˆe ´ (1,3) va` (2,3)), N(σ 4 ) = 3 (nghi . ch thˆe ´ (1,2), (2,3) va` (1,3)), N(σ 5 ) = 2 (nghi . ch thˆe ´ (1,2) va` (1,3)). 1.2.2 D - i . nh th´u . c. a. D - i . nh nghı ˜ a. D - i . nh nghı ˜ a 1.9. Cho A = (a ij ) n la` mˆo . t ma trˆa . n vuˆong cˆa ´ p n trˆen tru . `o . ng K (n ∈ N, n > 0). D - i . nh th´u . c cu ’ a ma trˆa . n A la` mˆo . t sˆo ´ thuˆo . c K, kı´ hiˆe . u detA, d¯u . o . . c cho bo . ’ i biˆe ’ u th´u . c: detA = σ∈S n (−1) N(σ) a 1σ(1) a 2σ(2) .a nσ(n) Ba`i gia ’ ng D - a . i sˆo ´ tuyˆe ´ n tı´nh 12 1. Ma trˆa . n - D - i . nh th´u . c D - i . nh th´u . c cu ’ a ma trˆa . n A co`n d¯u . o . . c kı´ hiˆe . u la`: |A| ho˘a . c A = a 11 a 12 . . . a 1n a 21 a 22 . . . a 2n · · · · · · · · · · · · a m1 a m2 . . . a mn Vı´ du . 1. A = a 11 a 12 a 21 a 22 , n = 2, I = {1, 2}, σ 0 = 1 2 1 2 , σ 1 = 1 2 2 1 , N(σ 0 ) = 0, N(σ 1 ) = 1, detA = (−1) 0 a 11 a 22 + (−1) 1 a 12 a 21 = a 11 a 22 − a 12 a 21 . Vı´ du . 2. B = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 , su . ’ du . ng nh˜u . ng kˆe ´ t qua ’ cu ’ a vı´ du . o . ’ mu . c 1.2.1 ta tı´nh d¯u . o . . c: detB = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 − a 13 a 22 a 31 . Quy t˘a ´ c Sarrus d¯ˆe ’ tı´nh d¯i . nh th´u . c cˆa ´ p 3. + Viˆe ´ t theo th´u . tu . . cˆo . t mˆo . t va` cˆo . t va` cˆo . t hai sau cˆo . t th´u . ba. + Ba sˆo ´ ha . ng mang dˆa ´ u cˆo . ng trong d¯i . nh th´u . c la` tı´ch cu ’ a ca´c phˆa ` n tu . ’ n˘a ` m trˆen 3 d¯u . `o . ng song song v´o . i d¯u . `o . ng che´o chı´nh. + Ba sˆo ´ ha . ng mang dˆa ´ u tr`u . trong d¯i . nh th´u . c la` tı´ch cu ’ a ca´c phˆa ` n tu . ’ n˘a ` m trˆen 3 d¯u . `o . ng song song v´o . i d¯u . `o . ng che´o phu . . T`u . d¯o´ ta tı´nh d¯u . o . . c d¯i . nh th´u . c cˆa ´ p 3 nhu . vı´ du . 2. Minh hoa . : Vı´ du . . Tı´nh: 1 2 1 2 3 4 3 5 2 = 1.3.2 + 2.3.4 + 1.2.5 − 1.3.3 − 2.2.2 − 1.4.5 = 3 b. Tı´nh chˆa ´ t cu ’ a d¯i . nh th´u . c. D - i . nh ly´ 1.1. Cho A = (a ij ) n ∈ M n (K) va` A t la` ma trˆa . n chuyˆe ’ n vi . cu ’ a A. Khi d¯o´ det(A t ) = det(A). No´i ca´ch kha´c d¯i . nh th´u . c cu ’ a ma trˆa . n khˆong thay d¯ˆo ’ i qua phe´p chuyˆe ’ n vi . . Ch´u . ng minh. Gia ’ su . ’ A t = (a ij ) n . Khi d¯o´ a ij = a ji (i = 1, n, j = 1, n). Ta co´: detA = σ∈S n (−1) N(σ) a 1σ(1) a 2σ(2) .a nσ(n) detA t = σ −1 ∈S n (−1) N(σ −1 ) a 1σ −1 (1) a 2σ −1 (2) .a nσ −1 (n) Ba`i gia ’ ng D - a . i sˆo ´ tuyˆe ´ n tı´nh [...]... ··· 1 ··· 1 =0 ··· ··· · · · (n − 1) − x ’ Ma trˆn kha nghich a - ˜ ´ ’ Dinh nghı a 1.12 Cho A la ma trˆn vuˆng cˆ p n trˆn K Ta bao A la ma ` a o a e ` ´ o ´ ’ trˆn kha nghich nˆ u tˆn tai mˆt ma trˆn B vuˆng cˆ p n trˆn K sao cho: a e ` o a o a e AB = BA = In ´ ´ ’ng - o Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh ’ 1.3 Ma trˆn kha nghich a 21 ˜ ´ ´ ´ ´ o Ma trˆn B nhu thˆ la duy nhˆ t, vı nˆ u tˆn... a o ` o o o (3) Moi ma trˆn A ∈ Mn (K) ma co ´t nhˆ t mˆt dong (hay mˆt cˆt) khˆng a ’ d` u khˆng kha nghich ¯ˆ e o ` ˜ ¯ˆ o ´ ´ ’ ´ (4) Ta nhˆ n manh r˘ ng tı kha nghich chı co nghı a d o i v´.i ma trˆn vuˆng a a ´nh ’ a o p ca c ’ ’ Tuy nhiˆn khˆng phai ma trˆn vuˆng nao cu gn kha nghich Tˆp ho ´ e o a o ` ˜ a o.c kı hiˆu la GL (K) ´p n trˆn K kha nghich d ´ e ` ’ ma trˆn vuˆng cˆ a... kha c de’ tı ma trˆn u e ´ o a ´ ´ e ´ ¯ˆ `m a o.c ´ nghich d ’ o (nˆ u co ) cua mˆt ma trˆn vuˆng cho tru ´ e ´ ’ o a o ¯a ’ ´ * Thuˆt toa n tı a ´ `m ma trˆn nghich d ao nh` ca c phe p biˆ n d o i so a ¯’ o ´ ´ e ¯ˆ ´ cˆ p a - e’ `m ´ Cho A la mˆt ma trˆn vuˆng cˆ p n (n ≥ 2) trˆn K Dˆ tı ma trˆn nghich ` o a o a e a ´ ´ ’ng - o Bai gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh -i 1 Ma trˆn - D.nh... Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh -i 1 Ma trˆn - D.nh th´.c a u 28 1.4 ˙ ’ Hang cu a ma trˆn a - ˜ ´ ´ ’ Dinh nghı a 1.15 Hang cua mˆt ma trˆn A la cˆ p cao nhˆ t cua ca c d nh o a ` a a ’ ´ ¯i ’ ´ o ´ ´ e a ` th´.c con kha c khˆng co trong A Kı hiˆu hang cua ma trˆn la rank(A) hay u r(A) Nhˆn xe t a ´ ` +) Ma trˆn khˆng co hang b˘ ng 0 a o ´ a -˘ ´ ´ +) Nˆ u A la ma trˆn cˆ p m × n thı 0 ≤ r(A)... a ca c ma trˆn kha nghich la ma trˆn kha nghich a ´ch ’ ´ a ` a c la nˆ u A, B ∈ GL (K) thı AB ∈ GL (K), ho.n n˜.a ´ T´ ` e u ` u n n (AB)−1 = B −1 A−1 Ch´.ng minh Thˆt vˆy, u a a −1 −1 (AB)(B A ) = A(BB −1 )A−1 = AIn A−1 = AA−1 = In ; (B −1 A−1 )(AB) = B −1 (A−1 A)B = B −1 InB = B −1 B = In - ˜ Dinh nghı a 1.13 (Ma trˆn phu ho.p) Cho A = (aij )n la ma trˆn vuˆng a ` a o o.ng K Ma trˆn... ∈ Mn (K) thoa ma n hˆ th´.c Ak = 0 (k ∈ N\{0}) Ch´.ng minh e u u −1 ` ’ r˘ ng In − A kha nghich Tı (In − A) a `m ’ 1.3.4 Cho A ∈ Mn(K) (n ≥ 2) va PA la ma trˆn phu ho.p cua A Ch´.ng minh ` ` a u n−1 ` r˘ ng: det(PA) = (detA) a ` ˜ ´ ’ a e ` a o 1.3.5 Ch´.ng minh r˘ ng nˆ u A la ma trˆn vuˆng thoa ma n A2 − 3A + I = 0 u −1 ’ thı A kha nghich va A = 3I − A ` ` ` 1.3.6 Cho hai ma trˆn vuˆng A... gia Dai sˆ tuyˆ n tı ` e ´nh 1 0 = −1, 3 −1 -i 1 Ma trˆn - D.nh th´.c a u 24 −3 0 0 B11 B21 B31 PB = B12 B22 B32 = −9 3 0 7 −2 −1 B13 B23 B33 +) Tı ma trˆn nghich d ’ o cua B: `m a ¯a ’ 1 0 0 1 B −1 = − PB = 3 −1 0 −7 2 1 3 3 3 3 - ˜ ´ ´ a a o a e Dinh nghı a 1.14 (Ma trˆn so cˆ p.) Ma trˆn E vuˆng cˆ p n trˆn K a o.c goi la ma trˆn so cˆ p dong (tu.o.ng u.ng, cˆt) nˆ u... ) = (BA)B1 = In B1 = B1 ’ Do d´ B d o.c goi la ma trˆn nghich d a o cua ma trˆn A, kı hiˆu la A−1 ¯o ¯u ` a ¯’ a ´ e ` vˆy: Nhu a AA−1 = A−1 A = In Du.o.ng nhiˆn A = (A−1 )−1 , no i ca ch kha c A lai la nghich d ’ o cua A−1 e ´ ´ ´ ` ¯a ’ Nhˆn xe t a ´ ’ (1) Ma trˆn d n vi In kha nghich va In = In , v´.i moi n ∈ N∗ a ¯o ` −1 o ’ (2) Ma trˆn 0n khˆng kha nghich vı a o ` 0n A = A0n... cu a mˆt sˆ h˜.u han ca c ma trˆn so cˆ p dong (hay cˆt) ` ´ch ’ o o u ´ ´ ´ ’ ’ ’ Ch´.ng minh (1)⇒(2): Gia su A kha nghich Ta d˜ biˆ t moi ma trˆn vuˆng u ¯a e a o a vˆ mˆt ma trˆn bˆc thang dong (t.u cˆt) ru t gon sau ´ cˆ p n d` u co thˆ d a ¯ˆ ´ e’ ¯u ` o e e a a ` o ´ ’ ´ ´ ` ´ e ¯ˆ a o ` a a mˆt sˆ h˜.u han phe p biˆ n d o i so cˆ p dong (t.u cˆt) Goi B la ma trˆn bˆc o o u ´ ... ´ ’ a o a a u Si1 i2 ikj1 j2 jk goi la mˆt ma trˆn vuˆng con cˆ p k cua ma trˆn A D.nh th´.c ` o c con cˆ p k cua D, kı hiˆu D ´ ’ detSi1i2 ikj1 j2 jk goi la mˆt d nh th´ u a ´ e i1 i2 ikj1 j2 jk ` o ¯i o.c b˘ ng ca ch xo a d k dong, k cˆt ` ´ ’ Ma trˆn con cˆ p n − k cua A co d a a ´ ¯u a ´ ´ ¯i ` o a S ch´ u a ` ’ ` ¯i i1 i2 ikj1 j2 jk goi la ma trˆn con bu cua Si1 i2 ik j1j2 jk (trong . . i la` ma trˆa . n do`ng. Ma trˆa . n B = (b ij ) m×1 = a 11 a 21 · · · a m1 d¯u . o . . c go . i la` ma trˆa . n cˆo . t. 8. Ma trˆa. Ta kı´ hiˆe . u ma trˆa . n chuyˆe ’ n vi . cu ’ a ma trˆan A la` A t . No´i mˆo . t ca´ch kha´c chuyˆe ’ n vi . cu ’ a ma trˆa . n A la` ma trˆa . n B d¯u