Mathematich soluti0n DE c and m ChapterDE c and m chapter 8 sc

ΧΗΑΠΤΕΡ ΠΟWΕΡ ΣΕΡΙΕΣ ΜΕΤΗΟDΣ ΣΕΧΤΙΟΝ 8.1 ΙΝΤΡΟDΥΧΤΙΟΝ ΑΝD ΡΕςΙΕW ΟΦ ΠΟWΕΡ ΣΕΡΙΕΣ Τηε ποωερ σεριεσ mετηοδ χονσιστσ οφ συβστιτυτινγ α σεριεσ ψ = χνξν ιντο α γιϖεν διφφερεντιαλ εθυατιον ιν ορδερ το δετερmινε ωηατ τηε χοεφφιχιεντσ {χν} mυστ βε ιν ορδερ τηατ τηε ποωερ σεριεσ ωιλλ σατισφψ τηε εθυατιον Ιτ mιγητ βε ποιντεδ ουτ τηατ, ιφ ωε φινδ α ρεχυρρενχε ρελατιον ιν τηε φορm χν+1 = (ν)χν, τηεν ωε χαν δετερmινε τηε ραδιυσ οφ χονϖεργενχε  οφ τηε σεριεσ σολυτιον διρεχτλψ φροm τηε ρεχυρρενχε ρελατιον χ   λιm ν  λιm ν  χ ν   ( ν ) ν 1 Ιν Προβλεmσ 1–10 ωε γιϖε φιρστ α ρεχυρρενχε ρελατιον τηατ χαν βε υσεδ το φινδ τηε ραδιυσ οφ χονϖεργενχε ανδ το χαλχυλατε τηε συχχεεδινγ χοεφφιχιεντσ χ1 , χ2 , χ3 ,  ιν τερmσ οφ τηε αρβιτραρψ χονσταντ χ0 Τηεν ωε γιϖε τηε σεριεσ ιτσελφ χν χ ; ιτ φολλοωσ τηατ χν  ανδ   λιm ( ν  1)   ν  ν 1 ν!     ξ2 ξ3 ξ4 ξ ξ2 ξ3 ξ4 ψ ( ξ )  χ0   ξ        χ0          χ0ε ξ 24    1! 2! 3! 4!  χν 1  χν 1  4χν 4ν χ0 ν 1 ; ιτ φολλοωσ τηατ χν    ανδ   λιm  ν ν 1 ν!   32 ξ 32 ξ    ψ ( ξ )  χ0   ξ  ξ     ξ ξ 43 ξ 4 ξ   χ0          χ0ε ξ 1! 2! 3! 4!   χν 1 3χν ; ιτ φολλοωσ τηατ χν     ν  1  1 3ν χ0  ν  1 ανδ   λιm   ν ν  ν! ν  3ξ ξ ξ 27 ξ  ψ ( ξ )  χ0        16 128   473 Χοπψριγητ ♥ 2015 Πεαρσον Εδυχατιον, Ινχ 474 ΙΝΤΡΟDΥΧΤΙΟΝ ΑΝD ΡΕςΙΕW ΟΦ ΠΟWΕΡ ΣΕΡΙΕΣ   3ξ 32 ξ 33 ξ 34 ξ  χ0          χ0ε 3 ξ / 2 1!2 2!2 3!2 4!2   Wηεν ωε συβστιτυτε ψ = χνξν ιντο τηε εθυατιον ψ∋ + 2ξψ = 0, ωε φινδ τηατ  χ1   ( ν  2)χν 2  2χν  ξ ν 1  ν 0 Ηενχε χ1 = — ωηιχη ωε σεε βψ εθυατινγ χονσταντ τερmσ ον τηε τωο σιδεσ οφ τηισ εθυατιον — ανδ χν 2   2χν Ιτ φολλοωσ τηατ ν2 χ1  χ3  χ5    χοδδ  ανδ χ2 κ  ( 1) κ χ0 κ! Ηενχε     ξ4 ξ6 ξ2 ξ4 ξ6 ψ ( ξ )  χ0   ξ       χ0         χ0ε  ξ 1! 2! 3!     ανδ    Wηεν ωε συβστιτυτε ψ =  χνξν ιντο τηε εθυατιον ψ   ξ ψ , ωε φινδ τηατ  χ1  2χ2 ξ   ( ν  3)χν 3  χν  ξ ν   ν 0 Ηενχε χ1 = χ2 = — ωηιχη ωε σεε βψ εθυατινγ χονσταντ τερmσ ανδ ξ−τερmσ ον τηε τωο σιδεσ οφ τηισ εθυατιον — ανδ χν 3  χ3κ+1 = χ3κ+2 = ανδ χν Ιτ φολλοωσ τηατ ν3 χ3κ  χ0 χ0      (3κ ) κ !3κ Ηενχε     ξ3 ξ6 ξ9 ξ3 ξ6 ξ9 ψ ( ξ )  χ0         χ0         χ0ε( ξ / 3) 3 18 162    1!3 2!3 3!3  ανδ    χν χ ; ιτ φολλοωσ τηατ χν  0ν ανδ   λιm  ν  2   ξ ξ ξ ξ ψ ( ξ )  χ0        16   χν 1  Χοπψριγητ ♥ 2015 Πεαρσον Εδυχατιον, Ινχ Σεχτιον 8.1 475   ξ   ξ 2  ξ 3  ξ   2χ0 χ0  χ0 1                 ξ 2 ξ           1 1  ν  2 χν 1  2χν ; ιτ φολλοωσ τηατ χν  2ν χ0 ανδ   λιm ψ ( ξ )  χ0 1  ξ  ξ  ξ  16 ξ  χ0  χ0 1   ξ    ξ    ξ    ξ        2ξ χν 1   (2ν  1)χν 2ν  ; ιτ φολλοωσ τηατ   λιm  ν  2ν  2ν    ξ ξ ξ3 5ξ ψ ( ξ )  χ0         16 128  Σεπαρατιον οφ ϖαριαβλεσ γιϖεσ ψ ( ξ )  χ0  ξ χν 1  ( ν  2)χν ν 1 ; ιτ φολλοωσ τηατ χν  ( ν  1)χ0 ανδ   λιm  ν  ν 1 ν2 ψ ( ξ )  χ0 1  ξ  3ξ  ξ  ξ   Σεπαρατιον οφ ϖαριαβλεσ γιϖεσ ψ ( ξ )  10 χν 1  χ0 (1  ξ )2 (2ν  3)χν 2ν  ; ιτ φολλοωσ τηατ   λιm  ν  ν  2ν   3ξ 3ξ ξ 3ξ  ψ ( ξ )  χ0        16 128   Σεπαρατιον οφ ϖαριαβλεσ γιϖεσ ψ ( ξ )  χ0 (1  ξ )3/ Ιν Προβλεmσ 11–14 τηε διφφερεντιαλ εθυατιονσ αρε σεχονδ−ορδερ, ανδ ωε φινδ τηατ τηε τωο ινιτιαλ χοεφφιχιεντσ χ0 ανδ χ1 αρε βοτη αρβιτραρψ Ιν εαχη χασε ωε φινδ τηε εϖεν−δεγρεε χοεφφιχιεντσ ιν τερmσ οφ χ0 ανδ τηε οδδ−δεγρεε χοεφφιχιεντσ ιν τερmσ οφ χ1 Τηε σολυτιον σεριεσ ιν τηεσε προβλεmσ αρε αλλ ρεχογνιζαβλε ποωερ σεριεσ τηατ ηαϖε ινφινιτε ραδιι οφ χονϖεργενχε 11 χν 1  χ0 χ1 χν ; ιτ φολλοωσ τηατ χ2 κ  ανδ χ2 κ 1  ( ν  1)( ν  2) (2κ )! (2κ  1)!     ξ2 ξ4 ξ6 ξ3 ξ5 ξ7 ψ ( ξ )  χ0         χ1  ξ        χ0 χοση ξ  χ1 σινη ξ 2! 4! 6! 3! 5! 7!     Χοπψριγητ ♥ 2015 Πεαρσον Εδυχατιον, Ινχ 476 ΙΝΤΡΟDΥΧΤΙΟΝ ΑΝD ΡΕςΙΕW ΟΦ ΠΟWΕΡ ΣΕΡΙΕΣ 12 χν 1  2 κ χ0 22 κ χ1 4χν ανδ χ2 κ 1  ; ιτ φολλοωσ τηατ χ2 κ  (2κ )! ( ν  1)( ν  2) (2κ  1)!     ξ4 ξ6 ξ3 ξ5 ξ7      χ1  ξ      ψ ( ξ )  χ0   ξ  45 15 315      (2 ξ ) (2 ξ )  χ1   (2 ξ ) (2 ξ ) (2 ξ )5 (2 ξ )7  χ0          (2 ξ )      2! 4! 6! 3! 5! 7!   2   χ0 χοση ξ  13 χν    χ1 σινη ξ ( 1) κ 32 κ χ0 ( 1) κ 32 κ χ1 9χν ανδ χ2 κ 1  ; ιτ φολλοωσ τηατ χ2 κ  (2κ )! ( ν  1)( ν  2) (2κ  1)!  ξ 27 ξ 81ξ    3ξ 27 ξ 81ξ       χ1  ξ      ψ ( ξ )  χ0   80 40 560      (3ξ )  χ1   (3 ξ ) (3ξ ) (3ξ ) (3ξ ) (3ξ )7  χ0          (3ξ )      2! 4! 6! 3! 5! 7!   3   χ0 χοσ 3ξ  14 χ1 σιν 3ξ Wηεν ωε συβστιτυτε ψ = χνξν ιντο ψ∋∋ + ψ  ξ = ανδ σπλιτ οφφ τηε τερmσ οφ δεγρεεσ ανδ 1, ωε γετ (2χ2 + χ0) + (6χ3 + χ1  1) ξ +   [(ν ν 2 Ηενχε χ2    1)( ν  2)χν   χν ] ξ ν = χ0 χ 1 χν , χ3   , ανδ χν 2   φορ ν  Ιτ φολλοωσ τηατ ( ν  1)( ν  2)  ξ2 ξ4 ξ6   ξ3 ξ5 ξ7  ψ ( ξ )  χ0  χ0         χ1 ξ   χ1  1         2! 4! 6!   3! 5! 7!      ξ2 ξ4 ξ6 ξ3 ξ5 ξ7  ξ  χ0          χ1  1  ξ       2! 4! 6! 3! 5! 7!      ξ  χ0 χοσ ξ  ( χ1  1)σιν ξ 15 Ασσυmινγ α ποωερ σεριεσ σολυτιον οφ τηε φορm ψ = χνξν, ωε συβστιτυτε ιτ ιντο τηε διφφερεντιαλ εθυατιον ξψ   ψ  ανδ φινδ τηατ (ν + 1)χν = φορ αλλ ν  Τηισ ιmπλιεσ τηατ χν = φορ αλλ ν  0, ωηιχη mεανσ τηατ τηε ονλψ ποωερ σεριεσ σολυτιον οφ ουρ διφφερεντιαλ εθυατιον ισ τηε τριϖιαλ σολυτιον ψ ( ξ )  Τηερεφορε τηε εθυατιον ηασ νο νον−τριϖιαλ ποωερ σεριεσ σολυτιον Χοπψριγητ ♥ 2015 Πεαρσον Εδυχατιον, Ινχ Σεχτιον 8.1 477 16 Ασσυmινγ α ποωερ σεριεσ σολυτιον οφ τηε φορm ψ = χνξν, ωε συβστιτυτε ιτ ιντο τηε διφφερεντιαλ εθυατιον 2ξψ   ψ ανδ φινδ τηατ 2νχν  χν φορ αλλ ν  Τηισ ιmπλιεσ τηατ 0χ0  χ0 , 2χ1  χ1 , 4χ2  χ2 ,  , ανδ ηενχε τηατ χν = φορ αλλ ν  0, ωηιχη mεανσ τηατ τηε ονλψ ποωερ σεριεσ σολυτιον οφ ουρ διφφερεντιαλ εθυατιον ισ τηε τριϖιαλ σολυτιον ψ ( ξ )  Τηερεφορε τηε εθυατιον ηασ νο νον−τριϖιαλ ποωερ σεριεσ σολυτιον 17 Ασσυmινγ α ποωερ σεριεσ σολυτιον οφ τηε φορm ψ = χνξν, ωε συβστιτυτε ιτ ιντο τηε διφφερεντιαλ εθυατιον ξ ψ   ψ  Wε φινδ τηατ χ0 = χ1 = ανδ τηατ χν+1 = νχν φορ ν  1, σο ιτ φολλοωσ τηατ χν = φορ αλλ ν  ϑυστ ασ ιν Προβλεmσ 15 ανδ 16, τηισ mεανσ τηατ τηε εθυατιον ηασ νο νον−τριϖιαλ ποωερ σεριεσ σολυτιον 18 Wηεν ωε συβστιτυτε ανδ ασσυmεδ ποωερ σεριεσ σολυτιον ψ = χνξν ιντο ξ3ψ∋ = 2ψ, ωε φινδ τηατ χ0 = χ1 = χ2 = ανδ τηατ χν+2 = νχν /2 φορ ν  Ηενχε χν = φορ αλλ ν  0, ϕυστ ασ ιν Προβλεmσ 15–17 Ιν Προβλεmσ 19–22 ωε φιρστ γιϖε τηε ρεχυρρενχε ρελατιον τηατ ρεσυλτσ υπον συβστιτυτιον οφ αν ασσυmεδ ποωερ σεριεσ σολυτιον ψ = χνξν ιντο τηε γιϖεν σεχονδ−ορδερ διφφερεντιαλ εθυατιον Τηεν ωε γιϖε τηε ρεσυλτινγ γενεραλ σολυτιον, ανδ φιναλλψ αππλψ τηε ινιτιαλ χονδιτιονσ ψ (0)  χ0 ανδ ψ (0)  χ1 το δετερmινε τηε δεσιρεδ παρτιχυλαρ σολυτιον 19 χν    2 χν ( 1) κ 2 κ χ0 ( 1) κ 2 κ χ1 φορ ν  0, σο χ2 κ  ανδ χ2 κ 1  ( ν  1)(ν  2) (2κ )! (2κ  1)!  22 ξ 2 ξ 26 ξ    2 ξ ξ 26 ξ       χ1  ξ      ψ ( ξ )  χ0   2! 4! 6! 3! 5! 7!     χ0  ψ (0)  ανδ χ1  ψ (0)  3, σο   22 ξ 24 ξ 26 ξ     ψ( ξ)   ξ  3! 5! 7!    3 (2 ξ ) (2 ξ ) (2 ξ )  (2 ξ )       σιν ξ 2 3! 5! 7!  20 χν   22 χν 2 κ χ0 22 κ χ1 φορ ν  0, σο χ2 κ  ανδ χ2 κ 1  ( ν  1)( ν  2) (2κ )! (2κ  1)!  22 ξ 24 ξ 26 ξ    22 ξ 24 ξ 26 ξ       χ1  ξ      ψ ( ξ )  χ0   2! 4! 6! 3! 5! 7!     χ0  ψ (0)  ανδ χ1  ψ (0)  0, σο  (2 ξ ) (2 ξ ) (2 ξ )6  ψ( ξ)  1        χοση ξ 2! 4! 6!   Χοπψριγητ ♥ 2015 Πεαρσον Εδυχατιον, Ινχ 478 21 ΙΝΤΡΟDΥΧΤΙΟΝ ΑΝD ΡΕςΙΕW ΟΦ ΠΟWΕΡ ΣΕΡΙΕΣ 2νχν  χν 1 φορ ν  1; ωιτη χ0  ψ (0)  ανδ χ1  ψ (0)  1, ωε οβταιν ν( ν  1) 1 1 1 1 , σο χ2  1, χ3  , χ4   , χ5   , χ6   Εϖιδεντλψ χν  ( ν  1)! 3! 24 4! 120 5! χν 1  ψ( ξ)  ξ  ξ2  22 χν 1   νχν  2χν 1 φορ ν  1; ωιτη χ0  ψ (0)  ανδ χ1  ψ (0)  2, ωε οβταιν ν( ν  1) χ2  2, χ3   23 24 25 2ν   , χ4   , χ5     Αππαρεντλψ χν   , σο 3! 4! 15 5! ν! ψ( ξ)    ξ  23   ξ3 ξ4 ξ5 ξ2 ξ3 ξ4      ξ 1  ξ       ξ ε ξ 2! 3! 4! 2! 3! 4!   2ξ   2! 2ξ   3! 2ξ   4! 2ξ   5!    ε 2 ξ χ0 = χ1 = ανδ τηε ρεχυρσιον ρελατιον (ν2  ν + 1)χν + (ν  1)χν1 = φορ ν  ιmπλψ τηατ χν = φορ ν  Τηυσ ανψ ασσυmεδ ποωερ σεριεσ σολυτιον ψ = χνξν mυστ ρεδυχε το τηε τριϖιαλ σολυτιον ψ ( ξ )  24 (α) Τηε φαχτ τηατ ψ ( ξ ) = (1 + ξ) σατισφιεσ τηε διφφερεντιαλ εθυατιον (1  ξ ) ψ    ψ φολλοωσ ιmmεδιατελψ φροm τηε φαχτ τηατ ψ ( ξ )   (1  ξ ) 1 (β) Wηεν ωε συβστιτυτε ψ = χνξν ιντο τηε διφφερεντιαλ εθυατιον (1  ξ ) ψ    ψ ωε γετ τηε ρεχυρρενχε φορmυλα (  ν )χν χν+1 = (  ν)χν /(ν + 1) χν 1  ν 1 Σινχε χ0 = βεχαυσε οφ τηε ινιτιαλ χονδιτιον ψ(0) = 1, τηε βινοmιαλ σεριεσ (Εθυατιον (12) ιν τηε τεξτ) φολλοωσ (χ) Τηε φυνχτιον (1 + ξ) ανδ τηε βινοmιαλ σεριεσ mυστ αγρεε ον (1, 1) βεχαυσε οφ τηε υνιθυενεσσ οφ σολυτιονσ οφ λινεαρ ινιτιαλ ϖαλυε προβλεmσ 25 Συβστιτυτιον οφ   χ ξ ν ιντο τηε διφφερεντιαλ εθυατιον ψ   ψ   ψ λεαδσ ρουτινελψ — ν 0 ν ϖια σηιφτσ οφ συmmατιον το εξηιβιτ ξ ν −τερmσ τηρουγηουτ — το τηε ρεχυρρενχε φορmυλα ( ν  2)( ν  1)χν   ( ν  1)χν 1  χν , Χοπψριγητ ♥ 2015 Πεαρσον Εδυχατιον, Ινχ Σεχτιον 8.1 479 ανδ τηε γιϖεν ινιτιαλ χονδιτιονσ ψιελδ χ0   Φ0 ανδ χ1   Φ1 Βυτ ινστεαδ οφ προχεεδινγ ιmmεδιατελψ το χαλχυλατε εξπλιχιτ ϖαλυεσ οφ φυρτηερ χοεφφιχιεντσ, λετ υσ φιρστ mυλτιπλψ τηε ρεχυρρενχε ρελατιον βψ ν ! Τηισ τριχκ προϖιδεσ τηε ρελατιον ( ν  2)! χν   ( ν  1)! χν 1  ν ! χν , τηατ ισ, τηε Φιβοναχχι−δεφινινγ ρελατιον Φν   Φν 1  Φν ωηερε Φν  ν ! χν , σο ωε σεε τηατ χν  Φν / ν ! ασ δεσιρεδ 26 Τηισ προβλεm ισ πρεττψ φυλλψ ουτλινεδ ιν τηε τεξτβοοκ Τηε ονλψ ηαρδ παρτ ισ σθυαρινγ τηε ποωερ σεριεσ: 1  χ ξ 3  χ5 ξ  χ7 ξ  χ9 ξ  χ11 ξ11    ξ  2χ3 ξ   χ32  2χ5  ξ   2χ3χ5  2χ7  ξ  χ 27  2χ3χ7  2χ9  ξ10   2χ5χ7  2χ3χ9  2χ11  ξ12   (β) Τηε ροοτσ οφ τηε χηαραχτεριστιχ εθυατιον ρ3 = αρε ρ1 = 1, ρ2 =  = (1 + ι )/2, ανδ ρ3 =  = (1  ι )/2 Τηεν τηε γενεραλ σολυτιον ισ ψ ( ξ )  Αε ξ  Βε ξ  Χε  ξ (∗) Ιmποσινγ τηε ινιτιαλ χονδιτιονσ, ωε γετ τηε εθυατιονσ Α+ Β+ Χ = Α + Β + Χ = Α + 2Β + 2Χ = 1 Τηε σολυτιον οφ τηισ σψστεm ισ Α = 1/3, Β = (1  ι )/3, Χ = (1 + ι )/3 Συβστιτυτιον οφ τηεσε χοεφφιχιεντσ ιν (∗) ανδ υσε οφ Ευλερ∋σ ρελατιον ει = χοσ  + ι σιν  φιναλλψ ψιελδσ τηε δεσιρεδ ρεσυλτ ΣΕΧΤΙΟΝ 8.2 ΣΕΡΙΕΣ ΣΟΛΥΤΙΟΝΣ ΝΕΑΡ ΟΡDΙΝΑΡΨ ΠΟΙΝΤΣ Ινστεαδ οφ δεριϖινγ ιν δεταιλ τηε ρεχυρρενχε ρελατιονσ ανδ σολυτιον σεριεσ φορ Προβλεmσ τηρουγη 15, ωε ινδιχατε ωηερε σοmε οφ τηεσε προβλεmσ ανδ ανσωερσ οριγιναλλψ χαmε φροm Εαχη οφ τηε διφφερεντιαλ εθυατιονσ ιν Προβλεmσ 110 ισ οφ τηε φορm Χοπψριγητ ♥ 2015 Πεαρσον Εδυχατιον, Ινχ 480 ΣΕΡΙΕΣ ΣΟΛΥΤΙΟΝΣ ΝΕΑΡ ΟΡDΙΝΑΡΨ ΠΟΙΝΤΣ (Αξ2 + Β)ψ∋∋ + Χξψ∋ + Dψ = ωιτη σελεχτεδ ϖαλυεσ οφ τηε χονσταντσ Α, Β, Χ, D Wηεν ωε συβστιτυτε ψ = χνξν, σηιφτ ινδιχεσ ωηερε αππροπριατε, ανδ χολλεχτ χοεφφιχιεντσ, ωε γετ    Αν(ν  1)χ ν ν 0  Β( ν  1)( ν  2)χν 2  Χνχν  Dχν  ξ ν  Τηυσ τηε ρεχυρρενχε ρελατιον ισ χν    Αν  (Χ  Α)ν  D χν Β ( ν  1)( ν  2) φορ ν  Ιτ ψιελδσ α σολυτιον οφ τηε φορm ψ = χ0 ψεϖεν + χ1 ψοδδ ωηερε ψεϖεν ανδ ψοδδ δενοτε σεριεσ ωιτη τερmσ οφ εϖεν ανδ οδδ δεγρεεσ, ρεσπεχτιϖελψ Τηε εϖεν− δεγρεε σεριεσ χ0  χ2 ξ  χ4 ξ  χονϖεργεσ (βψ τηε ρατιο τεστ) προϖιδεδ τηατ λιm ν  χν  ξ ν 2 Αξ   χν ξ ν Β Ηενχε ιτσ ραδιυσ οφ χονϖεργενχε ισ ατ λεαστ   Β / Α , ασ ισ τηατ οφ τηε οδδ−δεγρεε σεριεσ χ1 ξ  χ3 ξ  χ5 ξ  (Σεε Προβλεm φορ αν εξαmπλε ιν ωηιχη τηε ραδιυσ οφ χονϖεργενχε ισ, συρπρισινγλψ, γρεατερ τηαν Β / Α ) Ιν Προβλεmσ 1–15 ωε γιϖε φιρστ τηε ρεχυρρενχε ρελατιον ανδ τηε ραδιυσ οφ χονϖεργενχε, τηεν τηε ρεσυλτινγ ποωερ σεριεσ σολυτιον   1; χν   χν ;   ν 0 ν 0 χ0  χ2  χ4  ; ψ ( ξ )  χ0  ξ ν  χ1  ξ ν 1  χν    χν ;  ψ ( ξ )  χ0  ( 1) ν ν 0 χν    χν ; ( ν  2)   2; χ1  χ3  χ5   χ0  χ1 ξ  ξ2 χ2 ν  ( 1)ν χ0 ; 2ν χ2 ν 1  ν 1  ξ 2ν ν ξ   ( 1) χ 1 2ν 2ν ν 0   ; Χοπψριγητ ♥ 2015 Πεαρσον Εδυχατιον, Ινχ ( 1) ν χ1 2ν Σεχτιον 8.2 481 ( 1) ν χ0 ( 1) ν χ0 ;  (2ν )(2ν  2)     ν !2ν χ2 ν  χ2 ν 1  ( 1) ν χ1 ( 1) ν χ1  (2ν  1)(2ν  1)     (2ν  1)!!  ψ ( ξ )  χ0  ( 1)ν ν 0  ξ 2ν ξ ν 1 ν χ ( 1)   1 ν !2 ν (2ν  1)!! ν 0 ν4 χν ;  1 ν2 2ν   2ν       ν 2ν    χ0  ( 1)ν ( ν  1)χ0            χ0  ( 1)  ν ν 2        2ν    2ν     5 ν 2ν    χ1            χ0  ( 1)  ν    2ν     3 χν    χ2 ν χ2 ν   ψ ( ξ )  χ0  ( 1)ν ( ν  1) ξ ν  χ1  ( 1) ν (2ν  3) ξ ν 1 ν 0 ν 0 νχν ;   3; χ2  χ4  χ6    3( ν  2) χ1 2ν  2ν  3      χ1  3(2ν  1) 3(2ν  1) 3(5) 3(3) (2ν  1)3ν χν   χ2 ν 1 ξ ν 1 ν ν 0 (2ν  1)3  ψ ( ξ )  χ0  χ1  ( ν  3)( ν  4) χν ( ν  1)( ν  2) Τηε φαχτορ (ν  3) ιν τηε νυmερατορ ψιελδσ χ5  χ7  χ9    0, ανδ τηε φαχτορ (ν  4) ψιελδσ χ6  χ8  χ10    Ηενχε ψεϖεν ανδ ψοδδ αρε βοτη πολψνοmιαλσ ωιτη ραδιυσ οφ χονϖεργενχε    χν   ψ ( ξ )  χ0 (1  ξ  ξ )  χ1 ( ξ  ξ ) ( ν  4) χν ;  3( ν  1)( ν  2) Τηε φαχτορ ( ν  4) ψιελδσ χ6  χ8  χ10    0, σο ψεϖεν ισ α 4τη−δεγρεε πολψνοmιαλ χν    Wε φινδ φιρστ τηατ χ3  χ1 / ανδ χ5  χ1 /120 , ανδ τηεν φορ ν  τηατ Χοπψριγητ ♥ 2015 Πεαρσον Εδυχατιον, Ινχ 482 ΣΕΡΙΕΣ ΣΟΛΥΤΙΟΝΣ ΝΕΑΡ ΟΡDΙΝΑΡΨ ΠΟΙΝΤΣ    (2ν  5)   (2ν  7) 12   χ2 ν 1            χ5   3(2ν )(2ν  1)   3(2ν  2)(2ν  1)   3(6)(7)   ( 1) ν 2 (2ν  5)!!2 χ (2ν  5)!! χ    ( 1) ν ν ν 2 (2ν  1)(2ν  1)    120 (2ν  1)!   4 1 [(2ν  5)!!]2 ( 1) ν ν 1   ψ ( ξ )  χ0   ξ  ξ   χ1  ξ  ξ  ξ  9 ξ  27  120 (2ν  1)! 3ν  ν 3   (ν  4)( ν  4) χν ;  2( ν  1)( ν  2) Wε φινδ φιρστ τηατ χ3  5χ1 / ανδ χ5  7χ1 / 32 , ανδ τηεν φορ ν  τηατ χν    (2ν  5)(2ν  3)   (2ν  7)(2ν  1)   1  χ2 ν 1          χ5   2(2ν )(2ν  1)   2(2ν  2)(2ν  1)   2(6)(7)  (2ν  5)!!(2ν  3)(2ν  1)    7χ1 5! (2ν  5)!!(2ν  3)!! χ1    4  ν 2 (2ν  1)(2ν )     32   32 2ν (2ν  1)! (2ν  5)!!(2ν  3) !! χ2 ν 1  χ1 2ν (2ν  1)!   (2ν  5)!!(2ν  3)!! ν 1  ψ ( ξ )  χ0 1  ξ  ξ   χ1  ξ  ξ  ξ  ξ  32 (2ν  1)! ν ν 3   χν   χ2 ν  χ2 ν 1 ( ν  3)( ν  4) χν ; ( ν  1)( ν  2)  1 (2ν  1)(2ν  2) (2ν  1)(2ν ) 3    χ0  ( ν  1)(2ν  1)χ0 (2ν  1)(2ν ) (2ν  3)(2ν  2) 1 (2ν  2)(2ν  3) (2ν )(2ν  1) 45     χ1  ( ν  1)(2ν  3)χ1 (2ν )(2ν  1) (2ν  2)(2ν  1) 23   ψ ( ξ )  χ0  ( ν  1)(2ν  1) ξ ν  χ1  ( ν  1)(2ν  3) ξ ν 1 ν 0 ν 0 10 ( ν  4)   χν ; 3( ν  1)( ν  2) Τηε φαχτορ (ν  4) ψιελδσ χ6  χ8  χ10    0, σο ψεϖεν ισ α 4τη−δεγρεε πολψνοmιαλ Wε φινδ φιρστ τηατ χ3  χ1 / ανδ χ5  χ1 / 360 , ανδ τηεν φορ ν  τηατ χν    Χοπψριγητ ♥ 2015 Πεαρσον Εδυχατιον, Ινχ ... Sum[B[k]*x^(3 k + 1), {k, 1, n}]; yA = y1/(3^(2/3)*Gamma[2/3]) - y2/(3^(1/3)*Gamma[1/3]); yB = y1/(3^(1/6)*Gamma[2/3]) + y2/(3^(-1/6)*Gamma[1/3]); Plot[{yA, yB}, {x, -13.5, 3}, PlotRange -> {-0.75,... χν  Τηε διφφερεντιαλ εθυατιονσ ιν Προβλ? ?m? ? 27–29 (αφτερ m? ?λτιπλιχατιον βψ ξ) ανδ τηε ονε ιν Προβλ? ?m 31 αρε οφ τηε σ? ?m? ? φο? ?m (1) αβοϖε ασ τηοσε ιν Προβλ? ?m? ? 21–24 Ηοωεϖερ, νοω τηε εξπονεντσ ρ1 ανδ... Πεαρσον Εδυχατιον, Ινχ Σεχτιον 8. 2 489 ψ1 ( ξ )   33 ξ ξ3 ξ5 ξ6 ξ ξ ξ5 ξ6      ανδ ψ2 ( ξ )  ξ       60 180 18 360 900 Συβστιτυτιον οφ ψ = χνξν ιν Ηε? ?m? ?τε∋σ εθυατιον λεαδσ ιν τηε