Đề thi GVG cấp THCS

Phßng GD - §T H ¬ng S¬n §Ò thi Chän gi¸o viªn giái huyÖn THCS n¨m häc 2008 - 2009 M«n To¸n Thời gian làm bài: 120 phút ---------------------------- Câu 1. a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2004x y+ = b) Tìm m ∈ N để 13m + 3 là số chính phương . Câu 2. Giải phương trình sau: 2 2 x 1 x 1 0− − + = Câu 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 x 1 A x 1 − = + Câu 4. Khối 9 của một trường có 56 em học sinh cần phụ đạo thêm, trong đó có 32 nam. Nhà trường dự kiến chia thành các tổ học phụ đạo sao cho: - Mỗi tổ gồm có các học sinh nam, các học sinh nữ. - Số các học sinh nam, số học sinh nữ được chia đều vào các tổ. - Số người trong mỗi tổ không quá 15 em nhưng cũng không ít hơn 9 em. Hãy tính xem nhà trường có thể sắp xếp như thế nào và có tất cả mấy tổ ? Câu 5. Cho đường tròn tâm (O; R) đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trong đoạn AB lấy điểm M khác 0. Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến với đường tròn (O) tại N ở điểm P. Chứng minh rằng: a) Các điểm O, M, N, P cùng nằm trên một đường tròn. b) Tứ giác CMPO là hình bình hành. c) CM.CN = 2R 2 d) Khi M di chuyển trên đoạn AB thì P di chuyển ở đâu ? ------------------------------------ HƯỚNG DẪN CHẤM THI GVG NĂM HỌC 2008 -2009 MÔN TOÁN Câu Nội dung – yêu cầu 1 (6,0đ) a)(3đ) 2004x y+ =  2 501x y+ = do vế phải là số vô tỷ => x y+ là các số vô tỷ và các căn này phải đồng dạng với 501 . Đặt 501x a= và 501 501 501y b x y a b= => + = + ( a,b ≥ 0 ; a,b ∈ Z) . Ta cã a+b = 2  a 0 1 2 b 2 1 0 => x 0 501 2004 y 2004 501 0 b)(3đ) Đặt 13 m + 3 = x 2 ( x ∈ Z ) => 13( m-1) = x 2 - 16= (x-4)(x+4) (1) => (x-4)(x+4) M13 mà 13 là nguyên tố => (x+4) M13 hoặc (x-4) M13 hay x+4 = 13 k hoặc x-4 = 13k' ( k,k' ∈ N ) . Với n+4 = 13k => x = 13 k - 4 . Từ (1) ta có 13( m-1) = 13k ( 13k - 8)  m = 13k 2 - 8k +1 với x - 4 = 13k' => x = 13k' +4 từ (1) ta có 13( m-1) = 13k'( 13k' +8)  m= 13k' 2 +8k' +1 => m= 13l 2 ± 8l+1 (l ∈ N) thì 13m +3 là số chính phương 2 (2,5đ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x 1 x 1 0 x 1 x 1 x 1 0 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 0 x 1 hay x 1 x 1 hoac x 1 x 1 x 1 1 0 x 1 0hoac x 2 0 x 1 hay x 1 x 1 hay x 1 hay x 2 hay x 2 − − + = ⇔ − = −   − ≥ ≥   ⇔ ⇔   − = − − − − =     ≤ − ≥  ≤ − ≥   ⇔ ⇔     − − − = − = − =      ≤ − ≥   ⇔  = = − = = −   3 (2,5đ) Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 x 1 x 1 2 2 A 1 x 1 x 1 x 1 1 2 Do x 1 1 1 2 x 1 x 1 Suy ra A 1 A 1 x 0 − + − = = = − + + + − + ≥ ⇒ ≤ ⇒ ≥ − + + ≥ − = − ⇔ = Vậy GTNN của A bằng -1 khi x = 0 4 (3đ) * Gọi số HS nam được chia vào tổ là x, số HS nữ được chia vào tổ là y, x, y nguyên dương. Theo đề ra ta có hệ: 32 24 x y = (1) 9 ≤ x + y ≤ 15 (2) Từ (1) ta có: 3x – 4y = 0 => 4 3 x y = Đặt y = 3t, t > 0 và t ∈ z, ta có: x = 4t Từ (2), ta có: 9 ≤ 3t + 4t ≤ 15 hay 9 ≤ 7t ≤ 15 => 9 7 < t ≤ 15 7 => 2 2 1 2 7 7 t < ≤ Vì t ∈ z nên giá trị t cần tìm là t = 2, ta tính ra x = 8; y = 6 Như vậy, mỗi tổ có 8 HS nam, 6 HS nữ. Số tổ được chia là: 56 4 6 8 = + tổ 5 (6đ) C a)(1đ) A B N E P D F * Tam giác OMP vuông tại M nên O, M, P thuộc đường tròn đường kính OP. * Tam giác ONP vuông tại N nên O, N, P thuộc đường tròn đường kính OP. * Vậy O, M, N, P cùng thuộc đường tròn đường kính OP. b)(1,5đ) MP//OC (vì cùng vuông góc với AB) · · NMP NCD= (hai góc đồng vị) · · ONC OCN= (hai góc đáy của tam giác cân ONC) · · NMP NOP= (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NP) Suy ra · · MNO NOP= ; do đó, OP//MC. Vậy tứ giác MCOP là hình bình hành. c)(1,5đ) ( . )CND COM g g∆ ∆: Nên OC CM CN CD = hay CM.CN = OC.CD = 2R 2 d)(2đ) Vì MP = OC = R không đổi. Vậy P chạy trên đường thẳng kẻ từ D //AB. Do M chỉ chạy trên đoạn AB nên P chỉ chạy trên EF thuộc đường thẳng song nói trên. M O . Phßng GD - §T H ¬ng S¬n §Ò thi Chän gi¸o viªn giái huyÖn THCS n¨m häc 2008 - 2009 M«n To¸n Thời gian làm bài: 120 phút. thì P di chuyển ở đâu ? ------------------------------------ HƯỚNG DẪN CHẤM THI GVG NĂM HỌC 2008 -2009 MÔN TOÁN Câu Nội dung – yêu cầu 1 (6,0đ) a)(3đ) 2004x