câu vận DỤNG CAO LƯỢNG GIÁC

Hàm số phương trình lượng giác Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com TUYỂN TẬP 198 CÂU VẬN DỤNG CAO LƯỢNG GIÁC LATEX Tư Duy Mở Câu Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sin4 x + cos4 x − cos 2x + sin2 2x + m = có nghiệm C −2 < m < A m < −2 B −2 m D m > Lời giải Ta có sin4 x + cos4 x = − sin2 x cos2 x = − sin2 2x 1 Đặt t = cos 2x, |t| phương trình cho thành − − t − t + − t + m = Hay f (t) = −t + 4t − = 4m với −1 t Nhận thấy hàm số f (t) đồng biến [−1; 1] nên phương trình cho có nghiệm f (−1) −2 m Chọn đáp án B Câu Tìm giá trị nhỏ M hàm số y = sin x − cos x + A M = B M = C M = −10 4m f (1) ⇔ D M = −2 Lời giải 4 sin x − cos x + = sin(x − α) + 3, α thoả cos α = sin α = 5 5 ta −2 y Tồn x để y = −2 nên giá trị nhỏ hàm số −2 Ta có y = sin x − cos x + = Từ −1 sin(x − α) Chọn đáp án D Câu Tìm tập xác định D hàm số y = sin x cot 2x kπ ,k ∈ Z π D D = R\ + kπ, k ∈ Z A D = R \ {kπ, k ∈ Z} C D = R\ B D = R\ kπ ,k ∈ Z Lời giải Điều kiện cot 2x = sin 2x = ⇔ cos 2x = sin 2x = ⇔ sin 2x cos 2x = ⇔ sin 4x = ⇔ x = kπ Chọn đáp án B √ √ √ m a πx 3 Câu Gọi giá trị lớn a để bất phương trình a (x − 1) + a sin có n (x − 1) m nghiệm, m, n số nguyên dương phân số tối giản Tính giá trị biểu thức n P = 22m + n A P = 46 B P = 35 C P = 38 D P = 24 Lời giải Điều kiện xác định x = LATEX Tư Duy Mở Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Bất phương trình cho tương đương với bất phương trình sau √ √ √ πx a3 (x − 1)4 − a3 sin (x − 1)2 + a 2 √ √ πx πx + a − sin2 ⇔ a3 (x − 1)2 − sin 2 • Nếu a > √ 1 πx a − sin2 > 0, ∀x, nên bất phương trình vơ nghiệm 16 • Nếu a = bất phương trình trở thành 16 1 πx πx + (x − 1)2 − sin − sin2 2  πx sin2 =1 x=3 ⇔ ⇔ πx  (x − 1)2 = sin x = −1 2 Vậy a = giá trị lớn để bất phương trình có nghiệm 16 Suy m = 1, n = 16 Vật P = 22 · + 16 = 38 Chọn đáp án C Câu Cho số thực x, y, z thuộc đoạn [0, π] Có tất ba số (x; y; z) thỏa mãn sin z x + y + z = π? A B C sin x sin y = √ = D Lời giải Nếu ba số x, y, z có số π hai số cịn lại 0, ta có ba nghiệm (π; 0; 0), (0; π; 0), (0; 0; π) sin x sin y sin z Xét < x, y, z < π, ta có < sin x, sin y, sin z < Theo giả thiết = √ = x + y + z = π suy π π π sin x, sin y, sin z độ dài ba cạnh tam giác vuông với x, y, z góc đối diện, x = , y = , z = Chọn đáp án C Câu Tìm tập xác định hàm số y = A D = R\ {π + k2π | k ∈ Z} C D = R sin x sin x − sin x + B D = R\ {kπ | k ∈ Z} D D = R\ {k2π | k ∈ Z} Lời giải Do sin2 x − sin x + = (sin x − 2)(sin x − 4) = với x ∈ R nên D = R Chọn đáp án C Câu Có điểm đường tròn lượng giác biểu diễn nghiệm phương trình cos2 x + π x 2(sin 3x − 1) sin2 − = 0? A điểm B điểm C điểm D điểm Lời giải LATEX Tư Duy Mở Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Phương trình cho tương đương với (1 − sin x)(1 + sin x) + (sin 3x − 1)(1 + sin x) = sin x = ⇔ sin 3x = sin(π + x) ⇔ x= kπ (k ∈ Z) Vậy nghiệm phương trình cho biểu diễn điểm đường tròn lượng giác Chọn đáp án C Câu Số nghiệm phương trình A Vô số sin x π = x 18 C B D Lời giải  x = sin x π = ⇔ π  sin x = x x 18 18 π Số nghiệm phương trình số điểm chung hai đồ thị y = sin x y = x 18 Ta có y π y= x 18 x2 − π x −π x1 π −1 π y = sin x π π Đường thẳng y = x có hệ số góc < nên cắt đồ thị y = sin x điểm có hồnh độ x1 , 0, x2 với −π < 18 18 x1 < 0, < x2 < π x = phương trình có nghiệm Chọn đáp án D π 5π Câu Tìm số nghiệm phương trình cos(π sin x) = −1 khoảng − ; 2 A B C D Lời giải Ta có cos(π sin x) = −1 ⇔ π sin x = π + k2π (*) Điều kiện để (*) có nghiệm −π π + k2π π ⇒ k = 0; k = −1 π π 5π Do (*) ⇔ sin x = ±1 ⇔ x = + kπ Vì x ∈ − ; nên k ∈ {0; 1} 2 Chọn đáp án D Câu 10 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = cos2 x − (2 + m) cos x + 2m xác định tập R A m > B m C −1 < m < D −1 m Lời giải Ta có cos2 x − (2 + m) cos x + 2m = (cos x − 2)(cos x − m), nên hàm số xác định tập R khi cos x − m 0, ∀x ∈ R tương đương với m Chọn đáp án B LATEX Tư Duy Mở Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Câu 11 Gọi x1 nghiệm không âm nhỏ nhất, x2 nghiệm âm lớn phương trình tan x − sin 2x − cos 2x + 2 cos x − = Khi tổng S = x1 + x2 cos x π π A B C D Lời giải π Điều kiện x = + kπ với k ∈ Z Phương trình cho tương đương với sin x − sin 2x − cos 2x + cos x − =0 cos x cos x ⇔ sin x − sin x cos2 x − cos 2x cos x + 2(2 cos2 x − 1) = ⇔ sin x(1 − cos2 x) − cos 2x cos x + cos 2x = ⇔ − sin x cos 2x − cos 2x cos x + cos 2x = cos 2x = ⇔ cos 2x(sin x + cos x − 2) = ⇔ sin x + cos x = (vô nghiệm) ⇔x= π π + k với k ∈ Z π π , x2 = − Vậy S = 4 Chọn đáp án D Ta x1 = Câu 12 Biết tập hợp giá trị m để phương trình m sin2 x + sin 2x + 3m cos2 x = có nghiệm đoạn [a; b] Tính giá trị biểu thức T = a + 3b 8 A T= B T= C T = D T= 3 Lời giải Phương trình cho tương đương với: − cos 2x + cos 2x + sin 2x + 3m 2 ⇔2 sin 2x + m cos 2x = − 2m m =2 (1) Phương trình cho có nghiệm ⇔ (1) có nghiệm, hay 22 + m2 (2 − 2m)2 ⇔ m ⇒ a + 3b = Chọn đáp án C √ Câu 13 Cho phương trình sin 2x − cos 2x + | sin x + cos x| − cos2 x + m − m = Số giá trị nguyên tham số m để phương trình cho có nghiệm thực A B D C Lời giải sin 2x − cos 2x + | sin x + cos x| − ⇔ sin x · cos x + + | sin x + cos x| = cos2 x + m − m = cos2 x + m + cos2 x + m ⇔ (| sin x + cos x|)2 + | sin x + cos x| = cos2 x + m + ⇔ | sin x + cos x| + ⇔ | sin x + cos x| = 2 cos2 x + m + = 2 cos2 x + m 2 cos2 x + m ⇔ sin 2x = cos 2x + m π m ⇔ sin 2x − =√ LATEX Tư Duy Mở Group Cộng đồng tư mở TOÁN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Phương trình cho có nghiệm |m| Chọn đáp án C √ √ 2⇔− Website tuduymo.com m √ Nên m ∈ {−1; 0; 1} √ Câu 14 Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sin 2x + cos 2x = 3m − có nghiệm π khoảng − ; √ √ 4 3+2 3+2 C m A m B m< D m< 3 3 Lời giải π 3m π π 2π π = − Do x ∈ − ; nên 2x + ∈ − ; 2 3 √ √ √ π 3 3+2 3m Vậy sin 2x + ⇒ −1 −1 < ⇔0 m< ∈ −1; 2 Phương trình ⇔ sin 2x + Chọn đáp án B Câu 15 Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m để phương trình sin4 x + cos4 x − sin6 x + cos6 x − sin2 4x = m có nghiệm A m B −9 < m < 16 C −9 16 m D m −9 16 Lời giải Phương trình cho tương đương với sin4 2x − sin2 2x − m = Đặt t = sin2 2x, t ∈ [0; 1] Phương trình cho trở thành m = 4t − 3t = g(t), t ∈ [0; 1] Lập bảng biến thiên g(t), suy phương trình có nghiệm −9 m 16 Chọn đáp án C Câu 16 Một họ nghiệm phương trình (1 + sin x)2 cos x = + sin x + cos x có dạng x = α + k2π, π (k ∈ Z), với α ∈ − ; Tính α π3 π3 π3 π3 A − B − C D 27 Lời giải Phương trình cho tương đương sin x cos x(1 + sin x) − (1 + sin x) = ⇔ (1 + sin x)(2 sin 2x − 1) =  π x = − + k2π   sin x = −1  x = π + kπ  ⇔ ⇔ 12  sin 2x =  5π x= + kπ 12 π π3 =− Chọn đáp án A Vậy α = − LATEX Tư Duy Mở Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Câu 17 Cho phương trình (sin x + m)2 + sin2 x − m2 = (sin x − m)2 Gọi S = [a; b] tập hợp tất giá trị tham số m để phương trình có nghiệm thực Tính giá trị P = a2 + b2 162 49 C P = A P = B P= D P= 49 162 Lời giải Ta có (sin x + m)2 + sin2 x − m2 = (sin x − m)2 (sin x + m)2 + sin2 x − m2 − (sin x − m)2 = √ √ √ √ 3 sin x + m − sin x − m sin x + m + sin x − m = ⇔ √ √ sin x + m − sin x − m = ⇔ √ √ sin x + m + sin x − m =  m=0 ⇔  7m sin x = ⇔ Từ suy phương trình có nghiệm ⇔ − m 9 162 , nên a = − b = ta có P = 7 49 Chọn đáp án B m Câu 18 Cho phương trình m sin x + (m + 1) cos x = Tìm giá trị m cho phương trình cho cos x có nghiệm m m A B C −4 m D −4 < m < m −4 m < −4 Lời giải Điều kiện cos x = Với điều kiện chia hai vế phương trình cho cos x, ta m tan x + m + = m + tan2 x ⇔ m tan2 x − m tan x − = (1) Đặt tan x = t, phương trình (1) trở thành mt − mt − = (∗) Do phương trình tan x = t có nghiệm với t nên phương trình cho có nghiệm (∗) có nghiệm ⇔ ∆ = m2 + 4m 0⇔ m m −4 Chọn đáp án A Câu 19 Có tất giá trị nguyên tham số m để phương trình cos 4x + sin x cos x = m có hai π nghiệm phân biệt đoạn 0; ? A B C D Lời giải Biến đổi phương trình cho dạng sin2 2x − sin 2x + m − = Nếu đặt t = sin 2x, t ∈ [0; 1], phương trình trở thành 2t − 3t +m − = (1) 9 − 8(m − 1) Từ giả thiết suy m − ⇒ m  LATEX Tư Duy Mở Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com • Với m = giải phương trình hai nghiệm x = 0, x = π • Với m = kiểm tra phương trình cho có nhiều hai nghiệm đoạn 0; π Vậy, có số nguyên m thỏa mãn tốn m = Chọn đáp án D Câu 20 Tìm tất giá trị m để phương trình cos2 2x − cos 2x − − 3m = có nghiệm 5 A m∈ − ; B m∈ − ; C m ∈ ; +∞ D ∈ −∞; 3 3 Lời giải Đặt cos 2x = t, |t| Phương trình cho trở thành: 4t − 4t − = 3m Xét hàm số g(t) = 4t − 4t − đoạn [−1; 1] Ta có bảng biến thiên: t −1 − g (t) (1) + −3 g(t) −4 Phương trình cho có nghiệm phương trình (1) có nghiệm t ∈ [−1; 1] ⇔ − m Chọn đáp án B √ √ √ √ Câu 21 Cho phương trình sin3 x − − sin2 x cos x − + sin x cos2 x = cos3 x Tìm tập hợp tất nghiệm phương trình nằm khoảng (−1; 1) π π π π π π π π π 2π A B C D − ; − ;− − ;− ; − ;− ;− 6 6 Lời giải Nhận xét: cos x = khơng thỏa phương trình Do đó, chia vế phương trình cho cos3 x, ta  tan x = −1 √  √ √ √ √  3 tan x − − tan x − + tan x − = ⇔ tan x = −  √ tan x =  π x = − + kπ   π  ⇔ x = − + kπ , k ∈ Z  π x = + kπ π π So điều kiện x ∈ (−1; 1) ta x ∈ − ; − Chọn đáp án B LATEX Tư Duy Mở Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Câu 22 Tập tất giá trị tham số m để phương trình m+ √ m + + + sin x = sin x có nghiệm [α; β ] Giá trị α + β √ √ A − + B − − 2 √ C − − √ D − + Lời giải √ √ Ta cóm + √ m + + + sin x = sin x ⇔ m + + m + + + sin x = + sin x a = + sin x √ , điều kiện a b Đặt √ b = m + + + sin x a2 = m + + b a2 = m + + b (1) √ Khi ta có hệ ⇔ b2 = m + + a (2) b = m+1+a Lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta có √ b2 − a2 = a − b ⇔ (a − b)(a + b + 1) = ⇔ a = b (vì a 2√và b 0) 2 Ta có phương trình a = m + + a ⇔ a −√ a − = m với a Xét hàm số f (a) = a2 − a − với a Bảng biến thiên a √ 2 − f (a) + √ 1− −1 f (a) − √ √ Suy m ∈ − ; − ⇒ α + β = − − 4 Chọn đáp án C Câu 23 Cho phương trình sin x(2 − cos 2x) − 2 cos3 x + m + cos3 x + m + = cos3 x + m + Có giá trị nguyên tham số m để phương trình có nghiệm x ∈ 0; A B Lời giải   2 cos x + m + Điều kiện 2π  x ∈ 0; C 2π D Ta có sin x(2 − cos 2x) − 2 cos3 x + m + ⇔ sin3 x + sin x = 2 cos3 x + m + 2 cos3 x + m + = 3 + cos3 x + m + 2 cos3 x + m + (1) Xét hàm số f (t) = 2t + t có f (t) = 6t + > 0, ∀t ∈ R nên hàm số f (t) đồng biến R √ √ Do đó, (1) ⇔ f (sin x) = f cos3 x + m + ⇔ cos3 x + m + = sin x (2) Vì x ∈ 0; 2π nên sin x ∈ [0; 1] LATEX Tư Duy Mở Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Khi (2) ⇔ cos3 x + m + = sin2 x ⇔ −m − = cos3 x + cos2 x 2π Xét hàm số g(x) = cos3 x + cos2 x, x ∈ 0; , đặt u = cos x, u ∈ − ; hàm số trở thành h(u) = 2u3 + u2 ,  u = ∈ − ;1  h (u) = 6u2 + 2u = ⇔   1 u = − ∈ − ;1 Bảng biến thiên hàm h(u) u − + h (u) − − 0 + 27 h(u) 0  28 < −m − −4 m < −   27 27 Yêu cầu toán ⇔ ⇔ m = −1 −m−1 = Kết hợp m ∈ Z nên ta nhận m ∈ {−4; −3; −2; −1} Chọn đáp án C  Câu 24 Cho số thực x1 , x2 , y1 , y2 thay đổi, thỏa mãn x12 + x22 = y21 + y22 = Tìm giá trị lớn Pmax biểu thức P = (1 − x1 )(1 − y1 ) + (1 − x2 )(1 − y2 ) √ √ C Pmax = A Pmax = − 2 B Pmax = + 2 D Pmax = Lời giải √ √ √ √ Đặt x1 = cos α, x2 = sin α, y1 = cos β , y1 = sin β Biểu thức P viết lại √ √ √ √ P = − sin α − cos α − sin β − cos β + cos α cos β + sin α sin β π π = − sin α + − sin β + + cos(α − β ) 4 Nên giá trị lớn P Chọn đáp án C Câu 25 Xác định m để phương trình m cos2 2x − sin x cos x + m − = có nghiệm khoảng 0; A m < −1 B < m < C Khơng có m π D < m < Lời giải π Đặt t = sin 2x, với < x < ⇒ < t < Phương trình cho trở thành m(1 − t ) − 2t + m − = ⇔ mt + 2t + − 2m = (1) + Nếu m = PT(1) ⇔ t = −1 (loại) + Nếu m = 0, yêu cầu tốn ⇔ PT(2) có nghiệm t ∈ (0; 1) Từ tìm < m < Chọn đáp án B Câu 26 Cho phương trình LATEX Tư Duy Mở cos 4x − cos 2x + sin2 x = Tính diện tích đa giác có đỉnh điểm biểu cos x + sin x Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Phương trình cho tương đương với − sin 4x + 2(sin 2x + cos 2x)(1 − sin 2x cos 2x) = ⇔(2 − sin 4x) + (sin 2x + cos 2x)(2 − sin 4x) = ⇔(2 − sin 4x)(sin 2x + cos 2x + 1) = ⇔ sin 2x + cos 2x = −1  π √ x = − + kπ π  với k ∈ Z =− ⇔ ⇔ sin 2x + π x = + kπ  π x=−   π x = π Như có nghiệm thuộc − ; π    3π x= Chọn đáp án C √ Câu 167 Có giá trị nguyên tham số m để phương trình sin3 x − m + cos x 2π sin x + có nghiệm? C D A B Vô số −m = Lời giải √ sin3 x − m + cos x 2π − m = sin x + √ √ 3 ⇔ sin x + sin x = m + cos x + m + cos x Xét hàm số f (t) = t + t ⇒ f (t) = 3t + > 0√∀t ∈ R ⇒ Hàm số f (t) đồng biến R Suy phương trình có nghiệm ⇔ sin x = m + cos x √ Do để phương trình cho có nghiệm điều kiện cần đủ + m2 ⇔ −2 Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán Chọn đáp án C Câu 168 Đường cong hình mơ tả đồ thị hàm số y = A sin(x + α) + B (A, B, α số, α ∈ 3α [−π; 0]) Tính S = A + B − π A S = B S = C S = D S = m y − 5π 7π O x π −1 Lời giải GTLN GTNN hàm số |A| + B −|A| + B Kết hợp với đồ thị cho, ta suy |A| = 2, B = Hơn π π π nữa, GTLN hàm số đạt x = nên sin + α = ±1, mà α ∈ [−π; 0] nên ta suy sin + α = −1 6 2π α = − Vậy S = Chọn đáp án A LATEX Tư Duy Mở 68 Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Câu 169 Tìm tất giá trị tham số m để phương trình cos 2x + sin2 x − 3m + = có nghiệm π khoảng 0; 2 2 A m ∈ − ;1 B m∈ ;1 C m ∈ − ;1 D m ∈ ;1 3 3 Lời giải π Phương trình ⇔ sin2 x + = 3m, x ∈ 0; nên < sin2 x 2 Vậy < sin2 x + nên < 3m ⇔ < m Chọn đáp án B Câu 170 Có giá trị nguyên m để phương trình có nghiệm? A sin x + √ π π · cos x − = m2 + sin 2x − cos 2x B C D Lời giải √ π π · cos x − = m2 + sin 2x − cos 2x √ π π + sin 2x + = m2 + sin 2x − cos 2x ⇔ sin √ √ ⇔ sin 2x + cos 2x + = m2 + sin 2x − cos 2x m2 − ⇔ cos 2x = sin x + Phương trình cho có nghiệm −1 m2 − 2 1⇔ m2 m ⇔ −2 m Các giá trị nguyên m −2; −1; 0; 1; Chọn đáp án A Câu 171 Nghiệm dương nhỏ phương trình cos π x2 + 2x − = sin πx2 √ √ √ √ 2−1 3+1 2+1 3−1 A x= B x= C x= D x= 2 2 Lời giải Phương trình cho tương đương với π − π(x2 + 2x) = sin πx2 ⇔ sin π(x2 + 2x) = sin πx2 cos ⇔ ⇔ π(x2 + 2x) = πx2 + k2π π(x2 + 2x) = π − πx2 + k2π x=k 2x2 + 2x − (2k + 1) = , (k ∈ Z), √ √ −b + ∆ −1 + 4k + = Do x > 0, k ∈ Z nên suy x = 2a LATEX Tư Duy Mở 69 Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Để x dương √ nhỏ với k ∈ Z 4k + 3−1 ⇒ x = Chọn đáp án D Website tuduymo.com k = Câu 172 Số nghiệm phương trình cos4 x − cos 2x + 2018 sin2 A B C x = đoạn [0; 16] D Lời giải Ta có cos4 x − cos 2x + 2018 sin2 Theo giả thiết mπ Chọn đáp án D x x = ⇔ (1 + cos 2x)2 − cos 2x + 2018 sin2 = 2 x ⇔ (1 − cos 2x) + 2018 sin =    cos 2x = x = mπ ⇔ ⇔ x x  sin =  = nπ 3 m = 3n ⇔ x = mπ 16 ⇒ m = 0, m = Câu 173 Cho phương trình sin x cos 4x − sin2 2x = sin2 mãn |x − 1| < A B π x − Tìm số nghiệm phương trình thỏa − 2 C D Lời giải Phương trình tương đương với − cos 4x = 2(1 − sin x) − 2 ⇔ sin x cos 4x + cos 4x + 2(2 sin x + 1) = sin x cos 4x − ⇔ (cos 4x + 2)(2 sin x + 1) =  π x = − + k2π  ⇔ sin x + = ⇔  7π x= + k2π Do |x − 1| < nên ta có nghiệm x = − 7π π x = 6 Chọn đáp án C Câu 174 Gọi S tập hợp tất nghiệm √ √ thuộc khoảng (0; 2018) phương trình 3(1 − cos 2x) + sin 2x − cos x + = + sin x Tính tổng tất phần tử S 312341π 310408π A 103255π B 102827π C D 3 Lời giải LATEX Tư Duy Mở 70 Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Ta có √ √ 3(1 − cos 2x) + sin 2x − cos x + = + sin x √ ⇔ 3(1 − cos 2x − sin x) + sin 2x − cos x + − sin x = √ ⇔ sin2 x − sin x + sin x · cos x − cos x − sin x + = √ ⇔2 sin x · (sin x − 2) + 2(sin x − 2) · (cos x − 2) = √ ⇔2(sin x − 2) · sin x + cos x − = √ sin x + cos x − = ⇔(sin x − 2) 2 π ⇔(sin x − 2) sin x + −1 = π ⇔ sin x + = (vì sin x − < 0, ∀x ∈ R) π π ⇔x + = + k2π π ⇔x = + k2π π π 1009 + k2π ∈ (0; 2018) ⇒ < + k2π < 2018 ⇔ − < k < 3 π Vì k ∈ Z nên k ∈ {0; 1; 2; ; 321} Tổng tất nghiệm thuộc khoảng (0; 2018) Xét x = π π π π + + 2π + + · 2π + + + 321 · 2π 3 3 π = 322 · + (1 + + + 321) · 2π 322π 321 · (321 + 1) = + · 2π 310408π = S= Chọn đáp án D Câu 175 Dựa vào đồ thị hàm số y = cos x (tham khảo hình vẽ đây), tìm tất giá trị x để cos x < y − 3π − 3π π A − 3π π ⇔ ⇔ m> −1 < t1 < t2 < ⇔       −1 < S <  − < − 4m <   3   − phương trình có nghiệm 8 Chọn đáp án B Câu 177 Trong khoảng (0; 20π) phương trình A 20 B 10 sin2 x − sin x − √ = có nghiệm? cos x − C 30 D 15 Lời giải √ Điều kiện xác định cos x − =  sin x = 1 sin x = π Phương trình sin x = ⇔ x = + k2π Dễ thấy giá trị thỏa mãn điều kiện xác định khoảng (0; 20π) họ có 10 nghiệm  π x = + k2π 5π  Phương trình sin x = ⇔  Dễ thấy giá trị x = + k2π thỏa mãn điều kiện xác định 5π + k2π Khi đó, phương trình tương đương với sin2 x − sin x − = ⇔  LATEX Tư Duy Mở 72 Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com khoảng (0; 20π) họ có 10 nghiệm Vậy khoảng (0; 20π) phương trình có 20 nghiệm Chọn đáp án A Câu 178 Tìm tất số thực m để phương trình cos 3x + (m + 1) cos x − cos 2x = có nghiệm phân biệt π khoảng − ; 2π C −2 < m < A < m < B < m < D −1 < m < Lời giải Ta có cos 3x + (m + 1) cos x − cos 2x = ⇔ cos 3x + cos x + m cos x = cos2 x ⇔ cos 2x cos x + m cos x − cos2 x = ⇔ cos x 2 cos2 x − − cos x + m = ⇔ cos x cos2 x − cos x + m − = ⇔ cos x = cos2 x − cos x + m − =  π x = + kπ, k ∈ Z  ⇔ cos2 x − cos x + m − = π 3π π x = khoảng − ; 2π 2 Xét phương trình cos2 x − cos x + m − = với ∆ = − 4m Trường hợp ∆ 0, dễ kiểm tra phương trình cos2 x − cos x + m − = có tối đa nghiệm Do ta xét trường hợp ∆ > 0, ta có  √ + − 4m  cos x = cos2 x − cos x + m − = ⇔  √4  − − 4m cos x = √ + − 4m Ta có m < , suy ∈ ; +∞ 4 √ √ + − 4m − − 4m • Với ∈ (1; +∞), ta ∈ −∞; − Khi phương trình 4 √ − − 4m cos x = π có tối đa nghiệm khoảng − ; 2π , hay phương trình đề có tối đa nghiệm √ √ + − 4m − − 4m • Với ∈ {1}, ta ∈ − Suy tập nghiệm phương trình đề 4 Dễ thấy phương trình cos x = có hai nghiệm x = S= π 3π 2π 2π 4π ; ; 0; − ; ; 2 3 √ + − 4m • Với ∈ √ 1 − − 4m 1 ; , ta ∈ − ; Khi phương trình 4 √ + − 4m cos x = π có nghiệm khoảng − ; 2π LATEX Tư Duy Mở 73 Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com √ √ − − 4m 1 − − 4m π – Với ∈ − ; , phương trình cos x = có nghiệm khoảng − ; 2π 4 Nên phương trình đề có nghiệm √ √ 1 − − 4m π − − 4m – Với ∈ 0; có nghiệm khoảng − ; 2π , phương trình cos x = 4 Nên phương trình đề có nghiệm √ − − 4m Vậy giá trị m phải thỏa mãn ∈ − ; hay < m < Chọn đáp án B π D m ∈ (−2; 0) Câu 179 Tìm m để phương trình sin4 x + cos 2x + m cos6 x = có nghiệm khoảng 0; A m ∈ (1; 2) B m ∈ (−∞; −1) C m ∈ (−2; −1) Lời giải Phương trình cho tương đương với (1 − cos2 x)2 + cos2 x − + m cos6 x = ⇔ cos4 x + m cos6 x = √ π 2 nên Đặt t = cos x Do x ∈ 0; < cos x < ⇒ < t < Từ (1) ta có 2 (1) t>0 t + mt = ⇔ + mt = ⇔ t = − m π Vậy điều kiện để phương trình cho nghiệm khoảng 0;   2+m 1     + < 2017 √ Tại t = ⇒ f (1) = + − 2017 < 1 t Trên −1; − ta có g (t) = > 0, h (t) = 2017 ln 2017 > ⇒ g(t) h(t) hàm đồng biến (1 + t ) Mà h(− ) < g(−1) ⇒ khoảng xét ta có f (t) = g(t) − h(t) > ⇒ f (t) > 1 Trên − ; ta có g (t) < 1, h (t) > ⇒ f ”(t) = g (t) − h (t) < ⇒ f (t) đơn điệu giảm ⇒ f (t) đến lúc (1 + t ) đơn điệu giảm Nên phương trình f (t) = có tối đa nghiệm Dễ thấy t = ⇔ sin x = ⇔ x = kπ(k ∈ Z) Vậy [−5π; 2017π] có 2023 nghiệm thuộc dạng kπ Chọn đáp án B Câu 185 Giá trị lớn M giá trị nhỏ m hàm số hàm số y = A M = ; m = B M = 2; m = 11 sin x + cos x + là: cos x − sin x + C M = 1; m = −1 D M = 1; m = −2 Lời giải y= sin x + cos x + cos x − sin x + ⇔ 2y · cos x − y · sin x + 4y = sin x + cos x + ⇔ (2y − 1) cos x − (y + 2) · sin x = − 4y (1) Phương trình (1) có nghiệm (2y − 1)2 + (y + 2)2 Vậy max y = 2, y = (3 − 4y)2 ⇔ 11y2 − 24y + 0⇔ 11 y 2 11 Chọn đáp án B Câu 186 Cho phương trình sin2 4x + (m2 − 3) sin 4x + m2 − = (m tham số) Tìm m để phương trình 3π cho có nghiệm x ∈ ; 2π A −2 m < B m = 2, m = −2 D −2 < m < C −2 m Lời giải Ta có: sin2 4x + (m2 − 3) sin 4x + m2 − = ⇔ LATEX Tư Duy Mở 76 sin 4x = −1 sin 4x = − m2 (1) Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com 3π π kπ 15π Trong nghiệm x = − + (k ∈ Z) phương trình sin 4x = −1 có nghiệm thuộc đoạn ; 2π 8 3π Vậy từ (1) suy điều kiện để phương trình cho có nghiệm x thuộc ; 2π phương trình sin 4x = − m2 3π ; 2π , tức phương trình sin u = − m2 có ba nghiệm u ∈ [6π; 8π], nghĩa có ba nghiệm x ∈ − m2 = ⇔ m = ±2 Khi m = ±2, phương trình sin u = − m2 trở thành: sin 4x = ⇔ 4x = kπ ⇔ x = Trong đoạn kπ (k ∈ Z) 3π 6π 7π 8π ; 2π có nghiệm , , 4 Kết luận: Điều kiện để phương trình cho có nghiệm x thuộc 3π ; 2π m = ±2 bốn nghiệm 15π 3π 7π , , , 2π Chọn đáp án B Câu 187 Nghiệm phương trình: sin2 x + sin2 3x = cos2 2x + cos2 4x biểu điễn điểm đường tròn lượng giác? A 16 B 14 C 18 D 12 Lời giải Hạ bậc ta có 1 1 (1 − cos 2x) + (1 − cos 6x) = (1 + cos 4x) + (1 + cos 8x) 2 2 ⇔ ⇔ −(cos 2x + cos 6x) = cos 4x + cos 8x ⇔ cos 2x(cos 4x + cos 6x) = ⇔ cos 2x cos 5x cos x =  π   x = + kπ cos x =  x=  π π   x = + k ⇔ ⇔  cos 2x = ⇔     x= cos 5x = π π x= +k 10 π π +k π π +k 10 Từ nghiệm phương trình cho biểu diễn 14 điểm dường tròn lượng giác Chọn đáp án B 1 Câu 188 Tìm giá trị nhỏ hàm số y = sin x + cos x + tan x + cot x + + sin x cos x √ √ √ √ D 2 + A − B + C 2 − Lời giải √ √ t2 − Đặt t = sin x + cos x, t ∈ [− 2; 2] sin x cos x = Ta có y = = LATEX Tư Duy Mở 1 + sin x cos x (sin x + cos x) sin x cos x + + sin x + cos x sin x cos x sin x + cos x + tan x + cot x + 77 Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com +1 t −1 √ Với t − > áp dụng bất đẳng thức AM − GM ta có y 2 + √ √ 2 nên y − 2 Với t − < áp dụng bất đẳng thức AM − GM ta có − t + 1−t √ √ √ π 1− Từ y 2 − Đẳng thức xảy t = − 2, hay sin x + nên tồn x = √ Chọn đáp án C = t −1+ Câu 189 Tìm điều kiện xác định hàm số y = tan x cot x − π kπ x = + kπ với k ∈ Z π π D x = + kπ x = + kπ với k ∈ Z π + kπ x = kπ với k ∈ Z π C x = + kπ x = kπ với k ∈ Z A x= B x= Lời giải π π Hàm tan x xác định x = + kπ, hàm cot x xác định x = kπ Phân thức có nghĩa cot x = ⇔ x = + kπ kπ π Vậy hàm số có nghĩa x = x = + kπ với k ∈ Z Chọn đáp án B Câu 190 Phương trình A (3 + sin x) cos x − + cos2 x = có nghiệm [0; 4π]? sin 2x B C D Lời giải Điều kiện: sin 2x = Phương trình ⇔ cos x + sin 2x − − cos2 x = sin 2x ⇔ cos2 x − cos x + = ⇔ cos x = cos x = Phương trình cos x = vơ nghiệm Phương trình cos x = ⇔ x = k2π, k ∈ Z không thỏa điều kiện sin 2x = Chọn đáp án D Câu 191 Cho hàm số f (x) = (m − 1) sin 4x − cos 4x + 4mx + 2018, m tham số Có tất giá trị nguyên m đoạn [−6; 2018] để phương trình f (x) = có nghiệm A 2018 B C D Lời giải Ta có f (x) = (m − 1) cos(4x) + cos(4x) + 4m ⇔ f (x) = ⇔ (m − 1) cos(4x) + cos(4x) = −m Để phương trình f (x) = có nghiệm (m − 1)2 + m2 ⇔ m Vì m ∈ [−6; 2018] ⇒ −6 m Vậy có tất giá trị nguyên m để phương trình f (x) = có nghiệm Chọn đáp án C 5π −x (1) Gọi (H ) hình tạo điểm biểu diễn nghiệm (1) đường tròn lượng giác Tính diện tích √ √ hình (H ) √ √ √ 2+ 2+ A B 2(1 + 2) C D + Câu 192 Cho phương trình sin x cos2 x − sin3 x = cos Lời giải • Ta có (1) ⇔ sin x cos2 x − sin3 x = sin x LATEX Tư Duy Mở 78 Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com • Với cos x = 0, phương trình trở thành − sin3 x = sin x ⇔ sin x = (loại) • Với cos x = 0, ta có  x = kπ tan x = (k ∈ mathbbZ) (1) ⇔ tan x − tan3 x = tan x(1 + tan2 x) ⇔ ⇔ π tan x = ±1 x = ± + kπ sin cos O Các điểm biểu diễn nghiệm cho hình vẽ Ta có diện tích hình (H ) √ · · sin 45◦ + · · · sin 90◦ = + Chọn đáp án D √ √ Câu 193 Cho phương trình sin2 x + sin 2x − 2( sin x + cos x) − m = Để phương trình có hai π π nghiệm x1 , x2 thuộc đoạn − ; m ∈ (a; b) Giá trị b − a √ √ √ A B − C − D 3 Lời giải.√ Đặt t = sin x + cos x (∗) √ √ ⇒ t = sin2√x + cos2 x + sin x cos x = sin2 x + sin 2x + ⇒ sin2 x + sin 2x = t − Phương trình cho trở thành t − = 2t − m = ⇔ m + = t − 2t (1) √ π π π Do x ∈ − ; nên t = sin x + cos x = sin x + ∈ [−1; 2] √ √ π π Với t ∈ [−1; 3) tương ứng cho nghiệm x thuộc đoạn − ; t ∈ [ 3; 2] cho hai nghiệm π π x thuộc đoạn − ; Vậy u cầu tốn tương đương với tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt √ √ √ thuộc [−1; 3) có nghiệm thuộc [ 3; 2] khơng có nghiệm thuộc [−1; 3) y x O LATEX Tư Duy Mở 79 Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Xét hàm số f (t) = t − 2t có bảng biến thiên −1 t √ 3 √ 3−2 f (t) −1 Dựa vào bảng biến thiên ta √ √ −1 < m + < − ⇔ −2 < m < − √ √ Suy a = −2, b = − ⇒ b − a = − Chọn đáp án B π π Câu 194 Phương trình cos x + + cos − x = có nghiệm π π 3π A x = + k2π, x = B x = − + k2π, x = + k2π với k ∈ Z π π π C x = + k2π, x = + k2π với k ∈ Z D x = − + k2π, x = 5π + k2π với k ∈ Z π + k2π với k ∈ Z Lời giải Ta có cos x + π + cos π π 5 π π + cos = − x = ⇔ − sin2 x + − x+ 3 π π ⇔ − sin x + + sin x + = 3 π π ⇔ sin x + − sin x + +3 = 3  π x = − + k2π π  = ⇔ ⇔ sin x + (k ∈ Z) π x = + k2π Chọn đáp án D Câu 195 Có điểm đường tròn lượng giác biểu diễn nghiệm phương trình cos 3x + (2 sin 2x + 1)(sin 2x − cos x) = 0? A điểm B 10 điểm C điểm D điểm Lời giải Phương trình cho tương đương cos x cos2 x − + (2 sin 2x + 1)(2 sin x − 1) = ⇔ cos x cos2 x − + sin 2x sin x − sin 2x + sin x = ⇔ cos x −4 sin2 x + sin 2x sin x − sin x cos x + sin x = ⇔ sin 2x (−2 sin x + sin 2x − cos x + 1) =  kπ x =  π  x = ± + k2π  ⇔ sin 2x(2 cos x − 1)(2 sin x − 1) = ⇔  x = π + k2π    5π x= + k2π LATEX Tư Duy Mở 80 Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Từ có điểm đường trịn lượng giác biểu diễn nghiệm phương trình cho Chọn đáp án C Câu 196 Tập nghiệm S phương trình sin 3π x − 10 = π 3x sin + 10 7π 2π 3π + kπ, + kπ, + kπ, k ∈ Z 15 15 10 4π 3π 14π + k2π, + k2π, + k2π, k ∈ Z B S= 15 15 14π 4π 3π + kπ, + kπ, + kπ, k ∈ Z C S= 15 15 π π π D S= + kπ, + kπ, + kπ, k ∈ Z A S= Lời giải π π x π x π x Phương trình ⇔ sin − + = sin + − sin3 + 30 2 30 30 √ π x π x π x π x cos + − sin + = sin + − sin3 + ⇔ 30 2 30 2 30 30 √ π x π x π x ⇔ sin3 + − sin + + cos + = (∗) 30 30 30 π x = không thỏa mãn + 30 π x π x π x • Với sin + = 0, chia hai vế (∗) cho sin3 + đặt t = cot + ta phương trình 30 30 30 √ √ √ 3t − 4t + 3t = − 4(1 + t ) + 3t(1 + t ) = ⇔  14π  x= + k2π t =0  15 √   4π   ⇔ t = ⇔ x = (k ∈ Z) + k2π   15  t=√ 3π + k2π x= • sin Chọn đáp án B Câu 197 Tập nghiệm S phương trình cos x + 3π 19π 3π + kπ, − − arctan(2) + kπ, k ∈ Z 28 π B S = − + kπ, − arctan(2) + kπ, k ∈ Z 5π 3π C S = − + kπ, − + arctan(2) + kπ, k ∈ Z 28 π D S= + kπ, arctan(2) + kπ, k ∈ Z sin x + − cos 3π π −x + π 14 sin − 2x = A S= − Lời giải LATEX Tư Duy Mở 81 Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Điều kiện sin Website tuduymo.com π π π π − 2x = ⇔ − 2x = kπ ⇔ x = −k 7 14 Phương trình ⇔ cos x + ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 3π − cos 3π π − +x sin x + + 3π 6π sin π − + 2x 3π sin x + 3π π 3π cos x + − cos − +x + =0 6π 7 sin + 2x 3π 3π cos x + − sin x + + =0 3π 7 cos x + 3π 3π + + tan2 x + =0 − tan x + 7   3π 5π tan x + = 1, x = − + kπ   28  ⇔ , k ∈ Z  3π 3π x = − + arctan(2) + kπ = tan x + 7 =0 Chọn đáp án C Câu 198 Gọi a, b số để phương trình x2 + = [x − cos(ax + b)] có nghiệm Tính tổng T = a + b kπ A T= B T = π + k2π C T = k2π D T = kπ Lời giải Phương trình cho tương đương với x2 − 2x + = −4 cos(ax + b) • Ta có x2 − 2x + = (x − 1)2 + 4 −4 cos(ax + b) • Do đó, phương trình cho tương đương với x2 − 2x + = − cos(ax + b) = ⇔ x=1 a + b = π + k2π, k ∈ Z Chọn đáp án B LATEX Tư Duy Mở 82 Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ ...Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com TUYỂN TẬP 198 CÂU VẬN DỤNG CAO LƯỢNG GIÁC LATEX Tư Duy Mở Câu Tìm tất giá trị tham số m để phương trình... cho biểu diễn điểm đường tròn lượng giác Chọn đáp án B LATEX Tư Duy Mở 10 Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Câu 28 Tìm tất giá trị tham... án A Vậy α + β + γ = LATEX Tư Duy Mở 14 Group Cộng đồng tư mở TỐN LÍ Tuyển tập 198 câu vận dụng cao lượng giác Website tuduymo.com Câu 39 Có điểm đường tròn lượng giác biểu diễn tất nghiệm phương