SKKN: Phương pháp tiếp cận và khai thác định lý côsin trong tam giác

Ta đã biết tam giác hoàn toàn xác định khi biết: 3 cạnh, hoặc hai cạnh và một góc xen giữa, hoặc biết một cạnh và hai góc kề; có nghĩa là khi biết các yếu tố góc cạnh như trên thì các góc cạnh còn lại sẽ xác định như thế nào? Rõ ràng các góc cạnh còn lại và các góc cạnh đã biết sẽ có một mối liên hệ! Các mối liên hệ đó người ta gọi là các hệ thức lượng giác trong tam giác. Cùng tham khảo sáng kiến kinh nghiệm để biết thêm nội dung chi tiết.

1 “Phương pháp tiếp cận và khai thác định lý cơsin trong tam giác”                                                                                                                                      A.  ĐẶT VẤN ĐỀ I. Lý do chọn đề tài:           Với xu thế đổi mới phương pháp giáo dục hiện nay của bộ giáo dục, trong q trình  dạy học để thu được hiệu quả cao địi hỏi người thầy phải nghiên cứu tìm hiểu kỹ   chương trình, đối tượng học sinh; đưa ra các phương pháp phù hợp với kiến thức, với  các đối tượng học sinh cần truyền thụ. Như luật giáo dục có viết: ”Phương pháp GD  phổ thơng cần phát huy tính tích cực, tự gác , chủ động sáng tạo của học sinh, phù hợp  với đặc điểm của từng lớp học, mơn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn ruyện kỹ  năng vận dụng kiến thức, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập  cho học sinh”        Trong thời gian dạy, tơi ln nghiên cứu tìm tịi các phương pháp mới phù hợp với  từng bài dạy và các đối tượng học sinh để truyền thụ các kiến thức, đặc biệt là trong  việc dạy học các định lý. Đó là tơi ln đưa ra kiến thức một cách tự nhiên, bằng cách  dẫn dắt từng bước cho học sinh tự tìm lấy; phân tích hướng dẫn các em thấy ý nghĩa ,  ứng dụng của định lý; sau đó đưa ra hệ thống bài tập áp dụng tương thích. Với phương  pháp truyền thụ như trên tơi thấy rằng: Trước hết người dạy ln ln thỗi mái, nhẹ  nhàng, say sưa, qua mỗi tiết dạy thấy đạt được tốt mục đích của mình; đối với học sinh tiếp thu kiến  thức một cách say mê, hứng thú; các kiến thức  được các em nhớ lâu và vận dụng tốt  trong q trình giải và khai thác các bài tập.       Với lý do trên tơi xin trình bày một ví dụ điển hình để các đồng nghiệp tham khảo và  góp ý:        Tên đề tài:  ”PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN VÀ KHAI THÁC ĐỊNH LÝ CƠSIN TRONG TAM GIÁC”        Nội dung đề tài gồm:  Hướng dẫn học sinh tiếp cận định lý Phân tích ý nghĩa, tác dụng của định lý Hệ thống bài tập áp dụng  II. Đối tượng nghiên cứu       Học sinh lớp 10 với trình độ khơng q yếu III. Phương pháp nghiên cứu                     Qua kinh nghiệm giảng dạy thực tiễn; Tìm hiểu tài liệu tham khảo, sách giáo khoa  lớp 10; Tham khảo ý kiến của đồng nghiệp IV. Thời gian nghiên cứu       Thí điểm trong suốt năm học 2009­ 2010 B. NỘI DUNG ĐỀ TÀI “Phương pháp tiếp cận và khai thác định lý cơsin trong tam giác”                                                                                                                                      I. Hướng dẫn học sinh tiếp cận định lý cơsin trong tam giác       Ta đã biết tam giác hồn tồn xác định khi biết: 3 cạnh, hoặc hai cạnh và một góc  xen giữa, hoặc biết một cạnh và hai góc kề; có nghĩa là khi biết các yếu tố góc cạnh  như trên thì các góc cạnh cịn lại sẽ xác định như thế nào? Rõ ràng các góc cạnh cịn lại  và các góc cạnh đã biết sẽ có một mối liên hệ! Các mối liên hệ đó người ta gọi là các  hệ thức lượng giác trong tam giác. Một trong các hệ thức đó là Định lý cơsin trong tam  giác     Trong mặt phẳng cho tam giác ABC .  ﾷ              Kí hiệu : AB= c, AC= b, BC= a;  BAC = A; ﾷABC = B; ﾷACB = C ( Kí hiệu dung cho cả bài viết) + Nếu tam giác ABC vng tại A, Tìm mối liên hệ giữa các cạnh?           AB2 +  AC2 = BC � c  +b = a        (Định lý Pitago) uuur uuuur uuur  Biến đổi về biểu thức véc tơ?:   AB + AC = BC Yêu cầu chứng minh biểu thức  AB2 +  AC2 = BC � c2  +b = a  theo véc tơ uuur2 uuur uuur uuur2 uuur2 uuur uuur uuur2 uuur2 uuur uuur BC = ( AC − AB ) = AB + AC − AB AC = AB + AC ( V ì  AB AC  =0) + Nếu tam giác ABC khơng vng tại A nữa thì liên hệ giữa các cạnh góc như thế nào? uuur2 uuur uuur uuur2 uuur2 uuur uuur      BC = BC = ( AC − AB ) = AB + AC − AB.AC = AB                          a2 = b2 + c2 – 2.bc.cosA 2 + AC − AB AC.CosA Tương tự tìm: b2, c2  Vậy ta có định lý sau đây gọi là định lý cơsin trong tam giác: Với mọi tam giác ABC ln có : a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB c2 = a2 + b2 – 2bc.cosC II. Phân tích ý nghĩa, tác dụng của định lý 1. Trực tiếp định lý cho ta thấy xác định được cạnh tam giác khi biết hai cạnh khác và  góc xen giữa 2. Hệ quả:         b2 + c − a 2bc a2 + c2 − b2 CosB = 2ac a + b2 − c2 CosC = 2ab CosA =       Cho ta tìm được các góc của tam giác khi biết các cạnh 3. Cho phép ta xét được các góc tam giác nhọn, tù hay vng thơng qua các yếu tố cạnh  của tam giác 3 “Phương pháp tiếp cận và khai thác định lý côsin trong tam giác”                                                                                                                                      Cụ thể:    A nhọn     b + c > a                 A tù         b + c < a                 A vuông  b + c = a   Từ đây đưa đến cách nhận dạng tam giác ABC thơng qua yếu tố cạnh của nó b2 + c2 > a2 Tam giác ABC có 3 góc nhọn  c2 + a > b2 a2 + b2 > c2 b2 + c < a Tam giác ABC có 1 góc tù        c2 + a < b2 a + b2 < c2 b2 + c = a Tam giác ABC có 1 góc vng  c2 + a = b2 a + b2 = c2 4. Viết công thức về dạng:  a = b + c − 2bcSinA.cot A � a = b + c − 4SVABC cot A b2 + c2 − a 4S a + c2 − b2 a + b2 − c Tương tự:   Co t B = ;   Co t C = 4S 4S                Co t A = Đây là định lý “cơsin suy rộng trong tam giác ” nó cho ta mối liên hệ về hệ thức lượng  giác góc của tam giác với 3 cạnh cùng diện tích của nó. Lớp các bài tốn áp dụng nó khá  rộng 5. Ngồi ra sử dụng định lý, hệ quả kết hợp các kiến thức khác giải quyết các bài tốn  về hệ thức lượng trong tam giác, nhận dạng tam giác…        Từ các ý nghĩa, tác dụng của định lý ta có thể đề xuất các bài tốn liên quan tương  thích như sau: III. Bài tập áp dụng Bài 1.  Cho tam giác ABC thõa mãn: b = 5; c= 7; cosA= 3/5  Tính cạnh a, và Cơsin của các góc cịn lại Bài 2.  Cho tam giác ABC thõa mãn: a= 3, b= 4, c= 6. Tìm cơsin góc có số đo lớn nhất Bài 3.  “Phương pháp tiếp cận và khai thác định lý côsin trong tam giác”                                                                                                                                      Cho tam giác ABC thõa mãn: a3= b3+ c3.  a) Chứng minh rằng ABC là tam giác nhọn      b) Tổng quát:  Cho tam giác ABC thõa mãn: an= bn+ cn (n>2, n N) CMR tam giác  ABC có 3 góc nhọn.  Bài 4.  Nhận dạng tam giác ABC biết các cạnh a, b, c thõa mãn: a2, b2, c2 là độ dài 3 cạnh của  một tam giác khác.  Bài 5.  a = x2 + x + Giả sử:  b = x +  (với mọi x >1). CMR a, b, c là 3 cạnh của một tam giác.Tìm góc  c = x2 −1 A Bài 6.  a) Tam giác ABC tù, nhọn hay vng nếu có : sin2A+ sin2 B= sin2C       b) Cho tam giác ABC, A và B là hai góc nhọn thõa mãn điều kiện:                Sin2A+ Sin2B =  2010 SinC                CMR tam giác ABC khơng tù               ( Tam giác ABC vng? Cm kết hợp cơng thức lượng giác.) Bài 7.  Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có:  a) a = c. cosB+ b.cosC b) bc. cosA+ ab.cosC + ac.cosB =  a + b2 + c2 c) 2abc.(CosA+ cosB)= (a +b) (c+ b­ a) (c+ a­ b) Bài 8.  Gọi R là bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC.  CMR:  CotA + CotB + CotC = R ( a2 + b2 + c2 ) abc Bài 9.  Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC.   “Phương pháp tiếp cận và khai thác định lý côsin trong tam giác”                                                                                                                                      ﾷ CMR: CotC − CotB = 2.Cot BMA Bài 10.  Cho tam giác ABC, M là điểm nằm trong tam giác sao cho:  ﾷ ﾷ ﾷ               MAB = MBC = MCA = α            CMR: CotA+ CotB+ CotC= Cot α Bài 11.  ﾷ ﾷ ﾷ Cho tam giác ABC, G là trọng tâm tam giác, ký hiệu:  GAB = α , GBC = β , GCA = γ CMR:  Cotα + Cot β + Cotγ = ( CotA + CotB + CotC ) Bài 12.  Nhận dạng tam giác ABC biết:  a = b3 + c − a b+c−a Bài 13.  b3 + c − a a = b+c−a Nhận dạng tam giác ABC biết:  CosA.cos C = Bài 14.  CMR:  a − ab + b + b − bc + c a + ac + c   với mọi a, b, c >0 Giải bài tập áp dụng Bài 1 Ta có:   a = b + c − 2bc.cos A = 25+ 49­ 2.5.7.  = 32  � a = 32 =               CosB = a + c − b 32 + 49 − 25 = = 2ac 56                  CosC = a + b − c 32 + 25 − 49 = = 2ab 10 40 Bài 2 a + b − c + 16 − 36 −11 Ta có: Góc số đo lớn nhất là góc C;  CosC = = = 2ab 24 24 Bài 3.  a) Ta có: a3= b3+ c3 nên a là cạnh lớn nhất   A là góc lớn nhất. Lại có:  “Phương pháp tiếp cận và khai thác định lý cơsin trong tam giác”                                                                                                                                      b c       a3= b3+ c3    a = b + c < b + c � b2 + c − a >  suy ra A nhọn. Vậy tam giác  ABC là tam giác nhọn b) Hoàn toàn tương tự a a a + b2 > c2 Bài 4. Vì a2, b2, c2 là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên:  b + c > a  từ đó suy ra tam  a + c > b2 giác ABC là tam giác nhọn.  Bài 5.  a+b > c Dễ dàng xét được:  a + c > b     với mọi x> 1. Suy ra a, b, c là 3 cạnh 1 tam giác b+c > a Ta có:  a = x + x + x + x + ;  b = x +4 x + ,  c = x − x + ,  bc = x + x − x − Suy ra:  a = b + c + bc   Lại có:  a = b + c − 2.bcCosA −1 � A = 120o Vậy:  CosA = Bài 6 a) Áp dụng định lý Sin trong tam giác   Ta có:  sin A +  sin 2  B =  sin 2C � a + b = c  Suy ra tam giác ABC vuông tại C b)  Dễ thấy  0