Chuyên đề: “Một số bài toán về tính đơn điệu của hàm số ẩn” với mục đích trao đổi, học tập kinh nghiệm để công tác bồi dưỡng học sinh ôn thi THPT quốc gia ngày càng đạt hiệu quả hơn, đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục.
Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo 2 ======================================================== ========= BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1. LỜI GIỚI THIỆU Trong các đề thi THPTQG mấy năm gần đây (kể từ khi mơn Tốn thi trắc nghiệm) đã xuất hiện khá nhiều các bài tốn về hàm ẩn. Lớp bài tốn hàm ẩn khá rộng nhưng trong chun đề này tơi chỉ nghiên cứu một phần nhỏ về sự biến thiên của hàm ẩn Trước hết giúp bản thân hệ thống được các dạng cơ bản của bài tốn xét tính đồng biến nghịch biến, qua đó phục vụ tốt hơn cho tác giảng dạy, nâng cao trình độ chun mơn. Vì vậy tơi viết chun đề: ““MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ẨN” với mục đích trao đổi, học tập kinh nghiệm để cơng tác bồi dưỡng học sinh ơn thi THPT quốc gia ngày càng đạt hiệu quả hơn, đáp ứng u cầu đổi mới giáo dục 2. TÊN SÁNG KIẾN “MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ẨN” 3. TÁC GIẢ SÁNG KIẾN Họ và tên: Nguyễn Thị Qun Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Tam Đảo 2Tam Đảo Vĩnh Phúc Số ĐT: 0984870862; EMail: nguyenthiquyen.gvtamdao2@vinhphuc.edu.vn 4. CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN: là bản thân tác giả 5. LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Xây dựng chun đề mơn Tốn: áp dụng để cung cấp mẳng kiến thức cũng rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải các dạng tốn liên quan đến tính đồng biếnnghịch biến của hàm ẩn có trong đề thi THPTQG. 6. NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC ÁP DỤNG THỬ Tháng 9 năm 2019, mơn Tốn lớp 12 7. MƠ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN Sáng kiến chia làm 2 phần Phần 1. Kiến thức cơ sở Phần 2. Một số dạng tốn thường gặp PHẦN 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo 2 ======================================================== ========= 1.1 Tính đơn điệu của hàm số 1.1.1 Định nghĩa: Gọi K khoảng ( a;b) đoạn � �a;b� � nửa khoảng � a;b) , ( a;b� � �và hàm số f ( x ) xác định trên K Hàm số y = f ( x ) đồng biến (tăng) K ∀ x1 ,x �K : x < x � f ( x ) < f ( x ) Hàm số y = f ( x ) nghịch biến(giảm) K : ∀ x1 ,x �K : x < x � f ( x1 ) > f ( x ) Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi là hàm số đơn điệu trên K 1.1.2 Định lí 1: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ( a;b) Nếu f ( x ) > ,∀ x Nếu f ( x ) < , ∀ x ( a;b) thì hàm số f ( x ) đồng biến trên ( a;b) ( a;b) thì hàm số f ( x ) nghịch biến trên ( a;b) 1.1.3 Định lí 2: (Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu trên K ) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ( a;b) Hàm số f ( x ) đồng biến ( a;b) f ( x ) ,∀ x ( a;b) phương trình Hàm số f ( x ) nghịch biến ( a;b) ∀�f ( x ) , x ( a;b) phương trình f ( x ) = có hữu hạn nghiệm thuộc ( a;b) f ( x ) = có hữu hạn nghiệm thuộc ( a;b) (Chú ý: Dấu bằng chỉ xảy ra tại các điểm “rời nhau”) 1.1.4 Định lí 3: (Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu trên K ) Nếu hàm f ( x ) đồng biến(hoặc nghịch biến) trên khoảng ( a;b) và f ( x ) liên tục trên nửa đoạn a;b) f ( x ) đồng biến(hoặc nghịch biến) trên nửa đoạn a;b) Nếu hàm f ( x ) đồng biến(hoặc nghịch biến) trên khoảng ( a;b) và f ( x ) liên tục trên nửa đoạn ( a;b f ( x ) đồng biến(hoặc nghịch biến) trên nửa đoạn ( a;b Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo 2 ======================================================== ========= Nếu hàm f ( x ) đồng biến(hoặc nghịch biến) trên khoảng ( a;b) và f ( x ) liên a;b� a;b� tục trên đoạn � � � thì f ( x ) sẽ đồng biến(hoặc nghịch biến) trên đoạn � � � 1.2 Đạo hàm của hàm hợp 1.2.1 Hàm số hợp Cho hàm số y = f ( x) có tập xác định X , tập giá trị T và hàm số y = g (u ) có tập xác định Y chứa tập T Khi đó với mỗi giá trị x X ta có một giá trị xác định y cho bởi g Khi đó y = g (u ) = g ( f ( x )) và ta nói y là một hàm số h theo biến số x với h( x) = g ( f ( x )) Hàm số h( x) gọi là hàm số hợp của hàm số f và g theo thứ tự này 1.2.2 Đạo hàm của hàm số hợp Cho hàm số y = g ( f ( x)) Đặt u = f ( x) khi đó yx ' = y 'u u 'x y = f (u ) Ví dụ minh họa 1: �f ( − x ) �= f ( − x ) ( − x ) = −4 x f ( − x ) � � Ví dụ minh họa 2: � �f ( x ) �= � f ( x) f ( x) Lưu ý khi giải các bài toán hàm hơp x=a u ( x) = a � � � � x = b � f ( u ( x) ) = � � u ( x) = b +) Nếu f ( x ) = � � � � x=c u ( x) = c � � x =1 x = −1 − x = −1 � � � x = � f ( 1− 2x ) = � � − x = � x = Ví dụ minh họa 3: f ( x ) = � � � � � x = 1− 2x = � � x = −1 PHẦN 2: CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 2.1 XÁC ĐỊNH ĐƯỢC KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ y = f ( x) DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN HOẶC ĐỒ THỊ CỦA HÀM f '( x ) Phương pháp giải Cho đồ thị f '( x ) , hỏi tính đơn điệu của hàm y = f ( x ) Tìm nghiệm của f '( x ) = (hoành độ giao điểm với trục hoành); Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo 2 ======================================================== ========= Xét dấu f '( x ) (phần trên Ox mang dấu dương; phần dưới Ox mang dấu âm); Lập bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) , suy ra kết quả tương ứng Bài 2.1. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ﾡ và có đồ thị của hàm y = f ( x ) như hình vẽ. Mênh đê nao d ̣ ̀ ̀ ươi đây ́ sai? ( −1; ) A. Ham sô ̀ ́ f ( x ) nghich biên trên ̣ ́ ( 1; + B. Ham sô ̀ ́ f ( x ) đông biên trên ̀ ́ ) ( − ; ) C. Ham sô ̀ ́f ( x ) nghich biên trên ̣ ́ ( 2; + D. Ham sô ̀ ́ f ( x ) đông biên trên ̀ ́ ) Lời giải Từ đồ thị y = f ( x ) ta thấy f ( x ) �0, ∀x �( −�; 2] (Phần đồ thị ứng với x �( −�; 2] nằm phía dưới Ox ) và f ( x ) > 0, ∀x �( 2; +�) (Phần đồ thị ứng với x �( 2; +�) nằm phía trên Ox ). Từ đó suy ra mệnh đề A, C, D đúng và B sai Cách khác: Để thuận lợi cho một số bài tập phía sau tơi xin đưa ra mơt cách giải khác Dựa vào đồ thị có f ( x ) = x = −1 (Trong đó x = −1 là nghiệm kép) x=2 Chọn f '( x) = ( x + 1) ( x − ) Bảng biến thiên x − f '( x ) 1 + + f ( x) f (2) Từ bảng biến thiên ta chọn đáp án B Bình luận: Khi quan sát đồ thị hàm số trong khi làm bài hấp tấp các em học sinh có thể nhầm tính đồng biếnnghịch biến của hàm số y = f ( x ) với tính đồng biến Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo 2 ======================================================== ========= nghịch biến của hàm số y = f '( x ) vì vậy giáo viên nên lập bảng biến thiên để học sinh TRÁNH NHẦM LẪN. Với bài tốn cho đồ thị của hàm y = f '( x) Phần đồ thị nằm phía trên trục hồnh ứng với f '( x) > khi đó hàm y = f ( x ) đồng biến; phần đồ thị phía dưới trục hồnh ứng với f '( x ) < khi đó hàm số y = f ( x ) nghịch biến Bài 2.2. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ﾡ và có đồ thị hàm số f ( x ) là đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( −1;1) B. Hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng ( 1; 2 ) C. Hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng ( −2;1) D. Hàm số f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 ) Lời giải x Từ đồ thị hàm y = f '( x) ta có f '( x) < �� x f '( x) > �� ( −�; −2 ) �( 0; ) ( −2;0 ) �( 2; +�) Ta có bảng biến thiên x − f '( x) 2 0 + + + f ( x) Từ bảng biến thiên ta chọn đáp án D Bài 2.3. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm như sau − x f '( x) + 2 1 + 2 + + Hàm số y = −2 f ( x) + 2019 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây? A. (−1; 2) B. (−2; −1) C. (2; 4) Lời giải Tính đạo hàm y ' = −2 f '( x) Hàm số y = −2 f ( x) + 2019 nghịch biến khi −2 f '( x) < � f '( x) > D. (−4; 2) Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo 2 ======================================================== ========= ( −�; −2 ) �( −1; ) �( 4; +�) x Căn cứ vào bảng biến thiên ta thấy f '( x) > �� Vậy ta chọn đáp án A 2.2. XÁC ĐỊNH ĐƯỢC KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ y = f (u ( x )) DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM f '( x) Phương pháp giải Cho đồ thị hàm số y = f '( x) hỏi tính đơn điệu của hàm hợp y = f (u ) Đọc đồ thị hàm số y = f '( x ) đề cho và xác định f '( x) > �� x f '( x) < �� x Suy ra f '(u ) > �� u f '(u ) < �� u Tính đạo hàm y '( x ) = u '( x ) f '(u ) ; Giải bất phương trình f '(u ).u '( x) > (Quan sát đồ thị suy miền nghiệm); Lập bảng biến thiên của y = f (u ) , suy ra kết quả tương ứng (Có thể thay thế bước 2 bằng giải phương trình f '(u ).u '( x) = và dựa vào bảng biến thiên hoặc đồ thị hàm f '( x ) đã cho để xét dấu trực tiếp biểu thức y') Bài 2.4 (THPTQG2019, Mã đề 101) Cho hàm số f ( x) có bảng xét dấu f '( x) như hình bên dưới x − 3 1 1 + f '( x) 0 + y = f (3 − x ) Hàm số nghịch biến trên khoảng A. (4; + ) B. (−2;1) C. (2; 4) + D. (1; 2) Lời giải Bước 1. Từ bảng biến thiên cho ta f '( x) > f '( x) < −3 < x < −1 x >1 x < −3 −1 < x < Bước 2. Tính đạo hàm của hàm y ' = ( −2) f '(3 − x) Bước 3. Giải bất phương trình y ' > � (−2) f '(3 − x) > � f '(3 − x) < Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo 2 ======================================================== ========= − x < −3 � � −1 < − x < � � � x>3 � � > x >1 � Bước 4. Lập bảng biến thiên x − 1 2 3 + y' 0 + + y Kết luận từ bảng biến thiên suy ra đáp án B. (−2;1) Cách khác: Bạn đọc có thể xem thêm một cách giải khác khá thú vị sau x = −3 Bước 1 Dựa vào bảng biến thiên có f ( x ) = � x = −1 (các nghiệm của phương x =1 trình đều là nghiệm bội lẻ vì f '( x) đổi dấu liên tiếp khi qua các môc x = 1, x = 2, x = ) Chọn f ( x ) = ( x + 3) ( x + 1) ( x − 1) Bước 2. Tính đạo hàm của hàm y ' = ( −2) f '(3 − x) � g ( x ) = −2 ( − x + 3) ( − x + 1) ( − x − 1) = −2(6 − x)(4 − x)(2 − x) x=3 � g ( x) = � x = x =1 Bảng xét dấu g ( x ) x g '( x ) + − 1 0 + 0 − + g ( x) Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y = f (3 − x) nghịch biến trên các khoảng (−2;1) Bình luận: Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo 2 ======================================================== ========= Ví dụ 1 có thể cho bảng biên thiên hay cho đồ thị hàm f '( x ) thì đều có cách giải như nhau. Từ bảng biến thiên hoặc từ đồ thị suy ra miền âm hay dương của hàm f '( x) để từ đó suy ra miền âm hay dương của f '(u ) Bài 2.5 Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ( x ) ﾡ đồ thị hàm số y ' = f ( x ) như hình vẽ. Hàm số g ( x ) = f ( x − x − 1) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( − ;1) B. ( 1; + ) C. ( 0; ) D. ( −1;0 ) Lời giải Bước 1. Từ đồ thị hàm số f '( x ) ta thấy f '( x) �0 và f '( x) > � x > x Bước 2. Ta có: g ' ( x ) = (2 x − 2) f '( x − x − 1) Bước 3. Tìm x cho f '( x − x − 1) �� x − x − �� x − x − �0 � −1 �x �3 Bước 4. Lập bảng biến thiên x − 1 1 2x − + f '( x − x − 1) g '( x) 0 0 + + − 0 + + + + g ( x) Dựa vào bảng biến thiên ta chọn đáp án D. ( −1;0 ) Cách 2. Bước 1. Dựa vào đồ thị có f ( x ) = x = −1 (Trong đó x = −1 là nghiệm kép) x=2 Chọn f '( x) = ( x + 1) ( x − ) 2 Bước 2. Tinh đạo hàm g ' ( x ) = (2 x − 2) f '( x − x − 1) = (2 x − 2) ( x − x − + 1) 10 (x − 2x − − 2) Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo 2 ======================================================== ========= = ( x − ) ( x − x ) (x − x − 3) x =1 x=0 Cho g '( x) = � x = (Trong đó có x = 0; x = là nghiệm kép) x = −1 x=3 Bước 3. Lập bảng biến thiên x − g '( x) 1 + 0 + + + g ( x) Dựa vào bảng biến thiên ta chọn đáp án D. ( −1;0 ) Bình luận: Căn cứ vào đồ thị hàm số y = f '( x) có dạng như đồ thị hàm đa thức bậc 3 cắt trục hồnh tại điểm x = tiếp xúc tại điểm x = −1 nên ta chọn hàm f '( x) = ( x + 1) ( x − ) Khi đó hàm số y = g '( x) = f '( x − x − 1) là một hàm đa thức ta có thể xét dấu dựa vào quy tắc xét dấu của hàm dạng tích thương các đa thức Bài 2.6. Cho hàm số y = f ( x ) Đồ thị hàm số y = f ﾡ( x ) như hình bên dưới Hàm số g ( x ) = A. ( - ﾡ f ( x + 2x + ) ) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? ; - - 2 B. ( - ﾡ ;1) C. ( 1;2 Lời giải NX: x + x + > 0, ∀x 11 ) 2- D. ( 2 - 1; +ﾡ ) Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo 2 ======================================================== ========= Bước 1. Dựa vào đồ thị, suy ra ﾡx = - ﾡ f ﾡ( x ) = � ﾡx = ﾡ ﾡx = ﾡ x +1 Bước 2. Tính đạo hàm gﾡ( x ) = x + 2x + ( fﾡ ) x + 2x + ; Bước 3. Giải phương trình ﾡx + = ﾡ g ﾡ( x ) =ﾡ����� ++= �=-ﾡ ﾡf ﾡ x + x + = ﾡ ( ) theo do thi f '( x ) ﾡx = - 1 ( nghiem boi ba ) ﾡ ﾡ 2 ﾡx ﾡ ﾡx = - + 2 ﾡ ﾡx + = ﾡ ﾡ 2x ﾡ x ﾡ ﾡ x + 2x + = ﾡ Lập bảng biến thiên − x x +1 −1 −1 − 2 f '( x + x + 2) + g '( x) −1 + 2 + 0 + + + + + g ( x) và ta chọn A. ( - ﾡ ) ;- 1- 2 Bình luận: Với g ( x ) = f ( x + 2x + ) có chứa căn nên ta chỉ chọn cách giải thứ 2 vì cách giải thứ nhất giải nhiều bất phương trình chứa căn khá phức tạp Hàm f '( x + x + 2) khơng phải là hàm dạng tích thương các đa thức vậy làm thế nào để xét dấu các biểu thức trên các khoảng cụ thể? Cách xét dấu gﾡ( x ) sau: Ví dụ xét khoảng ( - 1;- + g ﾡ( ) = 2 ) ta chọn x = Khi đó ( ) < vì dựa vào đồ thị f ﾡ( x ) ta thấy tại x = fﾡ ﾡ ( 1;3) thì f ﾡ( ) < Các nghiệm của phương trình gﾡ( x ) = là nghiệm bội lẻ nên qua nghiệm đổi dấu hoặc hàm phức tạp ta nên thử tương tự ở tất cả các khoảng Bài 2.7. Cho hàm số y = f ( x) có bảng xét dấu của f '( x) như sau: − x 2 2 + f '( x) + + ( ) Hàm số y = g ( x ) = f x − + đồng biến trên khoảng nào dưới đây? 12 Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo 2 ======================================================== ========= (hoặc f '( x, m) 0, ∀x ( a; b) ) g ( x) h( m), ∀x ( a; b) ) g ( x ) h ( m) dạng (hoặc Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số g ( x ) trên khoảng ( a; b ) Bước 3: Từ bảng biến thiên ta suy ra các giá trị cần tìm của tham số m Bài 2.12. [VD] Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = f ( 3x + x + m ) nghịch biến trên khoảng ( 0;1) Hướng dẫn giải: + Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) ta có dấu của y ' = f ' ( x ) Cụ thể là đồ thị có dáng đi xuống trên khoảng ( −1;1) , đi lên trên hai khoảng ( − ; −1) ; ( 1; + ) nên f ' ( x ) < �� x x ( −�; −1) �( 1; +�) ( −1;1) ; f ' ( x ) > �� + Tính đạo hàm của hàm y = f ( 3x + x + m ) : y ' = ( x + ) f ' ( 3x + x + m ) + Sử dụng điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước và kỹ thuật cơ lập m, giải bài tốn tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ( 0;1) Lời giải Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) ta có f ' ( x ) �0 � −1 �x �1 y ' = ( x + ) f ' ( 3x + x + m ) Dễ thấy y ' có hữu hạn nghiệm, nên hàm số y = f ( 3x + x + m ) nghịch biến trên ( 0;1) ∀�y ' 0 x ( 0;1) � f ' ( 3x + x + m ) �0, ∀x �( 0;1) � −1 �3x + x + m �1, ∀x �( 0;1) � 3x + x −m − 1, ∀x x + x − m, ∀x ( 0;1) ( 0;1) Hàm số g ( x ) = 3x + x đồng biến trên [0;1] nên hệ trên tương đương −m − g ( ) = m �� � m − m g ( 1) = Vậy khơng có m thỏa mãn u cầu bài tốn. 20 −1 � m �� −4 Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo 2 ======================================================== ========= Binh luận: + Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) , ta thấy bất phương trình f ' ( x ) �0 � x �[ −1;1] và suy ra nghiệm của f ' ( x + x + m ) + Ta có thể tương tự hóa dạng bài này khi học sinh học đến bài hàm mũ, logarit,… + Nếu hàm số y = f ( x ) có f ' ( x ) 0 ∀x ( a; b ) , dấu bằng xảy ra tại hữu hạn ( a; b ) thì hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng đó Bài 2.13. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ﾡ và bảng xét dấu của đạo hàm x như hình vẽ sau: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số g ( x ) = f ( x − x + m ) nghịch biến trên khoảng ( −1; ) ? Lời giải g ( x ) = ( x − 1) f ( x − x + m ) Hàm số g ( x ) nghịch biến trên khoảng ( −1;0 ) g ( x) ∀x �( −1;0 ) � ( x − 1) f ( x − x + m ) �0 ∀x �( −1;0 ) � f ( x − x + m ) �0 ∀x �( −1; ) x − x + m �4, ∀x �( −1;0 ) x − x + m �1, ∀x �( −1;0 ) m �− x + x + 4, ∀x �( −1;0 ) m �− x + x + 4, ∀x �( −1;0 ) m �− x + x + 1, ∀x �( −1;0 ) m �− x + x + 1, ∀x �( −1; ) Vậy m m −1 m m −1 Bài 2.14. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = 3x + x − 5, ∀x ﾡ Tìm tất cả các giá trị tham số m để hàm số g ( x ) = f ( x ) − ( m + 1) x − 2019 nghịch biến trên khoảng ( 0; ) Hướng tiếp cận: Với dạng bài tập này ta thực hiện theo các bước sau: + Tính đạo hàm của g ( x ) = f ( x ) − ( m + 1) x − 2019 � g ' ( x ) = f ' ( x ) − ( m + 1) + Thay giả thiết f ' ( x ) = 3x + x − ta có g ' ( x ) = 3x + x − − ( m + 1) = 3x + x − − m + Sử dụng điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước và kỹ 21 Nguyễn Thị Qun THPT Tam Đảo 2 ======================================================== ========= thuật cơ lập m, giải bài tốn tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ( 0; ) Lời giải Ta có g ( x ) = f ( x ) − ( m + 1) x − 2019 � g ' ( x ) = f ' ( x ) − ( m + 1) Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0; ) ∀�g ' ( x ) ( 0; ) (dấu '' = '' xảy ra tại hữu hạn điểm trên khoảng ( 0; ) luôn đúng) � f ' ( x ) − ( m + 1) �0, ∀x �( 0; ) � x + x �m + 6, ∀x �( 0; ) ( *) Xét hàm số h ( x ) = 3x + x, x ( 0; ) Ta có h ' ( x ) = x + > 0, ∀x ( 0; ) 0, x Bảng biến thiên: 016 Từ bảng biến thiên ta có ( *) �+m�۳6 16 m 10 Bàn luận: + Vì hàm số liên tục và đơn điệu trên đoạn [ 0; 2] nên khi khơng lập bảng biến thiên, ta có thể diễn đạt: m + �3x + x = h ( x ) , ∀x �� ( 0; ) m + �max h ( x ) = g ( ) = 16 [ 0;2] + Ta có thể tương tự hóa dạng bài này khi học sinh học đến bài hàm mũ, logarit Bài 2.15. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = ( x + 1) e x Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = g ( x ) = f ( ln x ) − mx + mx − nghịch biến trên ( 1; e3 ) Lời giải x Trên ( 1;e3 ) ta có g ' ( x ) = f ' ( ln x ) − 2mx + m = ln x + − ( x − 1) m Hàm số y = g ( x ) nghịch biến trên ( 1;e3 ) � g ' ( x ) = ln x + − ( x − 1) m �0, ∀x �( 1; e3 ) � ln x + �( x − 1) m, ∀x �( 1; e3 ) ln x + ∀� m, x 2x −1 22 ( 1; e ) (*) Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo 2 ======================================================== ========= − − ln x ln x + Xét hàm số h ( x ) = trên ( 1;e ) , có h ' ( x ) = x < 0, ∀x 2x − ( x − 1) nghịch biến trên ( 1; e3 ) Mà h ( 1) = suy ra (*) ( 1; e ) nên hàm số m Bài 2.16. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ( x ) = x ( x + ) ( x + mx + ) ∀x R Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số g ( x ) = f ( x + x − ) đồng biến trên ( 1; + ) Ta có g ( x ) = ( x + 1) f ( x + x − ) Hàm số đồng biến trên ( 1; + � f (x ) Lời giải ( x + 1) (x f + x − 2) , ∀x �( 1; +�) + x − ) �0 , ∀x �( 1; +�) (vì x + > 0, ∀x �( 1; +�) ) � ( x2 + x − 2) (x 2 + x) � (�x + x − ) + m ( x + x − ) + 5� ��0 , ∀x �( 1; +�) ( 1) Đặt t = x + x − , do x �( 1; +�) nên t > ( 1) � t ( t + ) ( t + mt + 5) �0 , ∀t > � t + mt + �0 , ∀t > ۳ t � 5� −� t + ��−2 , do đó (2) ۳ m � t� Dễ thấy ∀t > : t + �� m � 5� −� t + �, ∀t > 0 (2) � t� −2 Bàn luận: Bài tốn có thể mở rộng theo ý tưởng sau: Bài 2.17. Cho hàm số g ( x ) = f ( − x ) có g '( x) = ( − x) ( − x) � �x − ( m + 10 ) x + 5m + 41� �, ∀x ﾡ Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng ( − ; −1) Hướng tiếp cận: Vì ta cần xét tính đơn điệu của hàm số f ( x ) nên cần biết dấu của f ' ( x ) + Từ giả thiết g ( x ) = f ( − x ) suy ra f ' ( − x ) = − g ' ( x ) + Thay g ' ( x ) = ( − x ) ( − x ) � �x − ( m + 10 ) x + 5m + 41� � vào biểu thức f ' ( − x ) + Suy ngược ra công thức f ' ( x ) Từ đó suy ra tính đơn điệu của hàm f ( x ) Lời giải Ta có g ' ( x ) = − f ' ( − x ) � f ' ( − x ) = − g ' ( x ) Suy ra f ' ( − x ) = − g ' ( x ) = ( x − ) ( − x ) � �x − ( m + 10 ) x + 5m + 41� � � ( − x ) − 3� ( − x ) + m ( − x ) + 16 � = ( x − ) � � �� � x + mx + 16 � Nghĩa là f ' ( x ) = − x ( x − 3) � � � 23 Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo 2 ======================================================== ========= Hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng ( − ; −1) khi và chỉ khi f ' ( x ) �0, ∀x �( −�; −1) (Dấu “ = ” chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm x �( −�; −1) luôn đúng) � − x ( x − 3) (x + mx + 16 ) �0, ∀x �( −�; −1) � x + mx + 16 �0, ∀x �( −�; −1) (vì − x > và ( x − 3) > 0, ∀x �( −�; −1) ) − x − 16 ∀�m−�− , x x ( ; 1) ( *) Với h ( x ) = − x − 16 16 = −x − x x dấu “=” xảy ra khi x = −4 �( −�; −1) Do đó (*) −16 � �= , �x � ( − x ) � � m 2.5 CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 2. 18 (Mã đề 104BGD2019) Cho hàm số f ( x) , bảng xét dấu của f '( x) như sau: 3 1 1 + x − f '( x ) + + 0 Hàm số y = f (5 − x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( 3; ) B. ( 1;3) C. ( − ; −3) D. ( 4;5 ) Bài 2.19. Cho hàm số f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên dưới − t −3 −2 f '(t ) + + + Hàm số y = f ( − x ) đồng biến trên khoảng �1 � � � � 3� � � B. �− ;1� A. �0; � 1� � � C. �−2; − � � �3 �2 � � D. � ;3 � Bài 2.20. Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số y = f ( + x ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 3; + ( ) ( ) ( B. − 3; −1 ) C. 1; D. ( 0;1) Bài 2.21. Cho hàm số y = f ( x ) Đồ thị hàm số y = f ﾡ( x ) như hình bên dưới 24 Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo 2 ======================================================== ========= Hàm số g ( x ) = f ( - x ) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A. ( - 1;0) B. ( - ﾡ ;0) C. ( 0;1) D. ( 1; +ﾡ ) Lời giải. ﾡx < - ﾡ ﾡ1 < x < ﾡ Dựa vào đồ thị, suy ra f ﾡ( x ) < ﾡ Ta có gﾡ( x ) = - f ﾡ( - x ) ﾡ1 - x < - ﾡ Xét g ﾡ( x ) > � f ﾡ( - x ) < �� ﾡ1 < - x < ﾡ �1 ﾡx > ﾡ ﾡ ﾡ- < x < ﾡﾡ � - ;0ﾡﾡﾡ và ( 1; +ﾡ ) Chọn D Vậy g ( x ) đồng biến trên các khoảng ﾡﾡﾡ� � Bài 2.22. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ﾡ và có đồ thị hàm số y = f ' ( x ) như hình vẽ bên: y O x −4 Hàm số g ( x ) = f ( − x − x ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? � � A. ( − ; − 1) B. �−1; �−1 � −1 � � � � � D. ( −1;0 ) C. � ; + � Bài 2.23. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau: x − g '( x) g ( x) + 2 3 0 3 + + − 1 Hàm số y = f ( x − ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? − A. ( − ; −2 ) B. ( 0; ) C. ( 2; + 25 ) D. ( −2;0 ) Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo 2 ======================================================== ========= Bài 2.24. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ﾡ Biết rằng hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới: Hàm số y = f ( x − ) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây? A. ( − ; −3) B. ( −5; −2 ) �1 � � � D. ( 2; + C. � ; � 2 ) Bài 8. Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình vẽ Hàm số y = g ( x ) = f ( x ) nghịch biến trên khoảng A. ( − ; −1) B. ( −1;0 ) C. ( 0;1) D. ( 1;3) Bài 2.25. Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình bên. Hàm số y = f ( + x ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? 26 Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo 2 ======================================================== ========= A. ( 3; + ) ( ) ( B. − 3; −1 C. 1; ) D. ( 0;1) Bài 2.26. Cho ham sô ̀ ́ f ( x) liên tuc trên ̣ ̀ ́ ̀ ̣ ̀ ́ y = f ( x) ﾡ co ́ f (−1) = va co đô thi ham sô như hinh ve ̀ ̃bên Ham sô ̀ ́ y = f ( x − 1) − x đông biên trên khoang ̀ ́ ̉ A. ( 3; + ) B. ( −1; ) C. ( 0; + ) D. ( 0;3) Lời giải Chọn D Đăt ̣ g ( x) = f ( x − 1) − x � g ( x ) = 2[ f ( x − 1) − ( x − 1) − 1] Dựa vao đô thi ham sô ̀ ̀ ̣ ̀ ́ y = f ( x) va đô thi ham sô ̀ ̀ ̣ ̀ ́ y = x + ta co:́ g ( x ) > � f ( x − 1) > ( x − 1) + � −1 < x − < � < x < Bang biên thiên: ̉ ́ x − g '( x) g ( x) 0 + + 27 3 + Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo 2 ======================================================== ========= Dựa vao bang biên thiên, ham s ̀ ̉ ́ ̀ ố y = f ( x −1) − x đông biên trên khoang ̀ ́ ̉ ( 0;3) Bài 2.27. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biên thiên như hình vẽ x − g '( x) g ( x) + 2 4 − � Hàm số g ( x ) = f ﾡﾡﾡ�2 x - 2 + + + 3� x - ﾡﾡﾡ nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng 2� sau? � 1� � � - 1; ﾡﾡﾡ A. ﾡﾡﾡ� 4� � 5� ﾡﾡ B. ﾡﾡﾡ�4 ;1� ﾡ 1; ﾡﾡﾡ C. ﾡﾡﾡ� 4� � D. ﾡﾡﾡ�4 ; +ﾡ ﾡﾡ� ﾡ� Bài 2.28. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ? Bảng biến thiên của hàm số f ﾡ( x ) như hình vẽ x −1 f '( x ) 3 1 � x� ﾡﾡ + x ﾡ 2� 1Hàm số g ( x ) = f ﾡﾡﾡ� nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A. ( - 4; - 2) B. ( - 2;0) C. ( 0;2 ) D. ( 2;4 ) Bài 2.28. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ? Đồ thị hàm số y = f ﾡ( x ) như hình bên dưới Hàm số g ( x ) = f ( x ) - x đồng biến khoảng các khoảng sau đây ? A. ( - ﾡ ;- ) B. ( - 2;2 ) C. ( 2;4 ) D. ( 2; +ﾡ ) 28 Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo 2 ======================================================== ========= Lời giải. Ta có g ﾡ( x ) = f ﾡ( x ) - x ��� g ﾡ( x ) = � f ﾡ( x ) = x Số nghiệm của phương trình gﾡ( x ) = chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ﾡ( x ) và đường thẳng d : y = x (như hình vẽ bên dưới) ﾡx = - ﾡ Dựa vào đồ thị, suy ra gﾡ( x ) = � ﾡﾡx = ﾡx = ﾡ Lập bảng biến thiên (hoặc ta thấy với x �( - 2;2 ) thì đồ thị hàm số f ﾡ( x ) nằm phía trên đường thẳng y = x nên gﾡ( x ) > ) ﾡ ﾡﾡ hàm số g ( x ) đồng biến trên ( - 2;2 ) Chọn B Bài 2.28. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục ? Đồ thị hàm số y = f ﾡ( x ) hình bên. Hỏi hàm số g ( x ) = f ( x ) + ( x + 1) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A. ( - 3;1) B. ( 1;3) C. ( - ﾡ ;3) D. ( 3; +ﾡ ) g ﾡ( x ) = � Lời giải. Ta có g ﾡ( x ) = f ﾡ( x ) + ( x + 1) ��� f ﾡ( x ) = - x - Số nghiệm của phương trình gﾡ( x ) = chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ﾡ( x ) và đường thẳng d : y = - 29 x - (như hình vẽ bên dưới) Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo 2 ======================================================== ========= ﾡx = - ﾡ Dựa vào đồ thị, suy ra g ﾡ( x ) = � ﾡﾡx = ﾡx = ﾡ ﾡx < - Yêu cầu bài toán � g ﾡ( x ) > � ﾡﾡ1 < x < (vì phần đồ thị của f ' ( x ) nằm phía ﾡ y = x trên đường thẳng ). Đối chiếu các đáp án ta thấy đáp án B thỏa mãn. Chọn B Bài 2.29. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ? Đồ thị hàm số y = f ﾡ( x ) như hình bên dưới Hỏi hàm số g ( x ) = f ( - x ) + x 2 - x nghịch biến khoảng nào trong các khoảng sau ? A. ( - 3;1) B ( - 2;0) � 3� - 1; ﾡﾡﾡ C. ﾡﾡﾡ� 2� D. ( 1;3) Lời giải. Ta có gﾡ( x ) = - f ﾡ( - x ) + x - Để g ﾡ( x ) < � f ﾡ( - x ) > x - Đặt t = - x , bất phương trình trở thành f ﾡ( t ) > - t Kẻ đường thẳng y = - x cắt đồ thị hàm số f ' ( x ) lần lượt tại ba điểm x = - 3; x = - 1; x = 30 Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo 2 ======================================================== ========= Quan sát đồ thị ta thấy bất phương trình � t - t ��� � �< t < � 1- x < - � � �< - x < � x >4 � � �2 < x < Đối chiếu đáp án ta chọn B 31 Nguyễn Thị Qun THPT Tam Đảo 2 ======================================================== ========= 8. NHỮNG THƠNG TIN BẢO MẬT (KHƠNG CĨ) 9. CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Sách giáo khoa, vở ghi, máy tính cầm tay và tài liệu tham khảo 10. ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC HOẶC DỰ KIẾN THU ĐƯỢC DO ÁP DỤNG SÁNG KIẾN THEO Ý KIẾN CỦA TÁC GIẢ Khi tiến hành dạy theo chun đề trên cho lớp 12A1 và dạy giáo án bình thường ở lớp 12A3, tơi tiến hành bài kiểm tra đánh giá 15 phút thu được kết quả như sau (Hình thức trắc nghiệm): Lớp 12A1 Sĩ số 38 12A3 38 Giỏi 0% 0% Khá 13.2% 5.3% TB 15 39.5% 17 44.7% Yếu 21.1% 10 26.3% Kém 10 26.2% 23.7% Sau khi được tham gia rèn luyện 6 tiết buổi chiều . Trong 6 tiết này tôi đã truyền thu và học sinh lĩnh hội được kiến thức, kết quả sau khi cho học sinhlamf 20 câu kiểm tra trác nghiệm Thống kê chung như sau: Lớp 12A1 Sĩ số 38 12A3 38 Giỏi 21,1% 15.8% Khá 18 43,37% 20 52.6% TB 10 26,3 % 21.1% Yếu 5,3% 10.5% Kém 0% 0% Với kết quả như trên và thực tế bài làm của học sinh tơi nhận thấy phương pháp mà tơi đưa ra có kết quả khá tốt, nó giúp học sinh cảm thấy tự tin khi gặp các bài tốn tính đồng biến nghịch biến của hàm ẩn trong các đề thi THPTQG. Mặc dù đã cố gắng trong q trình tìm tịi nghiên cứu, nhưng do hạn chế về mặt năng lực và thời gian trình bày trong sáng kiến khơng tránh khỏi những thiếu sót, việc khai thác chắc chắn chưa triệt để. Kính mong được sự nhận xét, bổ sung góp ý kiến của q thầy cơ 11. DANH SÁCH NHỮNG TỔ CHỨC/CÁ NHÂN Đà THAM GIA ÁP DỤNG THỬ HOẶC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN LẦN ĐẦU Số Tên tổ chức/cá nhân Địa chỉ 32 Phạm vi/Lĩnh vực Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo 2 ======================================================== ========= TT áp dụng sáng kiến Nguyễn Thị Quyên GV THPT Tam Đảo 2 Mơn Tốn học Lớp 12A1 THPT Tam Đảo 2 Mơn Tốn học Lớp 12A3 THPT Tam Đảo 2 Mơn Tốn học TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải tốn Trần Phương ( chủ biên)Nhà xuất bản Hà Nội, 2006. 2. Phương pháp giải tốn Lê Hồng Đức ( chủ biên) Nhà xuất bản Hà Nội, 2005 3. Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào Đại học Mơn Tốn – Trần Tuấn Điệp( Chủ biên) Nhà xuất bản Hà Nội, 2012 4. Sách giáo khoa Giải tích 12 Nâng cao – Đồn Quỳnh ( tổng chủ biên) Nhà xuất bản Giáo dục, 2008 5. Sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao Nguyễn Huy Đoan ( chủ biên) Nhà xuất bản Giáo dục, 2008 6. Tham khảo một số tài liệu trên mạng internet Nguồn: http:// www.facebook.com 33 Nguyễn Thị Quyên THPT Tam Đảo 2 ======================================================== ========= ., ngày tháng năm Tam Đảo, ngày 20 tháng 10 năm 2019 Thủ trưởng đơn vị Tác giả sáng kiến (Ký tên, đóng dấu) Nguyễn Thị Quyên 34 ... và ta nói y là? ?một? ?hàm? ?số? ? h theo biến? ?số? ? x với h( x) = g ( f ( x )) ? ?Hàm? ?số? ? h( x) gọi là? ?hàm? ?số? ?hợp? ?của? ?hàm? ?số? ? f và g theo thứ tự này 1.2.2 Đạo? ?hàm? ?của? ?hàm? ?số? ?hợp Cho? ?hàm? ?số? ? y = g (... 2.2. XÁC ĐỊNH ĐƯỢC KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ y = f (u ( x )) DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM f '( x) Phương pháp giải Cho đồ thị? ?hàm? ?số? ? y = f '( x) hỏi? ?tính? ?đơn? ?điệu? ?của? ?hàm? ?hợp y = f (u ) Đọc đồ thị? ?hàm? ?số? ?... ? ?hàm? ?số y = f '( x) , hỏi? ?tính? ?đơn? ?điệu? ?của? ?hàm? ?số y = g ( x) , trong đó g ( x ) = f ( x ) − h( x ) Tính? ? y ' = g '( x) ; Căn cứ đồ thị ? ?hàm? ? y = f '( x) Các điểm cực trị? ?của? ?hàm? ?