Rèn luyện kỹ năng giải toán tính tích phân cho học sinh lớp 12

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC BÙI THỊ HẰNG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN CHO HỌC SINH LỚP 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HÀ NỘI - 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC BÙI THỊ HẰNG RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN CHO HỌC SINH LỚP 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN Chuyên ngành: Lý luận phƣơng pháp dạy học mơn tốn Mã số: 14 01 11 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS Trần Hữu Nam HÀ NỘI - 2019 LỜI CẢM ƠN Lời luận văn này, tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy, cô giáo trƣờng Đại học Giáo dục- Đại học Quốc gia Hà Nội nhiệt tình giảng dạy, tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Trần Hữu Nam - ngƣời tận tình hƣớng dẫn, bảo giúp đỡ tác giả suốt trình nghiên cứu, thực luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo, thầy cô giáo em học sinh trƣờng THPT A Duy Tiên tạo điều kiện, cộng tác giúp đỡ tác giả trình làm thực nghiệm sƣ phạm hồn thiện luận văn Xin cảm ơn bạn học viên lớp Cao học Lý luận Phƣơng pháp dạy học mơn Tốn khóa QH-2017-S trƣờng Đại học Giáo dục- Đại học Quốc gia Hà Nội quan tâm, chia sẻ, giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu.Và tác giả xin cảm ơn gia đình, ngƣời thân tạo điều kiện tốt để tác giả hoàn thành luận văn Mặc dù tác giả nghiêm túc, cố gắng nghiên cứu thực luận văn này, nhƣng tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tác giả mong đƣợc dẫn, đóng góp ý kiến quý thầy cơ, bạn đồng nghiệp để luận văn đƣợc hồn thiện Hà Nội, tháng 11 năm 2019 Ngƣời viết Bùi Thị Hằng i MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ii DANH MỤC CÁC BẢNG VÀ BIỂU ĐỒ vi MỤC LỤC ii MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Lịch sử nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tƣợng khách thể nghiên cứu Vấn đề nghiên cứu Giả thuyết khoa học Phƣơng pháp nghiên cứu Cấu trúc luận văn CHƢƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Kỹ 1.1.1 Khái niệm kỹ 1.1.2 Kỹ giải toán 1.1.3 Đặc điểm kỹ 1.1.4 Các mức độ kỹ giải toán 1.2 Nhiệm vụ rèn kỹ giải toán cho học sinh 1.2.1 Rèn kỹ giải toán cho học sinh mục tiêu dạy học mơn Tốn 1.2.2 Yêu cầu rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh 1.2.3 Vai trò tập dạy học 1.3 Thực vấn đề rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh dạy học chủ đề nguyên hàm, tích phân ứng dụng 11 1.3.1 Phân tích chƣơng trình sách giáo khoa 11 1.3.2 Thực trạng việc rèn luyện kỹ giải tốn tính tích phân cho học sinh lớp 12 trƣờng trung học phổ thông 12 Kết luận chƣơng 16 ii CHƢƠNG MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN KỸ NĂNG GIẢI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN CHO HỌC SINH LỚP 12 17 2.1 Biện pháp 1: Rèn kỹ tính tích phân cách sử dụng định nghĩa, tính chất tích phân, sử dụng nguyên hàm 17 2.2 Biện pháp 2: Rèn luyện kỹ đổi vi phân để biến đổi tích phân cho tích phân áp dụng cơng thức tích phân phần 21 2.2.1 Kỹ biến đổi vi phân để quy tích phân cho tích phân 21 2.2.2 Kỹ biến đổi vi phân tính tích phân phần 25 2.3 Biện pháp 3: Rèn luyện kỹ tính tích phân phƣơng pháp đổi biến số phù hợp với dạng khác 29 2.3.1 Tính tích phân hàm phân thức hữu tỷ phƣơng pháp hệ số bất định kết hợp với đổi biến số 30 2.3.2 Rèn luyện kỹ tính tích phân hàm số chứa thức .35 2.3.3 Rèn luyện kỹ tính tích phân hàm số lƣợng giác 38 3.4 Tính tích phân hàm số mũ logarit 42 2.4 Biện pháp 4: Rèn luyện kỹ tính tích phân hàm ẩn .44 2.4.1 Biến đổi đƣa nguyên hàm tích phân sử dụng tính chất tích phân 44 2.4.2 Tính tích phân hàm ẩn phƣơng pháp đổi biến số .46 4.3 Tính tích phân hàm ẩn phƣơng pháp tích phân phần 49 2.4.4 Tính tích phân hàm ẩn cách tạo bình phƣơng cho hàm số dƣới dấu tích phân 51 2.5 Biện pháp 5: Khắc phục sửa chữa số sai lầm học sinh thƣờng gặp tính tích phân 55 2.6 Biện pháp 6: Rèn luyện tính linh hoạt, nhuần nhuyễn việc tính tích phân cho học sinh thơng qua hệ thống tập tổng hợp 61 6.1 Rèn luyện cho học sinh tính linh hoạt tính tích phân thơng qua tính tích phân nhiều cách 62 2.6.2 Rèn luyện tính nhạy bén cho học sinh việc nhận dạng phƣơng pháp tính tích phân thơng qua hệ thống gồm nhiều dạng tích phân khác 65 Kết luận chƣơng 81 CHƢƠNG THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 82 3.1 Mục đích thực nghiệm sƣ phạm 82 iii 3.2 Nhiệm vụ thực nghiệm sƣ phạm 82 3.3 Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm 82 3.4 Tổ chức thực nghiệm 82 3.4.1 Chọn lớp thực nghiệm 82 3.4.2 Hình thức tổ chức thực nghiệm 83 3.5 Đánh giá kết thực nghiệm 84 3.5.1 Phân tích định tính 84 3.5.2 Phân tích định lƣợng 84 3.5.3 Kết luận chung thực nghiệm 87 Kết luận chƣơng 87 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 88 TÀI LIỆU THAM KHẢO 89 PHỤ LỤC iv DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT v DANH MỤC CÁC BẢNG VÀ BIỂU ĐỒ Bảng 1.1 Phân tích thống kê nội dung, chƣơng trình Tích phân Chƣơng Giải tích 12 12 Bảng 1.2 Đánh giá mức độ khó tốn tính tích phân 14 Bảng 1.3 Đánh giá mức độ linh hoạt HS 14 Bảng 1.4 Đánh giá thời lƣợng dành cho việc rèn luyện kỹ tính tích phân cho học sinh 14 Bảng 1.5 Đánh giá mức độ khó tốn tính tích phân: 15 Bảng 1.6 Đánh giá mức độ kỹ đạt đƣợc học sinh 15 Bảng 1.7 Đánh giá thời lƣợng dành cho việc rèn luyện kỹ tính Tích phân lớp 15 Bảng 2.1 Một số dạng u dv thƣờng gặp tích phân phần 26 Bảng 3.1 Thống kê kết kiểm tra lớp đối chứng 85 Bảng 3.2 Thống kê kết kiểm tra lớp thực nghiệm 85 Bảng 3.3 Các mức điểm kiểm tra tính theo tỉ lệ phần trăm 85 Biểu đồ 3.1 Các mức điểm kiểm tra lớp đối chứng 86 Biểu đồ 3.2 Các mức điểm kiểm tra lớp thực nghiệm 86 vi MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Hiện với phát triển nhanh khoa học, kỹ thuật cơng nghệ thơng tin, nhờ mà giới thay đổi ngày, thay đổi chủ yếu dựa vào tiến khoa học kĩ thuật, cách mạng cơng nghiệp 4.0 tảng Cùng với đất nƣớc cần có ngƣời động, có khả thích nghi cao với phát triển mạnh mẽ mặt khoa học, kĩ thuật đời sống Để tạo nhân lực đáp ứng đƣợc yêu cầu nhiệm vụ giáo dục đào tạo đƣợc ngƣời lao động tự chủ, sáng tạo, giải đƣợc vấn đề thực tiễn Cùng với với phát triển nhu cầu cần thiết nguồn nhân lực xã hội mà ngành giáo dục phải đổi Nó đƣợc diễn rộng khắp tất mặt giáo dục tất mơn học Tốn học mơn học có vị trí vơ quan trọng mơn khoa học làm tảng cho nhiều ngành khoa học khác, góp phần lớn vào việc đào tạo ngƣời lao động thơng minh sáng tạo Theo GS Nguyễn Cảnh Tồn dạy học Tốn khơng dạy kiến thức mà cịn dạy kỹ năng, tƣ tính cách Trong dạy kỹ đóng vai trị đặc biệt quan trọng cần thiết kỹ sở để phát triển tƣ để giải vấn đề Nó yêu cầu quan trọng để đảm bảo mối quan hệ lý thuyết thực hành Q trình dạy học khơng đạt kết cao học sinh nắm thuộc đƣợc lý thuyết mà vận dụng lý thuyết vào giải tập Trong dạy học mơn Tốn, việc rèn kỹ tính tốn, vận dụng tốn học vào thực tiễn có vai trị quan trọng đặc biệt Ở chƣơng trình mơn Tốn Trung học phổ thơng ngun hàm, tích phân mảng kiến thức quan trọng thuộc giải tích 12 Các tốn tính tích phân xuất tất đề khảo sát chất lƣợng cuối năm lớp 12, Đại học cao đẳng trƣớc THPT quốc gia Tuy nhiên nhiều năm dạy học tích phân tơi học sinh thuộc định nghĩa, tính chất hai phƣơng pháp tính tích phân nhƣng lúng túng tính tích phân, đặc biệt việc áp dụng phƣơng pháp đổi biến số Vì để HS tính tích phân cách nhuần nhuyễn, thành thạo địi hỏi GV phải có biện pháp rèn kỹ giải tốn tính tích phân cách phù hợp Chính lý nên tác giả chọn đề tài: “Rèn luyện kỹ giải tốn tính tích phân cho học sinh lớp 12” Lịch sử nghiên cứu Ở nƣớc ta có số cơng trình nghiên cứu lý luận thực tiễn việc rèn kỹ cho học sinh việc giải Tốn nhƣ tác giả: Nguyễn Cảnh Tồn, Nguyễn Bá Kim, Hồng Chúng… có số tác giả nghiên cứu Tích phân Nhƣng chƣa có đề tài nghiên cứu nội dung chuyên sâu nội dung rèn kỹ giải Tốn tính tích phân cách cụ thể chi tiết Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu khai thác tri thức phƣơng pháp rèn kỹ để đề xuất số biện pháp nhằm góp rèn luyện kỹ tập tích phân chủ đề nguyên hàm tích phân ứng dụng chƣơng trình giải tích lớp 12 cho học sinh Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu hệ thống lý luận kỹ kỹ giải Toán - Nghiên cứu đề xuất phƣơng pháp rèn kỹ giải tốn tích phân - Hệ thống hóa dạng tập dƣới dạng nâng cao nhằm phục vụ cho việc giảng dạy chủ đề phƣơng pháp tính tích phân lớp 12 theo phân phối chƣơng trình - Làm rõ tính khả thi hiệu đề tài thơng qua q trình thực nghiệm sƣ phạm Đối tƣợng khách thể nghiên cứu 5.1 Đối tƣợng nghiên cứu Qua trình rèn kỹ giải tốn tính tích phân chƣơng trình lớp 12 5.2 Khách thể nghiên cứu Là học sinh lớp 12, bậc trung học phổ thông 5.3 Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nội dung: Nghiên cứu biện pháp nhằm rèn kỹ tính tích phân chƣơng trình SGK sách tập Giải tích 12, nghiên cứu tốn tính tích phân kì thi Cho ∫6 f ( x ) dx =12 Tính I = ∫2 f (3 x ) dx A.I =6 B.I =36 Tính tích phân C.I =2 D I =4 I = ∫2 x x −1.dx, cách đặt t = x2 −1 Mệnh đề đúng? A I =2∫3 t dt 8.Tính tích phân I = ∫e I= A Cho tích phân I = ∫1 (2 x + 3)e xdx = a.e + b, với a, b ∈ Mệnh đề đúng? A a − b = C ab = B a + b3 = 28 10 Cho hàm số y = f (x) liên tục D a + 2b =1 a, b, c ∈ Mệnh đề dƣới sai? A C 11 Biết ∫1 x −1 b f (x )dx = ∫c a a ∫ ∫ f (x )dx = a a dx = 3ln a − , a phân số tối giản với a, b x + x + 9b 6b nguyên dƣơng Khi giá trị a − b bao nhiêu? A 12.Cho biết I = Mệnh đề ∫1 (3 x − x + ln (2 x + 1))dx = a ln b + c; a, b, c ∈ sau đúng? A a + b + c = a+b+c= 13 Cho biết I = ∫1 A log a b = ∫ d 14 Nếu a nhiêu? A 15 Khẳng định sau khẳng định sai? A ∫1 ( x − x )dx = ∫0 ( x − x )dx.B ∫ ( x − x )dx = ∫2 ( x − x )dx − ∫1 ( x − x )dx C ∫1 ( x − x )dx = ∫1 x dx − ∫1 x 2dx D ∫1 ( x − x )dx = ∫2 ( x − x )dx + ∫1 ( x − x )dx định sau khẳng định đúng? A I = ∫1 e dt + ∫1 te dt C I = t t ∫1 e (1 −t )dt t 17 Cho tích phân I = ∫2 sau khẳng định đúng? I= A ∫8 tdt 18 Biết ∫2 (x − 1)ln xdx = a ln b + c; a , b, c ∈ Khi a + b + c bao nhiêu? 26 A B Biết 19 ∫(1 + sin x )2dx = ax + b cos x + a + b + c bao nhiêu? − A 20 Biết ∫7 ln( x − x) dx = a ln b + c ln d + m ln n − 4; a, b, c, d , m, n ∈ Mệnh đề sau đúng? A a + b + c + d + m + n = 27 C a + b + c + d + m + n = Bài kiểm tra số sau thực nghiệm Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = 20172018x ∫ A f ( x ) dx = 2018.2017 2018x.ln 2017 + C ∫ C f ( x ) dx =  x ( x + 2) Hàm số sau không nguyên hàm hàm số f ( x) ( x +1)2 ? x2 A − x −1 x +1 A 3cos3 x C cos x Khẳng định sau khẳng định sai? A ∫ f ( x ) dx = ∫c b a C ∫b ( f ( x ) + g ( x )) dx = ∫b a π Tích phân ∫2 π π B x sin x − ∫2 sin xdx.0 C sin x π π  ∫2 sin xdx 20  Biết ∫  4 x2+ dx =  a3x D x + b ln x + C ; a, b, C ∈ Tính a + b ? − A 23 Tính tích phân ∫cos x sin xdx π A Biết ∫ π (3 x − 4)sin A m + n = Biết ∫6 x A a + b + c =11 C a + b + c = 10 Cho tích phân I = ∫ ∫t A.I= 11 Tính tích phân I = I= A 12 Cho ∫e x ln xdx ∫6 e2 −1 f ( x ) dx =12 Tính I = ∫2 f (3 x ) dx 0 A I =36 13 Cho tích phân I = ∫1 A a − b = 14 Cho biết I = ∫1 A log a b = π 15 Cho ∫2 f ( x )dx = Tính I = ∫2 [ f ( x ) + 2sin x ]dx A I =5+ 16 Tính tích phân I= A ∫ I= C ∫  17 Cho ∫0  3x A a − b = 18 Tính J = ∫2  x2  A.J=   x2 C.J=   19 Biết ∫4 x2 A.S =−2 20 Tính tích phân I = ∫1 π A I = ∫6 (1 − cos 2t )dt π C.I= Phụ lục 3: PHIẾU THAM KHẢO Ý KIẾN GIÁO VIÊN ∫6 (1 − cos 2t )dt Các thầy cô vui làng cho ý kiến vấn đề sau: Theo thầy cô mức độ khó tốn tính tích phân chƣơng trình là: A Rất khó B Hơi khó C Trung bình D Dễ Sau trình học, kỹ tính tích phân HS đạt đƣợc mức độ nào? Theo thấy cô thời gian dành cho việc rèn luyện kỹ tính tích phân học sinh lớp nhƣ nào? Trong giảng dạy tính tích phân thầy có hƣớng dẫn khuyến khích HS tìm tịi, khai thác cách giải mở rộng tốn khơng? A Thƣờng xuyên B Thỉnh thoảng C Không Ý kiến khác: Thầy nêu khó khăn q trình rèn kĩ giải tốn tính tích phân cho học sinh lớp 12 , đề xuất mong muốn dạy học tích phân? …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… Xin chân thành cảm ơn! PHIẾU THAM KHẢO Ý KIẾN HỌC SINH Các em cho cô biết ý kiến vấn đề sau: Em có thích học nội dung Tích phân Giải tích lớp 12 khơng? A Rất thích B Hơi thích C Bình thƣờng D.Khơng thích Những khó khăn em tính tích phân gì? …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… Theo em mức độ khó tính tích phân chƣơng trình là: A Rất khó B Hơi khó C Trung bình D Dễ Sau tiết học kỹ tính tích phân em đạt đƣợc mức độ ? A Tốt B Khá C Trung bình D Yếu Theo em thời gian dành cho việc rèn luyện kỹ tính tích phân lớp em là: A Nhiều B Vừa đủ C Hơi D Quá Trong giảng dạy tính tích phân, thầy (cơ) giáo có hƣớng dẫn khuyến khích em tìm tịi, khai thác cách giải mở rộng tốn khơng? A Thƣờng xuyên B Thỉnh thoảng C Không Những mong muốn em thầy cô giáo dạy học tính tích phân gì? …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… Xin chân thành cảm ơn giúp đỡ em! ... rèn luyện kỹ giải tốn tính tích phân cho học sinh lớp 12 trƣờng trung học phổ thông 12 Kết luận chƣơng 16 ii CHƢƠNG MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN KỸ NĂNG GIẢI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN CHO HỌC... vào giải tốn tính tích phân + Học sinh hiểu vận dụng đƣợc thành thạo tính chất, phƣơng pháp tính tích phân giải tốn tính tích phân cách nhanh 1.2.2 Yêu cầu rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh. .. biện pháp rèn luyện kỹ giải tốn tính tích phân cho học sinh chƣơng nhằm nâng cao chất lƣợng giảng dạy 16 CHƢƠNG MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN KỸ NĂNG GIẢI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN CHO HỌC SINH LỚP 12 2.1 Biện