Bài giảng Vật lý đại cương và vật lý hiện đại: Chương 5 - PGS.TS. Lê Công Hảo

Bài giảng Vật lý đại cương và vật lý hiện đại - Chương 5: Lý thuyết lượng tử của nguyên tử Hydro cung cấp cho người học các kiến thức: Phương trình Schrӧdinger, giải phương trình Schrӧdinger bằng phương pháp tách biến,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chương Lý thuyết lượng tử nguyên tử Hydro PGS.TS Lê Công Hảo BT: 5.2, 5.3, 5.5, 5.6, 5.7, 5.11, 5.12, 5.13, 5.16, 5.17, 5.20, 5.21, 5.30, 5.31, 5.40 5.1 Phương trình Schrӧdinger Phương trình Schrưdinger electron lượng E chuyển động nguyên tử hydro theo không gian chiều 𝜕 𝜓 𝜕 𝜓 𝜕 𝜓 2𝑚 + + + 𝐸−𝑈 𝜓 =0 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 ℏ Thế tương tác Coulomb U =− e2 4 r U tọa độ Decartes (x, y, z) r= x +y +z 2 Tọa độ cầu (r, , ) 5.1 Phương trình Schrӧdinger           2m + ( E − U(r) )  = r +  sin  + 2 2 r r  r  r sin      r sin    gọi hàm sóng  (r , ,  ) = R(r )( )( ) Viết gọn  2 − 2 m r e   = R..           e2 − +  sin  +  r 2    sin     4  r  r  sin    1  R = ER r Phương trình Schrưdinger cho nguyên tử hydro tọa độ cầu 5.2 Giải Phương trình Schrӧdinger Phương pháp tách biến (r, , ) = R (r )()() 5.2.1 5.2.2 Sinh viên đọc thêm giáo trình 5.2.3 Phổ lượng Trị riêng lượng E kết hợp với hàm sóng En = − meZ e (4 ) 2 n Nguyên tử hydro Z =  nm  R.h E1  1 En = − =− = 2 2   32    n  n n (n = 1, 2,3, ) me e n gọi số lượng tử R= 3,27.1015 s-1 gọi số Rydberg 5.3 Hàm sóng tồn phần nm = Rn (r ) ( ) m ( ) = Rn (r )Y ( ,  ) m  m  Số lượng tử n = 1, 2, 3, …, , Số lượng tử quỹ đạo ℓ = 0, 1, 2, …, (n - 1), Số lượng tử từ: 𝑚ℓ = 0, 1, 2, …, ±ℓ, 5.4 Các mức lượng  Các mức lượng nguyên tử hydro phụ thuộc vào số lượng tử 𝑛 ℏ2 𝐸𝑛 = − 2𝑚𝑎02 𝑛2 với 𝑎0 = 4𝜋𝜀0 ℏ2 bán kính Bohr 𝑚𝑒 rn = n2.a0  Năng lượng trạng thái bản: 𝐸1 = ℏ2 − 2𝑚𝑎02 = −13,6 eV 5.4 Các mức lượng 5.4.1 Mức lượng electron nguyên tử hydro Năng lượng En âm, n →∞ En → 5.4.2 Năng lượng ion hóa nguyên tử hydro Năng lượng cần cung cấp để electron chuyển từ mức lượng E1 sang mức lượng E 5.4.3 Giải thích cấu tạo vạch nguyên tử hydro 𝐸𝑛 𝐸𝑛𝑚 𝐸𝑚  Electron dịch chuyển n → m (n> m) phát photon có lượng: 𝐸𝑛𝑚 = ℎ𝜈𝑛𝑚 = 𝐸𝑛 − 𝐸𝑚  Tần số vạch quang phổ: 𝜈𝑛𝑚 1 =𝑅 − , 𝑚 𝑛 𝑚 1)  Dãy Balmer: n → (n > 2) Ánh sáng nhìn thấy  Dãy Paschen: n → (n > 3) 5.4.4 Trạng thái lượng tử electron  Hàm sóng phụ thuộc vào ba số lượng tử 𝑛, ℓ, 𝑚ℓ 𝜓𝑛ℓ𝑚ℓ 𝑟, 𝜃, 𝜙 = − 𝑛 𝑛 − ℓ − ! 2𝑟 𝑛 + ℓ ! 𝑎03 𝑛𝑎0 ℓ 𝐿2ℓ+1 𝑛+ℓ 2𝑟 𝑛𝑎0 𝑟 − 𝑒 𝑛𝑎0 𝑚ℓ 𝑌ℓ (𝜃, 𝜙) Ứng với giá trị n, có n giá trị khác ℓ ( = 0, 1, 2,…n-1) ứng với giá trị ℓ có 2ℓ+1 giá trị khác 𝑚ℓ  Số trạng thái có số lượng tử chính: 𝑛−1 ෍ (2ℓ + 1) = 𝑛2 ℓ=0 10 5.5.2 Quang phổ nguyên tử kim loại kiềm  Quy tắc lọc lựa: Δℓ = ±1, Δ𝑗 = 0, ±1 Ví dụ: Electron hóa trị nguyên tử Li nằm mức 2S Các dịch chuyển có thể: nP → 2S, (n ≥ 2, ℓ=1) nS → 2P, (n > 2, ℓ=0) nD → 2P, (n > 2, ℓ=2) nF → 3D, (n > 3, ℓ=3) 16 5.6.1 Mômen động lượng quỹ đạo  Độ lớn momen động lượng quỹ đạo 𝐿= ℓ ℓ+1 ℏ Hình chiếu lên phương z 𝐿𝑧 = 𝑚ℓ ℏ  Góc 𝐿 𝐿𝑧 : 𝐿𝑧 cos 𝜃 = = 𝐿 𝑚ℓ ℓ(ℓ + 1) 17 5.6.2 Mômen từ  Electron quay quanh hạt nhân tạo nên dòng điện 𝑖 chạy ngược với chiều chuyển động electron  Momen từ 𝜇Ԧ𝑚 = 𝑖 𝑆Ԧ Ԧ = 𝜋𝑟 : diện tích |𝑆| 𝑖 = 𝑒𝜈: cường độ dòng điện, 𝜈: tần số chuyển động 𝑒 𝜇Ԧ𝑚 = − 𝐿 2𝑚𝑒 𝑒ℏ 𝜇𝑚 = − ℓ ℓ + = 𝜇𝐵 ℓ(ℓ + 1) 2𝑚𝑒 𝜇𝐵 = 9,274 10−24 J/T: Magneton Bohr 18 5.6.2 Mômen từ  Hình chiếu mơmen từ lên trục z: 𝑒 𝑒ℏ 𝜇𝑚𝑧 = − 𝐿𝑧 = − 𝑚ℓ = −𝑚ℓ 𝜇𝐵 2𝑚𝑒 2𝑚𝑒  𝑚ℓ : số lượng tử từ  Mơmen từ bị lượng tử hóa  Khi electron chuyển đổi trạng thái, 𝑚ℓ biến đổi theo quy tắc: Δ𝑚ℓ = 0, ±1 19 5.6.3 Hiệu ứng Zeeman B≠0 Năng lượng Năng lượng B=0 Nguyên tử đặt từ trường đều, moment từ quĩ đạo tương tác với từ trường ngoài, nhận thêm lượng Hiện tượng tách vạch quang phổ nguyên tử phát sáng đặt từ trường  Khi có từ trường, momen từ electron xếp theo phương song song với từ trường  Độ biến thiên lượng:   E = −  m B 20 5.6.3 Hiệu ứng Zeeman  Chọn 𝑧Ԧ ∥ 𝐵: Δ𝐸 = −𝜇𝑚𝑧 𝐵 = 𝑚ℓ 𝜇𝐵 𝐵  Năng lượng nguyên tử Hydro từ trường: 𝐸𝑛′ = 𝐸𝑛 + Δ𝐸 = 𝐸𝑛 + 𝑚ℓ 𝜇𝐵 𝐵  Tần số quang phổ nguyên tử từ trường:  𝜈′ = 𝐸2′ −𝐸1′ ℎ = 𝐸2 −𝐸1 ℎ + 𝑚ℓ2 −𝑚ℓ1 𝜇𝐵 𝐵 ℎ = 𝐸2 −𝐸1 ℎ 𝜇𝐵 𝐵 + Δ𝑚ℓ ℎ 𝜇 𝐵  Quy tắc lọc lựa: Δ𝑚ℓ = 0, ±1, ⇒ 𝜈 ′ = 𝜈+ 𝐵 ℎ 𝜈 𝜇𝐵 𝐵 𝜈− ℎ  Khoảng cách vạch: 𝜇𝐵 𝐵 𝑑= ℎ 21 5.7.1 Thí nghiệm Stern - Garlach  Chiếu chùm Ag trạng thái 1s qua từ trường mạnh không  Nếu xét momen từ, số vạch kỳ vọng lẻ  Kết nhận được: Số vạch xuất kính ảnh ln chẵn, nguyên tử trạng thái 1s có hai vạch xuất kính ảnh 22 5.7.2 Spin electron Năm 1925, Uhlenbeck Goudsmit cho rằng, moment từ quĩ đạo biết, điện tử cịn có moment từ riêng gọi moment spin, ký hiệu 𝜇Ԧ𝑠 𝑒 𝜇Ԧ𝑠 = −  Spin có độ lớn xác định 𝑚𝑒 𝑆= 𝑠 = 𝑆Ԧ 𝑠(𝑠 + 1)ℏ : số lượng tử spin Chiếu lên phương z 𝑆𝑧 = 𝑚𝑠 ℏ  𝑚𝑠 = ± , số lượng tử từ riêng 5.7.3 Trạng thái lượng electron nguyên tử Ngoài moment quĩ đạo, điện tử cịn có moment spin nên moment động lượng tồn phần tổng hai moment: Momen động lượng toàn phần: Độ lớn 𝐽 = 𝑗(𝑗 + 1)ℏ 𝐽Ԧ = 𝐿 + 𝑆Ԧ 𝑗 = ℓ ± 𝑠 = |ℓ ± Chiếu lên trục z: Jz = mj ℏ |: số lượng tử toàn phần với 𝑚𝑗 = 𝑗, 𝑗 − 1, … 0, … -j Khi xét đến spin, trạng thái electron phụ thuộc vào bốn số lượng tử: 𝑛, ℓ, 𝑚ℓ , m𝑠 hay 𝑛, ℓ, 𝑚ℓ , 𝑗 5.7.3 Trạng thái lượng electron nguyên tử Ứng với giá trị n có 2n2 trạng thái lượng tử khác n −1 2 (2 + 1) = 2n  =0 Năng lượng toàn phần electron phụ thuộc vào ba số lượng tử: 𝑛, ℓ, 𝑗 Trong vật lí nguyên tử,  Ký hiệu trạng thái: nxj , 𝑥 = s, p, d, f, …  Ký hiệu mức lượng: n2 Xj , 𝑋 = S, P, D, F, … 5.7.3 Trạng thái lượng electron nguyên tử Bảng 5.4: Trạng thái electron mức lượng n ℓ j Trạng thái Mức lượng electron hóa trị 1/2 1s1/2 12S1/2 1/2 2s1/2 22S1/2 1/2 2p1/2 22P1/2 3/2 2p3/2 22P3/2 1/2 3s1/2 32S1/2 1/2 3p1/2 32P1/2 3/2 3p3/2 32P3/2 3/2 3d3/2 32D3/2 5/2 3d5/2 32D5/2 5.7.4 Cấu tạo bội vạch quang phổ Khi electron chuyển từ mức lượng cao sang mức lượng thấp hơn, qui tắc lựa chọn ℓ, electron phải tuân theo qui tắc lựa chọn j: Δℓ = ±1, Δ𝑗 = 0, ±1 Khi electron chuyển từ mức 3P mức 2S phát photon có tần số thỏa mãn: h = 3P − 2S Khi xét đến spin, ta quan sát thấy có vạch kép sít h =32 P1/ − 2S1/ ( = 1, j = 0) h =32 P3 / −2 2S1/ ( = 1, j = 1) 5.7.4 Bảng hệ thống tuần hoàn Mendeleev  Nguyên lý cực tiểu lượng: Mọi hệ vật lý có xu hướng chiếm trạng thái lượng cực tiểu (trạng thái bền)  Nguyên lý loại trừ Pauli: Mỗi trạng thái lượng tử có tối đa electron  Cấu hình electron: phân bố electron theo trạng thái ứng với số lượng tử 𝑛, ℓ khác  Không xét đến spin: giá trị 𝑛 có 𝑛2 trạng thái  Xét đến spin: giá trị 𝑛 có 2𝑛2 trạng thái (cùng lớp nguyên tử) Số lượng tử n Ký hiệu lớp K L M N O Số e- tối đa 18 32 50 28 5.7.4 Bảng hệ thống tuần hoàn Mendeleev  Các electron có khuynh hướng chiếm mức lượng thấp (n nhỏ nhất)  Electron lấp đầy lớp từ thấp đến cao  Thứ tự lớp: 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 4s, 3d, 4p, 5s, 4d, 5p, 6s, 4f, 5d, … Mỗi lớp lại chia thành lớp ứng với trị số khác ℓ, lớp chứa tối đa 2(2ℓ +1) electron Ví dụ: Lớp L (n = 2) có lớp con: - Lớp S (ℓ = 0) có tối đa 2(2ℓ + 1) = electron, - Lớp P (ℓ = 1) có tối đa electron 29 5.7.4 Bảng hệ thống tuần hoàn Mendeleev Bảng 5.5: Phân bố electron vài nguyên tố bảng hệ thống tuần hoàn Lớp Nguyên tố Lớp H He Li Be B C N O F Ne Na Mg Al Si P S Cl Ar K 1S 2 2 2 2 2 2 2 2 L 2S 2P 3S M 3P 2 2 2 2 2 2 2 2 6 6 6 6 2 2 2 2 3D 30 ... thuộc vào ℓ 13 5. 5.1 Năng lượng electron hóa trị nguyên tử kim loại kiềm Z 11 19 37 55 Nguyên tố kim loại kiềm Li Na K Rb Cs (l = 0) -0 ,412 -1 ,373 -2 ,230 -3 ,1 95 -4 ,131 (l = 1) -0 ,041 -0 ,883 -1 ,776... -3 ,1 95 -4 ,131 (l = 1) -0 ,041 -0 ,883 -1 ,776 -2 ,711 -3 ,649 (l = 2) -0 ,002 -0 ,010 -0 ,146 -1 ,233 -2 ,448 (l = 3) -0 ,000 -0 ,001 -0 ,007 -0 ,012 -0 ,022 Trong vật lí nguyên tử mức lượng kí hiệu nX (hay...