Bài giảng Vật lý đại cương và vật lý hiện đại - Chương 3: Phương trình Schrodinger cung cấp cho người học các kiến thức: Phương trình Schrodinger, hạt trong hố thế một chiều, rào thế - Hiệu ứng đường ngầm,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Chương PHƯƠNG TRÌNH SCHRƯDINGER PGS.TS Lê Cơng Hảo GIỚI THIỆU Năm 1926, nhà vật lý người Áo Erwin Schrödinger đưa phương trình cho phép xác định hàm sóng mơ tả trạng thái hệ lượng tử Erwin Schrưdinger (1887-1961) Phương trình đóng vai trò học lượng tử, tương tự phương trình Newton học cổ điển Khi giải phương trình Schrưdinger, tìm hàm sóng từ ta tính xác suất để hệ có tọa độ, động lượng, v.v 3.1 PHƯƠNG TRÌNH SCHRƯDINGER 3.1.1 Phương trình Schrưdinger phụ thuộc thời gian ➢ Hạt có khối lượng m, di chuyển trường lực ➢ Ở thời điểm ứng với vị trí hạt có đó, U = U(x, y, z, t) ➢ Phương trình Schrưdinger cho phép ta tìm hàm sóng biết hàm ( x, y, z, t ) − ( x, y, z, t ) + U.( x, y, z, t ) = i 2m t i số phức toán tử Laplace Trong hệ tọa độ Descartes, = + + x y z 2 3.1.1 Phương trình Schrưdinger phụ thuộc thời gian Trong trường hợp chiều, hàm sóng phụ thuộc vào tọa độ x thời gian t 2 ( x, t ) ( x, t ) − + U( x, t )( x, t ) = i 2m x t Khi U(x, t) = 0, hạt chuyển động không chịu tác động trường ta bảo hạt chuyển động tự do: ( x, t ) ( x, t ) 3.1.2 Điều kiện hàm sóng − 2m x = i t o Hữu hạn, khơng điều kiện chuẩn hóa khơng thỏa mãn, o Đơn trị, ứng với trạng thái, vị trí thời điểm có xác suất tìm thấy hạt, o Đạo hàm bậc hai phải hữu hạn, muốn đạo hàm bậc theo tọa độ phải liên tục 3.1.3 Phương trình Schrưdinger khơng phụ thuộc thời gian (trạng thái dừng) Thế U hạt khơng phụ thuộc tường minh vào t, viết dạng U = U(x, y, z) Tách (x, y, z, t) thành hai thành phần iEt ( x, y, z , t ) = ( x, y, z ) exp − Phương trình Schrưdinger cho trạng thái dừng − ( x, y, z) + U ( x, y, z) = E( x, y, z) 2m Hạt chuyển động chiều d − + U(x )(x ) = E(x ) 2m dx 2 d 2m + E − U (x ) = dx 3.2 HẠT TRONG HỐ THẾ MỘT CHIỀU Bên U lớn nên hạt nhảy → hạt tồn bên d ( x ) 2m + E(x ) = dx d ( x ) + k (x ) = dx Nghiệm tổng quát ( x ) = A sin(kx) + B cos(kx) 2mE k = 3.2 HẠT TRONG HỐ THẾ MỘT CHIỀU Điều kiện hàm sóng Sin(x) Cos(x) hữu hạn Liên tục: ψ(0) = ψ(a) = ψ(0) = A sin(k0) + B cos(k0) = B = ψ(x) = A sin(kx) ψ(a) = A sin(ka) = sin(ka) = k = πn/a, n = 1, 2, 3,… Hằng số A xác định từ điều kiện chuẩn hóa hàm sóng a (x ) dx = a 2 A sin (n..x / a )dx = a sin (n..x / a )dx = Hàm sóng giếng phụ thuộc vào n n ( x ) = / a sin(n..x / a ) a a sin[2n] − 4n A = 2/a 3.2 HẠT TRONG HỐ THẾ MỘT CHIỀU Năng lượng hạt bị lượng tử hóa kn = a n ( kn ) 2mE n = n a 2 h2 En = n = n 2ma 8ma Hạt có lượng xác định khơng thể có lượng tùy ý n = (trạng thái bản) ta có giá trị lượng bé Khoảng cách mức liên tiếp E1 = 2ma 2 E = En +1 − En = (2n + 1) 2ma 2 Mật độ xác suất tìm thấy hạt hố ứng với hàm sóng n n (x ) 2 2 nx = sin a a 3.3 RÀO THẾ - HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM Giải tốn hạt chuyển động vượt qua rào có U cao lượng Theo học lượng tử E < Uo, ta thấy hạt có khả xuyên qua rào theo hiệu ứng gọi là: Hiệu ứng đường ngầm 3.3 RÀO THẾ - HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM Phương trình Schrodinger Miền I & III: Mieàn II: d 2 + k = 0, dx d − k = 0, dx Nghiệm của phương trình vi phân Hàm eikx mơ tả sóng truyền từ trái sáng phải 2m k = E 2m k = U − E 2 I = A1e ik 1x III = A e + B1e ik ( x −a ) II = A e −k 2x −ik 1x + B3 e + B2 e − ik ( x −a ) k 2x 3.3 RÀO THẾ - HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM A3 e B3 e iK (x - a) -iK (x - a) đặc trưng cho sóng truyền qua rào mô tả sóng phản xạ từ vô cực trở Các số : Ai, Bi gọi biên độ sóng Vì vô cực phản xạ sóng, ta đặt B3 = 3.3 RÀO THẾ - HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM • Tính hệ số xuyên rào: Hệ số truyền qua rào D tỉ số bình phương biên độ sóng truyền qua hàng rào bình phương biên độ sóng tới D = A = A 2 A1 A1 Hệ số phản xạ R định nghĩa tỉ số bình phương biên độ sóng phản xạ sóng tới R= B1 A1 2 B1 = A1 3.3 RÀO THẾ - HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM Căn vào điều kiện biên (x = & x = a): I (0 ) = II (0 ) d I dx x =0 d II = dx II (a ) = III (a ) d II dx x =a d III = dx Ta rút hệ thức sau: x =0 A1 + B1 = A2 + B2 ik1( A1 – B1) = -k2( A2 – B2) A2e-k2a + B2 ek a = A3 x =a - k2( A2e-k2a – B2ek2a)= ik1A3 3.3 RÀO THẾ - HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM + i.n − k 2a B2 = A 3e − i.n A2 = A e k 2a k1 n= = k2 E U0 − E 16n exp(−2k a ) Hạt xuyên qua rào D = 2 (1 + n ) D exp[− (2a / ) 2m(U − E)] D = exp(−2.T.a), T = 2.m(U − E) 3.3 RÀO THẾ - HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM Nếu hiệu lượng cho E-U0=1,28.10-31 J, ta dùng lý thuyết để tính phụ thuộc hệ số truyền qua D vào độ rộng hố a a(m) 10-10 1,5.10-10 2.10-10 5.10-10 D 0,1 0,03 0,008 5.10-7 Ứng dụng: 1- Giải thích phát xạ lạnh electron kim loại 2-Phân rã hạt anpha từ nhân có prơtơn Nơtrơn 3.4 DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA ➢ Một vi hạt thực dao động nhỏ điều hịa xung quanh vị trí cân ví dụ dao động tử điều hòa lượng tử ➢ Dao động tử điều hòa tượng quan trọng vật lí nói chung học lượng tử nói riêng Kết qủa mức lượng 1- Các lượng cách đoạn E = 2- Mức lượng thấp có giá trị dương E = lượng nhiệt độ T = 0K 3- Mức thứ n có giá trị E n = (n + ) n = 0, 1, 2, ... 3. 3 RÀO THẾ - HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM Nếu hiệu lượng cho E-U0=1,28.10 -3 1 J, ta dùng lý thuyết để tính phụ thuộc hệ số truyền qua D vào độ rộng hố a a(m) 1 0-1 0 1,5.1 0-1 0 2.1 0-1 0 5.1 0-1 0 D 0,1 0, 03. .. A1 + B1 = A2 + B2 ik1( A1 – B1) = -k2( A2 – B2) A2e-k2a + B2 ek a = A3 x =a - k2( A2e-k2a – B2ek2a)= ik1A3 3. 3 RÀO THẾ - HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM + i.n − k 2a B2 = A 3e − i.n A2 = A e k 2a k1 n= = k2... A e + B1e ik ( x −a ) II = A e −k 2x −ik 1x + B3 e + B2 e − ik ( x −a ) k 2x 3. 3 RÀO THẾ - HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM A3 e B3 e iK (x - a) -iK (x - a) đặc trưng cho sóng truyền qua rào mô tả sóng