Thông tin số chương 2

CHƯƠNG 2: XÁC SUẤT VÀ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN Xác suất Quá trình ngẫu nhiên Chương Xác suất A, B hai biến cố  Hợp hai biến cố: hai phải xảy  Giao hai biến cố: hai biến cố phải xảy đồng thời  Bao hàm : A xảy B phải xảy  Hiệu: A xảy cịn B khơng xảy Chương 2 Xác suất A, B hai biến cố P(A): xác suất xuất biến cố A  A B xung khắc: A B không đồng thời xảy  A B đối lập: A xảy B khơng xảy ngược lại S: biến cố chắn xảy P(S) = ∪ A B đối lập A B xung khắc A B xung khắc A B khơng đối lập Chương Xác suất S: thơng tin có giá trị 00, 01, 10, 11 A: thơng tin có giá trị 00, 10 A B đối lập B: thơng tin có giá trị 01, 11 A B xung khắc A: thơng tin có giá trị 00, 10 A B khơng đối lập B: thơng tin có giá trị 01 A B xung khắc Chương Xác suất Xác suất có điều kiện: P(A/B): xác suất xuất biến cố A biến cố B xảy Công thức nhân xác suất: P(AB) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B) Nếu A, B độc lập: P(AB) = P(A)P(B) Chương Xác suất Hàm phân phối xác suất: (hàm phân phối tích luỹ cdf – cumulative distribution function) X: biến ngẫu nhiên, x: số thực F(x) = P(X  x): xác suất để biến ngẫu nhiên X nhỏ x Hàm mật độ xác suất: (pdf – probability density function) Chương Xác suất Hàm biến ngẫu nhiên: Xét biến ngẫu nhiên X có pdf p(x), xác định pdf biến ngẫu nhiên Y = g(X) VD: Đặt t = ax + b: x= Y = aX + b, a > x = -  t = -  t=y x= dx = dt/a 1 Tính lại VD với a < 0, Y = aX3 + b Chương Xác suất Hàm biến ngẫu nhiên: Y = aX2 + b, a > | | 2 Chương Xác suất Hàm đặc trưng: Phương sai: ≡ Trung bình (kỳ vọng tốn): moment thứ n Y = g(X): Chương Xác suất Các phân bố xác suất thông dụng:  Phân bố nhị thức: Xi biến ngẫu nhiên độc lập thống kê với xác suất Xi = p Xi = - p P(X = k): xác suất để k Xi = n – k Xi = ! ! ! [x]: phần nguyên x E[X] = np, = np(1-p) Chương 10 Xác suất Các phân bố xác suất thông dụng:  Phân bố đều: 1 12 Chương 11 Xác suất Các phân bố xác suất thông dụng:  Phân bố chuẩn (Gaussian): E[X] = mX 2 erf 1 erfc 2 erf erfc 1 2 : error function : complementary error function erfc 2 3Chương 2 / : Q function 12 Xác suất Các phân bố xác suất thông dụng:  Phân bố chuẩn (Gaussian): mX = : dạng chuẩn tắc (trung bình = 0, phương sai = 1) zero-mean, unit variance gaussian random variable Tổng biến ngẫu nhiên phân bố chuẩn biến ngẫu nhiên phân bố chuẩn Xác định pdf Y = aX3 + b với X biến ngẫu nhiên phân bố chuẩn tắc Chương 13 Xác suất Các phân bố xác suất thông dụng:  Phân bố Chi-square (Gamma): X biến ngẫu nhiên phân bố Gaussian Y = X2 biến ngẫu nhiên phân bố Gamma X có trung bình = phương sai 2 Γ Γ (phân bố Gamma bậc tự n) Xi độc lập thống kê, phân bố Gaussian có trung bình = phương sai 2 Γ ;Γ 2 ! ớChương ∈ / Γ / : hàm Gamma 14 Xác suất Các phân bố xác suất thông dụng:  Phân bố Chi-square (Gamma): (phân bố Gamma bậc tự n) E[Y] = n2 X phân bố Gaussian có trung bình mX phương sai 2 cosh Chương cosh 15 Xác suất Các phân bố xác suất thông dụng:  Phân bố Chi-square (Gamma): Xi độc lập thống kê, phân bố Gaussian có trung bình = mi phương sai 2 /2 !Γ x0 / x0 : hàm Bessel sửa đổi loại bậc  Chương 16 Xác suất Các phân bố xác suất thông dụng:  Phân bố Rayleigh: Y biến ngẫu nhiên phân bố Rayleigh X1 X2 độc lập thống kê, phân bố Gaussian có trung bình = phương sai 2 E x0 x0 2 2 Chương 17 Xác suất Các phân bố xác suất thông dụng:  Phân bố Rayleigh: Xi độc lập thống kê, phân bố Gaussian có trung bình = phương sai 2 / Γ x0 n chẵn (n = 2m): ! x0 Chương 18 Xác suất Xác định trung bình, phương sai biến ngẫu nhiên Cauchy có pdf: / - < x <  Cho hàm đặc trưng biến ngẫu nhiên Cauchy: Xác định hàm đặc trưng pdf của: Trong Xi biến ngẫu nhiên độc lập thống kê có phân bố Cauchy Áp dụng: E(XY) = EX.EY X, Y độc lập Chương 19 Quá trình ngẫu nhiên Quá trình ngẫu nhiên (stochastic process): biến ngẫu nhiên xác định theo thông số t (thường thời gian) Ký hiệu: X(t) Xét tập {t1, …, tn}  ≡ tập {t1+t, …, tn+t}  ế , , ,…, ,…, biến ngẫu nhiên tạo từ X(t) ≡ , ấ ỳ Chương Quá trình ngẫu nhiên dừng 20 10 Quá trình ngẫu nhiên Trung bình thống kê Hàm tự tương quan , , , Nếu trình ngẫu nhiên dừng: , Φ Chương 21 Quá trình ngẫu nhiên Hàm tự tương quan Nếu trình ngẫu nhiên khơng dừng có: , Q trình ngẫu nhiên thống kê nghĩa rộng (WSS – Wide-sense Stationary) Hàm tương quan chéo , , , Nếu trình ngẫu nhiên dừng: , Chương 22 11 Quá trình ngẫu nhiên Mật độ phổ công suất (psd – power spectral density) Φ (f): hàm thực, chẵn Φ Φ∗ Φ Φ Chương 23 Quá trình ngẫu nhiên Đáp ứng hệ LTI tín hiệu ngẫu nhiên Đáp ứng xung Ngõ Ngõ vào Giá trị trung bình ngõ ra: mY = mXH(0) Chương mY số 24 12 Quá trình ngẫu nhiên Đáp ứng hệ LTI tín hiệu ngẫu nhiên Mật độ phổ cơng suất ngõ ra: yy(f) = xx(f)|H(f)|2 Hàm tự tương quan ngõ ra: Φ Cơng suất trung bình ngõ ra: Φ Φ Chương 25 Quá trình ngẫu nhiên Hàm tự tương quan trình ngẫu nhiên X(t) là: (nhiễu trắng: white noise) H B Tín hiệu x(t) đưa qua mạch lọc có đáp ứng tần số: B Xác định tổng công suất ngõ mạch lọc: fc -fc Φ f Psd ngõ mạch lọc: Φ Φ Tổng công suất ngõ mạch lọc: Φ Chương 2 26 13 Quá trình ngẫu nhiên R Cho trình ngẫu nhiên nhiễu trắng X(t) ngõ vào mạch hình vẽ X(t) Y(t) C Xác định yy(f), yy() E[Y2(t)] Tính H(f) Φ Φ / Áp dụng: E[Y2(t)] = yy(0) Φ Chương 27 Q trình ngẫu nhiên Tín hiệu ngẫu nhiên rời rạc Φ H Giá trị trung bình ngõ ra: mY = mXH(0) Chương 28 14 Quá trình ngẫu nhiên Tín hiệu ngẫu nhiên rời rạc Hàm tự tương quan ngõ ra: ∗ Mật độ phổ công suất ngõ ra: yy(f) = xx(f)|H(f)|2 Chương 29 Xác định mật độ phổ cơng suất hàm q trình ngẫu nhiên rời rạc có chuỗi tự tương quan Xác định giá trị trung bình, chuỗi tự tương quan, mật độ phổ cơng suất hệ rời rạc có đáp ứng xung h(n) biết ngõ vào trình nhiễu trắng với phương sai 2 0 mY = mXH(0) ∗ Φ yy(f) = xx(f)|H(f)|2 H Chương 30 15 ... khắc A B không đối lập Chương Xác suất S: thông tin có giá trị 00, 01, 10, 11 A: thơng tin có giá trị 00, 10 A B đối lập B: thơng tin có giá trị 01, 11 A B xung khắc A: thông tin có giá trị 00, 10... Các phân bố xác suất thông dụng:  Phân bố đều: 1 12 Chương 11 Xác suất Các phân bố xác suất thông dụng:  Phân bố chuẩn (Gaussian): E[X] = mX 2 erf 1 erfc 2 erf erfc 1 2 : error function :... x0 x0 2 2 Chương 17 Xác suất Các phân bố xác suất thông dụng:  Phân bố Rayleigh: Xi độc lập thống kê, phân bố Gaussian có trung bình = phương sai ? ?2 / Γ x0 n chẵn (n = 2m): ! x0 Chương 18