xử lý tín hiệu slide c4

CHƯƠNG 4: BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC DFT (Discrete Fourier Transform) FFT (Fast Fourier Transform) Chương DFT (Discrete Fourier Transform) Định nghĩa X ( ) =  − jn x ( n ) e  n = − DFT-N điểm N −1 X (k ) =  x(n)e − j 2kn / N - Chuỗi x(n) có N giá trị - k=0N-1 n =0 Biến đổi Fourier ngược (Inverse DFT) N −1 x(n) =  X (k )e j 2kn / N N k =0 Chương DFT (Discrete Fourier Transform) 1  n  L x ( n) =  khác 0 N −1 X ( k ) =  x ( n )e n =0 − j 2kn / N L −1 = e n =0 − j 2kn / N =  (e L −1 ) − j 2k / N n n =0 − e − j 2kL / N j sin(kL / N )e − jkL / N sin(kL / N ) − jk ( L −1) / N X (k ) = = = e − j 2k / N − jk / N 1− e j sin(k / N )e sin(k / N ) – e-jL = – cosL + jsinL = 2sin2L/2 + j2sinL/2cosL/2 = 2sin(L/2)(sin(L/2) + jcos(L/2)) = 2jsin(L/2)(cos(L/2) – jsin(L/2)) = 2jsin(L/2)e-jL/2 Chương DFT (Discrete Fourier Transform) Xác định DFT – 10 điểm tín hiệu: x(n) = sin 3 n (0  n  10) x(n) = + cos 3 n 10 (0  n  10) Chương 4 FFT (Fast Fourier Transform) DFT trực tiếp 2kn 2kn   X (k ) =  x(n) cos − j sin  N N  n =0  2kn 2kn  hàm lượng giác  x(n) cos − j sin  phép nhân số thực N N  phép cộng số thực  N −1 Một giá trị X(k) cần: N giá trị X(k) cần: 2N hàm lượng giác 4N phép nhân số thực 4(N-1) phép cộng số thực 2N2 hàm lượng giác 4N2 phép nhân số thực 4N(N – 1) phép cộng số thực Chương FFT (Fast Fourier Transform) FFT số miền thời gian N −1 X ( k ) =  x ( n )e − j 2kn / N n =0 N −1 =  x(n)WNkn n =0 WN = e-j2/N WN2 = (e − j2  / N ) = e − j4  / N = e − j2  /( N / 2) = WN / 2 𝑁−1 𝑁−1 𝑋 𝑘 = ෍ 𝑥(𝑛)𝑊𝑁𝑘𝑛 + ෍ 𝑥(𝑛)𝑊𝑁𝑘𝑛 𝑛 𝑙ẻ 𝑛 𝑐ℎẵ𝑛 𝑁 −1 𝑁−1 n = 2m: 𝑁 −1 𝑁 −1 ෍ 𝑥(𝑛)𝑊𝑁𝑘𝑛 = ෍ 𝑥(2𝑚)𝑊𝑁𝑘2𝑚 = ෍ 𝑥(2𝑚) 𝑊𝑁2 𝑛 𝑐ℎẵ𝑛 𝑁−1 𝑁 𝑚=0 −1 𝑚=0 𝑁 −1 𝑘𝑚 𝑘𝑚 = ෍ 𝑥(2𝑚)𝑊𝑁/2 𝑚=0 n = 2m+1: ෍ 𝑥(𝑛)𝑊 𝑘𝑛 = ෍ 𝑥(2𝑚 + 1)𝑊 𝑘(2𝑚+1) = 𝑊 𝑘 ෍ 𝑥(2𝑚 + 1) 𝑊 𝑁 𝑁 𝑁 𝑁 𝑛 𝑙ẻ 𝑁 −1 𝑚=0 𝑘𝑚 = 𝑊𝑁𝑘 ෍ 𝑥(2𝑚 + 1)𝑊𝑁/2 𝑚=0 𝑘𝑚 𝑚=0 Chương FFT (Fast Fourier Transform) FFT số miền thời gian 𝑁 −1 𝑁 −1 𝑘𝑛 𝑋 𝑘 = ෍ 𝑥 2𝑛 𝑊𝑁𝑘𝑛 + 𝑊𝑁𝑘 ෍ 𝑥(2𝑛 + 1)𝑊𝑁/2 𝑛=0 𝑛=0 x(n) có N giá trị → x(2n) x(2n + 1) có N/2 giá trị DFT N điểm x(n): N −1 X (k ) =  x(n)e − j 2kn / N - Chuỗi x(n) có N giá trị - k=0N-1 n =0 𝑁 −1 𝑁 −1 ෍ 𝑥 2𝑛 𝑊𝑁𝑘𝑛 : DFT N/2 điểm x(2n) 𝑛=0 𝑘𝑛 ෍ 𝑥(2𝑛 + 1)𝑊𝑁/2 : DFT N/2 điểm x(2n+1) 𝑛=0 Chương FFT (Fast Fourier Transform) FFT số miền thời gian 𝑋 𝑘 = 𝐹1 (𝑘) + 𝑊𝑁𝑘 𝐹2 (𝑘) 𝐹1 𝑘 𝑁 𝐷𝐹𝑇− đ𝑖ể𝑚 𝑓1 𝑛 = 𝑥(2𝑛) k =  N/2 - 𝐹2 𝑘 𝑁 𝐷𝐹𝑇− đ𝑖ể𝑚 𝑓2 𝑛 = 𝑥(2𝑛 + 1) 𝑁 𝑁 𝑁 𝑁 𝑁 𝑘+ 𝑋 𝑘+ = 𝐹1 𝑘 + + 𝑊𝑁 𝐹2 𝑘 + = 𝐹1 (𝑘) + 𝑊𝑁2 𝑊𝑁𝑘 𝐹2 (𝑘) 2 𝑁 𝑊𝑁2 = 𝑋 𝑘+ 𝑁 −𝑗2𝜋/𝑁 𝑒 = 𝑒 −𝑗𝜋 = −1 𝑁 = 𝐹1 𝑘 − 𝑊𝑁𝑘 𝐹2 (𝑘) Chương FFT (Fast Fourier Transform) FFT số miền thời gian Cách tính DFT – N điểm x(n): Tính FFT – điểm x(n): B1: xây dựng chuỗi N/2 giá trị từ x(n) f1(n) = x(2n) f2(n) = x(2n + 1) x(n) = {2, – j, + j, -1} Tính FFT – điểm x(n): B2: Tính DFT – N/2 điểm f1 f2 x(n) = {1,3,-1,-3,2,-3,-2,1} B3: DFT – N điểm x(n): 𝑋 𝑘 = 𝐹1 (𝑘) + 𝑊𝑁𝑘 𝐹2 (𝑘) k =  N/2 - 𝑁 𝑋 𝑘+ = 𝐹1 𝑘 − 𝑊𝑁𝑘 𝐹2 (𝑘) Chương FFT số miền thời gian a A = a + W'Nb b W'N x(n) = {2, – j, + j, -1} -1 X(k) = {5,-1-4j,3+2j,1+2j} 4+j 2+j W04 -j -1 4+j+(1-j) = -j -j(3-j) = -1-4j 1-j 2-j W04=1 -1 3-j W04 -1 B = a - W'Nb W14=-j -1 -1 Chương 4+j – (1-j) = +2j -j+j(3 – j) = +2j 10 W18 = W3 =− −𝑗 2 W08=1 −𝑗 X(k) = {-2,2.54-j3.88,3+j,-4.54+j8.12,8,-4.54-j8.12,3-j,2.54+j3.88} -1 -1 -1 -2 W 8=1 -1 -3 W08=1 -1 W08=1 -1 W28=-j -1 -3 -2 W 8=1 W28=-j -1 -1 Chương 3+j -1+6j -5 W 8=1 1+4j -4 2.54 - 3.88j -1-6j -1 -2 3 -3 W08=1 x(n) = {1,-1,3,-3,2,-2,-3,1} -1 1-4j -4.54+8.12j -1 W18 -1 -4.54-8.12j W28=-j -1 3-j W38 -1 2.54+3.88j 11 FFT (Fast Fourier Transform) FFT số miền tần số N −1 X ( k ) =  x ( n )e − j 2kn / N n =0 N −1 =  x(n)WNkn n =0 WN = e-j2/N WNkN / = (e − j 2 / N ) kN / 𝑁 −1 𝑁−1 = e − jk = (− 1) k 𝑋 𝑘 = ෍ 𝑥(𝑛)𝑊𝑁𝑘𝑛 + ෍ 𝑥(𝑛)𝑊𝑁𝑘𝑛 𝑁 𝑛= 𝑛=0 n = m+N/2: 𝑁−1 ෍ 𝑥(𝑛)𝑊𝑁𝑘𝑛 𝑁 𝑛= 𝑁 −1 = ෍ −1 𝑚=0 𝑁 −1 𝑁 −1 𝑚=0 𝑚=0 𝑁 𝑘(𝑚+𝑁2) 𝑁 𝑘𝑁2 𝑘𝑚 = ෍ 𝑥(𝑚 + )𝑊𝑁 = ෍ 𝑥(𝑚 + )𝑊𝑁 𝑊𝑁 2 𝑘 𝑥(𝑚 𝑁 + ) 𝑊𝑁𝑘𝑚 Chương 12 FFT (Fast Fourier Transform) FFT số miền tần số WN2 = WN / 𝑁 −1 𝑁 −1 𝑛=0 𝑛=0 𝑁 𝑁 𝑋 𝑘 = ෍ 𝑥 𝑛 𝑊𝑁𝑘𝑛 + −1 𝑘 𝑥(𝑛 + ) 𝑊𝑁𝑘𝑛 = ෍ 𝑥 𝑛 + −1 𝑘 𝑥(𝑛 + ) 𝑊𝑁𝑘𝑛 2 𝑁 −1 𝑁 −1 𝑁 −1 𝑛=0 𝑛=0 𝑛=0 𝑁 𝑁 𝑘𝑛 𝑘𝑛 2𝑘𝑛 𝑋 2𝑘 = ෍ 𝑥 𝑛 + 𝑥(𝑛 + ) 𝑊𝑁 = ෍ 𝑥 𝑛 + 𝑥(𝑛 + ) 𝑊𝑁/2 = ෍ 𝑔1 (𝑛)𝑊𝑁/2 2 𝑁 −1 𝑁 −1 𝑛=0 𝑛=0 𝑁 𝑁 (2𝑘+1)𝑛 𝑘𝑛 𝑋 2𝑘 + = ෍ 𝑥 𝑛 − 𝑥(𝑛 + ) 𝑊𝑁 = ෍ 𝑥 𝑛 − 𝑥(𝑛 + ) 𝑊𝑁𝑛 𝑊𝑁/2 2 𝑁 −1 𝑘𝑛 = ෍ 𝑔2 (𝑛)𝑊𝑁/2 𝑛=0 Chương 13 FFT (Fast Fourier Transform) 𝐺1 𝑘 𝐺2 𝑘 𝑁 𝐷𝐹𝑇− đ𝑖ể𝑚 𝑁 𝐷𝐹𝑇− đ𝑖ể𝑚 𝑁 𝑔1 𝑛 = 𝑥 𝑛 + 𝑥(𝑛 + ) 𝑁 𝑔2 𝑛 = 𝑥 𝑛 − 𝑥(𝑛 + ) 𝑊𝑁𝑛 X(2k) = G1(k) X(2k + 1) = G2(k) k =  N/2 - Chương 14 FFT (Fast Fourier Transform) FFT số miền tần số Tính FFT – điểm x(n): Cách tính DFT – N điểm x(n): x(n) = {2 – j, – j, + j, -2} B1: xây dựng chuỗi N/2 giá trị từ x(n) 𝑁 𝑔1 𝑛 = 𝑥 𝑛 + 𝑥(𝑛 + ) 𝑁 𝑔2 𝑛 = 𝑥 𝑛 − 𝑥(𝑛 + ) 𝑊𝑁𝑛 Tính FFT – điểm x(n): x(n) = {1,3,-1,-3,2,-3,-2,1} B2: Tính DFT – N/2 điểm g1 g2 B3: DFT – N điểm x(n): X(2k) = G1(k) X(2k + 1) = G2(k) k =  N/2 - Chương 15 FFT số miền tần số A=a+b a b B = (a – b)W'N W'N -1 x(n) = {2 – j, – j, + j, -2} 2-j 1-j -1-j X(k) = {2-j,-5j,4+j,2+j} 2-j -1 W04 1+j -1 -2 -1 1-2j -5j W04 -1-3j W14=-j 4+j -1 W0 Chương 2+j 16 W18 = W3 =− −𝑗 x(n) = {1,-1,3,-3,2,-2,-3,1} −𝑗 X(k) = {-2,2.54-j3.88,3+j,-4.54+j8.12,8,-4.54-j8.12,3-j,2.54+j3.88} -1 -3 -2 -3 3 -3 -5 -1 W0 8=1 -1 W18 -1 W28=-j -1 W3 -2 -1 -1 W08=1 j 3.54+2.12j -1 -1 -1 -3.54+2.12j 3-j 2.54 3.88j -1 W08=1 -1+6j W28=-j 3+j -1-6j 0.7-0.7j 2.83+2.83j -1 W28=-j -1 -6j -2 -1 -4.54 8.12j -4.54 +8.12j 2.54 - ... thời gian Cách tính DFT – N điểm x(n): Tính FFT – điểm x(n): B1: xây dựng chuỗi N/2 giá trị từ x(n) f1(n) = x(2n) f2(n) = x(2n + 1) x(n) = {2, – j, + j, -1} Tính FFT – điểm x(n): B2: Tính DFT – N/2... miền tần số Tính FFT – điểm x(n): Cách tính DFT – N điểm x(n): x(n) = {2 – j, – j, + j, -2} B1: xây dựng chuỗi N/2 giá trị từ x(n)