phương trình vi phân và tích phân tt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ TRẦN TÌNH VỀ MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC KHƠNG ĐỊA PHƯƠNG TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 46 01 03 HÀ NỘI, 2020 Cơng trình hồn thành Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Cung Thế Anh Phản biện 1: GS.TSKH Nguyễn Minh Trí Viện Tốn học Phản biện 2: PGS.TS Nguyễn Sinh Bảy Trường Đại học Thương mại Phản biện 3: PGS.TS Lê Văn Hiện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Luận án bảo vệ Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Trường họp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi ngày tháng năm 2020 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam; - Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lí chọn đề tài Việc nghiên cứu tượng khuếch tán xuất nhiều lĩnh vực khoa học vật lý, sinh học, kinh tế, kỹ thuật, , dẫn tới nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng Trong hai mươi năm qua, lý thuyết phương trình địa phương khơng địa phương có phát triển mạnh mẽ, đặc biệt lý thuyết phương trình parabolic Các phương trình địa phương phương trình mơ tả mối quan hệ hàm chưa biết đạo hàm riêng để kiểm tra thỏa mãn điểm cụ thể, ta cần biết giá trị hàm lân cận nhỏ tùy ý để tất đạo hàm tính tốn Tuy nhiên, điều khơng cịn với phương trình khơng địa phương Để kiểm tra phương trình khơng địa phương thỏa mãn điểm cụ thể, thơng tin giá trị hàm cách xa điểm cần thiết Nói cách đơn giản, giá trị đầu phương trình khơng địa phương phụ thuộc vào tồn giá trị đầu vào Đặc điểm kết trực tiếp chất tượng mô tả sinh Tính khơng địa phương phương trình có dạng khác chẳng hạn tính khơng địa phương số hạng nguồn (xem Y Chen and M Wang (2009), P Souplet (1998)), tính khơng địa phương điều kiện biên (xem C Mu et al (2007, 2010), H M Yin (2004)), tính khơng địa phương toán tử khuếch tán (xem L Caffarelli (2012), C G Gal and M Warma (2016), N Pan et al (2017), P Pucci et al (2017), M Xiang et al (2018)) Tính khơng địa phương xảy biến không gian thời gian hai Phương trình chứa tốn tử khơng địa phương lớp phương trình phổ biến Yếu tố khơng địa phương gây nhiều khó khăn nghiên cứu Nguyên nhân tính khơng địa phương làm biến đổi tính chất phương trình, chẳng hạn tính nghiệm phương trình khơng đạt được, tính trơn nghiệm khơng đạt Vì vậy, cần phương pháp nghiên cứu tốt việc nghiên cứu phương trình parabolic khơng địa phương vấn đề thời Một số lớp phương trình parabolic khơng địa phương quan trọng liên quan tới nội dung luận án sau: Lớp phương trình thứ lớp phương trình parabolic khơng địa phương chứa tốn tử Laplace Tính khơng địa phương hệ số khuếch tán xác định đại lượng tồn cục Các tốn lớp phương trình có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác Vật lý, Sinh học, Chúng ta liệt kê số kết gần M Chipot and B Lovat (1997, 1999), A S Ackleh and L Ke (2000), F J S A Corrêa et al (2004), S Zheng and M Chipot (2005), S B de Menezes (2006), C A Raposo et al (2008), A A Ovono (2010), J Simsen and J Ferreira (2014), R J Robalo et al (2014), T Caraballo et al.(2015, 2016), R M P Almeida et al (2016), Y Han and Q Li (2018) Lớp phương trình thứ hai lớp phương trình parabolic khơng địa phương chứa tốn tử p-Laplace Các tốn lớp phương trình có nhiều ứng dụng lĩnh vực Vật lý Sinh học Chẳng hạn, sử dụng để mơ tả chuyển động chất lỏng chất khí khơng ổn định môi trường không nhất, không đẳng hướng Nó xem xét mơ hình tổng quát quần thể Chúng ta liệt kê số kết gần M Chipot and T Savitska (2014, 2015), T Caraballo et al (2017, 2018), J Li and Y Han (2019), Y Fu and M Xiang (2019) Cuối cùng, lớp phương trình khơng địa phương nhận nhiều quan tâm lớp phương trình khơng địa phương chứa tốn tử khuếch tán bậc phân Trong thập kỳ gần đây, mơ hình bậc phân trở thành cơng cụ mạnh để mơ hình hóa q trình khuếch tán phức tạp chuyển động kỳ dị, trình khuếch tán khơng thể mơ tả phương trình đạo hàm riêng bậc ngun Các mơ hình khơng có ý nghĩa tốn học mà đóng vai trị quan trọng thực tiễn (xem L Caffarelli (2012), S Duo et al (2019), N Laskin (2000)) Đặc biệt, quan tâm nhiều tới toán tử bậc phân sử dụng cơng trình C.G Gal and M Warma (2016) Một số kết gần kể đến K Bogdan et al (2003), Z Q Chen et al (2003), M Warma et al (2015, 2016), C Zhang et al (2018), B Zhang et al (2017, 2018) Việc hiểu dáng điệu tiệm cận hệ động lực toán quan trọng toán học đại Một hướng tiếp cận vấn đề cho hệ động lực có tính tiêu hao nghiên cứu tập hút toàn cục hệ động lực Khi tồn tập hút tồn cục chứng minh, nghiên cứu tính chất nội hàm thông tin hệ động lực chứa đựng tập hút tồn cục Từ phân tích bên trên, thấy cịn nhiều tốn mở phương trình khơng địa phương nghiên cứu thơng qua nghiên cứu tập hút tồn cục nửa nhóm sinh là: ❼ Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình parabolic khơng địa phương với toán tử khuếch tán khác số hạng phi tuyến tổng quát ❼ Dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ phương trình parabolic khơng địa phương với tốn tử khuếch tán khác số hạng phi tuyến tổng quát Đây lý đề tài “Về số lớp phương trình parabolic khơng địa phương” chọn làm đề tài luận án Đối tượng mục đích nghiên cứu Trong luận án này, chúng tơi nghiên cứu tốn sau: (P1) Tập hút tồn cục phương trình parabolic khơng địa phương với lớp số hạng phi tuyến (P2) Dáng điệu tiệm cận nghiệm lớp phương trình parabolic khơng địa phương tựa tuyến tính (P3) Tập hút tồn cục phương trình parabolic khơng địa phương chứa toán tử Laplace bậc phân (the fractional Laplacian) toán tử Laplace bậc phân miền (the regional fractional Laplacian) lớp số hạng phi tuyến Mục đích luận án nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm tốn khơng địa phương thơng qua nghiên cứu tồn tập hút toàn cục (hữu hạn chiều), tồn ổn định mũ nghiệm dừng Cấu trúc kết luận án Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận án bao gồm chương: Chương nhắc lại số khái niệm sở tóm tắt số kết không gian hàm, tồn tập hút tồn cục phương trình đạo hàm riêng, toán tử số kiến thức bổ trợ Chương trình bày tập hút tồn cục phương trình parabolic khơng địa phương với lớp số hạng phi tuyến Chương trình bày dáng điệu tiệm cận nghiệm lớp phương trình parabolic khơng địa phương tựa tuyến tính Chương trình bày tập hút tồn cục phương trình parabolic khơng địa phương chứa chứa toán tử Laplace bậc phân (the fractional Laplacian) toán tử Laplace bậc phân miền (the regional fractional Laplacian) lớp số hạng phi tuyến Kết nhận Chương 2,3 kết nghiên cứu cho toán (P1), (P2) (P3) tương ứng Chương Chương trình bày dựa báo [CT1], [CT2] Danh mục cơng trình khoa học đăng tạp chí Journal of the Korean Mathematical Society Communications of the Korean Mathematical Society Kết Chương nội dung cơng trình [CT3] Danh mục cơng trình khoa học Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ MỘT SỐ KẾT QUẢ BỔ TRỢ Trong chương này, nhắc lại số khái niệm sở tóm tắt số kết khơng gian hàm, tồn tập hút tồn cục phương trình đạo hàm riêng, tốn tử số kiến thức bổ trợ Các không gian hàm ❼ Không gian Banach Hilbert, số loại hội tụ ❼ Không gian Lp , không gian Sobolev bậc nguyên không âm bậc phân Đặc biệt, phép nhúng liên tục, compact bất đẳng thức ❼ Các khơng gian Bochner Tập hút tồn cục phương trình đạo hàm riêng: Tóm tắt lý thuyết tổng quan tồn tập hút toàn cục (hữu hạn chiều) nửa nhóm sinh từ phương trình đạo hàm riêng Tốn tử: Tốn tử Laplace p-Laplace, toán tử Laplace bậc phân Laplace bậc phân miền Một số kết bổ trợ: Bất đẳng thức Young với , bất đẳng thức Gronwall Gronwall Chương TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC KHƠNG ĐỊA PHƯƠNG VỚI LỚP SỐ HẠNG PHI TUYẾN MỚI Nội dung chương dành để trình bày nghiên cứu lớp phương trình parabolic không địa phương miền bị chặn với biên Dirichlet chứa lớp số hạng phi tuyến (lớp số hạng phi tuyến khơng có hạn chế điều kiện tăng trưởng) Đầu tiên, chứng minh tồn nghiệm yếu toán phương pháp compact Tiếp theo, tồn tập hút toàn cục đánh giá số chiều fractal tập hút tồn cục nửa nhóm sinh nghiên cứu Cuối cùng, chứng minh tồn nghiệm dừng đưa điều kiện đủ để nghiệm dừng ổn định mũ Nội dung chương viết dựa báo [CT1] Danh mục cơng trình khoa học 2.1 Đặt toán Cho Ω miền trơn bị chặn RN (N ≥ 1) Xét phương trình parabolic khơng địa phương     ut − a(l(u))∆u + f (u) = g(x), x ∈ Ω, t > 0,    u(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0,      u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω (2.1) Số hạng phi tuyến f , ngoại lực g hệ số khuếch tán a thỏa mãn (H1) a ∈ C(R, R+ ) Lipschitz liên tục, tức là, tồn số dương L thỏa mãn |a(t) − a(s)| ≤ L|t − s|, ∀t, s ∈ R, a(·) bị chặn, tức là, tồn hai số dương m, M thỏa mãn < m ≤ a(t) ≤ M, ∀t ∈ R Hơn nữa, giả sử a phụ thuộc liên tục vào phiếm hàm tuyến tính liên tục l(u) L2 (Ω), tức là, a = a(l(u)), với l : L2 (Ω) → R xác định l(u) = φ(x)u(x)dx, Ω φ(·) hàm cho trước L2 (Ω) (H2) f : R → R hàm khả vi liên tục thỏa mãn f (u)u ≥ −µu2 − c1 , f (u) ≥ −α, c1 , α số dương, < µ < mλ1 với λ1 > giá trị riêng toán tử (−∆, H01 (Ω)) (H3) g ∈ L2 (Ω) 2.2 Sự tồn nghiệm yếu Định nghĩa 2.2.1 Một nghiệm yếu (2.1) khoảng (0, T ) hàm u ∈ L2 (0, T ; H01 (Ω)) ∩ C([0, T ]; L2 (Ω)) thỏa mãn du dt ∈ L2 (0, T ; H −1 (Ω)) + L1 (ΩT ), f (u) ∈ L1 (ΩT ), u(0) = u0 , d u, v + a(l(u))((u, v)) + f (u), v = (g, v), dt với tất v ∈ H01 (Ω) ∩ L∞ (Ω) với hầu khắp nơi t ∈ (0, T ), ΩT = Ω × (0, T ) Sự tồn nghiệm yếu nội dung định lý sau Định lý 2.2.2 Cho trước u0 ∈ L2 (Ω) T > Giả sử (H1), (H2) (H3) thỏa mãn Khi đó, tốn (2.1) có nghiệm yếu u khoảng (0, T ) Hơn nữa, ánh xạ u0 → u(t) liên tục L2 (Ω), nghĩa là, nghiệm phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu 2.3 Sự tồn tập hút toàn cục Nhờ Định lý 2.2.2, xây dựng nửa nhóm liên tục S(t) : L2 (Ω) → L2 (Ω) liên kết với toán (2.1) xác định S(t)u0 := u(t), u(·) nghiệm yếu toán (2.1) với điều kiện ban đầu u0 Chúng ta chứng minh nửa nhóm S(t) có tập hút tồn cục A Bổ đề 2.3.1 Nửa nhóm {S(t)}t≥0 có tập hấp thụ bị chặn L2 (Ω) Bổ đề 2.3.2 Nửa nhóm {S(t)}t≥0 có tập hấp thụ bị chặn H01 (Ω) Nhờ phép nhúng compact H01 (Ω) → L2 (Ω) Bổ đề 2.3.2, định lý sau chứng minh Định lý 2.3.3 Giả sử (H1), (H2) and (H3) thỏa mãn Khi đó, nửa nhóm S(t) sinh từ tốn (2.1) có tập hút toàn cục A L2 (Ω) Để nghiên cứu tính quy tập hút tồn cục, hệ số khuếch tán thỏa mãn giả thiết sau (H1bis) a ∈ C(R, R+ ) hàm khả vi liên tục thỏa mãn điều kiện (H1) Bổ đề 2.3.4 Giả sử (H1bis), (H2) (H3)thỏa mãn, nửa nhóm {S(t)}t≥0 có tập hấp thụ bị chặn H (Ω) ∩ H01 (Ω) Nhờ phép nhúng compact H (Ω) → H01 (Ω), chứng minh định lý sau Định lý 2.3.5 Giả sử (H1bis), (H2) (H3) thỏa mãn Khi đó, nửa nhóm S(t) sinh từ tốn (2.1) có tập hút tồn cục A H01 (Ω) 2.4 Đánh giá số chiều fractal tập hút toàn cục Giả sử số hạng phi tuyến f ngoại lực g thỏa mãn điều kiện mạnh sau: (H2bis) f thỏa mãn điều kiện (H2) tồn s0 > cho f (s) ≥ g L∞ (Ω) s ≥ s0 , f (s) ≤ g L∞ (Ω) s ≤ −s0 (H3bis) g ∈ L∞ (Ω) Bổ đề 2.4.1 Giả sử (H1), (H2bis), (H3bis) thỏa mãn Khi đó, tập hút tồn cục A toán (2.1) bị chặn L∞ (Ω) Định lý sau kết phần Định lý 2.4.2 Giả sử (H1), (H2bis), (H3bis) thỏa mãn Khi đó, tập hút tồn cục A tốn (2.1) có số chiều fractal hữu hạn L2 (Ω), nghĩa là, 9eC 1−δ dimf A ≤ q ln 2.5 ln 1+δ −1 Sự tồn ổn định mũ nghiệm dừng Một nghiệm dừng yếu toán (2.1) phần tử u∗ ∈ H01 (Ω) thỏa mãn a(l(u∗ )) ∇u∗ · ∇vdx + Ω f (u∗ )vdx = Ω gvdx, Ω với tất hàm thử v ∈ H01 (Ω) ∩ L∞ (Ω) Định lý 2.5.1 Giả sử (H1), (H2) (H3) thỏa mãn Bài tốn (2.1) có nghiệm dừng yếu u∗ thỏa mãn u∗ ≤ (τ0 ), (τ ) = λ1 (4k1 τ + k2 ) , 4τ (k3 − τ ) với τ0 = k22 + 4k1 k2 k3 − k2 , k1 = c1 |Ω|, k2 = |g|22 , k3 = mλ1 − µ 4k1 Hơn nữa, điều kiện sau thỏa mãn mλ1 > α + L2 |φ|22 (τ0 ) λ1 , với nghiệm yếu u (2.1), ta có |u(t) − u∗ |22 ≤ |u(0) − u∗ |22 e−2Γ0 t với t > 0, Γ0 = mλ1 − α − L2 |φ|22 (τ0 )λ1 > Điều có nghĩa, nghiệm dừng yếu (2.1) ổn định mũ Nhận xét 2.5.2 Sự vắng mặt điều kiện tăng trưởng số hạng phi tuyến tính khơng địa phương sinh nhiều khó khăn chứng minh Tuy nhiên, kết cải tiến mở rộng số kết sau: ❼ Trường hợp a ≡ số hạng phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng tuyến tính tăng trưởng đa thức, nhận kết biết phương trình phản ứng khuếch tán với điều kiện biên Dirichlet ❼ Với số hạng phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng đa thức vắng mặt số hạng nguồn, nhận kết J Simsen J Ferreira (2014) ❼ Các kết cải tiến mở rộng kết lớp số hạng phi tuyến chứa lớp số hạng phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng tuyến tính tăng trưởng đa thức số hạng phi tuyến dạng hàm mũ 10 Chương DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC KHƠNG ĐỊA PHƯƠNG TỰA TUYẾN TÍNH Trong chương này, xem xét lớp phương trình parabolic khơng địa phương chứa toán tử p-Laplace với số hạng phi tuyến tăng trưởng kiểu đa thức Tính khơng địa phương hệ số khuếch tán xác định đại lượng toàn cục Đầu tiên, tồn nghiệm yếu toán chứng minh phương pháp compact phương pháp đơn điệu Sau đó, tồn tập hút tồn cục tính trơn tập hút tồn cục khơng gian thiết lập Cuối cùng, chứng minh tồn ổn định mũ nghiệm dừng Nội dung chương viết dựa báo [CT2] Danh mục cơng trình khoa học 3.1 Đặt toán Cho Ω ⊂ RN miền mở bị chặn với biên Lipschitz ∂Ω p ≥ Chúng ta nghiên cứu hệ phương trình parabolic khơng địa phương     ut − div a ∇u pLp (Ω) |∇u|p−2 ∇u + f (u) = g(x), x ∈ Ω, t > 0,    u(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0,      u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω Số hạng phi tuyến f , hệ số khuếch tán a ngoại lực g thỏa mãn (H1) a ∈ C(R, R+ ) tồn số dương m M thỏa mãn < m ≤ a(s) ≤ M, ∀s ∈ R Hơn nữa, ánh xạ a thỏa mãn s → a(sp )sp−1 không giảm (H2) f : R → R hàm khả vi liên tục thỏa mãn c1 |u|q − c0 ≤ f (u)u ≤ c2 |u|q + c0 , 11 (3.1) f (u) ≥ −c3 , với q ≥ 2, c0 , c1 , c2 , c3 số dương (H3) g ∈ L2 (Ω) 3.2 Sự tồn nghiệm yếu Ký hiệu ΩT := Ω × (0, T ), V := Lp (0, T ; W01,p (Ω)) ∩ Lq (ΩT ), V ∗ := Lp (0, T ; W −1,p (Ω)) + Lq (ΩT ), 1/p + 1/p = 1/q + 1/q = Định nghĩa 3.2.1 Cho u0 ∈ L2 (Ω) Một hàm u gọi nghiệm yếu toán (3.1) khoảng (0, T ) u ∈ V, ut ∈ V ∗ , u|t=0 = u0 a.e in Ω, ut v + a ΩT ∇u p Lp (Ω) |∇u|p−2 ∇u · ∇v + f (u)v − gv dxdt = 0, với hàm thử v ∈ V Bổ đề 3.2.2 Nếu u ∈ V ut ∈ V ∗ , u ∈ C([0, T ]; L2 (Ω)) Bổ đề 3.2.3 Giả sử (H1) thỏa mãn Khi đó, tốn tử −div a( ∇u p p−2 ∇u Lp (Ω) )|∇u| toán tử đơn điệu W01,p (Ω) Định lý 3.2.4 Giả sử điều kiện (H1), (H2), (H3) thỏa mãn, với u0 ∈ L2 (Ω) cho trước, tốn (3.1) có nghiệm yếu u(·) thỏa mãn u ∈ C([0, ∞); L2 (Ω)) ∩ Lploc (0, ∞; W01,p (Ω)) ∩ Lqloc (0, ∞; Lq (Ω)), ut ∈ Lploc (0, ∞; W −1,p (Ω)) + Lqloc (0, ∞; Lq (Ω)) Hơn nữa, ánh xạ u0 → u(t) (L2 (Ω), L2 (Ω))-liên tục 12 3.3 3.3.1 Sự tồn tập hút toàn cục (L2 (Ω), L2 (Ω))-Tập hút toàn cục Định lý 3.2.4 cho phép ta xây dựng nửa nhóm liên tục S(t) : L2 (Ω) → L2 (Ω) liên kết với toán (3.1) xác định S(t)u0 := u(t), u(·) nghiệm yếu toán (3.1) với điều kiện ban đầu u0 Từ chứng minh Định lý 3.2.4, suy tồn (L2 (Ω), L2 (Ω))-tập hấp thụ bị chặn B0 {S(t)}t≥0 Mệnh đề 3.3.1 Nửa nhóm {S(t)}t≥0 có (L2 (Ω), W01,p (Ω))-tập hấp thụ bị chặn B1 Nhờ vào phép nhúng compact W01,p (Ω) → L2 (Ω) Mệnh đề 3.3.1, định lý sau chứng minh Định lý 3.3.2 Giả sử điều kiện (H1), (H2), (H3) thỏa mãn Khi đó, nửa nhóm {S(t)}t≥0 sinh từ tốn (3.1) có (L2 (Ω), L2 (Ω))-tập hút toàn cục A2 3.3.2 (L2 (Ω), Lq (Ω))-Tập hút toàn cục Chúng ta chứng minh tồn (L2 (Ω), Lq (Ω))-tập hút toàn cục (L2 (Ω), W01,p (Ω)∩ Lq (Ω))-tập hút toàn cục Để chứng minh điều này, ta cần giả thiết sau (H1bis)a hàm khả vi liên tục, không giảm thỏa mãn điều kiện (H1) Mệnh đề 3.3.3 Giả sử điều kiện (H1bis), (H2), (H3) thỏa mãn Khi đó, nửa nhóm {S(t)}t≥0 có (L2 (Ω), W01,p (Ω) ∩ Lq (Ω))-tập hấp thụ bị chặn B2 , tức là, tồn số dương ρ2 thỏa mãn với tập bị chặn B L2 (Ω), tồn số dương T2 phụ thuộc vào L2 -chuẩn tập B thỏa mãn |∇u|p dx + Ω |u|q dx ≤ ρ2 , Ω với tất t ≥ T2 u0 ∈ B, u nghiệm yếu toán (3.1) với điều kiện ban đầu u0 Mệnh đề 3.3.4 Nửa nhóm {S(t)}t≥0 liên tục chuẩn-yếu S(B2 ), B2 (L2 (Ω), W01,p (Ω) ∩ Lq (Ω))-tập hấp thụ bị chặn Mệnh đề 3.3.3 Định lý 3.3.5 Giả sử điều kiện (H1bis), (H2), (H3) thỏa mãn Khi đó, nửa nhóm S(t) liên kết với tốn (3.1) có (L2 (Ω), Lq (Ω))-tập hút toàn cục Aq 13 (L2 (Ω), W01,p (Ω) ∩ Lq (Ω))-Tập hút toàn cục 3.3.3 Bổ đề 3.3.6 Giả sử điều kiện (H1bis), (H2), (H3) thỏa mãn Khi đó, với tập bị chặn B L2 (Ω), tồn số dương T3 = T3 (B) thỏa mãn ut (s) ut (s) = L2 (Ω) ≤ ρ3 , với u0 ∈ B, s ≥ T3 , d (S(t)u0 )|t=s ρ3 số dương không phụ thuộc vào u0 dt Bổ đề 3.3.7 Cho p ≥ Giả sử điều kiện (H1bis) thỏa mãn, với u1 , u2 ∈ W01,p (Ω), ta có p p−2 ∇u1 Lp (Ω) )|∇u1 | −div a( ∇u1 a( ∇u1 = Ω ≥ cp u1 − u2 p p−2 ∇u1 Lp (Ω) )|∇u1 | + div a( ∇u2 − a( ∇u2 p p−2 ∇u2 Lp (Ω) )|∇u2 | p p−2 ∇u2 Lp (Ω) )|∇u2 | , u1 − u2 · ∇(u1 − u2 )dx p , W01,p (Ω) cp =   m p = 2,   m p > 8.3p/2 Định lý 3.3.8 Giả sử điều kiện (H1bis), (H2), (H3) thỏa mãn Khi đó, nửa nhóm {S(t)}t≥0 liên kết với (3.1) có (L2 (Ω), W01,p (Ω) ∩ Lq (Ω))-tập hút toàn cục A 3.4 Sự tồn ổn định mũ nghiệm dừng Một phần tử u∗ ∈ W01,p (Ω) ∩ Lq (Ω) gọi nghiệm dừng yếu toán (3.1) a( ∇u∗ p Lp (Ω) ) |∇u∗ |p−2 ∇u∗ · ∇vdx + Ω f (u∗ )vdx = Ω gvdx, Ω với hàm thử v ∈ W01,p (Ω) ∩ Lq (Ω) Định lý 3.4.1 Giả sử điều kiện (H1), (H2), (H3) thỏa mãn, tốn (3.1) có nghiệm yếu dừng u∗ thỏa mãn u∗ p W01,p (Ω) + u∗ q Lq (Ω) ≤ , p = 2p c0 |Ω|(pmλ1 ) p + |Ω| (p−2)p 2p g p 1, 2cm1 mp (pmλ1 ) p 14 p p L2 (Ω) Hơn nữa, f tăng ngặt, tức là, f (s) ≥ α > với s ∈ R, với nghiệm yếu u (3.1), ta có u(t) − u∗ L2 (Ω) ≤ u(0) − u∗ −2αt L2 (Ω) e với t > Tức là, nghiệm dừng yếu toán (3.1) ổn định mũ Nhận xét 3.4.2 Nếu p = 2, a thỏa mãn (H1bis) mλ1 > c3 , ta kiểm tra nghiệm dừng yếu u∗ ổn định mũ Hơn nữa, với nghiệm yếu u (3.1), ta có u(t) − u∗ L2 (Ω) ≤ u(0) − u∗ −2(mλ1 −c3 )t L2 (Ω) e với t > Nhận xét 3.4.3 Trong trường hợp p > 2, toán tử p-Laplace khơng tốn tử tuyến tính Do đó, kỹ thuật chương khác với kỹ thuật chương Hơn nữa, điều kiện Bổ đề 1.2.33 chưa thỏa mãn, ngun nhân tính khơng tuyến tính tốn tử p-Laplace tính khơng địa phương phương trình gây Vì vậy, ước lượng số chiều fractal tập hút toàn cục chương chưa giải Chúng ta phải sử dụng cách tiếp cận khác để đạt kết Nhận xét 3.4.4 Đại lượng không địa phương phụ thuộc vào Lp -chuẩn gradient sinh nhiều khó khăn tốn Điều dẫn tới kỹ thuật chương có nhiều khác biệt với chương Các kết đạt cải tiến mở rộng kết biết sau: ❼ Trường hợp a ≡ 1, nhận số kết Babin Vishik (1992), Temam (1997), Geredeli et al (2013, 2015) (tham khảo thêm kết Carvalho et al (1999, 2001, 2003) với toán tử đơn điệu) ❼ Trường hợp f = 0, g ∈ W −1,p (Ω) u0 ∈ W01,p (Ω) ∩ L2 (Ω) với < p < ∞, p + p1 , có kết M Chipot T Savitska (2014), tác giả không đề cập tới tập hút tồn cục ❼ Các kết chúng tơi kết chứng minh tồn tập hút tồn cục cho phương trình 15 Chương TẬP HÚT TỒN CỤC ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC KHƠNG ĐỊA PHƯƠNG CHỨA TOÁN TỬ LAPLACE BẬC PHÂN VÀ TOÁN TỬ LAPLACE BẬC PHÂN MIỀN VỚI LỚP SỐ HẠNG PHI TUYẾN MỚI Trong chương này, sử dụng phương pháp dạng Dirichlet miền không trơn để nghiên cứu lớp phương trình parabolic khơng địa phương chứa tốn tử Laplace bậc phân toán tử Laplace bậc phân miền với điều kiện biên khác lớp số hạng phi tuyến Đầu tiên, tồn nghiệm yếu toán thiết lập việc sử dụng phương pháp compact kỷ thuật hội tụ yếu khơng gian Orlicz Sau đó, tồn tập hút toàn cục đánh giá số chiều fractal tập hút toàn cục chứng minh Tính khơng có hạn chế điều kiện tăng trưởng số hạng phi tuyến Nội dung chương viết dựa báo [CT3] Danh mục cơng trình khoa học 4.1 Đặt tốn Chúng ta xét phương trình khuếch tán khơng địa phương chứa tốn tử Laplace bậc phân (−∆)s với điều kiện biên Dirichlet mở    ut + (−∆)s u + f (u) = g    u=0     u(x, 0) = u0 (x) rộng Ω × (0, ∞), (RN \Ω) × (0, ∞), (4.1) Ω, phương trình khuếch tán khơng địa phương chứa tốn tử Laplace bậc phân miền AsΩ với điều kiện biên Dirichlet, Neumann bậc phân Robin bậc phân    ut + AsΩ u + f (u) = g Ω × (0, ∞),    u=0 ∂Ω × (0, ∞),     u(x, 0) = u0 (x) Ω, 16 (4.2)    ut + AsΩ u + f (u) = g    N 2−2s u =     u(x, 0) = u0 (x) Ω × (0, ∞), (4.3) ∂Ω × (0, ∞), Ω,    ut + AsΩ u + f (u) = g Ω × (0, ∞),    BN,s N 2−2s u + γu = ∂Ω × (0, ∞),     u(x, 0) = u0 (x) Ω, (4.4) N 2−2s u ký hieeuh đạo hàm bậc phân pháp tuyến hàm u, BN,s số chuẩn hóa, γ số dương Chúng ta viết lại hệ từ (4.1) đến (4.4) dạng chung  ut + AK u + f (u) = g Ω × (0, ∞), u(x, 0) = u (x) Ω (4.5) Để nghiên cứu hệ (4.5), giả thiết điều kiện sau thỏa mãn: (F) f : R → R hàm khả vi liên tục thỏa mãn (i) Nếu K ∈ {D, R, E}, ta có f (u)u ≥ −µu2 − c1 , (4.6) f (u) ≥ − , (4.7) c1 , số dương < µ < CK,s (ii) Nếu K = N , fN (u) = f (u) − ηu thỏa mãn (4.6)-(4.7) với η ≥ |Ω| < µ < CN ,s (G) g ∈ L2 (Ω) (D) Miền Ω s thỏa mãn điều kiện sau: (i) Nếu K ∈ {D, E}, Ω miền mở bị chặn < s < 1, (ii) Nếu K ∈ {N , R}, Ω miền bị chặn với biên trơn Lipschitz 4.2 < s < Sự tồn nghiệm yếu Ký hiệu WKs,2 (Ω), K ∈ {D, N , R, E}, WDs,2 (Ω) := W0s,2 (Ω), WEs,2 (Ω) := W0s,2 (Ω) = {u ∈ W s,2 (RN ), u = on RN \Ω}, WNs,2 (Ω) ≡ WRs,2 (Ω) := W s,2 (Ω) Hơn nữa, WK−s,2 (Ω) := (WKs,2 (Ω))∗ không gian đối ngẫu không gian WKs,2 (Ω) 17 Định nghĩa 4.2.1 Một nghiệm yếu toán (4.5) khoảng (0, T ) hàm u ∈ L2 (0, T ; WKs,2 (Ω)) ∩ C([0, T ]; L2 (Ω)) thỏa mãn du dt ∈ L2 (0, T ; WK−s,2 (Ω)) + L1 (ΩT ), f (u) ∈ L1 (ΩT ), u(0) = u0 hầu khắp nơi phương trình d u, v + EK (u, v) + f (u), v = g, v , dt thỏa mãn với hàm thử v ∈ WKs,2 (Ω) ∩ L∞ (Ω), K ∈ {D, N , R, E} với hầu khắp nơi t ∈ (0, T ), ΩT = Ω × (0, T ) Định lý 4.2.2 Cho trước u0 ∈ L2 (Ω) T > Giả sử điều kiện (F), (G), (D) thỏa mãn Khi đó, tốn (4.5) có nghiệm yếu u khoảng (0, T ) Hơn nữa, ánh xạ u0 → u(t) liên tục L2 (Ω), tức là, nghiệm phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu 4.3 Sự tồn tập hút toàn cục Nhờ Định lý 4.2.2, với K ∈ {D, N , R, E}, xây dựng nửa nhóm liên tục SK (t) : L2 (Ω) → L2 (Ω) liên kết với toán (4.5) sau: SK (t)u0 := u(t), u(·) nghiệm toàn cục (4.5) với điều kiện ban đầu u0 Chúng ta chứng minh nửa nhóm SK (t) có tập hút tồn cục AK Bổ đề 4.3.1 Nửa nhóm {SK (t)}t≥0 sinh từ tốn (4.5) có tập hấp thụ bị chặn B0K L2 (Ω) Bổ đề 4.3.2 Nửa nhóm {SK (t)}t≥0 sinh từ tốn (4.5) có tập hấp thụ bị chặn B1K WKs,2 (Ω)) Nhờ phép nhúng compact WKs,2 (Ω) → L2 (Ω) Bổ đề 4.3.2, định lý sau chứng minh Định lý 4.3.3 ((L2 (Ω), L2 (Ω))-Tập hút toàn cục) Giả sử điều kiện (F), (G), (D) thỏa mãn Khi đó, với K ∈ {D, N , R, E}, nửa nhóm SK (t) sinh từ tốn (4.5) có tập hút toàn cục A1K L2 (Ω) Bổ đề 4.3.4 Giả sử điều kiện (F), (G), (D) thỏa mãn Khi đó, với tập bị chặn B2 L2 (Ω), tồn số T = T (B2 ) > thỏa mãn ut (s) ut (s) = L2 (Ω) d (SK (t)u0 )|t=s dt ≤ ρ2 với u0 ∈ B2 , s ≥ T, với K ∈ {D, N , R, E} ρ2 số dương không phụ thuộc vào B2 18 Bổ đề 4.3.5 Giả sử điều kiện (F), (G), (D) thỏa mãn Khi đó, với K ∈ {D, N , R, E}, nửa nhóm {SK (t)}t≥0 sinh từ tốn (4.5) (L2 (Ω), WKs,2 (Ω))compact tiệm cận Kết sau suy trực tiếp từ Bổ đề 4.3.2, 4.3.5 Định lý 4.3.6 ((L2 (Ω), WKs,2 (Ω))-Tập hút toàn cục) Giả sử điều kiện (F), (G), (D) thỏa mãn Khi đó, với K ∈ {D, N , R, E}, nửa nhóm {SK (t)}t≥0 sinh từ tốn (4.5) có (L2 (Ω), WKs,2 (Ω))-tập hút tồn cục A2K Nhận xét 4.3.7 Các tập hút toàn cục A1K A2K nhận Định lý 4.3.3 Định lý 4.3.6 tính tập hút tồn cục nửa nhóm ký hiệu AK Đặc biệt, AK tập compact liên thông WKs,2 (Ω) 4.4 Đánh giá số chiều fractal tập hút toàn cục Giả sử số hạng phi tuyến f ngoại lực g thỏa mãn điều kiện mạnh sau: (Fbis) f thỏa mãn điều kiện (F) tồn s0 > thỏa mãn fK (s) ≥ g L∞ (Ω) s ≥ s0 , fK (s) ≤ g L∞ (Ω) s ≤ −s0 , fK (s) = f (s) K ∈ {D, R, E} fK (s) = fN (s) K = N (Gbis) g ∈ L∞ (Ω) Mệnh đề 4.4.1 Cho u ∈ WKs,2 (Ω), K ∈ {D, N , R, E} số thực k ≥ Khi đó, uk ∈ WKs,2 (Ω) EK (uk , uk ) ≤ EK (u, uk ), ∀k ≥ Bổ đề 4.4.2 Giả sử điều kiện (Fbis), (Gbis), (D) thỏa mãn Khi đó, tập hút tồn cục AK sinh từ tốn (4.5) bị chặn L∞ (Ω) Định lý sau kết phần Định lý 4.4.3 Giả sử điều kiện (Fbis), (Gbis), (D) thỏa mãn Khi đó, với K ∈ {D, N , R, E}, tập hút tồn cục AK tốn (4.5) có số chiều fractal hữu hạn L2 (Ω), tức là, dimf AK ≤ q ln( 9e )[ln( )]−1 1−δ 1+δ 19 Nhận xét 4.4.4 Bằng việc lặp lại lập luận tương tự Mục 2.5, Chương 2, nhận kết tồn ổn định mũ nghiệm dừng cho toán chương Nhận xét 4.4.5 Toán tử Laplace bậc phân toán tử Laplace bậc phân miền tốn tử khơng địa phương Cùng với việc khơng có hạn chế điều kiện tăng trưởng số hạng phi tuyến loại điều kiện biên, kỹ thuật chương có nhiều khác biệt với hai chương trước Chúng ta sử dụng phương pháp dạng Dirichlet miền không trơn để nghiên cứu lớp phương trình chương kết đạt cải tiến mở rộng kết biết sau: ❼ Trường hợp số hạng phi tuyến thỏa mãn tăng trưởng kiểu đa thức phương pháp nghiên cứu chương, nhận kết C.G Gal M Warma (2016) ❼ Đối với phương trình phản ứng khuếch tán chứa toán tử Laplace bậc phân với điều kiện biên Dirichlet mở rộng khơng có hạn chế điều kiện tăng trưởng số hạng phi tuyến, có kết C Zhang et al (2018), tác giả không sử dụng phương pháp dạng Dirichlet miền không trơn ❼ Các kết đạt chương cải tiến mở rộng kết bên khơng có hạn chế điều kiện tăng trưởng số hạng phi tuyến tất loại điều kiện biên nghiên cứu 20 KẾT LUẬN VÀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO Kết luận Trong luận án này, chúng tơi nghiên cứu số tốn khơng địa phương Kết luận án nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm toán parabolic không địa phương thông qua nghiên cứu tồn tập hút toàn cục (hữu hạn chiều) nghiên cứu tồn ổn định mũ nghiệm dừng, cụ thể Sự tồn nghiệm yếu, tồn tập hút toàn cục, số chiều fractal hữu hạn tập hút toàn cục, tồn ổn định mũ nghiệm dừng phương trình parabolic khơng địa phương chứa toán tử Laplace lớp số hạng phi tuyến Sự tồn nghiệm yếu, tồn tập hút toàn cục, tồn ổn định mũ nghiệm dừng phương trình parabolic khơng địa phương chứa tốn tử p-Laplace Sự tồn nghiệm yếu, tồn tập hút toàn cục, số chiều fractal hữu hạn tập hút tồn cục phương trình parabolic khơng địa phương chứa tốn tử Laplace bậc phân toán tử Laplace bậc phân miền với lớp số hạng phi tuyến Kết luận án góp phần làm phong phú thêm nghiên cứu hệ động lực vơ hạn chiều phương trình parabolic khơng địa phương Vấn đề nghiên cứu Tôi tiếp tục nghiên cứu lớp phương trình khơng địa phương Đặc biệt, tơi quan tâm nhiều đến mơ hình học chất lỏng 21 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC Cơng trình khoa học cơng bố [CT1] C.T Anh, L.T Tinh and V.M Toi, Global attractors for nonlocal parabolic equations with a new class of nonlinearities, J Korean Math Soc 55 (2018), no 3, 531-551 (SCIE) [CT2] L.T Thuy and L.T Tinh, Long-time behavior of solutions to a nonlocal quasilinear parabolic equation, Commun Korean Math Soc 34 (2019), no 4, 1365-1388 (Scopus) Cơng trình khoa học gửi đăng [CT3] C.T Anh and L.T Tinh, Global attractors for nonlocal parabolic equations involving the regional fractional Laplacian with a new class of nonlinearities, submitted (2019) 22 ... cứu phương trình đạo hàm riêng Trong hai mươi năm qua, lý thuyết phương trình địa phương khơng địa phương có phát triển mạnh mẽ, đặc biệt lý thuyết phương trình parabolic Các phương trình địa phương. .. chất phương trình, chẳng hạn tính nghiệm phương trình khơng đạt được, tính trơn nghiệm khơng đạt Vì vậy, cần phương pháp nghiên cứu tốt vi? ??c nghiên cứu phương trình parabolic khơng địa phương. .. lớp phương trình parabolic không địa phương quan trọng liên quan tới nội dung luận án sau: Lớp phương trình thứ lớp phương trình parabolic khơng địa phương chứa tốn tử Laplace Tính khơng địa phương