bài giảng GT 3 phần chuỗi

Chủ đề 1 MÔN MĨ THUẬT CỦA EM Bài 1. MÔN MĨ THUẬT CỦA EM (2 tiết) I.MỤC TIÊU BÀI HỌC 1. Phẩm chất Bài học Góp phần hình thành và phát triển cho HS tình yêu thiên nhiên, cuộc sống, tính chăm chỉ, ý thức trách nhiệm,... thông qua một số biểu hiện cụ thể sau:  Yêu thích cái đẹp trong thiên nhiên, trong đời sống; yêu thích các sản phẩm, tác phẩm mĩ thuật.  Có ý thức chuẩn bị đồ dùng, vật liệu phục vụ bài học và bảo quản các đồ dùng học tập của mình, của bạn, trong lớp, trong trường,... 2. Năng lực Bài học Góp phần từng bước hình thành, phát triển các năng lực sau: 2.1. Năng lực mĩ thuật  Nhận biết một số đồ dùng, vật liệu cần sử dụng trong tiết học; nhận biết tên gọi một số sản phẩm, tác phẩm mĩ thuật.  Nêu được tên một số đồ dùng, vật liệu; gọi được tên một số sản phẩm mĩ thuật trong bài học; lựa chọn được hình thức thực hành để tạo sản phẩm.  Bước đầu biết chia sẻ về sản phẩm, tác phẩm mĩ thuật do bản thân, bạn bè, những người xung quanh tạo ra trong học tập và đời sống. 2.2. Năng lực chung  Năng lực tự chủ và tự học: Biết tự chuẩn bị đồ dùng, vật liệu để học tập; . tự lựa chọn nội dung thực hành.  Năng lực giao tiếp và hợp tác: Biết trao đổi, thảo luận, nhận xét, phát biểu về các nội dung của bài học với GV và bạn học.  Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo: Biết quan sát, phát hiện vẻ đẹp ở đối tượng quan sát; biết sử dụng các đồ dùng, công cụ,... để sáng tạo sản phẩm. 2.3. Năng lực đặc thù khác  Năng lực ngôn ngữ: Hình thành thông qua các hoạt động trao đổi, thảo luận theo chủ đề.  Năng lực thể chất: Biểu hiện ở hoạt động tay trong các kĩ năng thao tác sử dụng đồ dùng như vẽ tranh, cắt hình, nặn, hoạt động vận động. II. CHUẨN BỊ CỦA HỌC SINH VÀ GIÁO VIÊN 1. Học sinh: GV và phụ huynh cùng phối hợp hướng dẫn HS tự chuẩn bị:  Các đồ dùng cần thiết như gợi ý trong bài 1 SGK Mĩ thuật 1.  SGK Mĩ thuật 1, Vở thực hânh Mĩ thuật 1, giấy vẽ,...  Ảnh, bức tranh về sản phẩm thủ công (nếu có thể).

Mục lục Mục lục Chương CHUỖI 1.1 Khái niệm chuỗi số 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Điều kiện cần để chuỗi hội tụ 1.1.3 Tính chất chuỗi hội tụ 1.2 Chuỗi không âm 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Dấu hiệu hội tụ tích phân Cauchy 1.2.3 Một số chuỗi không âm 1.2.4 Tiêu chuẩn so sánh 1.2.5 Tiêu chuẩn so sánh 1.2.6 Tiêu chuẩn D’ Alembert 1.2.7 Tiêu chuẩn Cauchy 1.3 Chuỗi có dấu tùy ý 1.3.1 Sự hội tụ tuyệt đối 1.3.2 Chuỗi đan dấu Tiêu chuẩn Leibnitz 1.4 Sơ đồ khảo sát hội tụ chuỗi 10 1.5 Chuỗi lũy thừa 11 1.5.1 Miền hội tụ 11 1.5.2 Bán kính hội tụ 12 1.5.3 Dấu hiệu D’ Alembert 12 1.5.4 Dấu hiệu Cauchy 12 1.5.5 Tính chất chuỗi lũy thừa 13 1.5.6 Chuỗi Taylor- Maclaurin 13 1.6 Một số phương pháp tính tổng chuỗi 14 1.6.1 Tính trực tiếp giới hạn dãy tổng riêng chuỗi 14 1.6.2 Sử dụng khai triển Taylor-Maclaurin hàm 15 1.6.3 Sử dụng đạo hàm tích phân chuỗi 16 MỤC LỤC 1.7 Bài tập 17 1.7.1 Điều kiện cần để chuỗi hội tụ 17 1.7.2 Chuỗi không âm 17 1.7.3 Chuỗi có dấu tùy ý 19 1.7.4 Chuỗi lũy thừa 20 1.7.5 Tính tổng chuỗi 20 Chương1 CHUỖI 1.1 1.1.1 1.1 Khái niệm chuỗi số 1.2 Chuỗi không âm 1.3 Chuỗi có dấu tùy ý 1.4 Sơ đồ khảo sát hội tụ chuỗi 10 1.5 Chuỗi lũy thừa 11 1.6 Một số phương pháp tính tổng chuỗi 14 1.7 Bài tập 17 Khái niệm chuỗi số Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Biểu thức có dạng a1 + a2 + + an + , ∞ với số thực, i = 1, 2, , n, gọi chuỗi số thực Ký hiệu an n=1 Chú ý Thường phần tử chuỗi đánh số từ Tuy nhiên, số trường hợp, thường đánh số phần tử chuỗi từ n = phần tử tổng qt an khơng có nghĩa Khi ∞ an = a1 + a2 + + an + n=1 Nói chung phần tử chuỗi đánh số từ số n0 ∈ N Khi ∞ an = an0 + an0 +1 + + an + n=n0 gọi chuỗi n Định nghĩa 1.2 Với n ∈ N tổng Sn = ∞ chuỗi số thực an n=1 ak = a1 + a2 + + an gọi tổng riêng thứ n k=1 1.1 Khái niệm chuỗi số ∞ Định nghĩa 1.3 Chuỗi số thực an gọi hội tụ, tồn giới hạn hữu hạn S dãy n=1 số {Sn }∞ n=1 Khi đó, S gọi tổng chuỗi số ∞ an Vậy n=1 ∞ an = S ⇔ lim Sn = S, S = ∞ n→∞ n=1 Ví dụ 1.1.1 Xét chuỗi số 1+ 1 + + + n−1 + = ∞ n=1 2n−1 Tổng riêng thứ n Sn = + − 21n 1 1 + + + n−1 = = − 2n 1− Cho n → ∞ giới hạn tổng riêng Sn lim Sn = lim − n→∞ n→∞ 2n = Vậy chuỗi số cho hội tụ có tổng ∞ n=1 2n−1 ∞ Định nghĩa 1.4 Chuỗi số thực n=1 =1+ 1 + + + n−1 + = 2 an gọi phân kỳ, dãy tổng riêng {Sn }∞ n=1 khơng có giới hạn hữu hạn n → ∞, có nghĩa giới hạn khơng tồn vơ ∞ Ví dụ 1.1.2 Khảo sát hội tụ chuỗi số q n , q ∈ R Nếu chuỗi hội tụ tính tổng n=1 Tổng riêng thứ n chuỗi cho  n  q(1 − q ) , q = 1−q Sn = qk = q + q2 + + qn =  n, q = k=1 n qn) q(1 − Khi |q| = lim n→∞ 1−q = lim n→∞ q n+1 q − 1−q 1−q q , |q| < 1−q =  ∞, |q| >   Khi q = lim Sn = lim n = ∞ n→∞ n→∞ ∞ Khi q = −1 chuỗi cho trở thành (−1)n = −1 + − + − + + − + n=1 Đối với chuỗi tổng riêng S1 = −1, S2 = −1 + = 0, S3 = −1 + − = −1, S4 = −1 + − + = 0, , S2k+1 = −1, S2k = 0, ∀k = 1, 2, Như vậy, tồn hai dãy ∞ ∞ {S2k+1 }∞ k=1 {S2k }k=1 dãy {Sn }n=1 có giới hạn khác lim S2k+1 = −1, k→∞ lim S2k = k→∞ Do đó, giới hạn dãy tổng riêng {Sn }∞ n=1 n → ∞ không tồn tại, có nghĩa chuỗi ∞ (−1)n phân kỳ n=1 ∞ Tóm lại chuỗi CHUỖI q n , q ∈ R hội tụ |q| < phân kỳ |q| n=1 Khi |q| < tổng chuỗi cho ∞ qn = n=1 q 1−q ∞ Ví dụ 1.1.3 Tìm tổng chuỗi n=1 n(n + 1) Dãy tổng riêng chuỗi cho {Sn }∞ n=1 với Sn = 1 + + + 1.2 2.3 n(n + 1) Nhận xét thấy 1 = − , n(n + 1) n n+1 Do Sn = 1 1 1 − + − + + − =1− 2 n n+1 n+1 Từ ta có lim Sn = lim n→∞ Vậy tổng chuỗi cho n→∞ ∞ n=1 1.1.2 n ∈ N n+1 1− = 1 = n(n + 1) Điều kiện cần để chuỗi hội tụ +∞ an hội tụ lim an = Định lý 1.1 Nếu chuỗi n→+∞ n=1 +∞ Chứng minh Nếu chuỗi an hội tụ tồn giới hạn dãy tổng riêng chuỗi này, n=1 có nghĩa lim Sn = S Khi theo tính chất giới hạn dãy hội tụ, ta có n→∞ lim an = lim (Sn − Sn−1 ) = lim Sn − lim Sn−1 = S − S = n→+∞ n→+∞ n→+∞ n→+∞ +∞ Chú ý Điều kiện lim an = điều kiện đủ để chuỗi n→+∞ an hội tụ n=1 +∞ Ví dụ 1.1.4 Khảo sát hội tụ chuỗi √ n n=1 +∞ 1 √ Đối với chuỗi này, điều kiện cần thỏa mãn: lim an = lim √ = Tuy nhiên chuỗi n→+∞ n→+∞ n n n=1 phân kỳ Tổng riêng chuỗi 1 Sn = + √ + + √ n √ n √ = n, n ∈ N n Theo tính chất giới hạn, ta có lim Sn n→+∞ lim n→+∞ √ n = +∞ ⇒ lim Sn = +∞ n→+∞ 1.2 Chuỗi không âm +∞ Vậy chuỗi √ phân kỳ n n=1 Chú ý Nếu điều kiện cần để chuỗi hội tụ khơng thỏa mãn chuỗi phân kỳ +∞ Hệ 1.1 Nếu an khơng có giới hạn có giới hạn khác n → ∞ chuỗi an n=1 phân kỳ +∞ n=1 an = n5 2n + 2n + 3n+2 = n5 1+ 2n + 3n+2 2n + 2n + n5 Ví dụ 1.1.5 Khảo sát hội tụ chuỗi 2n+1 2(3n+2) 2n+1 n→∞ −−−→ ∞ Vậy chuỗi cho phân kỳ theo điều kiện cần 1.1.3 Tính chất chuỗi hội tụ 10 Chuỗi +∞ +∞ an hội tụ chuỗi an , (n0 > 1) hội tụ Khi n=n0 n=1 n0 −1 +∞ an = n=1 20 Nếu chuỗi +∞ an + an n=n0 n=1 +∞ +∞ α.an (α ∈ R) hội tụ có tổng α.S an hội tụ có tổng S chuỗi n=1 n=1 +∞ +∞ α.an = α n=1 30 Nếu chuỗi an n=1 +∞ +∞ +∞ bn hội tụ có tổng S1 , S2 chuỗi an n=1 (an + bn ) hội n=1 n=1 tụ có tổng S1 + S2 +∞ +∞ (an + bn ) = n=1 1.2 +∞ an + n=1 bn n=1 Chuỗi không âm 1.2.1 Định nghĩa +∞ Định nghĩa 1.5 Chuỗi 0, n ∈ N an gọi chuỗi không âm an n=1 Chú ý Đối với chuỗi khơng dương, chuyển chuỗi không âm khảo sát hội tụ chúng +∞ +∞ (−an ) = − n=1 an , (an 0, n ∈ N) n=1 +∞ an không giảm, Sn+1 − Sn = an+1 Dãy tổng riêng chuỗi khơng âm Khi n=1 +∞ theo định lý Weierstrass, dãy {Sn } có giới hạn hữu hạn (chuỗi an hội tụ) dãy n=1 CHUỖI {Sn } bị chặn trên, có nghĩa tồn M > cho Sn không âm hội tụ, ta ký hiệu M, n ∈ N Do đó, chuỗi +∞ an < +∞ n=1 +∞ an phân kỳ dãy {Sn } khơng bị chặn trên, có nghĩa lim Sn = +∞ Chuỗi n→∞ n=1 Khi đó, chuỗi không âm hội tụ, ta ký hiệu +∞ an = +∞ n=1 1.2.2 Dấu hiệu hội tụ tích phân Cauchy Định lý 1.2 Cho f (x) hàm liên tục, không âm, đơn điệu giảm khoảng [1, +∞) Khi ∞ ´∞ chuỗi f (n) tích phân suy rộng loại f (x)dx hội tụ phân kỳ n=1 Ví dụ 1.2.1 Khảo sát hội tụ chuỗi ∞ 1 n ln n n=2 ∞ 2 n=2 n ln n Vì hàm x, ln x, ln2 x liên tục, không âm, đơn điệu tăng khoảng [2, ∞) nên hàm 1 liên tục, không âm, đơn điệu giảm khoảng [2, ∞) , x ln x x ln2 x Mặt khác, ˆ∞ ˆ∞ dx d(ln x) = = [ln ln x]∞ = +∞ x ln x ln x ˆ∞ Ta có tích phân ∞ dx = x ln2 x ˆ∞ d(ln x) = − ln x ln x ´∞ dx phân kỳ nên chuỗi x ln x ∞ = ln ´∞ dx , cịn tích phân hội tụ nên chuỗi n=2 n ln n x ln x ∞ hội tụ n=2 n ln n 1.2.3 Một số chuỗi không âm Từ định nghĩa chuỗi dấu hiệu tích phân, ta thu số chuỗi không âm bản: +∞ q n hội tụ |q| < phân kỳ |q| n=1 +∞ hội tụ α > phân kỳ α α n=1 n +∞ n=2 nα lnβ n hội tụ α > α = 1, β > phân kỳ α < α = 1, β 7 1.2 Chuỗi không âm 1.2.4 Tiêu chuẩn so sánh +∞ +∞ an , Định lý 1.3 Hai chuỗi n=1 bn thỏa điều kiện n=1 +∞ n=1 an hội tụ n=1 +∞ +∞ an phân kỳ Nếu n0 +∞ bn hội tụ Nếu bn , ∀n an bn phân kỳ n=1 n=1 + (−1)n 2n+3 n=1 +∞ Ví dụ 1.2.2 Khảo sát hội tụ chuỗi + (−1)n = n = bn , ∀n n+3 n+3 2 +∞ +∞ 1/2 Mặt khác, = = nên bn hội tụ Vậy n − 1/2 n=1 n=1 1.2.5 an = +∞ an hội tụ n=1 Tiêu chuẩn so sánh +∞ +∞ an , Định lý 1.4 Cho n=1 bn hai chuỗi khơng âm Tính K = lim n→+∞ n=1 +∞ K = Nếu an bn +∞ bn hội tụ n=1 an hội tụ n=1 +∞ K hữu hạn Chuỗi +∞ an n=1 bn hội tụ phân kỳ n=1 +∞ +∞ K = +∞ Nếu bn hội tụ an hội tụ n=1 n=1 e n + n3 n n=1 + ln n +∞ Ví dụ 1.2.3 Khảo sát hội tụ chuỗi Ta có an = en + n3 2n + ln3 n n→∞ ∼ en e = n 2 +∞ n = bn Mặt khác n=1 +∞ ln(1 + sin n1 ) n=1 n + ln2 n Ví dụ 1.2.4 Khảo sát hội tụ chuỗi Ta có an = ln(1 + sin n1 ) n + ln n n→∞ ∼ sin n1 n n→∞ ∼ Ví dụ 1.2.5 Khảo sát hội tụ chuỗi +∞ √ +∞ an phân kỳ n=1 √ n3 (cosh πn − 1) n→∞ ∼ n3/2 π n an phân kỳ n=1 = bn Mặt khác n2 n=1 Ta có an = +∞ bn phân kỳ nên +∞ +∞ bn hội tụ nên n=1 an hội tụ n=1 n3 (cosh πn − 1) n→∞ ∼ π2 = bn Mặt khác n1/2 +∞ bn phân kỳ nên n=1 1.2.6 CHUỖI Tiêu chuẩn D’ Alembert +∞ an , thỏa điều kiện an > 0, n Định lý 1.5 Chuỗi an+1 , D giới hạn hữu an n0 D = lim n→+∞ n=1 hạn vô +∞ D < chuỗi an hội tụ n=1 +∞ D > D = +∞ chuỗi an phân kỳ n=1 D = chưa kết luận được, chuỗi hội tụ phân kỳ +∞ Chú ý Trường hợp D = ta chưa kết luận chuỗi hội tụ hay phân kỳ Ví dụ chuỗi an+1 n = lim = phân kỳ Tuy nhiên chuỗi n→+∞ an n→+∞ n + n2 lim = hội tụ n→+∞ (n + 1)2 có D = lim +∞ có D = n=1 n n=1 n an+1 = n→+∞ an lim 3n n! n n=1 n +∞ Ví dụ 1.2.6 Khảo sát hội tụ chuỗi 3n n! an+1 3n+1 (n + 1)! nn Xét = = nn an (n + 1)n+1 3n n! kỳ theo D’Alembert Ta có an = n n+1 n n→∞ −−−→ > Vậy e +∞ an phân n=1 +∞ Ví dụ 1.2.7 Khảo sát hội tụ chuỗi Ta có an = 2.5.8 (3n − 1) n=1 1.6.11 (5n − 4) 2.5.8 (3n − 1) an+1 2.5.8 (3n − 1)(3n + 2) 1.6.11 (5n − 4) Xét = = 1.6.11 (5n − 4) an 1.6.11 (5n − 4)(5n + 1) 2.5.8 (3n − 1) 3n + n→∞ −−−→ < Vậy 5n + +∞ an hội tụ theo D’Alembert n=1 Chú ý Từ ví dụ trên, ta thấy dấu hiệu D’Alembert áp dụng hiệu để khảo sát chuỗi có phần tử an dạng phân số, có tử số mẫu số tích n phần tử dãy số 1.2.7 Tiêu chuẩn Cauchy +∞ an , thỏa điều kiện an > 0, n Định lý 1.6 Chuỗi n0 C = lim n→+∞ n=1 hạn vô +∞ C < chuỗi an hội tụ n=1 +∞ C > C = +∞ chuỗi an phân kỳ n=1 C = chưa kết luận được, chuỗi hội tụ phân kỳ +∞ Ví dụ 1.2.8 Khảo sát hội tụ chuỗi n=1 n5 3n + 4n + n √ n an , C giới hạn hữu 1.3 Chuỗi có dấu tùy ý n 3n + 4n + Ta có an = n5 Xét √ n an = √ n n5 3n + n→∞ −−−→ < 4n + +∞ Vậy an hội tụ theo Cauchy n=1 Chú ý Từ ví dụ trên, ta thấy dấu hiệu Cauchy áp dụng hiệu để khảo sát chuỗi có phần tử an dạng tích, có chứa biểu thức mũ n 1.3 Chuỗi có dấu tùy ý Khác với chuỗi không âm, chuỗi không dương, chuỗi mà phần tử có dấu khác nhau, gọi chuỗi có dấu thay đổi 1.3.1 Sự hội tụ tuyệt đối +∞ +∞ Định nghĩa 1.6 Chuỗi |an | hội tụ an gọi hội tụ tuyệt đối, chuỗi n=1 n=1 +∞ +∞ |an | hội tụ chuỗi Định lý 1.7 Nếu chuỗi n=1 an hội tụ n=1 Chú ý Theo định lý này, khảo sát hội tụ chuỗi ta việc khảo sát hội tụ tuyệt đối Vì hội tụ tuyệt đối hội tụ chuỗi không âm nên dấu hiệu hội tụ +∞ |an | chuỗi khơng âm ta áp dụng chuỗi n=1 Tuy nhiên, theo định lý này, điều ngược lại chưa đúng, có nghĩa chuỗi khơng hội tụ +∞ +∞ |an | phân kỳ) khơng thể kết luận chuỗi tuyệt đối (chuỗi n=1 an phân kỳ n=1 +∞ Định nghĩa 1.7 Chuỗi +∞ an gọi hội tụ có điều kiện, chuỗi n=1 an hội tụ, chuỗi n=1 +∞ |an | phân kỳ n=1 +∞ Ví dụ 1.3.1 Khảo sát hội tụ chuỗi n=1 arctan(−n)n √ 2n6 + 3n + arctan(−n)n | arctan(−n)n | √ Ta có an = √ Xét |a | = n 4 2n6 + 3n + 2n6 + 3n + +∞ n=1 1.3.2 |an | hội tụ Từ suy n→∞ ∼ π/2 √ = bn Mặt 2n6/4 an hội tụ tuyệt đối nên chuỗi cho hội tụ n=1 n=1 Chuỗi đan dấu Tiêu chuẩn Leibnitz +∞ Định nghĩa 1.8 Chuỗi (−1)n an , (an 0, ∀n an n=1 Định lý 1.8 Tiêu chuẩn Leibnitz +∞ Cho chuỗi đan dấu (−1)n an thỏa điều kiện n=1 π/2 2n6 + 3n + +∞ +∞ bn hội tụ nên khác, √ lim an = n→+∞ Dãy (an )+∞ n=1 dãy giảm 0, ∀n) gọi chuỗi đan dấu 10 CHUỖI Khi chuỗi đan dấu cho hội tụ +∞ Ví dụ 1.3.2 Khảo sát hội tụ chuỗi ln n (−1)n+1 √ n n=1 ln x − ln x ln n √ < 0, ∀x > e2 Ta có an = √ , f (x) = √ ⇒ f (x) = n x 2x x lim an = n→+∞ Dãy (an )+∞ n=8 dãy giảm +∞ Vậy (−1)n+1 an hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz n=1 1.4 Sơ đồ khảo sát hội tụ chuỗi Để khảo sát hội tụ chuỗi số, ta thực sơ đồ sau: Bước Khảo sát hội tụ tuyệt đối chuỗi +∞ +∞ |an | hội tụ chuỗi Nếu chuỗi n=1 an hội tụ n=1 +∞ |an | phân kỳ không thỏa mãn điều kiện cần ( lim |an | = 0) lim an = Nếu chuỗi n→∞ n=1 +∞ n→∞ an phân kỳ Do chuỗi n=1 +∞ |an | phân kỳ, thỏa mãn điều kiện cần ( lim |an | = 0) ta chuyển sang Nếu chuỗi n→∞ n=1 bước +∞ an chuỗi đan dấu ta áp dụng tiêu Bước Khảo sát hội tụ có điều kiện Nếu chuỗi n=1 chuẩn Leibnitz Bước Khảo sát hội tụ chuỗi không âm cách áp dụng tiêu chuẩn tích phân, so sánh, D’Alambert, Cauchy (−1)n+1 √ n n=1 +∞ Ví dụ 1.4.1 Khảo sát hội tụ chuỗi Đầu tiên, khảo sát hội tụ tuyệt đối chuỗi +∞ n=1 +∞ +∞ (−1)n+1 1 √ √ = = 1/2 n n n=1 n n=1 +∞ (−1)n+1 √ phân kỳ Do đó, chuỗi cho √ khơng hội tụ tuyệt đối Nhưng n n n=1 n=1 (−1)n+1 √ lim = lim √ = 0, có nghĩa điều kiện cần để chuỗi hội tụ thỏa mãn n→∞ n→∞ n n +∞ Chuỗi cho có dạng (−1)n+1 an , với an = √ Do đó, chuỗi cho chuỗi đan dấu có n n=1 +∞ Chuỗi {an }∞ n=1 dãy giảm lim an = n→∞ 11 1.4 Sơ đồ khảo sát hội tụ chuỗi Hình 1.1: Sơ đồ khảo sát hội tụ chuỗi +∞ Theo tiêu chuẩn Leibnitz chuỗi (−1)n+1 an hội tụ Như vậy, chuỗi cho n=1 (−1)n+1 √ hội tụ có n n=1 +∞ điều kiện +∞ − Ví dụ 1.4.2 Khảo sát hội tụ chuỗi n=1 n n+1 n Đầu tiên, khảo sát hội tụ tuyệt đối chuỗi +∞ n=1 +∞ Chuỗi n=1 lim n→∞ n n+1 n − n+1 +∞ n n − n+1 = n=1 n n+1 n n phân kỳ không thỏa mãn điều kiện cần để chuỗi hội tụ n = lim n→∞ +∞ − Như vậy, chuỗi cho n=1 n n n+1 1− n+1 = lim n→∞ −n −(n+1) n+1 n n n+1 phân kỳ +∞ − Ví dụ 1.4.3 Khảo sát hội tụ chuỗi n=1 n 2n + Đầu tiên, khảo sát hội tụ tuyệt đối chuỗi +∞ − n=1 +∞ Chuỗi n=1 2n + 2n + +∞ n = n=1 2n + n n hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy lim n n→∞ +∞ − Như vậy, chuỗi cho n=1 2n + 2n + n = lim n→∞ 2n + = < n hội tụ tuyệt đối nên hội tụ = e−1 = = e 12 1.5 1.5.1 CHUỖI Chuỗi lũy thừa Miền hội tụ +∞ Định nghĩa 1.9 Chuỗi lũy thừa chuỗi an (x − x0 )n , an ∈ R n=1 Định nghĩa 1.10 Tập hợp tất giá trị x cho thay x vào chuỗi lũy thừa ta chuỗi số hội tụ, gọi miền hội tụ chuỗi lũy thừa 1.5.2 Bán kính hội tụ +∞ Định lý 1.9 Cho chuỗi an (x − x0 )n , an ∈ R Khi tồn số R ∈ [0, +∞) gọi n=1 bán kính hội tụ thỏa • Chuỗi hội tụ ∀x, |x − x0 | < R • Chuỗi phân kỳ ∀x, |x − x0 | > R 1.5.3 Dấu hiệu D’ Alembert +∞ Định lý 1.10 Cho chuỗi an (x − x0 )n , an ∈ R Giả sử ∃n0 , ∀n n0 : an = n=1 ρ = lim n→+∞ Khi bán kính hội tụ R = 1.5.4 an+1 an ρ Dấu hiệu Cauchy +∞ Định lý 1.11 Cho chuỗi an (x − x0 )n , an ∈ R Giả sử n=1 ρ = lim n n→+∞ Khi bán kính hội tụ R = |an | ρ (−1)n xn n=1 2n + +∞ Ví dụ 1.5.1 Tìm bán kính hội tụ miền hội tụ chuỗi Ta có an = an+1 2n + (−1)n = lim ⇒ ρ = lim = Bán kính hội tụ R = = n→+∞ n→+∞ 2n + an 2n + ρ (−1)n n→∞ hội tụ theo Leibnitz dãy −−−→ dãy giảm 2n + n=1 2n + +∞ • Tại x = ta có +∞ • Tại x = −1 ta có 1 phân kỳ 2n + n=1 2n + n→∞ ∼ Vậy bán kính hội tụ R = 1, miền hội tụ (−1, 1] chuỗi 2n +∞ phân kỳ n=1 2n 13 1.5 Chuỗi lũy thừa 5n + (−2)n n x n+1 n=1 +∞ Ví dụ 1.5.2 Tìm bán kính hội tụ miền hội tụ chuỗi 5n + (−2)n 5n+1 + (−2)n+1 n+1 an+1 = ⇒ ρ = lim = lim n n→+∞ n→+∞ n+1 an n+2 + (−2)n 1 Bán kính hội tụ R = = ρ Ta có an = • Tại x = ta có 5n + (−2)n 5n + (−2)n n phân kỳ n n+1 n+1 n=1 +∞ ta có dãy giảm • Tại x = − chuỗi n n→∞ ∼ +∞ phân kỳ n n=1 5n + (−2)n n→∞ 5n + (−2)n (−1)n n hội tụ theo Leibnitz dãy n −−−→ n+1 n+1 n=1 +∞ 1 Vậy bán kính R = , miền hội tụ − , 5 +∞ Ví dụ 1.5.3 Tìm bán kính hội tụ miền hội tụ chuỗi n=1 +∞ Đặt X = (x − 2)2 ⇒ X n n+1 2n + ⇒ ρ = lim n→+∞ Bán kính hội tụ R = 1+ 2n + = ta có n (2n+1) 2n+1 |an | = lim n→+∞ n=1 n+1 2n + n +∞ 2n = n=1 X n n = lim n→+∞ n+1 = 2n + n 2n + 2n + phân kỳ 2n + 2n + n = n→∞ → e1/2 = X