đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2005 -2006 Môn Toán lớp Thời gian làm 120 phút phòng GD- đt huyện trực ninh đề thức Bài 1: ( ®iĨm) x2 x 2x x 2 x 1 Cho A x x 1 x x 1 a.Rót gän A b.T×m x để A đạt giá trị nhỏ Câu Cho số dơng x, y, z thỏa mÃn điều kiện xy + yz + zx = 999 Chøng minh r»ng giá trị biểu thức sau không phụ thuéc vµo x, y, z: 999 y 999 z 999 z 999 x 999 x 999 y P 2 2 999 x2 999 y2 999 z2 C©u Cho biÓu thøc: A x x x x x a.Tìm giá trị thÝch hỵp cđa x? b Rót gän A c Chøng minh : A d Tính giá trị A biÕt x Bµi Rót gän biĨu thøc sau: �x y xy � xy : a A � víi x �0; y �0; x �y � � x y � x y� x y � b B 48 10 Bài Giải phơng trình: 2x 4x 2x 4x Bài Cho số dơng x, y, z tháa m·n ®iỊu kiƯn xy + yz + zx = Tính giá trị biểu thức: y 1 z y 1 z 1 x z 1 x 1 y P x 1 x2 2 y2 Bài Tìm giá trị nhỏ hàm số sau: z2 y x 3 x x 15 x C©u Cho biÓu thøc : a3b ab3 A a b 2 ab ab a Rót gän biĨu thøc A b Tính giá trị A biết: a 20 11 3 20 11 b 2 2 2 3 Bài Giải phơng trình: x y z Bµi Cho a, b, c ba số dơng thỏa mÃn: a + b = c Chøng minh r»ng: x y 1 z a3 b3 c3 Câu 1: ( điểm) Rút gän biÓu thøc: � �� 1 a 1 a 1� P � : �víi -1 �a �� a� 1 a2 1 a�� a � 1 a 1 a C©u 2: ( ®iĨm) a Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn k �1ta cã: 1 � �1 2� k 1 k � k k � � b.Chøng minh r»ng: 1 1 voi n N, n n n Câu 5*: ( điểm) Cho a n n 2 2 n voi n�N Chøng minh r»ng: an có giá trị số nguyên với n �N Bµi 3: a Víi x �2, chøng minh: xảy x x Tìm x để đẳng thức b Giải phơng trình: x x x2 3 x2 Bµi 1: Cho: � �� 1 x � A � 1 � �: � � 1 1 x 1 1 x �� � � 1 x � B 1 x x 1 x 2 x 2 x1 x (-1�x �1) Bµi TÝnh: 14 � � A � 4 � 3� � 1 2 1 B 2x2 3x 17 2x2 3x biÕt 2x2 3x 17 2x2 3x C©u 1: Rót gän biĨu thøc: 3 3 A 10 10 Câu (3,0 điểm): Cho x; y; z số thực dương thoả mãn: xyz = 1 1 Tìm giá trị lớn biểu thức: A x y3 y3 z3 z3 x Ta có (x y) �0 x; y � x xy y �xy Mà x; y > =>x+y>0 Ta có: x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) x3 + y3 ≥ (x + y)xy x3 + y3 +1 = x3 + y3 +xyz ≥ (x + y)xy + xyz x3 + y3 + ≥ xy(x + y + z) > Tương tự: y3 + z3 + ≥ yz(x + y + z) > z3 + x3 + ≥ zx(x + y + z) > 1 A � xy(x y z) yz(x y z) xz(x y z) xyz A � xyz(x y z) 1 A � xyz Vậy giá trị lớn A x = y = z = Bài (4 điểm): Rút gọn biểu thức sau: x 3x 1/ A = 29 12 2/ B = x x2 Bµi (4 ®iĨm): 1/ Cho a > c; b > c; c > Chøng minh r»ng: c(a c) c(b c) ab 2/ Cho sè d¬ng x, y, z cã tæng b»ng Chøng minh r»ng: x yz y zx z xy 1 xy yz zx Bµi (4 ®iĨm) 1/ A= 5 3 -3 = 5 6-2 = ( -1) = ( x 2) - x 2/ B = x x 2 = ( x - x )( x x ) x4 x = x4 – x2 + Bài (4 điểm) 1/ Điều phải chứng minh tơng đơng với phải chứng minh c (a c) c(b - c) ab VT (1) = 1 (1) c c c c 11c c c c a a b 1 1 - 1 - b b a a b 2 (BÊt đẳng thức côsi) Suy điều phải chứng minh 2/ Tríc hÕt ta chøng minh: x yz x yz (1) Ta cã (1) x yz x 2x yz yz x yz x y z x yz z = 1) (v× x + y + T¬ng tù cã y- z y zx y zx 0 (2) vµ z xy z xy (3) Tõ (1), (2), (3) ta cã x yz y zx z xy 1 xy yz zx (đpcm) Đẳng thức xảy vµ chØ x = y = z = ... c) ab VT (1) = 1 (1) c c c c 11c c c c a a b 1 1 - 1 - b b a a b 2 (Bất đẳng thức côsi) Suy điều phải chứng minh 2/ Trớc hết ta chøng minh: x yz x yz (1) Ta cã (1) x... xyz Vậy giá trị lớn A x = y = z = Bµi (4 điểm): Rút gọn biểu thức sau: x 3x 1/ A = 29 12 2/ B = x x2 Bài (4 điểm): 1/ Cho a > c; b > c; c > Chøng minh r»ng: c(a c) c(b c) ... z x yz z = 1) (v× x + y + T¬ng tù cã y- z y zx y zx (2) z xy z xy (3) Tõ (1), (2), (3) ta cã x yz y zx z xy 1 xy yz zx (đpcm) Đẳng thức xảy chØ x = y =