Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 129 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
129
Dung lượng
4,75 MB
Nội dung
GIÁO ÁN ÔN HSG LỚP Ngày soạn: / / 2020 Ngày dạy: / / 2020 NĂM HỌC 2020 - 2021 Tuần : CHUYÊN ĐỀ - PHẤN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A MỤC TIÊU: * Hệ thống lại dạng tốn phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử * Giải số tập phân tích đa thức thành nhân tử * Nâng cao trình độ kỹ phân tích đa thức thành nhân tử B CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP I TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ: Định lí bổ sung: + Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ có dạng p/q p ước hệ số tự do, q ước dương hệ số cao + Nếu f(x) có tổng hệ số f(x) có nhân tử x – + Nếu f(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ f(x) có nhân tử x + + Nếu a nghiệm nguyên f(x) f(1); f(- 1) khác f(1) f(-1) số nguyên a-1 a+1 Để nhanh chóng loại trừ nghiệm ước hệ số tự CÁC VÍ DỤ Xét Q(x)= a x2+bx+c có m.n=a.c, m+n=b bx=mx+nx Ví dụ : phân tích đa thức sau thành nhân tử 6x4+19 x2+15 Đặt x2=y, ta có 6y2+19y+15 Tịm m, n cho m+n=19 mn=6*15=90 Vì 90=6*15=9*10 nên chọn m=9, n=10 Ta có: 6y2+19y+15= 6y2+9y+10y+15=3y(2y+3)+5(2y+3) =(2y+3)(3y+5) Ví dụ 1: 3x2 – 8x + GV: NGUYỄN THỊ THƯƠNG TRƯỜNG THCS KIM TÂN GIÁO ÁN ÔN HSG LỚP NĂM HỌC 2020 - 2021 Cách 1: Tách hạng tử thứ 3x2 – 8x + = 3x2 – 6x – 2x + = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2) Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất: 3x2 – 8x + = (4x2 – 8x + 4) - x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – + x)(2x – – x) = (x – 2)(3x – 2) Ví dụ 2: x3 – x2 - Ta nhân thấy nghiệm f(x) có x = �1; �2; �4 , có f(2) = nên x = nghiệm f(x) nên f(x) có nhân tử x – Do ta tách f(x) thành nhóm có xuất nhân tử x – Cách 1: 2 2 x3 – x2 – = x x x x x x x x( x 2) 2( x 2) = x x x 3 2 Cách 2: x x x x x x ( x 2)( x x 4) ( x 2)( x 2) x2 x ( x 2) � = x 2 � � � ( x 2)( x x 2) Ví dụ 3: f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – Nhận xét: �1, �5 không nghiệm f(x), f(x) nghiệm ngun Nên f(x) có nghiệm nghiệm hữu tỉ Ta nhận thấy x = nghiệm f(x) f(x) có nhân tử 3x – Nên 3 2 2 f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – = 3x x x x 15 x 3x x x x 15x = x (3x 1) x(3x 1) 5(3x 1) (3x 1)( x x 5) Vì x x ( x x 1) ( x 1)2 với x nên khơng phân tích thành nhân tử Ví dụ 4: x3 + 5x2 + 8x + Nhận xét: Tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ nên đa thức có nhân tử x + GV: NGUYỄN THỊ THƯƠNG TRƯỜNG THCS KIM TÂN GIÁO ÁN ÔN HSG LỚP NĂM HỌC 2020 - 2021 x3 + 5x2 + 8x + = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1) = (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2 Ví dụ 5: f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + Tổng hệ số nên đa thức có nhân tử x – 1, chia f(x) cho (x – 1) ta có: x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + = (x – 1)(x4 - x3 + x2 - x - 2) Vì x4 - x3 + x2 - x - khơng có nghiệm ngun khơng có nghiệm hữu tỉ nên khơng phân tích Ví dụ 6: x4 + 1997x2 + 1996x + 1997 = (x4 + x2 + 1) + (1996x2 + 1996x + 1996) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) + 1996(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 - x + + 1996) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1997) Ví dụ 7: x2 - x - 2001.2002 = x2 - x - 2001.(2001 + 1) = x2 - x – 20012 - 2001 = (x2 – 20012) – (x + 2001) = (x + 2001)(x – 2002) II THÊM , BỚT số mũ chia dư 1, chia cho dư Pp: ta biến đổi giảm bớt số mũ đa thức để xuất nhân tử chung x2+x+1 x2-x+1 Ví dụ: phân tích đa thức thành nhân tử x5+ x+1 Bước ta ta viết giảm dần số mũ x5+ x4+ x3 Như thêm ta bớt phía sau -x4- x3 Cứ sau ta nhóm hạng tử thành Ta được: x5+ x+1= x5+ x4+ x3-x4- x3+ x2- x2+x+1=( x5+ x4+ x3)-( x4+ x3+ x2)+( x2+x+1)= x3(x2+x+1)- x2(x2+x+1) )+( x2+x+1)= Thêm, bớt số hạng tử để xuất hiệu hai bình phương: Ví dụ 1: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 – 36x2 = (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + + 6x)(2x2 + – 6x) = (2x2 + 6x + )(2x2 – 6x + 9) Ví dụ 2: x8 + 98x4 + = (x8 + 2x4 + ) + 96x4 = (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4 = (x4 + + 8x2)2 – 16x2(x4 + – 2x2) = (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 – 1)2 = (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 – 4x )2 GV: NGUYỄN THỊ THƯƠNG TRƯỜNG THCS KIM TÂN GIÁO ÁN ÔN HSG LỚP NĂM HỌC 2020 - 2021 = (x4 + 4x3 + 8x2 – 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1) Thêm, bớt số hạng tử để xuất nhân tử chung Ví dụ 1: x7 + x2 + = (x7 – x) + (x2 + x + ) = x(x6 – 1) + (x2 + x + ) = x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + ) = x(x – 1)(x2 + x + ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1) Ví dụ 2: x7 + x5 + = (x7 – x ) + (x5 – x2 ) + (x2 + x + 1) = x(x3 – 1)(x3 + 1) + x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x – 1)(x4 + x) + x2 (x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[(x5 – x4 + x2 – x) + (x3 – x2 ) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x + 1) Ghi nhớ: Các đa thức có dạng x3m + + x3n + + như: x7 + x2 + ; x7 + x5 + ; x8 + x4 + ; x5 + x + ; x8 + x + ; … có nhân tử chung x2 + x + III ĐẶT BIẾN PHỤ: ĐẶT BIẾN PHỤ DẠNG (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)+e (với a+b=c+d) Ví dụ: phân tích đa thức thành nhan tử P=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-15 Ta nhận thấy a+d=5=b+c Biến đổi P=(x+1) (x+4) (x+2)(x+3)-15 =… ĐẶT BIẾN PHỤ DẠNG (a1x+a)(b1x+b)(c1x+c)(d1x+d) Pp: a1.b1=c1.d1 ab=cd Ví dụ 1: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128 = (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128 Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức có dạng (y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y + 4)(y – 4) = ( x2 + 10x + )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + ) Ví dụ 2: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + Giả sử x � ta viết x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + = x2 ( x2 + 6x + – GV: NGUYỄN THỊ THƯƠNG 1 + ) = x2 [(x2 + ) + 6(x )+7] x x x x TRƯỜNG THCS KIM TÂN GIÁO ÁN ÔN HSG LỚP Đặt x - NĂM HỌC 2020 - 2021 1 = y x2 + = y2 + 2, x x A = x2(y2 + + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = [x(x - ) + 3x]2 = (x2 + 3x – 1)2 x Chú ý: Ví dụ giải cách áp dụng đẳng thức sau: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + = x4 + (6x3 – 2x2 ) + (9x2 – 6x + ) = x4 + 2x2(3x – 1) + (3x – 1)2 = (x2 + 3x – 1)2 Ví dụ 3: A = ( x y z )( x y z )2 ( xy yz +zx)2 ( x y z ) 2( xy yz +zx) � ( x y z ) ( xy yz +zx) =� � � Đặt x y z = a, xy + yz + zx = b ta có A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = ( x y z + xy + yz + zx)2 Ví dụ 4: B = 2( x y z ) ( x y z )2 2( x y z )( x y z )2 ( x y z )4 Đặt x4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta có: B = 2a – b2 – 2bc2 + c4 = 2a – 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2(a – b2) + (b –c2)2 Ta lại có: a – b2 = - 2( x y y z z x ) b –c2 = - 2(xy + yz + zx) Do đó; B = - 4( x y y z z x ) + (xy + yz + zx)2 = 4 x y y z z x x y y z z x x yz xy z xyz xyz ( x y z ) Ví dụ 5: (a b c)3 4(a3 b3 c3 ) 12abc Đặt a + b = m, a – b = n 4ab = m2 – n2 a3 + b3 = (a + b)[(a – b)2 + ab] = m(n2 + m2 - n ) Ta có: m3 + 3mn 4c3 3c(m - n ) = 3( - c3 +mc2 – mn2 + cn2) C = (m + c) – 4 = 3[c2(m - c) - n2(m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b) III PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH: Ví dụ 1: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + GV: NGUYỄN THỊ THƯƠNG TRƯỜNG THCS KIM TÂN GIÁO ÁN ÔN HSG LỚP NĂM HỌC 2020 - 2021 Nhận xét: số �1, �3 không nghiệm đa thức, đa thức khơng có nghiệm ngun củng khơng có nghiệm hữu tỉ Như đa thức phân tích thành nhân tử phải có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd �a c 6 �ac b d 12 � đồng đa thức với đa thức cho ta có: � �ad bc 14 � bd � Xét bd = với b, d � Z, b � �1, �3 với b = d = hệ điều kiện trở thành �a c 6 �ac 8 2c 8 � c 4 � � �� �� � ac a 2 � �a 3c 14 � � bd � Vậy: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) Ví dụ 2: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + Nhận xét: đa thức có nghiệm x = nên có thừa số x - ta có: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c) �a 3 a 1 � � b 2a 7 � � �� b 5 = 2x + (a - 4)x + (b - 2a)x + (c - 2b)x - 2c � � c b � � c 4 � � c � Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x - 4) Ta lại có 2x3 + x2 - 5x - đa thức có tổng hệ số hạng tử bậc lẻ bậc chẵn nahu nên có nhân tử x + nên 2x3 + x2 - 5x - = (x + 1)(2x2 - x - 4) Vậy: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(x + 1)(2x2 - x - 4) Ví dụ 3: 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - = (a x + by + 3)(cx + dy - 1) = acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy – GV: NGUYỄN THỊ THƯƠNG TRƯỜNG THCS KIM TÂN GIÁO ÁN ÔN HSG LỚP NĂM HỌC 2020 - 2021 ac 12 � a4 � � bc ad 10 � � c3 � � �� 3c a �� b 6 � � bd 12 � � d 2 � 3d b 12 � � � 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1) IV.Dạng đối xứng vòng quanh Dựa nhận xét trên: Nhận xét 1: giả sử phải phân tích bt F(a, b, c) thành nhân tử, a, b, c có vai trị biểu thức Nếu F(a, b, c) = a= b F(a, b, c) chứa nhân tử a – b, b-c, c-a Nhận xét 2: số toán F(a, b, c) biểu thức đối xứng a, b, c F(a, b, c)#0 a=b ta thử xem a=-b F(a, b, c) có triệt tiêu khơng thỏa mãn chúa nhân tử a+b b+c, c+a Ví dụ : phân tích đa thức thành nhân tử F(a, b, c) = a2 b c b2 c a c2 a b Khi a=b ta có a2 b c b2 c a c2 a b Do có chứa nhân tử a-b tương tự có chứa nhân tử b-c,c-a Vì đa thức bậc nên F(a, b, c)=k( a – b)(b-c) (c-a) Cho a=1,b=0,c=-1 ta có 1+1=k(1-0)(0+1)(-1-1) => k = -1 Vậy F(a, b, c)=-( a – b)(b-c) (c-a) GV: NGUYỄN THỊ THƯƠNG TRƯỜNG THCS KIM TÂN GIÁO ÁN ÔN HSG LỚP NĂM HỌC 2020 - 2021 BÀI TẬP: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1) x3 - 7x + 2) x3 - 9x2 + 6x + 16 6) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12 7) (x + 2)(x +3)(x + 4)(x + 5) - 24 3) x - 6x - x + 30 8) 4x4 - 32x2 + 4) 2x3 - x2 + 5x + 9) 3(x4 + x2 + 1) - (x2 + x + 1)2 5) 27x3 - 27x2 + 18x - 1) x2 + 7x + 2) x3 + 8x2 + 19x +12 3) x2 – x - 4) x3 – x2 -14x + 24 5) 2x4 -7 x3 -2 x2 + 13x + 6) (x2 – 2x)( x2 - x- 1) - 7) (x + 2)(x +3)(x + 4)(x + 5) - 24 8) x8+ x7 +1 9) x5- x3 + 4x 9) x2y2 - (x2 + y2 - c2)2 10) 64x4 + y4 10)(x-y)3+(y-z)3+(z-x)3 10) x2 (y-z) + y2 (z – x ) + z2 (x - y) 11) x4+ 2018 x2 + 2017x + 2018 12) 4x4 + y4 13) (x + y + z)3 – x3 - y3 – z3 14) x4 + x - 15) x5+ x4 +1 16) xy(x + y) yz(y + z) +xz(x+z) + 2xyz 17) x4 +8 x3 + 14x2 – 8x -15 11) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6 15) x8 + 3x4 + 12) x3 + 3xy + y3 - 16) 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 +10 14) x8 + x + 13) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 17) x4 - 8x + 63 GV: NGUYỄN THỊ THƯƠNG TRƯỜNG THCS KIM TÂN GIÁO ÁN ÔN HSG LỚP NĂM HỌC 2020 - 2021 CHUYÊN ĐỀ 2: HOÁN VỊ, TỔ HỢP A MỤC TIÊU: * Bước đầu HS hiểu chỉnh hợp, hoán vị tổ hợp * Vận dụng kiến thức vào ssó tốn cụ thể thực tế * Tạo hứng thú nâng cao kỹ giải toán cho HS B KIẾN THỨC: I Chỉnh hợp: định nghĩa: Cho tập hợp X gồm n phần tử Mỗi cách xếp k phần tử tập hợp X ( �k �n) theo thứ tự định gọi chỉnh hợp chập k n phần tử A Số tất chỉnh hợp chập k n phần tử kí hiệu k n Tính số chỉnh chập k n phần tử A k n = n(n - 1)(n - 2)…[n - (k - 1)] II Hoán vị: Định nghĩa: Cho tập hợp X gồm n phần tử Mỗi cách xếp n phần tử tập hợp X theo thứ tự định gọi hoán vị n phần tử Số tất hoán vị n phần tử kí hiệu Pn Tính số hốn vị n phần tử ( n! : n giai thừa) Pn = A n n = n(n - 1)(n - 2) …2 = n! III Tổ hợp: Định nghĩa: Cho tập hợp X gồm n phần tử Mỗi tập X gồm k phần tử n phần tử tập hợp X ( �k �n) gọi tổ hợp chập k n phần tử Số tất tổ hợp chập k n phần tử kí hiệu C k n Tính số tổ hợp chập k n phần tử GV: NGUYỄN THỊ THƯƠNG TRƯỜNG THCS KIM TÂN GIÁO ÁN ÔN HSG LỚP C k n = A NĂM HỌC 2020 - 2021 n n : k! = n(n - 1)(n - 2) [n - (k - 1)] k! C Ví dụ: Ví dụ 1: Cho chữ số: 1, 2, 3, 4, a) có số tự nhiên có ba chữ số, chữ số khác nhau, lập ba chữ số b) Có số tự nhiên có chữ số, chữ số khác nhau, lập chữ số c)Có cách chọn ba chữ số chữ số Giải: a) số tự nhiên có ba chữ số, chữ số khác nhau, lập ba chữ số chỉnh hợp chập phần tử: A = 5.(5 - 1).(5 - 2) = = 60 số b) số tự nhiên có chữ số, chữ số khác nhau, lập chữ số hoán vị cua phần tử (chỉnh hợp chập phần tử): A 5 = 5.(5 - 1).(5 - 2).(5 - 3).(5 - 4) = = 120 số c) cách chọn ba chữ số chữ số tổ hợp chập phần tử: C = 5.(5 - 1).(5 - 2) 5.4.3 60 10 nhóm 3! 3.(3 - 1)(3 - 2) Ví dụ 2: Cho chữ số 1, 2, 3, 4, Dùng chữ số này: a) Lập số tự nhiên có chữ số khơng có chữ số lặp lại? Tính tổng số lập b) lập số chẵn có chữ số khác nhau? c) Lập số tự nhiên có chữ số, hai chữ số kề phải khác 10 GV: NGUYỄN THỊ THƯƠNG TRƯỜNG THCS KIM TÂN ... + x + 1)(x2 - x + 1997) Ví dụ 7: x2 - x - 200 1 .200 2 = x2 - x - 200 1. (200 1 + 1) = x2 - x – 200 12 - 200 1 = (x2 – 200 12) – (x + 200 1) = (x + 200 1)(x – 200 2) II THÊM , BỚT số mũ chia dư 1, chia cho... 2 )201 0 + (x2 - x + 1 )201 1 16 GV: NGUYỄN THỊ THƯƠNG TRƯỜNG THCS KIM TÂN GIÁO ÁN ÔN HSG LỚP NĂM HỌC 202 0 - 202 1 17 GV: NGUYỄN THỊ THƯƠNG TRƯỜNG THCS KIM TÂN GIÁO ÁN ÔN HSG LỚP NĂM HỌC 202 0 - 202 1... THỊ THƯƠNG TRƯỜNG THCS KIM TÂN GIÁO ÁN ÔN HSG LỚP NĂM HỌC 202 0 - 202 1 13 GV: NGUYỄN THỊ THƯƠNG TRƯỜNG THCS KIM TÂN GIÁO ÁN ÔN HSG LỚP NĂM HỌC 202 0 - 202 1 CHUYÊN ĐỀ - LUỸ THỪA BẬC N CỦA MỘT NHỊ