CHUYÊN đề BIỂU THỨC đại số

1 CHUYÊN ĐỀ BIỂU THỨC ĐẠI SỐ A LÝ THUYẾT Khái niệm biểu thức đại số Trong toán học, vật lí,… ta thường gặp biểu thức mà ngồi số, kí hiệu phép tốn cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa, cịn có chữ (đại diện cho số) Người ta gọi biểu thức biểu thức đại số a+b Ví dụ: Biểu thức đại số biểu thị trung bình cộng hai số a b là: Biểu thức đại số biểu thị lập phương tổng hai số a b là: ( a + b) Gía trị biểu thức đại số Tính giá trị biểu thức đại số: - Bước 1: Thay chữ giá trị số cho (chú ý trường hợp phải đặt số dấu ngoặc) - Bước 2: Thực phép tính (chú ý đến thứ tự thực phép tính: thực phép lũy thừa, đến phép nhân, chia sau phép cộng trừ) y= x y + xy x =1 Ví dụ: Tính giá trị biểu thức Giải Thay x =1 y= vào biểu thức 1  ÷ + = 2 Đơn thức x y3 + xy , ta có: Đơn thức biểu thức đại số gồm số, biến, tích số biến − x y ( −7x ) Ví dụ: 1; ; 2xy;… Đơn thức thu gọn Đơn thức thu gọn đơn thức gồm tích số với biến mà biến nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương Số nói gọi hệ số, phần lại gọi phần biến đơn thức thu gọn Bậc đơn thức: • Bậc đơn thức có hệ số khác tổng số mũ tất biến có đơn thức • Số thực khác đơn thức bậc khơng • Số coi đơn thức khơng có bậc Nhân hai đơn thức: Để nhân hai đơn thức, ta nhân hệ số với nhân phần biến với  5 − x y2 xy3 =  − ÷( x x ) ( y y3 ) = − x y5 4  4 Ví dụ: Thu gọn đơn thức − - Hệ số: x y5 Phần biến: Bậc đơn thức: Đơn thức đồng dạng Hai đơn thức đồng dạng hai đơn thức có hệ số khác có phần biến Các số khác coi đơn thức đồng dạng x y; − x y; x y; 5x y Ví dụ: Các đơn thức đơn thức đồng dạng Cộng, trừ đơn thức đồng dạng Để cộng (hay trừ) đơn thức đồng dạng, ta cộng (hay trừ) hệ số với giữ nguyên phần biến 25xy + 55xy + 75xy − 35xy Ví dụ: Tính Giải 25xy + 55xy + 75xy − 35xy = ( 25 + 55 + 75 − 35 ) xy = 120xy Đa thức Đa thức tổng đơn thức Mỗi đơn thức tổng gọi hạng tử đa thức Mỗi đơn thức coi đa thức x − 3; xyz − ax + by a ( 3xy + 7x ) Ví dụ: ; đơn thức Thu gọn đa thức - Đưa đa thức dạng thu gọn (không cịn hai hạng tử đồng dạng) Bước 1: Nhóm đơn thức đồng dạng với nhau; Bước 2: Cộng, trừ đơn thức đồng dạng nhóm Ví dụ: Thu gọn đa thức 1 P = x y + xy − xy + xy − 5xy − x y 3 Giải 1 P = x y + xy − xy + xy − 5xy − x y 3 1 1    =  x y − x y ÷+  xy + xy ÷+ ( − xy − 5xy ) 3    = xy − 6xy Bậc đa thức Bậc đa thức bậc hạng tử có bậc cao dạng thu gọn đa thức Số gọi đa thức khơng khơng có bậc Khi tìm bậc đa thức, trước hết ta phải thu gọn đa thức x − 2y5 + x y5 + Ví dụ: Đa thức có bậc Đa thức xy − 6xy có bậc 10 Cộng, trừ đa thức - Để cộng (hay trừ) hai đơn thức, ta làm sau: Bước 1: Viết hai đa thức dấu ngoặc; Bước 2: Thực bỏ dấu ngoặc (theo quy tắc dấu ngoặc); Bước 3: Nhóm hạng tử đồng dạng Bước 4: Cộng, trừ đơn thức đồng dạng Ví dụ: Tính ( 2,4x + 1,7y + 2xy ) − ( 0,4x − 1,3y + xy ) Giải ( 2, 4x + 1,7y + 2xy ) − ( 0,4x − 1,3y + xy ) = 2,4x + 1,7y + 2xy − 0,4x + 1,3y − xy = ( 2,4x − 0,4x ) + ( 1,7y + 1,3y ) + ( 2xy − xy ) = 2x + 3y + xy 11 Đa thức biến Đa thức biến: • Là tổng đơn thức biến • Mỗi số coi đa thức biến Bậc đa thức biến (khác đa thức không, thu gọn) số mũ lớn biến đa thức 3x + x − 3x + Ví dụ: Đa thức đa thức biến (biến x); bậc đa thức là: • 12 Sắp xếp đa thức: Để thuận lợi cho việc tính tốn đa thức biến, người ta thường xếp hạng tử chúng theo lũy thừa tăng giảm biến • Để xếp hạng tử đa thức, trước hết phải thu gọn đa thức • Những chữ đại diện cho số xác định cho trước gọi số Ví dụ: Cho đa thức P(x) = + 5x − 3x + 4x − 2x − x + 6x Thu gon xếp đa thức P(x) Giải: P(x) = + 5x − 3x + 4x − 2x − x + 6x = 6x + ( −3x − x ) + ( 5x + 4x ) − 2x + = 6x − 4x + 9x − 2x + 13 Hệ số Hệ số lũy thừa biến gọi hệ số tự do; hệ số lũy thừa cao biến gọi hệ số cao 6x − x + 6x − 2x + Ví dụ: Các hệ số đa thức là: 6; - 1; 6; - 2; Hệ số tự là: Hệ số cao là: 14 Cộng, trừ đa thức biến Cách 1: Cộng, trừ đa thức theo “hàng ngang” Cách 2: Sắp xếp hạng tử hai đa thức theo lũy thừa giảm (hoặc tăng) biến đặt phép tính theo cột dọc tương ứng cộng, trừ số (chú ý đặt đơn thức đồng dạng cột) P(x) = x − 2x + x − x + Ví dụ: Cho hai đa thức - Q(x) = − 2x + 3x + x − 3x Tính P(x) – Q(x)? Giải P(x) − Q(x) = ( x − 2x + x − x + 1) − ( − 2x + 3x + x − 3x ) = x − 2x + x − x + − + 2x − 3x − x + 3x = 4x − 3x − 3x + x + x − 15 Nghiệm đa thức biến x = a, Nếu đa thức P(x) có giá trị ta nói a (hoặc x = a) nghiệm đa thức P(y) = 2y + Ví dụ: Tìm nghiệm đa thức Giải Từ 2y + = ⇒ 2y = −6 ⇒ y = − = −3 Vậy nghiệm đa thức P(y) – 7 B BÀI TẬP Bài toán 1: Viết biểu thức đại số biểu thị Lũy thừa bậc n tổng hai số a b 10 Khối lượng M vật tích V Tổng lập phương hai số a b khối lượng riêng D 11 Diện tích S tam giác có cạnh a Tổng hai số tự nhiên liên tiếp đường cao h tương ứng 12 Thể tích V hình lập phương có Tổng hai số nguyên liên tiếp cạnh a Tổng bình phương hai số 13 Thương hai số nguyên nguyên lẻ liên tiếp số chia cho dư 1, số chia cho dư Tổng hai số hữu tỉ nghịch đảo 14 Hiệu a lập phương b Tích ba số nguyên liên tiếp 15.Hiệu lập phương a b Tổng bình phương hai số lẻ 16.Lập phương hiệu a b Bài tốn 2: Nam mua 10 giá x đồng hai bút bi, giá y đồng Nửa hiệu hai số a b Hỏi Nam phải trả tất tiền? Bài toán 3: Tính giá trị biểu thức x + 2x − 4x y − ( y − 1) tại x = 2; x = −1 x ( x − y ) ( x − 2y ) ( x − 3y3 ) ( x − 4y ) x = 2; y = −2 x = −3; y = 3x + x ( x − 3) y=2 x = −1 3x y + 6x y + 3xy 3x + 2x − 3x − 3xy + 2y 2 x = x = ; y = −3 x = 1; y = ( y − 4x ) x = −1; y = 2x − 3x + 10 Bài tốn 4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: ( x − 3,5 ) ( 2x − 3) (x 2 ( x − 3) x − 100 + ( x − y ) + 100 +1 x + 20 + ( x + y ) − −2 − 9) + y − − x = ; y =1 + ( y − 1) + x − + x + y2 + 10 ( x − y) + 47 − x + 33 ( x − 6) + 2018 ( x + 5) + ( y − ) + 2017 Bài tốn 5: Tìm giá trị lớn biểu thức sau: 2−x 2 10 − ( y − 25 ) ( − x− 3 ) +1 − x+ +2 Bài toán 6: Thu gọn đơn thức sau 2ab a b 7abc a 3b3.a b 2c   a b. − ab ÷.a b   1 −2 a 3c ac 6abc ( −1,5ab2 ) 14 bca 2b   3abxy. − ax yz ÷.( −3abx yz )   p 2qq 3p 2 pq 4p q ( ) ( ) 22 3ak ( −2kx ) k 2y3y 2dy3d y ( 2x ) ( −3y ) ( −5xz ) 2 10 3 Bài toán 7: Cho đơn thức sau, với a, b số, x, y, z biến số 13x ( −2xy a) b) c) )( 2 2 ax y − abx y ÷  xy z ;   3 ) Thu gọn đơn thức Xác định hệ số đơn thức Xác định bậc đơn thức Bài tốn 8: Tìm đơn thức đồng dạng với đơn thức sau: − x y; − xy ;5x y; −1;6xy ;2x y; ; x y 2xy;9y ;2y;5xy;4xyp 1 9a; −9;9a b; − ab; a 9a;9;92a; 2 5x ;3ax; −2x ;0,5x; − x 3 3x yz ; −2x y x;6x yz ;17 x yz ;1,3x yz 7yz; −5yz;6abcz;0,5yz; 2y; 3yz Bài toán 9: Thu gọn đơn thức đồng dạng −3x − 0,5x + 2,5x     − x y +  − x y ÷−  − x y ÷     1 4ab ac − 2aca − 9a b + 10a c + a b − a bc 5 15x + 7x + ( −20x ) x 2ab − 2bc.c + ab + c b − 4cb + 2cb.b (a số) 10 23x y3 + 17x y3 + ( −50x ) y3 2  2  ac ÷ c − a ( c.c ) + ac c − ac 3  Bài toán 10: Viết đơn thức n x y 3x n +3 y m−2 dạng tích hai đơn thức đơn thức Bài toán 11: Chứng minh đẳng thức sau: 2  − a ( − a )  +  − a ( −a )  =     ( −1) n a n + k = ( −a ) a k n Bài toán 12: Tính ( −3x y − 2xy 6x + 9xy − y − ( 5x + 2xy ) 2 ( 2,4x 2 x − 7xy + 8y + ( 3xy − 4y ) ( 25x y − 13xy + 1,7y2 + 2xy ) − ( 0,4x − 1,3y2 + xy ) + ) + ( − x y + 5xy − 1) + y ) − ( 11x y − 2y 3 ) ( 3x − 2xy + y ) + ( x − xy + 2y ) − ( 4x − y ) (x + y − 2xy ) − ( x + y + 2xy ) + ( 4xy − 1) (x + y − 2xy ) − ( 6x − 3xy ) 5xy + x − 7y + ( 2xy − 4y ) 10 −2x + xy + 3x − ( 3x − xy + 4x ) 11 Bài tốn 13: Tìm đa thức M cho tổng M đa thức x + 3x y − 5xy − 7xy − đa thức bậc Bài toán 14: Nếu A 2x + y + = B 10 Bài tốn 15: Cho hai đa thức 4x + 2y − bằng: C 11 P = 5x + 6xy − y D 12 Q = 2y − 2x − 6xy E 13 Chứng minh không tồn giá trị x y để hai đa thức P Q có giá trị âm Bài toán 16: Sắp xếp hạng tử đa thức sau theo lũy thừa giảm biến tìm bậc đa thức: − 6x + 5x − + 13x − 8x 4x + 3x − 2x − x + 4x − − 9x + 4x − 3x + x − 4x 3x − 2x + + 2x − 3x − −3x + 5x Bài tốn 17: Tính hiệu f ( x) − g( x) xếp theo lũy thừa giảm dần biến f ( x ) = x − 3x + x − 5; g ( x ) = 2x + 7x − x + f ( x ) = 5x + 4x − 3x + 2x − 1; g ( x ) = − x + 2x − 3x + 4x + f ( x ) = 3x − 5x + 2x − 7; g ( x ) = 8x + 7x − x + 11 12 f ( x ) = x + x + 1; g ( x ) = − 2x + x + 7x f ( x ) = x − 4x + 6x + 2x − 1; g ( x ) = + x Bài toán 18: Cho hai đa thức f ( x ) = − x + 4x − 2x + x − 7x g ( x ) = x − + 3x + 7x + 2x − 3x a) b) c) Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần biến; h( x) = f ( x) + g( x) p( x) = f ( x) − g ( x) Tính tổng hiệu ; Tìm nghiệm đa thức h(x) Bài tốn 19: Cho hai đa thức P(x) = 2x − 3x + x − 4x + 4x − x + x − Q(x) = x − 2x + 3x + + 2x a b c Thu gọn xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần biến; P( x ) + Q( x ) ; P( x) − Q( x) Tính ; M(x) = P ( x ) + Q ( x ) Gọi Tìm bậc M(x) Bài toán 20: Cho hai đa thức P ( x ) = −6x − 4x + 3x − 2x Q(x) = 2x − 4x − 2x + 2x − x − 13 P( x ) + Q( x ) ; a) Tính b) Tính ; M(x ) =  P ( x ) − Q ( x ) M(−1) Gọi Tính c) P( x) − Q( x) P(x) = ( x − 3) + Bài toán 21: Cho đa thức Chứng minh đa thức P(x) khơng có nghiệm Bài tốn 22: a) b) c) Chứng tỏ x = −5 nghiệm đa thức g ( x ) = x − 4x + x =3 Chứng tỏ nghiệm đa thức M ( x ) = ( x − 1) ( x + 3) Tìm nghiệm đa thức Bài tốn 23: Tìm nghiêm đa thức: f ( x ) = x + 6x + P(x) = 2x + 4x − 5x − 13 Q(x) = x + x + x − 60 R(x) = 4x + 6x + 9x + 14 ...2 Đơn thức biểu thức đại số gồm số, biến, tích số biến − x y ( −7x ) Ví dụ: 1; ; 2xy;… Đơn thức thu gọn Đơn thức thu gọn đơn thức gồm tích số với biến mà biến nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên... dương Số nói gọi hệ số, phần lại gọi phần biến đơn thức thu gọn Bậc đơn thức: • Bậc đơn thức có hệ số khác tổng số mũ tất biến có đơn thức • Số thực khác đơn thức bậc không • Số coi đơn thức khơng... xy 11 Đa thức biến Đa thức biến: • Là tổng đơn thức biến • Mỗi số coi đa thức biến Bậc đa thức biến (khác đa thức không, thu gọn) số mũ lớn biến đa thức 3x + x − 3x + Ví dụ: Đa thức đa thức biến