Sự suy giảm trong l2 của nghiệm yếu cho phương trình navier stokes

I H¯C TH I NGUY N TR×˝NG I H¯C S× PH M o0o HO NG TH NH SÜ SUY GI M TRONG L CÕA NGHI M Y U CHO PH×ÌNG TR NH NAVIER-STOKES LU NV NTH CS TO NH¯C TH I NGUY N - 2020 I H¯C TH I NGUY N TR×˝NG I H¯C S× PH M o0o HO NG TH NH SÜ SUY GI M TRONG L CÕA NGHI M Y U CHO PH×ÌNG TR NH NAVIER-STOKES Chuyản ng nh: GiÊi Tch M s: 46 01 02 LU NV NTH CS TO NHC Ngữới hữợng dÔn khoa håc TS o Quang Kh£i TH I NGUY N - 2020 Líi cam oan Tỉi xin cam oan ¥y l cỉng tr…nh nghi¶n cøu khoa håc ºc l“p cıa riảng bÊn thƠn tổi dữợi sỹ hữợng dÔn khoa hồc cıa TS o Quang Kh£i C¡c nºi dung nghi¶n cøu, k‚t qu£ lu“n v«n n y l trung thüc v chữa tng cổng b dữợi bĐt ký hnh thức n o trữợc Ơy Ngo i ra, lun vôn tỉi câ sß dưng mºt sŁ k‚t qu£ cıa c¡c tĂc giÊ khĂc ãu cõ trch dÔn v thch nguỗn gc Nu phĂt hiằn bĐt ký sỹ gian ln n o tỉi xin chàu tr¡ch nhi»m v• nºi dung lun vôn ca mnh ThĂi Nguyản, ng y 15 thĂng 09 n«m 2020 T¡c gi£ Ho ng Th nh X¡c nhn ca khoa chuyản mổn XĂc nhn ca ngữới hữợng dÔn TS i o Quang KhÊi Lới cÊm ỡn Trong qu¡ tr…nh håc t“p v nghi¶n cøu ” ho n th nh lun vôn tổi  nhn ữổc sỹ giúp ù nhiằt tnh ca ngữới hữợng dÔn, TS o Quang Kh£i Tỉi cơng muŁn gßi líi c£m ìn bº mỉn GiÊi tch, Khoa ToĂn,  to mồi iãu kiằn thun lổi, hữợng dÔn, phÊn biằn tổi cõ th ho n th nh tŁt lu“n v«n n y Do thíi gian cõ hn, bÊn thƠn tĂc giÊ cặn hn ch nản lun vôn cõ th cõ nhng thiu sõt TĂc giÊ mong mun nhn ữổc ỵ kin phÊn hỗi, õng gâp v x¥y düng cıa c¡c thƒy cỉ, v c¡c bn Tổi xin chƠn th nh cÊm ỡn! ThĂi Nguyản, ng y 15 th¡ng 09 n«m 2020 T¡c gi£ Ho ng Th nh ii Mưc lưc Líi cam oan Líi c£m ìn i ii Mưc lưc iv Líi mð ƒu 1 Ki‚n thøc chu'n bà 1.1 Khæng gian c¡c h m cì b£n v h m suy rºng 1.1.1 1.1.2 Mt s kỵ hiằu khæng gian h m cì b£n D( ) v khỉng gian h m suy rºng D ( ) 1.1.3 Khỉng gian h m cì b£n E( ) v khæng gian h m suy rºng câ gi¡ compact E ( ) n 1.1.4 Khæng gian c¡c h m gi£m nhanh S(R ) v khỉng gian c¡c 1.2.1 n h m t«ng ch“m S (R ) 10 1.2 T‰ch ch“p 13 p n T‰ch ch“p giœa c¡c h m L (R ); p 13 1.2.2 1.3 T‰ch ch“p giœa h m suy rºng v h m cì b£n 14 n n Ph†p bi‚n Œi Fourier S(R ) v S (R ) 14 1.4 Khæng gian Sobolev 17 1.4.1 Khổng gian Sobolev cĐp nguyản khổng Ơm 17 1.4.2 Khỉng gian Sobolev c§p thüc 18 1.4.3 Khæng gian Sobolev thuƒn nh§t 19 iii 1.5 Mt s khĂi niằm cỡ bÊn vã phữỡng tr…nh Navier-Stokes 1.5.1 Ph÷ìng tr…nh Navier-Stokes 20 20 1.5.2 Nghiằm yu ãu ca phữỡng tr…nh Navier-Stokes 22 1.5.3 Nghi»m m•m 25 2 Sü suy gi£m L theo thíi gian cıa nghi»m y‚u cho ph÷ìng tr…nh Navier-Stokes 27 2.1 Giỵi thi»u 27 2.2 Nhœng l“p lu“n h…nh thøc 29 2.3 Sü suy gi£m cıa Nghi»m Leray-Hopf 36 K‚t lu“n 46 T i li»u tham khÊo 48 iv Lới m Lỵ chồn u ãti Viằc nghiản cứu phữỡng trnh Navier-Stokes l rĐt quan trồng v nõ l phữỡng trnh cỡ bÊn nhĐt cıa cì håc ch§t läng dịng ” mỉ t£ chuy”n ºng cıa ch§t läng v ch§t kh‰ Chóng câ th” sò dửng nghiản cứu thới tit, thit k hnh d¡ng ºng håc cıa m¡y bay, ỉ tỉ, nghi¶n cøu chuy”n ºng cıa m¡u, ph¥n t‰ch ỉ nhi„m, dü b¡o thới tit, dặng chÊy ca i dữỡng v nhiãu vĐn • khoa håc kh¡c Ph÷ìng tr…nh Navier-Stokes cơng nh“n ữổc sỹ quan tƠm rĐt lợn vã mt toĂn hồc thun tuỵ, chúng cõ vai trặ c biằt quan trồng sỹ phĂt trin ca lỵ thuyt phữỡng trnh o h m riảng hiằn i Mc dũ lỵ thuyt phữỡng trnh o h m riảng  trÊi qua sỹ phĂt trin to lợn th k 20 mt s vĐn ã cỡ bÊn ca phữỡng trnh Navier-Stokes vÔn chữa ữổc giÊi quyt, õ l sỹ tỗn ti v nhĐt ca nghiằm cụng nhữ dĂng iằu ca nghiằm Cử th” l cho gi¡ trà ð thíi i”m ban ƒu trìn th… ph÷ìng tr…nh Navier-Stokes câ ti‚p tưc trìn v nhĐt theo tĐt cÊ thới gian vã sau khổng, cƠu họi n y ữổc nảu v o nôm 1934 bi J Leray v vÔn chữa cõ cƠu trÊ lới khflng nh cụng nhữ ph nh Tnh nhĐt ca nghiằm yu b i toĂn vĐn cặn l mt cƠu họi m Ni dung ãti Mửc ch ca • t i l nghi¶n cøu d¡ng i»u cıa nghi»m cıa b i to¡n Cauchy cho ph÷ìng tr…nh Navier-Stokes khỉng nn ữổc khổng gian ba chiãu > ut = u u ru r p + f > < ru=0 > > : â f u(x; 0) = u0(x) ữổc giÊ thit l tin tợi t ! Lu“n v«n n y s‡ tr…nh b y mt v i kt quÊ nghiản cứu vã sỹ suy gi£m cıa nghi»m y‚u Leray-Hopf L theo thíi gian thíi gian ti‚n vỉ cịng, düa tr¶n b i b¡o cıa Maria Elena Schonbek [2] Lun vôn gỗm lới m u, hai chữỡng, kt lun v t i li»u tham kh£o Cö th” l : Ch÷ìng 1: Ki‚n thøc chu'n bà Ch÷ìng 2: Sü suy gi£m L cıa nghi»m y‚u cho ph÷ìng tr…nh Navier-Stokes Ch÷ìng Ki‚n thøc chu'n bà C¡c mưc 1.1, 1.2 v 1.3 ch÷ìng n y chóng tỉi tham kh£o t i li»u [1], cỈn c¡c mưc 1.4 v 1.5 chóng tỉi tham kh£o c¡c t i li»u [3] v [5] 1.1 Khỉng gian c¡c h m cì b£n v h m suy rng 1.1.1 Mt s kỵ hiằu Cho n l mºt t“p mð R ta ành nghắa nhữ sau: k C ( ) = fu : ! Cju khÊ vi liản tửc n cĐp kg; k k C0 ( ) = fu C ( )j supp u l t“p compactg; 1 k 1 k C ( ) = \k =1C ( ); C0 ( ) = \k =1C0 ( ); â supp u = fx p Kỵ hiằu: L ( ) = fu : ju(x) 6= 0g: ! Cju o ÷ỉc; f L ()= u: p R ju(x)j dx < 1g vỵi p < v ess sup ! Cj x2 j u(x) < j 1g â p p< Kỵ hiằu L loc ess sup ju(x)j = inffK > jfx jju(x)j > Kgj = 0g: ()= f u: !C u Lp(K) vỵi måi t“p compact K g â i j v… F(u u ) L n¶n ta câ (2.17) jp^j C: K‚t hæp (2.15) v (2.17) ta câ jG( ; t)j Cj j; v“y l ta câ i•u phÊi chứng minh BƠy giớ ta phƠn tch trữớng hổp f 6= nh lỵ 2.3 Cho u : R n n R+ ! R ; p : R n h m trìn vỵi u tri»t R+ ! R, l ti¶u ð vỉ cịng, cho u v p thäa m¢n: > u + rp = f > ut + u ru > > > > < > u(x; 0) = u0(x); x Rn: > : n (2.18) ru=0 > > > > n 1;1 N‚u u0 L (R ) \ L (R ); f L ((0; 1); W K(t + 1) n=2 n (R )); r f = v kf( ; )k2 th… ku( ; t)k2 C(t + 1) n=2+1 â C ch¿ phö thuºc v o n, K v chu'n cıa u0 L v L Chứng minh Ănh giĂ nông lữổng (2.6) s ữổc thay th‚ b‹ng: dt Z n d Z 2 juj dx = Zn jruj dx + n R R u fdx: (2.19) R Tch phƠn phữỡng trnh (2.19) theo thíi gian ta ÷ỉc: t t Z juj2dx + Z0 Zn jruj dxds = Z R n R 34 Z ju0j dx + Zn u f dxds: R (2.20) ƒu ti¶n ta ch¿ r‹ng u( ; t) L (R ) Ta dũng bĐt flng thức ca Schwarz v giÊ thit vã f ” ¡nh gi¡ t‰ch ph¥n cuŁi cịng (2.20): t Z0 t Z n Z u f dxds (2.21) kf( ; s)k2ku( ; s)k2ds: R °t (T ) = sup ku( ; t)k2: t T K‚t hæp (2.20) v (2.21) suy ra: T (T) Z kf( ; s)k2ds C + (T )K(T + 1) C + (T) n=2+1: Do â (2.22) (t) C; â C ch¿ phö thuºc v o K v chu'n cıa u0 L : Ti‚p tưc l°p l⁄i t÷ìng tỹ cĂch chứng minh ca nh lỵ 2.2 cho ta bĐt flng thức ging vợi (2.8) dt Z d n ju^j2d + t + n R dt d Z n ju^j2d t+1 ju^j d + t + R ” ti‚p tưc, giŁng vỵi Z n ju^j2d + S(t) Z u:fdx; n R nh lỵ 2.2 Dũng Ănh gi¡ (2.22) v gi£ thi‚t v• ju^j d n Z n R â S(t) giŁng nh÷ f cho ta Zn t+1 R Z ju^j d + C(t + 1) n n=2 : S(t) nh lỵ 2.2 chóng ta cƒn ph£i ¡nh gi¡ bŒ trỉ ju^( ; t)j Cj j cho S: Nhỵ l⁄i c¡ch chøng minh ¡nh gi¡ n y, giŁng nh÷ tr÷íng hỉp f = 0, ta cƒn chøng minh: ^ jf ( ; t)j j jC: 35 1;1 ¡nh gi¡ cuŁi còng n y l h» qu£ cıa f L ((0; 1); W n (R )) Sü suy gi£m L ca nghiằm ca phữỡng trnh (2.18) bƠy giớ ÷æc ÷a theo l“p lu“n c¡ch chøng minh ca nh lỵ 2.2 Tc suy giÊm sau cõ th” n L (R ); n ⁄t 1: H» qu£ 2.4 Cho u0; u; p giŁng nh÷ f L ((0; 1); W ku( ; t)k1 ÷ỉc cho nghiằm ca (2.18) vợi u 1;1 nh lỵ 2.2 Cho f thäa m¢n r f = 0, n (R )), v kf( ; t)k2 K1(t + 1) (n=2+1) Nu thảm iãu kiằn: K2, ta cõ ku( ; t)k2 C(t + 1) n=2 ; â C ch¿ phö thuºc v o K1; K2 v chu'n cıa u0 L v L Chøng minh L°p l⁄i cĂch chứng minh ca ju^( ; t)j 2.3 nh lỵ 2.3 vỵi ¡nh gi¡ K2 : Sü suy gi£m cıa Nghi»m Leray-Hopf Ta thi‚t l“p sü suy gi£m L ca nghiằm Leray-Hopf cho phữỡng trnh Navier-Stokes ba chiãu t u > u+u r ruu + =0 r p=f (2.23) > < > > : u(x; 0) = u0(x); ¥y f = (f ; f ; f ) s thọa mÂn iãu kiằn suy giÊm thch hổp ữổc xĂc nh cử th dữợi Ơy ð 36 Chóng ta dịng k‰ hi»u 1 H0 (R ) =H0 = bao âng cıa C0 (R ) chu'n ( s jruj dx) H R 1=2 ; = khæng gian i ngÔu ca H0 ; V = C0 (R ) \ fu : r u = 0g; H = bao âng cıa V L (R ); V = bao âng cıa V H0 (R ); V = khổng gian i ngÔu ca V: u tiản, xt trữớng hổp f = nh lỵ 2.5 Cho u0 H \ L (R ) Tỗn ti mt nghiằm Leray- Hopf ca phữỡng trnh Navier-Stokes ba chiãu (2.23) vợi f = v gi¡ trà ban ƒu u0 cho ku( ; t)k2 C(t + 1) 1=2 ; vỵi h‹ng sŁ tŁc º C ch¿ phö thuºc v o chu'n cıa dœ li»u ban ƒu u0 L v L Ta th§y tŁc º suy gi£m giŁng ành lỵ 2.2 vợi n = chứng minh nh lỵ 2.5 ta s ch nhng lp lun hnh thức ữổc chuyn sang nghiằm xĐp x uN Ta  chứng minh ữổc rng uN hi tử m⁄nh L (R [0; T ]); T > 0, tợi mt nghiằm Leray-Hopf ca phữỡng trnh Navier-Stokes ba chiãu (2.23) Do â 2 sü suy gi£m L cıa uN s‡ k†o theo sü suy gi£m L cıa nghi»m y‚u cıa (2.23) Gi£ sß lüc f tri»t ti¶u chóng ta thi‚t l“p sü suy gi£m cho nghiằm xĐp x uN nh lỵ 2.6 Gi£ sß u0 H \ L (R ) Cho uN v d u dt + (uN ) ruN uN N â (u) l pn thäa m¢n + rpN = 0; h m i•u ch¿nh l m tr„ s‡ ÷æc mæ t£ sau Ta câ: kuN ( ; t)k2 C(t + 1) 37 1=2 ; v h‹ng sŁ C ch¿ phö thuºc v o chu'n cıa dœ li»u ban ƒu L v L 2 B ã 2.7 GiÊ sò f L (0; T ; V ), u L (0; T ; V ), p l (2.24) u + rp = f ut theo nghắa suy rng trản D = R h m suy rºng v (0; T ) Khi â: ut L (0; T ; V ) d s juj2dx = s (u ; u) t dt R R theo ngh¾a suy rºng, v u C([0; T]; H); sau thay Œi tr¶n mºt t“p hæp câ º o b‹ng khæng Nghi»m cıa phữỡng tr nh (2.24) l nhĐt L (0; T ; V ) vỵi dœ li»u ban ƒu ¢ cho H BŒ • 2.8 Gi£ sß f L (0; T ; V ), u0 H, w C (R ) v r w = 0: Th… câ mºt h m u nh§t v mºt h m suy rºng p thäa m¢n u C([0; T]; H) \ L (0; T; V ); ut + w ru u + rp = f; theo nghắa suy rng trản D, v u(0) = u0: H» qu£ 2.9 Theo gi£ thi‚t cıa BŒ • 2.8 ta câ w ru L (0; T ; V ) v ut L (0; T ; V ): 38 Hi»u ch¿nh (u) ÷ỉc thi‚t l“p düa v o mºt h m 0; (x; t) C thäa m¢n s s dxdt = 1; sup f(x; t) : jxj < t; < t < 2g: N‚u u L (0; T ; V ) °t ( v ta u(x; t) n‚u t R vỵi c¡c trữớng hổp khĂc R+ u~(x; t) = (2.25) nh nghắa (u)(x; t) = )dyd s s (y= ; t= )u(x y; t (u) ð thíi i”m t ch¿ phư thuºc gi¡ trà cıa u ð c¡c thíi vỵi = T=N Gi¡ trà cıa i”m z (t ; t ) B ã 2.10 Vợi 8u L (0; T ; H) \ L (0; T ; V ) ta câ t T r Z (u) = 0; 0 ut + w ruu > > > > > + rp = < ru=0 > (2.27) u(x; 0) = u (x): > > > > > : Khi â vỵi K, K l t“p compact, ta câ ju^( ; t)j Cj j ; (2.28) hƒu kh›p nìi theo t, â h‹ng sŁ C phö thuºc v o K, c¡c chu'n cıa u0 L 2 v L v chu'n L cıa w Chøng minh L§y G( ; t) = i F(p) F(w ru): ” chøng minh m»nh • ta cƒn ch¿ jG( ; t)j Cj j (2.29) v theo nh÷ cĂc bữợc lp lun hnh thức ca phn chứng minh nh lỵ 2.2 Ta phƠn tch mỉi mt s hng ºc l“p G, ta ch¿ r‹ng chóng ¢ ÷ỉc ành ngh¾a phị hỉp v nâ s‡ suy Ănh giĂ (2.29) Bữợc u tiản ch s h⁄ng ¡p su§t p^( ; t) l mºt h m Sò dửng B ã 2.11 ta cõ t ZZ jpj R 5=3 dxds const ; cho n¶n Z jp(x; t)j R Do â p^( ; t) L 5=2 5=3 dx < hƒu kh›p nìi theo t: 3 (R ) hƒu kh›p nìi theo t K‚t lu“n cuŁi còng n y l h» qu£ cıa flng thøc Hausdorff-Young sau: 41 q n N‚u h L (R ); ^ 2, ta câ q r (2 ) n=r khkL khkL q vỵi 1=q + 1=r = 1: ” thi‚t l“p ¡nh gi¡ cƒn thi‚t cho p^( ; t) bng cĂch sò dửng B ã 2.11 X @ i j (w u ): p= i;j @xi@xj Sò dửng php bin i Fourier cho phữỡng trnh trản ta câ i j i jF(w u )j j j jp^j = j X i j j i jj jw u jdx: R X i j Z Do w v u thuºc L (R ) n¶n suy (2.30) j jjp^j Cj j ” ph¥n t‰ch sŁ h⁄ng Łi l÷u F(w ru) ta ch¿ r‹ng F(w ru) L (D) ¥y l h» qu£ cıa BŒ • 2.8 Do Z Z3 j=1 i2 jw ru j dxdt Z Z3 X R j i2 jw @xj u j dxdt c ZZ jruj dxdt c; R R ¡nh gi¡ câ d⁄ng (2.30) cho F(w ru) ÷ỉc suy l“p tøc Do w l i j ph¥n k… tü v w v u thuºc L (R ) ta câ i jF(w ru )j = j @ j i j i Xj F( j w u )j j j jF(w u )j Cj j: @x (2.31) X =1 j=1 Kt hổp bĐt flng thức (2.30) v (2.31) ta ữổc (2.29) Ta sò dửng bĐt flng thức (2.29) chứng minh rng (2.28) thoÊ mÂn Sò dửng php bin i Fourier cho ph÷ìng tr…nh (2.27) ta ÷ỉc u^t + j j u^ = G: °t v( ; t) = ue^ 42 j j2t : (2.32) Theo ngh¾a suy rºng ta ÷ỉc vt =e Tł (2.29) ta câ e j j2t (2.33) G( ; t): j2t G L1loc(R) Do õ phữỡng trnh (2.33) cõ th giÊi thch nghắa c i”n hƒu theo kh›p nìi theo t Do â t Z v( ; t) = u^( ; 0) + ej j2sG( ; s)ds V sß dưng ¡nh gi¡ (2.28) suy Mằnh ã 2.13  ữổc chứng minh ho n thi»n chøng minh v l“p l⁄i nhœng l“p lun ca nh lỵ 2.6 ta t w = (u) Mằnh ã 2.13 nh lỵ 2.2 Giớ tĐt cÊ c¡c l“p lu“n •u ch°t ch‡ v tł BŒ • 2.10 h‹ng sŁ suy gi£m C ch¿ phö thuºc v o c¡c chu'n cıa u0 L v L Sò dửng B ã 2.12 v nh lỵ 2.6 ta câ th” chøng minh ành l‰ 2.5 nh÷ sau: Chøng minh Cho u l nghi»m Leray-Hopf ⁄t ÷ỉc b‹ng giỵi h⁄n m⁄nh L (D) cıa uN bði BŒ • 2.12 Khi â N!1 Z j N u lim ( ) ( )j 2dx = u x; t : x; t R Do â theo nh lỵ 2.6 ku( ; t)kL2(R3) kuN ( ; t)kL2(R3) + ku( ; t) uN ( ; t)kL2(R3) C(t + 1) L H» qu£ 2.14 Gi£ sß u0 H \ L (R ), f L (0; 1; V vỵi h‹ng sŁ C ch¿ phư thuºc chu'n cıa u0 L v 1=2 ; Gií ta x†t tr÷íng hỉp lüc f kh¡c khỉng r f = v kf(t)kL2(R3) K(t + 1) 3=2 ) \L ((0; 1); W 1;1 n (R )), : Khi õ nghiằm nhĐt uN ca phữỡng tr…nh d (uN ) ruN dt uN + 43 uN + rpN = f; (2.34) thäa m¢n kuN ( ; t)k2 C(t + 1) 1=2 ; vỵi h‹ng sŁ C ch¿ phö thuºc v o K, chu'n cıa dœ li»u ban ƒu L v L Chøng minh L§y G( ; t) = F(f) F(rp) F( (uN ) ruN ) ” ho n th nh chøng minh ta cƒn ch¿ (2.35) jG( ; t)j Cj j: Lp li cĂc bữợc chứng minh nh l 2.6 Lp lu“n t÷ìng tü ành l‰ 2.6 ta ÷ỉc jF(rp)j + jF( (uN ) ruN )j v f W 1;1 (R ) nản bĐt Cj j; flng thức (2.35) ÷ỉc chøng minh H» qu£ 2.15 Cho u0 v f giŁng H» qu£ 2.14 Cho u l nghi»m Leray-Hopf ca phữỡng trnh Navier-Stokes khổng gian ba chiãu (2.23) t ữổc t giợi hn L ca nghiằm uN cıa (2.34) Th… ku( ; t)k2 C(t + 1) 1=2 vỵi h‹ng sŁ C ch¿ phư thuºc v o f, chu'n cıa u0 L v L Chøng minh Tł BŒ • 2.12 v H» qu£ 2.14 ta câ i•u ph£i chøng minh Chó þ N‚u câ th” thi‚t l“p ¡nh gi¡ •u L Ănh giĂ cho nghiằm xĐp x ca phữỡng tr…nh Navier-Stokes n-chi•u â tŁc º suy gi£m L câ th” vi‚t ku( ; t)k2 (t + 1) n=2 (2.36) : Chi ti‚t hìn i•u n y cõ th ữa tc suy giÊm L vã mºt tŁc º ⁄i sŁ °c bi»t cho ph÷ìng tr…nh Navier-Stokes hai chiãu 44 3 Chú ỵ LĐy u0 u H \ L (R ) vỵi u l mºt vectì cŁ ành R : Khi â kt quÊ tữỡng ứng ca Hằ quÊ 2.10 vÔn thọa mÂn vợi u0 thay bng u0 u (2.36) Ơy l hằ quÊ ca tnh bĐt bin ca phữỡng trnh Navier-Stokes dữợi php bin i Galilean v(x; t) = u(x + ct; t) 45 c: K‚t lu“n Trong lu“n v«n n y, tổi  trnh b y nhng vĐn Ni dung ch÷ìng tr…nh b y ki‚n thøc cì sð ã sau: nghiản cứu phữỡng trnh Navier-Stokes, bao gỗm c¡c phƒn: - Khỉng gian c¡c h m cì b£n, h m suy rºng, ⁄o h m cıa h m suy rºng v c¡c t‰nh ch§t cıa chóng p - T‰ch ch“p giœa c¡c h m cì b£n, h m suy rºng v h m thuºc L - Bi‚n Œi Fourier cıa h m cì b£n, h m suy rng, v cĂc tnh chĐt ca nõ liản quan tợi tch chp - Khổng gian Sobolev cĐp nguyản v cĂch xƠy dỹng khổng gian Sobolev cĐp thỹc dỹa v o bin i Fourier, cĂc nh lỵ nhúng v nh lỵ vt - Sò dửng cĂc tnh chĐt vã h m cì b£n, h m suy rºng v bi‚n Œi Fourier ” t…m hi”u mºt sŁ lo⁄i nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh Navier v mŁi quan h» qua l⁄i giœa c¡c nghi»m n y Ni dung chữỡng dỹa trản b i b¡o [2] nghi¶n cøu d¡ng i»u theo chu'n L thíi gian ti‚n vỉ cịng cıa nghi»m b i to¡n Cauchy cho ph÷ìng tr…nh NavierStokes v ch¿ rng nghiằm yu Leray-Hopf ữổc xƠy dỹng bi CAFFARELLI, KOHN v NIRENBER b‹ng ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh tr„ suy giÊm L vợi mt tc i s ãu Mºt c¡ch chi ti‚t hìn l nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh Navier-Stokes n chiãu, n vợi d liằu tũy ỵ b chn L v L s thọa m¢n ku( ; t)k n=2+1 L2(Rn) C(t + 1) chứng minh Ănh giĂ n y trữợc ht cn chøng minh ¡nh gi¡ n y cho d¢y 46 ” nghiằm xĐp x ữổc xƠy dỹng bi Caffarelli, Kohn v Nirenberg, nghi»m n y câ º trìn tŁt hìn so vợi nghiằm yu Leray-Hopf nản chứng minh s thun lổi hìn, chøng minh n y gåi l c¡c l“p lu“n h…nh thøc v khỉng th” ¡p dưng cho nghi»m y‚u Leray-Hopf v… nâ khỉng ı trìn, sau thu ÷ỉc cĂc Ănh giĂ ãu cho dÂy nghiằm xĐp x trản ta chuyn qua giợi hn th dÂy nghiằm xĐp x n y hºi tư v• nghi»m y‚u Leray-Hopf v nghi»m n y tho£ m¢n c¡c ¡nh gi¡ ta mong muŁn 47 T i li»u tham kh£o Ti‚ng Vi»t [1] Nguy„n Anh TuĐn (2016), "Lỵ thuyt h m suy rng v khæng gian Sobolev", NXB HQG H Nºi Ti‚ng Anh [2] Schonbek M E (1985), "L decay for weak solutions of the NavierStokes equations", Arch Rational Mech Anal 88, no 3, 209 222 [3] Cannone M (2004), "Harmonic analysis tools for solving the incompressible Navier-Stokes equations", in: S.J Friedlander, D Serre (Eds.),Handbook of Mathematical Fluid Dynamics, Vol III, Elsevier, Amsterdam, p 161-244 [4] Caffarelli L., Kohn R., Nirenberg L (1982) "Partial regularity of suitably weak solutions of the Navier-Stokes equations", Comm on Pure And Applied Math 25 , p 771-831 [5] Lemarie-Rieusset P G (2002), "Recent Developments in the NavierStokes Problem", Chapman and Hall/CRC Research Notes Mathematics, vol.431, Chapman and Hall/CRC, Boca Raton, FL 48 in ... trnh Navier- Stokes 1.5.1 Ph÷ìng tr…nh Navier- Stokes 20 20 1.5.2 Nghi»m yu ãu ca phữỡng trnh Navier- Stokes 22 1.5.3 Nghi»m m•m 25 2 Sü suy. .. trnh Navier- Stokes chiãu (2.1) vợi f = cho: ku( ; t)kL2(R3) C(t + 1) 1=2 â h‹ng sŁ C ch¿ phö thuºc v o c¡c chu'n cıa dœ li»u ban ƒu L v L nh lỵ trản ch rng vợi tc º suy gi£m câ th” thu ÷ỉc cho. .. Leray-Hopf ca phữỡng trnh Navier- Stokes ba chi•u (2.23) Do â 2 sü suy gi£m L cıa uN s‡ k†o theo sü suy gi£m L cıa nghi»m y‚u cıa (2.23) Gi£ sò lỹc f triằt tiảu thit lp sỹ suy gi£m cho nghi»m x§p x¿