Toán 12 ISS

SỰ ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ I ĐỊNH LÍ ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) khoảng (a; b)   x1 , x2  (a; b), x1 < x2 Ta có: f(x1) < f(x2)  f(x) ≥ x  (a; b) (Đẳng thức xảy số hữu hạn điểm (a; b)) Khi đó: đồ thị hàm số y = f(x) (a; b) có hình dạng lên từ trái sang phải Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) khoảng (a; b)   x1 , x2  (a;b), x1 < x2 Ta có: f(x1) > f(x2)  f(x)  x  (a; b) (Đẳng thức xảy số hữu hạn điểm (a; b)) Khi đó: đồ thị hàm số y = f(x) (a; b) có hình dạng xuống từ trái sang phải HDedu - Page II PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Tìm tập xác định hàm số y = f(x) Tính đạo hàm: y = f(x) Tìm điểm f(x) = f(x) khơng xác định Lập bảng biến thiên: xếp điểm tìm theo thứ tự tăng dần, xét dấu đạo hàm khoảng, dựa vào định lý đơn điệu khoảng đồng biến, nghịch biến III CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Tìm khoảng đơn điệu hàm số: a) y  x  4x  b) y  x  3x  c) y  x  2x  d) y  e) y  x  3x  x 1 2x  x 5 f) y  4x  x g) y  2cos x  cos 2x với x  0;  Ví dụ 2: Định m để hàm số y  mx  đồng biến khoảng xác định x2 Ví dụ 3: Định m để hàm số y  x3  mx  m nghịch tập xác định Ví dụ 4: Chứng minh : x   , x  x HDedu - Page CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I ĐỊNH LÍ VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Quy tắc I: Nếu f(x) đổi dấu x qua điểm xo hàm số đạt cực trị điểm xo Nếu f(x) đổi dấu từ dương sang âm x qua điểm xo hàm số đạt cực đại điểm xo Nếu f(x) đổi dấu từ âm sang dương x qua điểm xo hàm số đạt cực tiểu điểm xo Quy tắc II: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp (a;b) chứa điểm xo , f(xo) = hàm số f có đạo hàm cấp hai khác điểm xo Nếu f(xo) < hàm số y = f(x) đạt cực đại điểm xo Nếu f(xo) > hàm số y = f(x) đạt cực tiểu điểm xo II CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Tìm điểm cực trị hàm số: a) y  x  4x  c) y  x4  2x  e) y  x  x Ví dụ 2: Cho hàm số y  b) y  x  x  2x d) y  3x  5 x f) y  x  x  x  (m  1)x  a) Định m để hàm số có cực đại cực tiểu b) Định m để hàm số đạt cực đại x = 1 Ví dụ 3: Chứng minh: hàm số y   x khơng có đạo hàm x = đạt cực đại điểm HDedu - Page GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ I ĐỊNH NGHĨA M  max f  x  D x  D, f   x0  D,f  m  minf  x  D x  D, f   x0  D,f  x  M  x0   M x  m  x0   m II PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Phương pháp 1: Lập bảng biến thiên hàm số y = f(x) tập D Phương pháp 2: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f(x) liên tục [a; b] Tìm điểm x1, x2, …,xn khoảng (a;b) f(x) f(x) khơng xác định Tính f(a), f(x1), f(x2), …, f(xn), f(b) Tìm số lớn M số nhỏ m số Ta có: M  max f(x) m  f(x) [a;b] [a;b] Lưu ý: m  f(x) , x  D  m  f(x) D m  f(x) , x  D  m  max f(x) D III CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: b) y  x3  6x  đoạn [1; 5] a) y   4x  x c) y  x 1 đoạn [3; 4] x 1 d) y  x    x Ví dụ 2: Tìm kích thước hình chữ nhật ABCD có diện tích lớn nội tiếp đường trịn (O) có bán kính R cho trước Ví dụ 3: Tìm m cho mx  4x  m  0, x  R Ví dụ 4: Tìm m để hàm số y   x  (m  1)x  (m  3)x  đồng biến [0; 3] HDedu - Page ĐƯỜNG TIỆM CẬN I ĐỊNH NGHĨA Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị (C) M(x; y) điểm thay đổi (C) Ta nói (C) có nhánh vơ cực hai x y điểm M(x; y) dần tới  (hoặc +) Khi đó: điểm M(x; y) dần tới  (hoặc +) Đường thẳng (d) gọi đường tiệm cận (hay gọi tiệm cận) (C) khoảng cách MH (khoảng cách từ M (C) đến (d)) dần tới M dần tới  (hoặc +) II CÁC LOẠI TIỆM CẬN Tiệm cận đứng: Nếu lim f(x)    lim f(x)    x  x 0 x  x 0 lim f(x)    lim f(x)    đường x  x 0 x  x 0 thẳng (d) : x  x tiệm cận đứng đồ thị (C) Tiệm cận ngang: Nếu lim f(x)  y x   lim f(x)  y x   đường thẳng (d) : y  y0 tiệm cận ngang đồ thị (C) III CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Tìm tiệm cận đứng ngang đồ thị (C) hàm số sau: a) y  2x  x 1 b) y  4x  x  2x  c) y  x2  x  x 1 Ví dụ 2: Tìm tiệm cận đứng ngang đồ thị (C) hàm số sau: a) y  x 1 b) y  1 x x3 c) y  x2  x 2 HDedu - Page KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA I SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ BẬC BA Tìm tập xác định Giới hạn Đạo hàm y’ (xét tính đơn điệu tìm cực trị) Lập bảng biến thiên Nêu khoảng đơn điệu điểm cực trị (nếu có) Tìm điểm uốn Điểm đặc biệt (Lưu ý: giao điểm (C) với trục Ox, Oy) Vẽ đồ thị II VÍ DỤ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: a y  x3  3x2  b y  2x3  9x2  12x  c y  (1  x)3 d y  x3  3x2  4x  Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng (là điểm uốn) Dạng đồ thị hàm số bậc ba : y  ax3  bx2  cx  d (a  0) y  có hai nghiệm phân biệt HDedu - Page y  có nghiệm kép y  vô nghiệm HDedu - Page KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BỐN I SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ BẬC BỐN Tìm tập xác định Giới hạn Đạo hàm y’ (xét tính đơn điệu tìm cực trị) Lập bảng biến thiên Nêu khoảng đơn điệu điểm cực trị Điểm đặc biệt (Lưu ý: giao điểm (C) với trục Ox, Oy) Vẽ đồ thị II VÍ DỤ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: a y  x  2x  b y  x  2x  c y  x  x 1 2 d y  x  2x  Chứng minh đồ thị có trục đối xứng trục tung Dạng đồ thị hàm số: y  ax  bx2  c (a  0) y  có ba nghiệm phân biệt y  có nghiệm HDedu - Page KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ NHẤT BIẾN I SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ NHẤT BIẾN Tìm tập xác định Giới hạn tiệm cận Đạo hàm y’ (xét tính đơn điệu) Lập bảng biến thiên Nêu khoảng đơn điệu Điểm đặc biệt (Lưu ý: giao điểm (C) với trục Ox, Oy) Vẽ đồ thị II VÍ DỤ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: a y  2x  x 1 b y  x2 x2 Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng giao điểm hai đường tiệm cận Xét trường hợp c = 0, ad – bc = Dạng đồ thị hàm số: y  ax  b cx  d (c  0; ad  bc  0) HDedu - Page ÔN TẬP CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Các quy tắc tìm cực trị hàm số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: hàm bậc ba, hàm trùng phương, biến Biện luận phương trình đồ thị Tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M(x ; y ) II CÁC BÀI TẬP Bài tập 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: 1) y  cos 2x  3cos x  2) y  x  đoạn [0;2] x 1 Bài tập 2: Cho hàm số y  x3  3mx2  , có đồ thị (Cm ) 1) Định m để hàm số có cực trị 2) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số m = Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại cực tiểu (C) Bài tập 3: Cho hàm số y   x  2x  (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số   2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm phương trình: x  8x2   4m  Bài tập 4: Cho hàm số y  2x  (1) x 1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) 2) Viết phương trình tiếp tuyến (d) đồ thị (C) giao điểm (C) với Oy HDedu - Page 10 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (PHẦN 1) I PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Định nghĩa vectơ pháp tuyến mặt phẳng Vectơ n  gọi vectơ pháp tuyến mặt phẳng (α) giá n vng góc với () Nếu n vectơ pháp tuyến mp (α) k n (k  0) vectơ pháp tuyến mặt phẳng () Phương trình mặt phẳng Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng () qua điểm M0(x0; y0; z0) có vectơ pháp tuyến n  A;B;C  Điều kiện cần đủ để điểm M(x; y; z) thuộc mặt phẳng () n.M0M  hay: A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = (1) (A2 + B2 + C2 >0) Nhận xét: Nếu đặt D = - ( Ax0+ By0 + Cz0) phương trình trở thành: Ax + By + Cz + D = (2) (A2 + B2 + C2 >0) (2) gọi phương trình tổng qt mặt phẳng có vectơ pháp tuyến n  A;B;C  Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3), B(–1; –3; 6),C(2; –4; 5) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3), mặt phẳng (P): 2x + y – 3z + = 0, mặt phẳng (Q): x – 2y + 5z + = Viết phương trình mặt phẳng (R) qua A vng góc với hai mặt phẳng (P) (Q) Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3), B(–1; 4; 7) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua B khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) lớn Các trường hợp riêng Trong không gian Oxyz xét mặt phẳng () có phương trình: Ax + By +Cz + D = HDedu - Page 89 D =  mặt phẳng () qua gốc tọa độ O A =  mặt phẳng () // Ox (D  0) mặt phẳng () chứa Ox (D = 0) Hãy phát biểu cho trường hợp tương tự B = C = A = B =  mặt phẳng () //mặt phẳng (Oxy) (D  0) mặt phẳng () trùng mặt phẳng (Oxy) (D = 0) Hãy phát biểu cho trường hợp tương tự A = C = B = C = Đặc biệt: Xét mặt phẳng (P) có phương trình: x y z + + =1 a b c (a.b.c  0) Rõ ràng mặt phẳng cắt trục Ox, Oy, Oz A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) Phương trình (3) gọi phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn Ví dụ 4: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm M (30; 15; 6) 1) Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) qua hình chiếu M lên trục tọa độ 2) Tìm tọa độ hình chiếu O lên (P) HDedu - Page 90 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (PHẦN 2) I VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GiỮA HAI MẶT PHẲNG Hai số tỉ lệ Xét n số (A1; A2; …; An ) (n > 2) số A1; A2; …; An không đồng thời Hai số (A1; A2; …; An ) (B1; B2; …; Bn ) gọi tỉ lệ với (hay tỉ lệ) có số t cho A1 = tB1; A2 = tB2; …; An = tBn Khi ta viết: A1: A2: …: An = B1: B2: …: Bn hay A1 B1 = A2 B2 = = An Bn Trường hợp hai số (A1; A2; …; An ) (B1; B2; …; Bn ) tỉ lệ, hai (A1; A2; …; An…; An+1 ) (B1; B2; …; Bn; Bn+1 ) không tỉ lệ Điều có nghĩa có số t cho A1 = tB1; A2 = tB2; … ; An = tBn An+1  tBn+1 Trong trường hợp ta viết: A1 B1 = A2 B2 = = An Bn  An 1 Bn 1 Vị trí tương đối hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P) mặt phẳng (Q) có phương trình: (P): Ax + By + Cz + D = (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = Hai mặt phẳng trùng A A' Hai mặt phẳng song song A A' =B=C=D B' C' D' =B=C D B' C' D' Hai mặt phẳng cắt A : B : C  A ' : B ' : C' II KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG Trong không gian Oxyz cho điểm M0(x0; y0; z0) mặt phẳng (P) có phương trình: Ax + By + Cz + D = Khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng (P) tính theo cơng thức: d M ,(P)  = Ax + By + Cz0 + D A + B + C2 HDedu - Page 91 Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A(1; 1; 3) mặt phẳng (P): 6x – 2y + 3z + = Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) cách điểm A khoảng Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đơi vng góc, O A = a , OB = b, OC = c Tính độ dài đường cao tứ diện kẻ từ O Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3), B(5; –1; 4), C(2; 3; –1), D(–4; –1; 5) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, B (P) cách hai điểm C, D Ví dụ 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Trên cạnh AA’, BC, C’D’ lấy điểm M, N, P cho AM = CN = D’P = t, với 0< t < a Chứng minh: mặt phẳng (ACD’)//mặt phẳng (MNP) tính khoảng cách hai mặt phẳng HDedu - Page 92 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG (PHẦN 1) I PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ĐƯỜNG THẲNG Phương trình tham số đường thẳng: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d qua điểm M0(x0; y0; z0) có vectơ phương u  a;b;c  (Vì u  nên a2 + b2 + c2 > 0)  x = x + at  M(x; y; z)  d  M0M  tu   y = y + bt z = z + c t  t R 1 Hệ phương trình (1) gọi phương trình tham số đường thẳng d với tham số t, d qua điểm (x0; y0; z0) nhận u  a;b;c  làm vectơ phương Với t  R phương trình cho ta tọa độ điểm M đường thẳng d Phương trình tắc đường thẳng Trong trường hợp abc ≠ 0, cách khử t từ phương trình hệ (1) ta được: x - x y - y z - z0 = = (2) a b c Hệ phương trình (2) gọi phương trình tắc đường thẳng d có vectơ phương u  a;b;c  (với abc ≠ ) d qua điểm (x0; y0; z0) II CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3), B(–1; – 3; 6) Viết phương trình đường thẳng d qua hai điểm A, B Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; 2; 3), B(9; 1; 4), C(5; 2; 6), D(6; 7; 2) 1) Viết phương trình tham số đường cao d tứ diện ABCD hạ từ A 2) Tìm tọa độ hình chiếu H A lên (BCD) Ví dụ 3: Cho hai mặt phẳng (P), (Q) có phương trình x + 2y + 3z – = 3x – 2y + 5z – = Chứng tỏ hai mặt phẳng cắt viết phương trình tham số giao tuyến hai mặt phẳng Ví dụ 4: Viết phương trình đường thẳng d qua A(4; 1; 1) cắt hai đường thẳng d1, d2 có phương trình sau:  x = + 3t x = + t '   d 1:  y = + t ;d2 : y = - t ' z = - t z =   HDedu - Page 93 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG (PHẦN 2) I VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Trong khơng gian cho đường thẳng d qua điểm A, có vectơ phương u đường thẳng d’ qua điểm B, có vectơ phương u ' , dựa vào ba vectơ u , u ' AB ta biết vị trí tương đối hai đường thẳng d d’ d d’ trùng  u , u ' AB đôi phương  u,u'  u, AB       d song song d’  u u ' phương u AB không phương  u,u'       u, AB     u, u '     d cắt d’  u u ' không phương u , u ' AB đồng phẳng    u, u '  AB   d chéo d’  u , u ' AB không đồng phẳng  u, u ' AB    Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz, xét vị trí tương đối hai đường thẳng t  x = x = + t '   d' :  y = + 2t ' d : y = t z = - 2t z = - 4t '    Ví dụ 2: Trong khơng gian Oxyz, xét vị trí tương đối hai đường thẳng x = + t  d :  y = + 2t z = + t   x = -1 - t '  d' : y = + t ' z = + 3t '  Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz, xét vị trí tương đối hai đường thẳng  x = -1 + t  d :  y = -1 + t z = - t  x = + t'  d' : y = + 2t' z = - 3t'  HDedu - Page 94 II MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ TÍNH KHOẢNG CÁCH Bài tốn 1: Tính khoảng cách h từ điểm M đến đường thẳng d qua điểm M0 có vectơ phương u M0M,u  Khoảng cách từ điểm M0 đến đường thẳng d là: h   u Bài toán 2: Tính khoảng cách h hai đường thẳng chéo d d’, biết d qua điểm A có vectơ phương u ; d’ qua điểm B có vectơ phương u ' Khoảng cách hai đường thẳng d d’ là: h  u,u'  AB   u,u'    x = -1 + 2t  Ví dụ 4: Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2; 3) đến đường thẳng d :  y = -1 + t z = - 2t  Ví dụ 5: Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo d d’ có phương  x = -1 + 2t  d :  y = -1 + t z = - 2t  x = + t '  d' : y = + 2t ' z = - 3t '  HDedu - Page 95 PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU I PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Định nghĩa mặt cầu Trong không gian Oxyz cho điểm I(a; b; c) số thực R > Mặt cầu (S) tâm I, bán kính R tập hợp tất điểm M(x; y; z) thỏa IM = R S(I; R) = {M(x; y; z) / IM = R} Dạng phương trình mặt cầu Dạng 1: (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2 (1) Phương trình (1) gọi phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính R( R > 0) Dạng 2: x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = (2) Phương trình (2 ) gọi phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính R= a2  b2  c2  d a2 + b2 + c2 – d > II CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) ; B(–11; 6; 9) Viết phương trình mặt cầu đường kính AB Ví dụ 2: Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu tâm I(2; –4; 5) tiếp xúc với mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 11 = Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A(–5; 4; 6); B(7; 5; 1); C(4; 8; 5); D(3; –1; 9) Ví dụ 4: Trong khơng gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(5; 6; 5); B(3; (–2; 7); C((–3; 4; (–1) có tâm thuộc mặt phẳng (P): x + y + z – = HDedu - Page 96 ÔN TẬP CHƢƠNG I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Tọa độ vectơ tọa độ điểm Tọa độ vectơ: u   x;y;z   u  x;y;z   u  xi  y j  zk Tọa độ điểm: M(x; y; z)  M = (x; y; z)  OM   x; y;z  AB   xB  x A ;yB  y A ;zB  zA  Tích vơ hƣớng tích có hƣớng hai vectơ Cho hai vectơ u(a;b;c) v(a';b';c ') u.v  a.a' b.b' c.c '  b c c a a b  u, v  =  ; ;  = bc '- b ' c;ca'- c ' a;ab '- a'b     b ' c ' c ' a' a'b '  Tính diện tích hình bình hành ABCD diện tích tam giác ABC S ABCD | [AB, AD]| ; S ABC  | [AB, AC]| Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ thể tích khối tứ diện ABCD VABCD.A 'B ' C 'D ' | [AB, AD]AA ' | ; VABCD  | [AB, AC]AD | Phƣơng trình mặt phẳng A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = (1) (A2 + B2 + C2 >0) (1) phương mặt phẳng () qua M0(x0; y0; z0) có vectơ pháp tuyến n  A;B;C  Ax + By + Cz + D = (2) (A2 + B2 + C2 >0) (2) phương trình tổng qt mặt phẳng có vectơ pháp tuyến n  A;B;C  Vị trí tƣơng đối hai mặt phẳng Trong khơng gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P) mặt phẳng (Q) có phương trình: (P): Ax + By + Cz + D = (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = HDedu - Page 97 Hai mặt phẳng trùng A A' Hai mặt phẳng song song A A' =B=C=D B' C' D' =B=C D B' C' D' Hai mặt phẳng cắt A : B : C  A ' : B ' : C' Phƣơng trình đƣờng thẳng:  x = x + at   y = y + bt z = z + c t  t R 1 Hệ phương trình (1) gọi phương trình tham số đường thẳng d với tham số t, d qua điểm (x0; y0; z0) nhận u  a;b;c  làm vectơ phương Với t  R phương trình cho ta tọa độ điểm M đường thẳng d x - x y - y z - z0 = = (2) a b c Hệ phương trình (2) gọi phương trình tắc đường thẳng d có vectơ phương u  a;b;c  (với abc ≠ ) d qua điểm (x0; y0; z0) Vị trí tƣơng đối hai đƣờng thẳng Cho đường thẳng d qua điểm A, có vectơ phương u đường thẳng d’ qua điểm B, có vectơ phương u ' d d’ trùng  u , u ' AB đôi phương  u,u'  u, AB       d song song d’  u u ' phương u AB không phương  u,u'       u, AB    d cắt d’  u u ' không phương u , u ' AB đồng phẳng  u, u '       u, u '  AB   d chéo d’  u , u ' AB không đồng phẳng  u, u ' AB    HDedu - Page 98 Khoảng cách Khoảng cách hai điểm: AB  AB   xB  x A 2   yB  y A 2   zB  zA 2 Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = d M ,(P)  = Ax + By + Cz0 + D A + B + C2 Khoảng cách h từ điểm M đến đường thẳng d qua điểm M0 có vectơ M0M,u  phương u là: h   u Khoảng cách h hai đường thẳng chéo d d’, biết d qua điểm A có vectơ phương u ; d’ qua điểm B có vectơ phương u ' là: h  u,u'  AB   u,u'   10 Phƣơng trình mặt cầu Dạng 1: (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2 (1) Phương trình (1) gọi phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính R( R > 0) Dạng 2: x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = (2) Phương trình (2 ) gọi phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính R= a2  b2  c2  d a2 + b2 + c2 – d > II BÀI TẬP Bài tập 1: Trong không gian Oxyz cho điểm A(1; 2; 3), B(5; –1; 2), C(3; 7; 6), D(5; 3; 8) 1) Chứng minh ABCD tứ diện 2) Tính thể tích khối tứ diện ABCD 3) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB CD Bài tập 2: Trong không gian Oxyz cho điểm A (5; 3; 1), B(-3; 1; 1), C(5; -3; 7), D(-2; 5; 4) 1) Viết phương trình mặt phẳng (BCD) suy ABCD tứ diện 2) Tính chiều cao h tứ diện kẻ từ A 3) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc (BCD), tìm tọa độ tiếp điểm H Bài tập 3: Trong không gian Oxyz cho điểm A (1; 2; 3), B(– 3; –1; 4), mặt phẳng (P): 2x – y – z – = 1) Tìm tọa độ điểm A’ điểm đối xứng A qua mặt phẳng (P) HDedu - Page 99 2) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa AB vng góc (P) 3) Tìm tọa độ giao điểm I đường thẳng AB mặt phẳng (P) 4) Viết phương trình đường thẳng d nằm (P), qua I vng góc với AB Bài tập 4: Trong không gian Oxyz cho điểm A(2; 1; 1), mặt phẳng (P): x – y + z – =  x = -2 + 3t  hai đường thẳng d 1:  y = -1 + t z = - t  x = + t '  d2 : y = - t ' z = -1 + t '  Viết phương trình đường thẳng d trường hợp sau: 1) qua điểm A vuông góc với d1 d2 2) qua điểm A, cắt d1 vng góc d2 3) qua điểm A, cắt d1 song song mặt phẳng (P) HDedu - Page 100 ƠN TẬP HỌC KÌ I ƠN TẬP VỀ GĨC Góc hai đường thẳng u1   x1 ;y1 ;z1  ,u2   x ;y ;z2  hai vectơ phương hai đường thẳng   d1 d2 Khi đó: cos(d1 ,d2 ) | cos(u1 ,u2 ) |= | x 1.x + y1.y + z1.z2 | x12 + y12 + z12 x 22 + y 22 + z22 Góc hai mặt phẳng n1   x1 ;y1 ;z1  ,n2   x ;y ;z2  hai vectơ pháp tuyến hai mặt phẳng   (P) (Q) Khi đó: cos[(P),(Q)] | cos(n1 ,n2 ) |= | x 1.x + y1.y + z1.z2 | x12 + y12 + z12 x 22 + y 22 + z22 Góc đường thẳng mặt phẳng u   x1 ; y1 ;z1  vectơ phương đường thẳng d n   x ; y ;z2  vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P) Khi đó: sin[d,(P)] | cos(u,n) |= | x 1.x + y1.y + z1.z2 | x12 + y12 + z12 x 22 + y 22 + z22 II BÀI TẬP  x = -2 + 3t  Bài tập 1: Tính góc đường thẳng d :  y = -1 + 4t Oz z = - 5t  Bài tập 2: Cho mặt phẳng (P): 7x + y + 2z + 18 = mặt phẳng (Q): –5x – 2y + 5z – 36 = Tính góc hai mặt phẳng (P) (Q)  x = -2 + 4t  Bài tập 3: Cho mặt phẳng (P): 7x + y + 2z + 18 = đường thẳng d :  y = -1 +1t z = - t  Tính góc đường thẳng d mặt phẳng (P) HDedu - Page 101 Bài tập 4: Viết phương trình mặt cầu (S) qua hai điểm A(5; 7; 4) ; B(2; 6; 8) có x = + t  tâm thuộc đường thẳng d :  y = + 2t z = + t  Bài tập 5: Trong không gian Oxyz cho điểm A (4; –1; 2), B(1; 2; 2), OC  i  j  5k Tìm tọa độ điểm D cho: AD = BD = CD = Bài tập 6: Trong không gian Oxyz cho điểm A (4; –1; 2), B(1; 2; 2), C (1; –1; 5), D(2; 4; 3) Tìm tọa độ điểm M cho: P = MA2 + MB2 + MC2 + MD2 nhỏ Bài tập 7: Viết phương trình đường vng góc chung d hai đường thẳng  x = + 5t x = + 3t'   d 1:  y = -3 - 4t d2 : y = - 2t' z = -1 - 2t z = - 2t'   Bài tập 8: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vng góc với mặt phẳng (Q): x + y + z = cách điểm M(1; 2; –1) khoảng HDedu - Page 102 ÔN TẬP CUỐI NĂM I CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP  x = + 3t  Bài tập 1: Cho điểm I(1; 1; 1) đường thẳng d :  y = - 2t Tìm tọa độ hình chiếu H z = - 2t  I lên đường thẳng d tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng d Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d cách I đoạn lớn Bài tập 2: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): –x + y + 2z + =  x = + 4t  đường thẳng d :  y = +2t z =- + t  1) Chứng minh đường thẳng d nằm mặt phẳng (P) 2) Viết phương trình đường thẳng a nằm (P), song song d cách d khoảng 14 Bài tập 3: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 4x – 6z + = x = + t  đường thẳng d :  y = + t Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d z =- + t  tiếp xúc với mặt cầu (S) II ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ GIẢI CÁC BÀI TỐN VỀ HÌNH ĐA DIỆN Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B, SA = AB = BC = a, AD = 2a, SA vng góc (ABCD), G trọng tâm tam giác SAB Tính khoảng cách từ G đến (SCD) Bài tập 2: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có cạnh AB = AD = 2a, AA’ = a góc BAD = 600 Gọi M, N trung điểm A’D’ A’B’ Chứng minh AC’ vng góc (BDMN) HDedu - Page 103 ... a(x - x1 )(x - x ) ax + b A B = + (x - x1 )(x - x ) x - x1 x - x ax + bx + c A B C = + + (x - x1 )(x - x )(x - x ) x - x1 x - x x - x Ví dụ 2: Tính a) x 2x - - 3x + dx b) x - 5x + x -2 dx - 5x...   f1 (x) - f2 (x)  dx a c b +   f (x) - f (x)  dx d Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:   y = x - 2x, y = -x + 4x a)    x = -1 ; x =  y = x - 2x b)   y = -x + 4x Ví... Điểm A(3;2) biểu diễn số phức + 2i Điểm B(2 ;-3 ) biểu diễn số phức - 3i Điểm C (-3 ;-2 ) biểu diễn số phức -3 - 2i Điểm D(0;3) biểu diễn số phức 3i HDedu - Page 49 IV MÔ ĐUN CỦA SỐ PHỨC Mô đun số phức