ucln-bcnn

Bài toán Tìm hai số tự nhiên qua UCLN, BCNN và mối quan hệ đặc biệt giữa UCLN với BCNN A. Đặt v ấn đề. Môn toán là mộ bộ môn giúp học sinh phát triển t duy lô gíc, lý luận chặt chẽ, nó cũng là bộ môn cơ bản giúp học sinh phát triển trí thông minh, khả năng sáng tạo và linh động trong lúc giải các bài toán. Trong chơng trình toán THCS, đặc biệt là chơng trình số học 6, sau khi học các khái niệm, kiến thức về ƯCLN, BCNN chúng ta sẽ gặp dạng toán tìm 2 số tự nhiên biết một số yếu tố có liên quan đến ƯCLN, BCNN hoặc biết mộ số yếu tố có liên quan đến ƯCLN, BCNN hoặc biết mối quan hệ đặc biệt giữa ƯCLN với BCNN. Chẳng hạn bài toán: Tìm hai số tự nhiên biết: a + 2b = 48 và ƯCLN (a,b) + 3BCNN (a, b) = 144 hoặc bài toán: Tìm hai số tự nhiên: BCNN (a, b) + ƯCLN (a,b) = 55 và rất nhiều bài toán nữa. Với những bài toán dạng trên học sinh gặp phải khó khăn và lúng túng trong cách giải, thậm chí không giải đợc. Để giúp các em giải quyết vấn đề này chúng ta phải làm gì? Không có con đờng nào khác là giáo viên phải hớng dẫn cho học sinh các cách giải những loại bài toán này một cách hợp lý thì học sinh mới giải quyết đ- ợc những khó khăn và lúng túng mắc phải, từ đó thêm yêu thích và say mê học tập. Trong quá trình giảng dạy môn toán 6 tôi nhận thấy: Trong chơng trình chính khoá không đề cập đến dạng toán này, có chăng chỉ ở bài tập. Trong giảng dạy giáo viên và học sinh cũng không có thời gian đề cập đến. Trong khi đó dạng toán này lại xuất hiện trong các kỳ thi, trong chơng trình giải toán qua mạng internet và đặc biệt là trong các kỳ thi học sinh giỏi huyện, tỉnh Do đó tôi nhận thấy cần phải làm gì giúp các em không gặp khó khăn lúng túng khi đứng trớc những bài toán đó. Đặc biệt hơn là qua đó để phát triển và bồi dỡng những em có năng khiếu toán học là nhân tài tơng lai cho đất nớc. 1 Vì vậy ở đây tôi xin đề cập đến một số dạng toán cơ bản có liên quan đến ƯCLN, BCNN và mối quan hệ đặc biệt giữa ƯCLN với BCNN để bạn đọc tham khảo và mong muốn lớn hơn là giúp học sinh áp dụng để giải đợc các bài toán t- ơng tự dạng trên từ đó các em thêm say mê nghiên cứu và yêu thích toán học. b. giải quyết vấn đề. i. Cơ sở lý luận Dạng toán mà tôi nói ở trên là một phơng tiện giúp học sinh phát triển t duy lôgíc, rèn luyện các kỷ năng phân tích, tổng hợp Đặc biệt khi giải các bài toán này học sinh phải vận dụng các kiến thức của môn học từ đó khơi dậy tính hứng thú cho học sinh trong học tập. Qua việc dạy toán, dạy nâng cao và bồi dỡng học sinh giải toán 6. Qua nhiều cuộc thi học sinh giỏi các năm, qua giải toán trên mạng internet tôi nhận thấy dạng toán này thờng đợc đề cập đến. Đặc biệt là có nhiều bài toán khó. Vì vậy tôi chọn đề tài này để viết thành sáng kiến kinh nghiệm. Ii. Cơ sở thực tiễn. 1. Thực trạng Để giải những dạng toán nói trên đối với học sinh các em gặp khó khăn lúng túng không giải đợc vì các em cha biết cách giải. Trong chơng trình học chính khoá của các em cũng cha hớng dẫn cách giải cho dạng toán này. Do đó khi đa ra bài toán: Tìm 2 số tự nhiên biết a + 2b = 48 và ƯCLN (a,b) + 3.BCNN(a,b) = 114. Học sinh nhiều em không giải đợc và cũng không có hớng giải quyết vấn đề này. 2. Số liệu điều tra, Khi đa ra bài toán trên cho học sinh giải. Kết quả cho thấy nh sau: Lớp Tổng số HS Giải đợc Không giải đợc 6A 32 1% 99% 6B 31 0% 100% iii. các giải pháp Để giúp học sinh giải đợc bài toán trên và các bài toán có dạng tơng tự trên, bản thân tôi đã tiến hành nh sau: 1. Cung cấp cho học sinh các kiến thức có liên quan. a) Kiến thức ở sách giáo khoa toán 6 có liên quan. 2 - Bội ớc: Nếu có số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b ta nói a là bội của b, còn b là ớc của a. * Ước chung (ƯC): Ước chung của hai hay nhiều số là ớc của tất cả các số đó. * Bội chung (BC): Bội chung của hai hay nhiều số là ớc của tất cả các số đó. * ƯCLN của 2 hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ƯC của các số đó. * Hai hay nhiều số có ƯCLN bằng 1 gọi là các số nguyên tố cùng nhau. b) Kiến thức nâng cao: + Cho ƯCLN (a, b) = d. Nếu chia a và b cho d thì thơng của chúng là những số nguyên tố cùng nhau. * Mối quan hệ đặc biệt giữa ƯCLN của 2 số a, b (kí hiệu (a,b)) và BCNN của 2 số a, b (kí hiệu [a, b]) với tích của 2 số a và b là: a . b = (a, b) . [a, b]. * Chứng minh: Đặt (a, b) = d a = md và b = nd. Với m, n N*, (m. n) = 1. Từ (I) ab = mnd 2 ; [a, b] = mnd (a, b) . [a, b] = d . (mnd) = mnd 2 = ab. Vậy ab = (a, b) [a, b]. (ĐPCM) 2. Giải một số bài toán mẫu: Dạng 1: Biết (a, b) và [a, b] tìm a và b. Bài 1: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết (a, b) = 15; [a, b] = 300 Giải Sử dụng mối quan hệ giữa a.b = (a, b) . [a, b] ta có: Ab = 300 . 15 = 4500 (1) * Do vai trò của a, b nh nhau, không mất tính tổng quát ta giả sử a < b. Vì (a, b) = 15 nen a = 15m, b = 15n (m, n) = 1 và m < n. Từ (1) suy ra: 15m . 15n = 4500 nên m . n = 20. Lập bảng ta có: m n a b 1 20 15 300 4 5 60 75 3 Vậy 2 số tự nhiên a và b cần tìm là: 15 vf 300; 60 và 75 Dạng 2: Biết tích của 2 số a và b và [a, b] hoặc (a, b). Bài 2: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết: ab = 216 và (a, b) = 6 Giải Giả sử a >b vì (a, b) = 6 a = 6m; b = 6n với m, n N * , (m, n) = 1; m < n khi đó ab = 6m . 6n = 36mn, do ab = 216 nên 216 = 36mn mn = 6 Lập bảng m n a b 1 6 6 36 2 3 12 18 Vậy 2 số tự nhiên a và b cần tìm là: 6 và 36; 12 và 18 Bài 3: Tìm 2 số tự nhiên a và ba biết: ab = 180; [a, b] = 60 Giải Từ ab = (a,b) [a, b] (a, b) = 3 60 180 ],[ == ba ab Giả sử a < b, vì (a, b) = 3 nên a = 3m, b = 3n với m, n N * (m, n) = 1 vaf m < n. Suy ra ab = 3m . 3n = 9mn vì ab = 180 nên 180 = 9mn mn = 20. Lập bảng: m n a b 1 20 3 60 4 5 12 15 Vậy 2 số tự nhiên a và b cần tìm là: 3 và 60; 12 và 15. Dạng 3: Biết tổng hoặc hiệu của 2 số a, b và [a, b] hoặc (a, b) Bài 4: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết a + b = 128 và (a, b) = 16 Giải Giả sử a < b khi đó a = 16m; b = 16n với m, n N * , (m, n) = 1; m < n vì a + b = 128 nên 16m + 16n = 128 16 (m + n) = 128 m + n = 8. Lập bảng: m n a b 1 7 16 112 3 5 48 80 Vậy 2 số tự nhiên a và b cần tìm là: 16 và 112; 48 và 80 4 Bài 5: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết a + b = 42 và [a, b] = 72. Đặt (a, b) = d suy ra a = md, b = nd với m, n N * ; (m, n) = 1. Giả sử a < b khi đó m < n. Do đó a + b = d(m + n) = 42 (1) [a, b] = dmn = 72 (2) Từ (1) vf (2) d ƯC (42, 72) mà ƯCLN (42, 72) = 6 d Ư (6) nên d {1; 2; 3; 6}. Lần lợt thay các giá trị của d vào (1) và (2) để tính m, n ta thấy chỉ có d = 6 là thoả mãn. Suy ra: m + n = 7 và m . n = 12 Chỉ có m = 3 và n = 4 là thoả mãn. Khi đó a = 18 và b = 24. Vậy 2 số tự nhiên a và b cần tìm là: 18 và 24. Bài 6: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết: a,b < 200 và a-b = 90; (a, b) = 15. Giải Vì (a, b) = 15 nên a = 15m, b = 15n với (m, n) = 1 và m > n Do a = 15m < 200 nên m < 14. Ta lại có a b = 90 15 (m n) = 90 m n = 6 Lập bảng: m n a b 13 7 195 105 11 5 165 75 7 1 105 15 Vậy hai số tự nhiên cần tìm là: a = 195 a = 165 a = 105 b = 105 b = 75 b = 15 Bài 7: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết a b = 7 và [a, b] = 140 Giải Đặt (a, b) = d suy ra a = md, b = nd với m,n N * ; (m, n) = 1 Do đó: a b = d (m n) = 7 (1) (a > b m > n) [a, b] = mnd = 140 (2) Từ (1) và (2) d ƯC (7, 140) mà ƯCLN (7, 140) = 7 d Ư (7) = {1, 7}. 5 Thay các giá trị của d và (1) và (2) để tính m, n ta đợc kết quả duy nhất: d = 7 và m n = 1 m = 5 khi đó a = 35 m.n = 20 n = 4 b = 28 Vậy 2 số tự nhiên cần tìm là: a = 35; b = 28 Dạng 4: Biết thơng của a, b và ƯCLN hoặc BCNN Bài 8: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết 6,2 = b a và (a, b) = 5 Do (a, b) = 5 a = 5m, b = 5n với m, n N * , (m, n) = 1 nên 5 13 5 13 6,2 ==== n m n m b a vì (m,n) = 1 nên m = 13, n = 5. Khi đó a = 13.5 = 65; b = 5.5 = 25 Vậy 2 số cần tìm là: a = 65; b = 25 Bài 9: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết: 8,0 9 = b và [a, b] = 140 Giải Đặt (a, b) = d a = m.d, b = nd với (m, n) = 1 . m,n N * 5 4 8,0 ==== n m nd md b a Và (m,n) = 1 m = 4; n = 5 Mặt khác: [a, b] = m.nd 140 = 4.5.d d = 7 Lúc đó a = 4.7 = 28; b = 5.7 = 35 Vậy 2 số cần tìm là a = 28; b = 35 Dạng 5: Tổng hợp Bài 10: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết: a + 2b = 48 và (a, b) + 3 [a, b] = 114. Giải Đặt (a, b) = d a = dm; b = dn với (m, n) = 1 và [a, b] = dmn. a + 2b = 48 d (m + 2n) = 48 (1) (a, b) + 3 [a, b] d (1 + 3mn) = 144 (2) Từ (1) và (2) d ƯC (48, 144) mà ƯCLN (48, 144) = 6 d Ư (6) = {1; 2; 3; 6} lần lợt thay các giá trị của d vào (1) và 92) ta thấy chỉ có d = 6 là thoả mãn. Lập bảng: 6 m n a b 2 3 12 18 6 1 36 6 Vậy 2 số cần tìm là: a = 12 và b = 18; a = 36 và b = 6 Bài 11: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết: [a, b] + (a, b) = 55 Giải Đặt (a, b) = d khi đó: a = dm, b = dn (m, n) = 1 Giả sử a < b m < n Từ ab = (a, b) [a, b] [a, b] = dmn d mnd s ab ba ab === 2 ),( Theo bài ra ta có: dmn + d = 55 hay d(mn + 1) = 55 mn + 1 Ư (55) . Mặt khác mn + 1 > 2. Ta có bảng d mn + 1 mn m n a b 11 5 4 1 4 11 44 5 11 10 1 10 5 50 2 5 10 25 1 55 54 1 54 1 54 2 27 2 27 Vậy các cặp số tự nhiên a và b cần tìm là: (11, 44), (5, 10); (10, 25), (1, 54), (2, 27) Bài 12: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết: a + b = 30, [a, b] = 6(a, b) Giải Đặt (a, b) = d thì a = em, b = dn với (m,n) = 1. Do đó ab = d 2 mn d.6d = d 2 mn m.n = 6 Giả sử a < b thì m < n Ta có bảng: m n 1 6 2 3 Mặt khác: a + b = d(m + n) nên 30 = d(m+n) do đó m + n là ớc của 30. Nên chỉ có m = 2, n = 3 khi đó 30 = d (2 + 3) d = 6 Do đó a = 6 . 2 = 12; b = 6 . 3 = 18 7 Vậy 2 số cần tìm là 12 và 18. Bài tập tự giải (1) tìm 2 số tự nhiên a và b, biết. a) 1 b = 360, [a, b] = 60 b) (a, b) = 12, [a, b] = 72 c) (a, b) = 6, [a, b] = 180 d) (a, b) = 15, [a, b] = 2100 (a, b) e) ab = 180, [a, b] = 20 (a, b) (2). Tìm phân số b a có giá trị bằng a) 45 36 , biết BCNN (a,b) = 300 b) 35 21 , biết ƯCLN (a, b) = 30 c) 35 15 , biết ƯCLN (a, b) BCNN (a, b) = 3549 (3). Tìm 2 số tự nhiên a và b biết: a) [a, b] (a, b) = 5 b) [a, b] (a, b) = 35 iv. kết quả. Với việc áp dụng kinh nghiệm này vào dạy nâng cao và bồi dỡng học sinh giỏi, trong các năm học qua tôi thấy thực sự có hiệu quả. Từ các toán mẫu học sinh đã giải đợc thành thạo các bài toán dạng tơng tự thờng gặp qua đó nâng cao đợc kỷ năng. Cụ thể: Trong dạy nậng cao 2 lớp 6A, 6B và bồi dỡng học sinh giỏi. Sau khi tôi đã hớng dẫn cho học sinh cách giải và qua bài tập mẫu thì nhiều học sinh biết áp dụng và giải đợc các bài toán trên và cá bài toán tơng tự. Kết quả thu đợc: Lớp Số học sinh Giải đợc Không giải đợc 6A 32 53% 47% 6B 31 41% 59% c. kết luận 8 Trên đây là một số dạng bài toán tìm 2 số tự nhiên biết ƯCLN, BCNN hoặc biết một số yếu tố liên quan đến mối quan hệ đặc biệt giữa ƯCLN với BCNN. Mặc dù đây là một dạng toán khó, nhiều em không giải đợc nhng sau khi hớng dẫn học sinh giải theo cách trên và phân loại chúng thành từng dạng liên kết thành một chuỗi thì nhiều em đã giải đợc. Với kinh nghiệm này chắc chắn nó sẽ giúp các em ham đọc làm giàu thêm vốn kiến thức của mình. Tuy nhiên với thời gian có hạn, vốn kinh nghiệm còn ít chắc chắn không tránh khỏi sai sót. Do đó tôi rất mong đón nhận đợc nhiều ý kiến đóng góp của bạn đọc để hoàn chỉnh hơn kinh nghiệm của mình. 9 10 Phßng gi¸o dôc - ®µo t¹o léc hµ S¸ng kiÕn kinh nghiÖm §Ò tµi : Bµi to¸n: T×m hai sè tù nhiªn qua cln, bcnn vµ mèi quan hÖ ®Æc biÖt gi÷a cln víi cbnn _____ Th¸ng 04 n¨m 2010 _____