1103 câu trắc nghiệm số phức

103 câu trắc nghiệm Số phức (Vận dụng) mathvn.com Câu 1: (THPT Chuyên Quang Trung-Bình Phước-lần 1-) Cho số phức z thỏa mãn z − 2i ≤ z − 4i z − − 3i = Giá trị lớn biểu thức P = z − là: A 13 + B 10 + C 13 Lời giải D 10 Chọn C Gọi M ( x; y ) điểm biểu diễn số phức z ta có: z − 2i ≤ z − 4i ⇔ x2 + ( y − 2) ≤ x2 + ( y − 4) 2 ⇔ y ≤ ; z − − 3i = ⇔ điểm M nằm đường tròn tâm I ( 3;3) bán kính Biểu thức P = z − = AM A ( 2;0 ) , theo hình vẽ giá trị lớn P = z − đạt M ( 4;3) nên max P = ( − 2) + ( − ) = 13 Câu 2: (THPT Chuyên Quang Trung-Bình Phước-lần 1-) Trong tập số phức, cho phương ( 1) Gọi trình z − z + m = , m ∈ ¡ m0 giá trị m để phương trình ( 1) có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn z1.z1 = z2 z2 Hỏi khoảng ( 0; 20 ) có giá trị m0 ∈ ¥ ? A 13 B 11 C 12 D 10 Lời giải Chọn D Điều kiện để phương trình ( 1) có hai nghiệm phân biệt là: ∆ = − m ≠ ⇔ m ≠ Phương trình có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn z1.z1 = z2 z2 ( 1) phải có nghiệm phức Suy ∆ < ⇔ m > Vậy khoảng ( 0; 20 ) có 10 số m0 Câu 3: (THPT Chuyên Quang Trung-Bình Phước-lần 1-) Gọi số phức z = a + bi , ( a, b∈ ¡ ( ) ) thỏa mãn z − = ( + i ) z − có phần thực đồng thời z khơng số thực Khi a.b : A a.b = −2 B a.b = C a.b = D a.b = −1 Lời giải Chọn C Theo giả thiết z − = ( a − 1) + b = WWW.MATHVN.COM 103 câu trắc nghiệm Số phức (Vận dụng) ( mathvn.com ) Lại có ( + i ) z − có phần thực nên a + b = Giải hệ có từ hai phương trình kết hợp điều kiện z không số thực ta a = , b =1 Suy a.b = Trình bày lại Theo giả thiết z − = ( a − 1) + b = ( 1) a + b = ( 2) Lại có ( + i ) z − = ( a + b − 1) + ( a − b − 1) i có phần thực nên  b ≠ Giải hệ có từ hai phương trình ta a = , b = Suy a.b = ( ) Câu 4: (THPT Chuyên Quang Trung-Bình Phước-lần 1-) Cho số phức z thoả mãn 1+ i số z thực z − = m với m ∈ ¡ Gọi m0 giá trị m để có số phức thoả mãn tốn Khi đó:  1 A m0 ∈  0; ÷  2 1  3  B m0 ∈  ;1÷ C m0 ∈  ; ÷ 2  2  Lời giải  3 D m0 ∈ 1; ÷  2 Chọn D Giả sử z = a + bi, ( a, b ∈ ¡ ) 1+ i 1+ i a+b a −b = =  a + b + ( a − b ) i  = + i  z a + bi a + b a + b a + b2 w số thực nên: a = b ( 1) Đặt: w = Mặt khác: a − + bi = m ⇔ ( a − ) + b = m ( ) 2 Thay ( 1) vào ( ) được: ( a − ) + a = m ⇔ 2a − 4a + − m = ( 3) Để có số phức thoả mãn tốn PT ( 3) phải có nghiệm a  3 ⇔ ∆′ = ⇔ − ( − m ) = ⇔ m = ⇔ m = ∈  1; ÷ (Vì m mơ-đun)  2 Trình bày lại Giả sử z = a + bi, z ≠ nên a + b > ( *) 1+ i 1+ i a+b a −b = =  a + b + ( a − b ) i  = + i  z a + bi a + b a + b a + b2 w số thực nên: a = b ( 1) Kết hợp ( *) suy a = b ≠ Đặt: w = Mặt khác: a − + bi = m ⇔ ( a − ) + b = m ( ) (Vì m mơ-đun nên m ≥ ) 2 Thay ( 1) vào ( ) được: ( a − ) + a = m ⇔ g ( a ) = 2a − 4a + − m = ( 3) Để có số phức thoả mãn tốn PT ( 3) phải có nghiệm a ≠ Có khả sau : KN1 : PT ( 3) có nghiệm kép a ≠ WWW.MATHVN.COM 103 câu trắc nghiệm Số phức (Vận dụng) mathvn.com  ∆′ = m − = ⇔ ⇒m= ĐK:   g ( ) ≠ 4 − m ≠ KN2: PT ( 3) có hai nghiệm phân biệt có nghiệm a =  ∆′ > m − > ⇔ ⇒ m = ĐK:   g ( ) = 4 − m =  3 Từ suy ∃m0 = ∈  1; ÷  2 Câu 5: (THPT Chuyên Quang Trung-Bình Phước-lần 1-) Trong tập hợp số phức, gọi z1 , z2 nghiệm phương trình z − z + 2017 = , với z2 có thành phần ảo dương Cho số phức z thoả mãn z − z1 = Giá trị nhỏ P = z − z2 A 2016 − B 2017 − C Lời giải 2016 − D 2017 − Chọn A Xét phương trình z − z + 2017 =0  2016 i  z1 = + 2  Ta có: ∆ = −2016 < ⇒ phương trình có hai nghiệm phức  2016 i  z2 = −  2 Khi đó: z1 − z2 = i 2016 z − z2 = ( z − z1 ) + ( z1 − z2 ) ≥ z1 − z2 − z − z1 ⇔ P ≥ 2016 − Vậy Pmin = 2016 − Câu 6: (THPT Chuyên Quang Trung-Bình Phước-lần 1-) Gọi S tập hợp số thực m cho với m ∈ S có số phức thỏa mãn z − m = tổng phần tử tập S A 10 B C 16 Lời giải z số ảo Tính z−4 D Chọn D Cách 1: x + iy ) ( x − − iy ) x ( x − ) + y − 4iy ( z x + iy = = = Gọi z = x + iy với x, y ∈ ¡ ta có 2 z − x − + iy ( x − 4) + y ( x − 4) + y số ảo x ( x − ) + y = ⇔ ( x − ) + y = Mà z − m = ⇔ ( x − m ) + y = 36 WWW.MATHVN.COM 103 câu trắc nghiệm Số phức (Vận dụng) mathvn.com Ta hệ phương trình  36 − m x =  ( x − m ) + y = 36 − 2m ( − 2m ) x = 36 − m  ⇔ ⇔    2 2 ( x − ) + y =  y = − ( x − )  y = −  36 − m −   ÷   − 2m   2  36 − m  36 − m 36 − m − 2÷ = ⇔ = Ycbt ⇔ −  − −2 = −2 − 2m − 2m  − 2m  ⇔ m = 10 m = −2 m = ±6 Vậy tổng 10 − + − = Cách 2: ( x − m ) + y = 36 Để có số phức thỏa mãn ycbt hpt  2 ( x − ) + y = có nghiệm Nghĩa hai đường trịn ( C1 ) : ( x − m ) + y = 36 ( C2 ) : ( x − ) + y = tiếp xúc 2 Xét ( C1 ) có tâm I1 ( 2;0 ) bán kính R1 = , ( C2 ) có tâm I ( m;0 ) bán kính R2 = m−2 =  I1 I = R1 − R2 ⇔ ⇒ m ∈ { −6;6;10; −2} Cần có :   m − =  I1 I = R1 + R2 Vậy tổng 10 − + − = Câu 7: (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 10-) Cho số phức z thỏa mãn z − i = Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w = iz + − i đường trịn Tính bán kính đường trịn B r = 20 A r = 22 C r = D r = Lời giải Chọn D Gọi w = x + yi , ( x, y ∈ ¡ ) Ta có: w = iz + − i ⇔ x + yi = iz + − i ⇔ z = ( y + 1) + (1 − x )i Mà z − i = ⇔ y + − xi = ⇔ x + ( y + 1) = 52 Câu 8: (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 11-) Cho số phức thỏa z = Biết tập hợp số phức w = z + i đường trịn Tìm tâm đường trịn A I ( 0;1) B I ( 0; −1) C I ( −1;0 ) D I ( 1;0 ) Lời giải Chọn A Đặt w = x + yi, ( x, y ∈ ¡ ) Ta có w = z + i ⇔ x + yi = z + i ⇔ z = x + ( y − 1) i ⇔ z = x + ( − y ) i Mặt khác ta có z = suy x + ( − y ) = hay x + ( y − 1) = 2 Vây tập hợp số phức w = z + i đường tròn tâm I ( 0;1) WWW.MATHVN.COM 103 câu trắc nghiệm Số phức (Vận dụng) mathvn.com Câu 9: (Đề tham khảo BGD ) Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) thỏa mãn z + + i − z ( + i ) = z > Tính P = a + b B P = −5 A P = −1 C P = Lời giải D P = Chọn D z + + i − z ( + i ) = ⇔ ( a + ) + ( b + 1) i = z + i z 2  a + = z a + = a + b ⇔ ⇔ b + = z b + = a + b ( 1) ( 2) Lấy ( 1) trừ ( ) theo vế ta a − b + = ⇔ b = a + Thay vào ( 1) ta a + > ( z > 1) ⇔ a = a + = a + ( a + 1) ⇔  Suy b = a − 2a − = Do z = + 4i có z = > (thỏa điều kiện z > ) Vậy P = a + b = + = Câu 10: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa-ần 1-) Đường tập hợp điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức thỏa mãn điều kiện z − i = z + i ? A Một đường thẳng B Một đường tròn C Một đường elip Lời giải D Một đoạn thẳng Chọn A Gọi z = xi + y , (với x, y ∈ ¡ ) biểu diễn điểm M ( x; y ) mặt phẳng tọa độ ( xoy ) Ta có z − i = z + i ⇔ x + ( y − 1) i = x + ( y + 1) i 2 ⇔ x + ( y − 1) = x + ( y + 1) ⇔ y = (phương trình đường thẳng) Câu 11: (THTT Số 3-486 tháng 12 ) Có số phức z thỏa mãn z = z + z = ? A B C D Lời giải Chọn C Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) ⇒ z = x − yi ⇒ z + z = x 2  x + y =  x + y =  z = ⇔ ⇔ Bài ta có  z + z = x = x = ±    Với x = ± 1 ⇒ + y2 = ⇔ y = ± Do có số phức thỏa mãn z1 = WWW.MATHVN.COM 3 3 + i , z2 = − i , z3 = − + i , z4 = − − i 2 2 2 2 103 câu trắc nghiệm Số phức (Vận dụng) mathvn.com Câu 12: (THTT Số 3-486 tháng 12 ) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z − = z + z + mặt phẳng tọa độ A đường thẳng Chọn C Giả sử z = x + yi B đường tròn C parabol Lời giải ( x, y ∈ ¡ ) D hypebol ⇒ z = x − yi ⇒ z + z = x Bài ta có x − + yi = x + ⇔ ( x − 1) + y2 = 2x + ⇔ ( x − 1) + y = ( x + 1) ⇔ x − x + + y = x + x + ⇔ y = x 2 Do tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z − = z + z + mặt phẳng tọa độ parabol 2 Câu 13: (THTT Số 3-486 tháng 12 ) Tìm giá trị lớn P = z − z + z + z + với z số phức thỏa mãn z = A B C 13 D Lời giải Chọn C Cách 1: Đặt z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) Do z = nên a + b = Sử dụng công thức: u.v = u v ta có: z − z = z z − = z − = z + z + = ( a + bi ) + a + bi + = a − b + a + + ( 2ab + b ) i = ( a − 1) (a 2 + b = − 2a − b + a + 1) + ( 2ab + b ) = a (2a + 1) + b ( 2a + 1) = 2a + (vì a + b = ) Vậy P = 2a + + − 2a • TH1: a < − Suy P = −2a − + − 2a = ( − 2a ) + − 2a − ≤ + − = (vì ≤ − 2a ≤ ) • TH2: a ≥ − 2 1 13  Suy P = 2a + + − 2a = − ( − 2a ) + − 2a + = −  − 2a − ÷ + + ≤ 2 4  Đẳng thức xảy − 2a − = ⇒ a = Cách 2: Đặt z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) Do z = nên a + b = Nhận xét: a ∈ [ −1;1] −1  f a = a + + − a , ≤ a ≤1 ( )  Lập luận cách P = 2a + + − 2a =   f ( a ) = −2a − + − 2a , − ≤ a ≤ −1  2 WWW.MATHVN.COM 103 câu trắc nghiệm Số phức (Vận dụng) mathvn.com −1   − − 2a , ≤ a ≤ Ta có f ′ ( a ) =  Xét f ′ ( a ) = ⇒ a = −1  −2 − , −1 ≤ a ≤  2 − 2a 13 Lập bbt xét dấu f ′ ( a ) ta thấy hàm số đạt giá trị lớn a = Câu 14: (THPT Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định-lần ) Cho số phức z w thỏa mãn z + w = + 4i z − w = Tìm giá trị lớn biểu thức T = z + w A max T = 176 B max T = 14 C max T = Lời giải D max T = 106 Chọn D Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) Do z + w = + 4i nên w = ( − x ) + ( − y ) i Mặt khác z − w = nên z − w = ( x − 3) + ( y − ) = x + y − 12 x − 16 y + 25 = ⇔ x + y − x − y = 28 ( 1) Suy T = z + w = x + y + ( − x) 2 + ( − y) 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có T ≤ ( x + y − x − y + 25 ) Dấu " = " xảy x2 + y = ( − x) ( 2) + ( − y) 2 Từ ( 1) ( ) ta có T ≤ ( 28 + 25 ) ⇔ − 106 ≤ T ≤ 106 Vậy MaxT = 106 Câu 15: (THPT Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định-lần ) Trong mặt phẳng phức, gọi A , B , C , D điểm biểu diễn số phức z1 = −1 + i , z2 = + 2i , z3 = − i , z4 = −3i Gọi S diện tích tứ giác ABCD Tính S 17 19 23 A S = B S = C S = 2 Lời giải D S = 21 Chọn A Ta có z1 = −1 + i ⇒ A ( −1;1) , z2 = + 2i ⇒ B ( 1; ) , z3 = − i ⇒ C ( 2; −1) , z4 = −3i ⇒ D ( 0; −3) uuur r AC = ( 3; −2 ) ⇒ AC = 13 , n = ( 2;3) véc tơ pháp tuyến AC , phương trình AC : ( x + 1) + ( y − 1) = ⇔ x + y − = WWW.MATHVN.COM 103 câu trắc nghiệm Số phức (Vận dụng) mathvn.com Khoảng cách từ B đến AC là: d ( B; AC ) = S ∆ABC = + 3.2 − 13 = ⇒ 13 1 7 d ( B; AC ) AC = 13 = 2 13 Khoảng cách từ D đến AC là: d ( D; AC ) = − −1 13 = 10 13 1 10 13 = ⇒ S ∆ADC = d ( D; AC ) AC = 2 13 17 Vậy S = S ∆ABC + S ∆ADC = + = 2 Câu 16: (THTT Số 4-487 tháng ) Cho số phức z thoả mãn z − − 4i = Gọi M m lần 2 lượt giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = z + − z − i Tính mơđun số phức w = M + mi A w = 1258 B w = 1258 C w = 314 D w = 309 Lời giải Chọn B Giả sử z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) z − − 4i = ⇔ ( a − 3) + ( b − ) = (1) 2 2 2 P = z + − z − i = ( a + ) + b −  a + ( b − 1)  = 4a + 2b + (2)   2 Từ (1) (2) ta có 20a + ( 64 − P ) a + P − 22 P + 137 = (*) Phương trình (*) có nghiệm ∆′ = −4 P + 184 P − 1716 ≥ ⇔ 13 ≤ P ≤ 33 ⇒ w = 1258 Câu 17: (THPT Chuyên ĐH KHTN-Hà Nội ) Cho số phức z , biết điểm biểu diễn hình học số phức z ; iz z + i  z tạo thành tam giác có diện tích 18 Mơ đun số phức z A B C D Lời giải Chọn C Gọi z = a + bi , a, b ∈ ¡ nên iz = − b , z + i  z = a + bi − b + = a − b + ( a + b ) i uuur uuur Ta gọi A ( a, b ) , B ( −b, a ) , C ( a − b, a + b ) nên AB ( −b − a, a − b ) , AC ( −b, a ) r uuur uuu 1 S =  AB, AC  = −a − b ⇔ ( a + b ) = 18 ⇔ a + b = 2 Câu 18: (THPT Chun Hồng Văn Thụ-Hịa Bình ) Cho số phức z thỏa mãn z = Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w = − 2i + ( − i ) z đường trịn Bán kính R đường trịn ? A B 20 C D Lời giải Chọn C WWW.MATHVN.COM 103 câu trắc nghiệm Số phức (Vận dụng) Ta có w = − 2i + ( − i ) z ⇔ z = Khi z = mathvn.com w − + 2i Đặt w = x + yi 2−i ( x, y ∈ ¡ ) x + yi − + 2i 2−i x − + ( y + 2) i x − + ( y + 2) i x + yi − + 2i =2 ⇔ =2⇔ =2 2−i 2−i 2−i Ta có z = ⇒ ( ) 2 ⇔ x − + ( y + ) i = 2 − i ⇔ x − + ( y + ) i = ⇔ ( x − 3) + ( y + ) = Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w = − 2i + ( − i ) z đường trịn có bán kính R = Câu 19: (THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hịa Bình ) Cho số phức z thỏa mãn z + i + z − i = 10 Giá trị nhỏ z bằng: A B Lời giải C D Chọn D Gọi z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) Khi đó: ( z + i + z − i = a + ( b + 1) + a + ( b − 1) ≤ ( 42 + 32 ) a + ( b + 1) + a + ( b − 1) ( ) 2 ) ⇔ 102 ≤ 25 z + ⇔ z ≥ 24 24 ; b= + i hay z = 25 25 25 25 Câu 20: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi M , N , P điểm biểu diễn số phức z1 = + i , z2 = + i , z3 = − 3i Khẳng định sau đúng? Vậy giá trị nhỏ z 1, đạt a = A Tam giác MNP cân B Tam giác MNP C Tam giác MNP vuông D Tam giác MNP vuông cân Lời giải Chọn C M điểm biểu diễn số phức z1 = + i nên tọa độ điểm M ( 1;1) N điểm biểu diễn số phức z2 = + i nên tọa độ điểm N ( 8;1) P điểm biểu diễn số phức z3 = − 3i nên tọa độ điểm P ( 1; − 3) uuuu r uuur  MN MP = uuuu r uuur r uuur hay tam giác MNP vng M Ta có MN = ( 7;0 ) , MP = ( 0; − ) nên  uuuu  MN ≠ MP tam giác cân Câu 21: (THTT số 5-488 tháng 2) Có số phức z thỏa mãn A WWW.MATHVN.COM B C Lời giải z − z − 3i = = 1? z −i z+i D 103 câu trắc nghiệm Số phức (Vận dụng) mathvn.com Chọn B Gọi z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) Ta có: ( a − 1) + b = a + ( b − 1)  z − = z − i −2a + = −2b + a = ⇔ ⇔ ⇔    2 2 − b + = b + b = z − i = z + i    a + ( b − 3) = a + ( b + 1) Vậy có số phức thỏa mãn z = + i Câu 22: (THPT Kinh Môn-Hải Dương lần ) Số phức z = a + bi ( với a , b số nguyên) thỏa mãn ( − 3i ) z số thực z − + 5i = Khi a + b A B C Lời giải D Chọn B Ta có: ( − 3i ) z = ( − 3i ) ( a + bi ) = a + 3b + ( b − 3a ) i Vì ( − 3i ) z số thực nên b − 3a = ⇒ b = 3a ( 1) 2 z − + 5i = ⇔ a − + ( − b ) i = ⇔ ( a − ) + ( − b ) = ( ) Thế ( 1) vào ( ) ta có: ( a − ) + ( − 3a ) 2 a = ⇒ b = = ⇔ 10a − 34a + 28 = ⇔   a = (loaïi)  Vậy a + b = + = Câu 23: (THPT Kinh Môn-Hải Dương lần ) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + = 5, z2 + − 3i = z2 − − 6i Giá trị nhỏ z1 − z2 A B C D Lời giải Chọn A Giả sử z1 = a1 + b1i ( a1 , b1 ∈ ¡ ) , z2 = a2 + b2i ( a2 , b2 ∈ ¡ ) Ta có  z1 + = ⇔ ( a1 + ) + b12 = 25 Do đó, tập hợp điểm A biểu diễn cho số phức z1 đường tròn ( C ) : ( x + ) + y = 25 có tâm điểm I ( −5;0 ) bán kính R =  z2 + − 3i = z2 − − 6i ⇔ ( a2 + 1) + ( b2 − 3) = ( a2 − 3) + ( b2 − ) 2 2 ⇔ 8a2 + 6b2 − 35 = Do tập hợp điểm B biểu diễn cho số phức z2 đường thẳng ∆ : x + y − 35 = Khi đó, ta có z1 − z2 = AB Suy z1 − z2 = ABmin = d ( I ; ∆ ) − R = Vậy giá trị nhỏ z1 − z2 WWW.MATHVN.COM ( −5) + 6.0 − 35 82 + −5 = 10 103 câu trắc nghiệm Số phức (Vận dụng) mathvn.com Vậy Pmax = 2 x + = − x ⇔ x = − , y = ± 5 2 Câu 67: Cho số phức z thoả mãn z − − 4i = biểu thức P = z + − z − i đạt giá trị lớn Môđun số phức z A 10 B C 13 Hướng dẫn giải D 10 Chọn B Đặt z = x + yi với x, y ∈ ¡ gọi M ( x; y ) điểm biểu diễn z Oxy , ta có z − − 4i = ⇔ ( x − 3) + ( y − ) = 2 Và P = z + − z − i = ( x + ) + y − x − ( y − 1) = x + y + 2 2 Như P = x + y + =  ( x − 3) + ( y − )  + 23 ≤ 42 + 22 ( x − 3) + ( y − ) + 23 = 33 x = x−3 y −4 = =t   ⇔ y = Dấu “=” xảy   ( x − ) + ( y − ) = 10 t = 0,5   Vậy P đạt giá trị lớn z = + 5i ⇒ z = Câu 68: Cho số phức z thoả mãn đồng thời hai điều kiện z − − 4i = biểu thức M = z + − z −i A đạt giá trị lớn Môđun số phức z − − i B C 25 D Lời giải Chọn D Đặt z = x + yi , ( ∀x, y ∈ ¡ ) ⇒ z − − 4i = ⇔ ( x − 3) + ( y − ) = 2 ( 1) Ta có: M = z + − z − i = ( x + ) + y − x − ( y − 1) = x + y + 2 = ( x − 3) + ( y − ) + 23 ≤ 20 Dấu "=" xảy 2 ( x − 3) + ( y − ) + 23 = 33 x −3 = y−4 kết hợp với ( 1) suy  x = y = ⇒ z = + 5i  x = 1, y = ⇒ z = + 3i  Thử lại ta có M max = 33 ⇔ z = + 5i ⇒ z − − i = Câu 69: Cho số phức z Gọi A , B điểm mặt phẳng ( Oxy ) biểu diễn số phức z ( + i ) z Tính z biết diện tích tam giác OAB A z = 2 B z = C z = Lời giải D z = Chọn D Ta có OA = z , OB = ( + i ) z = z , AB = ( + i ) z − z = iz = z Suy ∆OAB vuông cân A ( OA = AB OA2 + AB = OB ) WWW.MATHVN.COM 29 103 câu trắc nghiệm Số phức (Vận dụng) mathvn.com 1 Ta có: S ∆OAB = OA AB = z = ⇔ z = 2 Câu 70: Cho hàm số y = f ( x) xác định liên tục ¡ \{0} x f ( x ) + ( x − 1) f ( x ) = x f ′ ( x ) − với đồng thời f ( 1) = Tính thỏa mãn: ∫ f ( x ) dx 1 A −2 ln − B −2 ln − C − ln − Lời giải D − ln − Chọn B Từ giả thiết ta có: ( xf ( x ) + 1) = f ( x ) + xf ′ ( x ) u′ u′ −1 = x + C Đặt u = x f ( x ) + ⇒ u = u ′ ⇒ = ⇒ ∫ dx = x + C ⇒ u u u −1 − , mà f ( 1) = −2 ⇒ C = Vậy x f ( x ) = x+C 1 Vậy f ( x ) = − − ⇒ ∫ f ( x ) dx = −2 ln − x x Câu 71: Trong số phức z thỏa mãn z − − 4i = z − 2i Số phức z có mơđun nhỏ A z = −1 + i B z = −2 + 2i C z = + 2i Lời giải D z = + 2i Chọn C Đặt z = a + bi ( a , b ∈ ¡ ) Khi z − − 4i = z − 2i ⇔ ( a − 2) + ( b − 4) i = a + ( b − 2) i ⇔ ⇔ a+b = ⇔ b = 4−a Khi đó: ( a − 2) + ( b − 4) = a2 + ( b − 2) 2 z = a + b = a + ( − a ) = 2a − 8a + 16 = ( a − ) + ≥ 2 2 a = Đẳng thức xảy ⇔  b = Vậy z = + 2i Câu 72: Trong nặt phẳng phức, xét M ( x; y ) điểm biểu diễn số phức z +i z = x + yi ( x; y ∈ ¡ ) thỏa mãn số thực Tập hợp điểm M z −i A Parabol B Trục thực C Đường tròn trừ hai điểm trục ảo D Trục ảo trừ điểm ( 0;1) Lời giải Chọn D 2 x + y − + ( x + yi ) i x + y − y − 2x z + i) ( z + i z + 2z i + i = + i = Ta có = 2 = 2 2 2 x + y +1 x + y2 +1 x + y +1 z −i z −i z −i x = số thực ⇔  Chọn đáp án D y ≠1 Câu 73: Cho hai số phức z , w thỏa mãn z = WWW.MATHVN.COM 1 + = Khi w bằng: z w z+w 30 103 câu trắc nghiệm Số phức (Vận dụng) mathvn.com B A D C Lời giải Chọn A Ta có: 1 z+w ( z + w ) − zw = + = ⇔ − =0⇔ ⇒ z + w2 + zw = z w z+w zw z+w zw ( z + w ) 2 2     3i     ⇔ z =  − ± i÷ w÷ ⇔  z + w ÷ = − w ⇔  z + w ÷ =  ÷w   ÷     2   ⇒ z =− ± i w ⇔ z = w 2 Vậy w = z1 , Câu 74: Gọi z2 nghiệm phức phương trình z − z + = Giá trị ( z1 − 1) 2018 + ( z2 − 1)2018 A −21010 i B 21009 i C Hướng dẫn giải D 22018 Chọn C  z = + i = z1 z2 − 4z + = ⇔   z = − i = z2 ( z1 − 1) = ( 2i ) 2018 1009 + ( z2 − 1) + ( −2i ) 2018 1009 = ( 1+ i) = ( 2i ) 10 B 10 + ( 1− i) − ( 2i ) 1009 2018 = ( + 2i + i ) 1009 + ( − 2i + i ) 1009 = z − 2i = Giá trị nhỏ z + − 2i z +3−i Câu 75: Cho số phức z thỏa mãn A 1009 2018 C 10 10 D Lời giải Chọn A Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) Ta có z − 2i = ⇔ z − 2i = z + − i ⇔ x + ( y − ) = z +3−i Lại có: z + − 2i = ( x + 3) + ( y − 2) = ( x + 3) ( x + 3) + ( 3x + ) 2 + ( y − 1) ⇔ y = −3 x − = 10 x + 36 x + 34 18  16 10  =  10 x + ÷ + 10 ≥ 10   10 Vậy GTNN z + − 2i Câu 76: Cho số phức z = ( + 5i ) 2018 Biết phần ảo z có dạng a + b + c + d 15 Trong số a , b , c , d có số ? WWW.MATHVN.COM 31 103 câu trắc nghiệm Số phức (Vận dụng) A B mathvn.com D C Lời giải Chọn D Ta có: z= ( + 5i ) 2018 2018 k = ∑ C2018 k =0 ( ) 2018 − k ( ) k ik Phần ảo số phức z 1008 m +1 ∑ C2018 m =0 ( 3) 2018−( m +1) ( 5) m +1 ( −1) m 1008 m +1 = ∑ C2018 ( −1) 31009.15m 15 m m =0 Suy a = b = c = d ≠ Câu 77: Cho số phức z thỏa mãn z + z ≤ z − z ≤ Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ T = z − 2i Tổng M + n A + 10 B + 10 C Hướng dẫn giải D Chọn A Gọi z = x + yi , x, y ∈ ¡  x ≤  x ≤ ⇔ Ta có   yi ≤  y ≤ Gọi M ( x; y ) điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ Oxy Khi tập hợp điểm M hình vng ABCD (hình vẽ) Điểm N ( 0; −2 ) biểu diễn số phức, T = z − 2i = MN Dựa vào hình vẽ ta có MN ≥ d ( M , AB ) = nên m = T = , MN ≤ NC = 10 nên M = max T = 10 , M + m = + 10 Câu 78: Cho số phức z thỏa mãn z + + z − − 4i = 10 Giá trị nhỏ Pmin biểu thức P = z − + 2i bằng? A Pmin = 17 B Pmin = 34 C Pmin = 10 D Pmin = 34 Hướng dẫn giải Chọn A Giả sử z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) Ta có z + + z − − 4i = 10 ⇔ WWW.MATHVN.COM ( a + 1) + b2 + ( a − 3) + ( b − ) = 10 32 103 câu trắc nghiệm Số phức (Vận dụng) mathvn.com Gọi M ( a; b ) điểm biểu diễn cho số phức z Xét hai điểm F1 ( −1;0 ) , F2 ( 3; ) tập hợp điểm M elip ( E ) có hai tiêu điểm F1 , F2 tâm điểm I ( 1; ) Elip ( E) có độ dài trục lớn 2a = 10 tiêu cự 2c = F1 F2 = Do a = , c = 2 ⇒ b = a − c = 17 Lại có: P = z − + 2i = ( a − 1) + ( b − 2) = MI Suy Pmin = IM IM = b hay Pmin = 17 Câu 79: Gọi z1 , z2 nghiệm phức phương trình z − z + 13 = , với z1 có phần ảo dương Biết số phức z thỏa mãn z − z1 ≤ z − z2 , phần thực nhỏ z A B - C D Lời giải Chọn B Ta có z − z + 13 = ⇔ z1 = + 3i z2 = − 3i Gọi z = x + yi , với x, y ∈ R Theo giả thiết, z − z1 ≤ z − z2 ⇔ ( x − 2) + ( y − 3) ≤ ( x − 2) + ( y + 3) 2 2 2 ⇔ ( x − ) + ( y − 3)  ≤ ( x − ) + ( y + 3) ⇔ ( x − ) + ( y − ) ≤ 16   Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z miền hình trịn ( C ) có tâm I ( 2;5) , bán kính R = , kể hình trịn Do đó, phần thực nhỏ z xmin = −2  x − 3x +  − ax − b ÷ = Khi a + 2b Câu 80: Cho hai số thực a b thoả mãn xlim  →+∞  2x +  bằng: A −4 B −5 C D −3 Lời giải Chọn D    x − 3x +  lim − ax − b ÷ = lim  x − + − ax − b ÷ Ta có: x →+∞  ÷ 2 ( x + 1)  2x +  x →+∞   WWW.MATHVN.COM 33 103 câu trắc nghiệm Số phức (Vận dụng) Mà mathvn.com 2 − a =    x − 3x +   lim  − ax − b ÷ = ⇔ lim  x − + − ax − b ÷ = ⇔  ÷ x →+∞ x →+∞ 2 ( x + 1)  2x +     − − b = a =  ⇔ b = − Khi đó: a + 2b = −3 Câu 81: Cho số phức z , w thỏa mãn z − + 3i = , iw + + 2i = Tìm giá trị lớn biểu thức T = 3iz + 2w A 554 + B 578 + 13 D 554 + 13 C 578 + Lời giải Chọn D z − + 3i = ⇒ 3iz − 15i − = đường trịn có tâm I ( 9;15) R = iw + + 2i = ⇒ 2w − 8i + = đường trịn có tâm J ( 4; −8) R ′ = T = 3iz + 2w đạt giá trị lớn T = IJ + R + R ′ = 554 + 13 Câu 82: Cho số phức z thỏa mãn z − = Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w xác định w = ( + 3i ) z + + 4i đường trịn bán kính R Tính R A R = 17 B R = 10 C R = 5 Lời giải D R = 13 Chọn D Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z − = đường tròn ( C ) tâm I ( 1;0 ) bán kính R = Ta có ( C ) nhận trục hoành trục đối xứng nên tọa độ điểm biểu diễn z nằm đường tròn hay z − = Ta có ( ) ( ) w = ( + 3i ) z + + 4i ⇔ w = ( + 3i ) z − + ( + 3i ) + + 4i ⇔ w − ( + 7i ) = ( + 3i ) z − ⇔ w − ( + 7i ) = ( + 3i ) ( z − 1) ⇔ w − ( + 7i ) = 13 Câu 83: Với số phức z thỏa mãn z − + i ≤ , ta ln có A z + ≤ B z − + i ≤ C z + − i ≤ D z + i ≤ Lời giải Chọn B Ta có z = z − + i + − i ≤ z − + i + − i ≤ 2 Vì z − + i = z − + i + z ≤ z − + i + z ≤ WWW.MATHVN.COM 34 103 câu trắc nghiệm Số phức (Vận dụng) mathvn.com Câu 84: Xét số phức z1 = − 4i z2 = + mi , ( m ∈ ¡ ) Giá trị nhỏ môđun số phức ? A C B D z2 z1 Lời giải Chọn A z2 + mi ( + mi ) ( + 4i ) − 4m + ( 3m + ) i − 4m 3m + = = = = + i z1 − 4i ( − 4i ) ( + 4i ) 25 25 25 2 ⇒ 2 z2  − 4m   3m +  ⇒ z2 = 36 − 48m + 16m + 9m + 48m + 64 =  + ÷  ÷ z1 252 z1  25   25  ⇒ z2 25m + 100 z2 m2 + 4 = ⇒ = ≥ = z1 25 z1 25 25 Hoặc dùng công thức: z z2 = z1 z1 Câu 85: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi ( H ) tập hợp điểm biểu diễn số phức ( ) w = + 3i z + thỏa mãn z − ≤ Tính diện tích hình ( H ) A 8π B 18π C 16π D 4π Lời giải Chọn C Ta có w = + 3i z + ⇔ w − − 3i = + 3i ( z − 1) ( ) ( ) ⇔ w − − 3i = + 3i z − ≤ Vậy điểm biểu diễn số phức w nằm hình trịn có bán kính r = Diện tích hình ( H ) S = π r = 16π Câu 86: Cho z1 , z2 số phức thỏa mãn z1 = z2 = z1 − z2 = Tính giá trị biểu thức P = z1 + z2 A P = B P = C P = D P = Lời giải Chọn A Đặt z1 = a1 + b1i , z2 = a2 + b2i 2 2 Suy a1 + b1 = a2 + b2 = z1 − z2 = ⇔ a1.a2 + b1.b2 = −1 Suy P = z1 + z2 = Câu 87: Cho hình phẳng H giới hạn đường y = ln ( x + 1) , y = , x = , x = Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình H quanh trục Ox WWW.MATHVN.COM 35 103 câu trắc nghiệm Số phức (Vận dụng) A ln − B mathvn.com 1 π  ln − π C  π − ÷ln − 2  Lời giải D 3π ln − π Chọn D Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y = ln ( x + 1) với trục Ox : y = ln ( x + 1) = ⇔ x = Thể tích cần tìm: V = π ∫ ln ( x + 1) dx  dx u = ln ( x + 1) ⇒ du = 2x + Đặt:  dv = dx ⇒ v = x 1     1   2x     V = π  x ln ( x + 1) − ∫ dx ÷ = π  ln − ∫ 1 − = π ln − x − ln x +   ÷ ÷ ÷dx ÷  2x +1  2x +1    0÷  0      3π = π  ln − + ln ÷ = ln − π   Câu 88: Cho ba số phức z1 , z2 , z3   z1 = z2 = z3 =  thỏa mãn  z1 = z2 z3 Tính giá trị biểu thức  z −z = 6+  2 M = z2 − z3 − z3 − z1 A − − − + −2 Hướng dẫn giải B − − + C D − − +2 Chọn D Gọi M , N , P điểm biểu diễn hệ trục tọa độ số phức z1 , z2 , z3 Suy ra: M , N , P thuộc đường tròn ( O;1) 6+ · · · MN = z1 − z2 = + ⇒ cos OMN = ⇒ OMN = 150 ⇒ MON = 1500 4 6+ 2 Ta có: z3 − z1 = z1 z3 − z1 = z3 z1 − z1 = z3 z1 − z3 z2 = z3 z1 − z2 = ⇒ MN = MP = WWW.MATHVN.COM 6+ · ⇒ MOP = 1500 36 103 câu trắc nghiệm Số phức (Vận dụng) mathvn.com · ⇒ NOP = 600 ⇒ ∆NOP ⇒ NP = ⇒ z2 − z3 = − 6− 2+2 Câu 89: Có tất giá trị nguyên m để có hai số phức z thỏa mãn Vậy M = z − ( 2m − 1) − i = 10 z − + i = z − + 3i A 40 C 165 Lời giải B 41 D 164 Chọn B Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) , M ( x; y ) điểm biểu diễn số phức z z − ( 2m − 1) − i = 10 ⇔ z − ( 2m − 1) − i = 100 ⇔  x − ( 2m − 1)  + ( y − 1) = 100 2 Khi tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn ( C ) tâm I ( 2m − 1;1) , R = 10 z − + i = z − + 3i ⇔ ( x − 1) + ( y + 1) i = ( x − ) + ( − y ) i ⇔ ( x − 1) + ( y + 1) = ( x − ) + ( − y ) 2 2 ⇔ x + y − 11 = Khi tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng ∆ : x + y − 11 = Để có hai số phức z đường thẳng ∆ cắt đường tròn ( C ) điểm phân biệt ( 2m − 1) + − 11 − 20 + 20 < 10 ⇔ Tính z A z = −1 + 65 B z = + 65 −1 + 65 C z = 2 Lời giải D z = + 65 Chọn C WWW.MATHVN.COM 38 103 câu trắc nghiệm Số phức (Vận dụng) mathvn.com z ( + 3i ) z − + i  = 10 ⇔ z ( z − 3) + ( z + 1) i  = 10 ⇒ z ( z − 3) + ( z + 1) 2 2 = 10 ⇔ z ( z − 3) + ( z + 1)  = 160  −1 + 65 z = 2 −1 + 65 ( z > ) ⇔ 10 z + 10 z − 160 = ⇔  ⇔ z =  −1 − 65 z =  Câu 94: Xét số phức z = a + bi , ( a, b ∈ ¡ ) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z = z + − 3i z + − i + z − + 3i đạt giá trị nhỏ Giá trị P = a + 2b là: 252 41 61 A P = − B P = − C P = − 50 10 D P = − 18 Lời giải Chọn C Giả sử z = a + bi biểu diễn điểm M ( a; b ) Ta có: z = z + − 3i ⇔ a + b = ( a + ) + ( b + 3) ⇔ 8a + 6b + 25 = 2 ⇔ M ∈ ∆ : x + y + 25 = f ( a, b) = z + − i + z − + 3i ⇔ f ( a, b ) = ( a + 1) + ( b − 1) + ( a − 2) 2 + ( b + 3) Gọi A ( −1;1) , B ( 2; −3) Khi f ( a, b ) = AM + BM Như ta cần tìm M ∈ ∆ : x + y + 25 = cho f ( a, b ) = AM + BM nhỏ ∆ A B nằm phía ∆ nên gọi B′ điểm đối xứng B qua ∆ Khi AM + BM = AM + B′M ≥ AB′ ⇒ AM + BM nhỏ AB′ M = AB′ ∩ ∆ BB′ ⊥ ∆ qua B ( 2; −3) nên BB′ : x − y − 36 =  x=  8 x + y + 25 =  25 ⇔ Gọi I = BB′ ∩ ∆ ta có tọa độ I nghiệm hệ:  6 x − y − 36 =  y = − 219  50 219   hay I  ; − ÷ 50   25 −42  xB ′ =  x = x − x  B′   −42 −144  25 I B ⇔ ; hay B′   ÷  25 25   y B′ = y I − y B  y ′ = −144  B 25 uuur  17 −169  −1 AB′ =  − ; ÷ = ( 17;169 ) Phương trình AB′ :169 x − 17 y + 186 =  25 25  25 WWW.MATHVN.COM 39 103 câu trắc nghiệm Số phức (Vận dụng) mathvn.com −67  x=  169 x − 17 y + 186 =  50 ⇔ Tọa độ M nghiệm hệ:  x + y + 25 = − 119  y =  50 −61 Vậy P = a + 2b = x + y = 10 Câu 95: Hỏi có số phức z thỏa đồng thời điều kiện z − i = z số ảo? A B C D Lời giải Chọn D Đặt z = x + iy (với x, y ∈ ¡ ) Ta có: z − i = ⇔ x + ( y − 1) = 25 ( 1) x = y 2 ( 2) Ta có: z số ảo ⇔ x − y = ⇔  x = − y Suy x + ( x − 1) = 25 hay x + ( x + 1) = 25 ⇔ x = ∨ x = −3 ∨ x = ∨ x = −4 2 Vậy có số phức z thỏa yêu cầu toán 10 Câu 96: Xét số phức z thỏa mãn ( + 2i ) z = − + i Mệnh đề đúng? z 3 A < z < B < z < C z > D z < 2 2 Lời giải Chọn A ( + 2i ) z = 10 10 − + i ⇔ z + + ( z − 1) i = z z ⇒ z + + ( z − 1) i = ⇔ ( z + ) + ( z − 1) = Vậy 10 ⇔ z 10 z ( z + ) + ( z − 1) = 10 z ⇔ z + z − 10 = ⇒ z = < z < 2 Câu 97: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z 2 thỏa mãn z + 2i + − z + z − + i = 2018 đường trịn Tìm tâm I đường trịn 4 5 A  ; − ÷ 3 6  −4  B  ; ÷  6 C ( 1;1)  −7  D  ; ÷ 3  Lời giải Chọn A WWW.MATHVN.COM 40 103 câu trắc nghiệm Số phức (Vận dụng) mathvn.com Gọi M ( x; y ) biểu diễn số phức z Khi 2 z + 2i + − z + z − + i = 2018 ⇔ x + ( y + ) + ( x − 1) + y + ( x − ) + ( y + 1) = 2018 2 2 1997 = ⇔ x + y − 16 x + 10 y − 1997 = ⇔ x + y − x + y − 3 4 5 Tâm đường trịn  ; − ÷ 3 6 Câu 98: Cho số phức z thỏa mãn z − + i + z + − i = 13 Tìm giá trị nhỏ m biểu thức z + − i A m = B m = 13 13 C m = 13 13 D m = 13 Lời giải Chọn A Gọi z = x + yi , ( x, y ∈ ¡ ) , A ( 2; −1) B ( −1;1) Tọa độ điểm biểu diễn số phức z M ( x; y ) Ta có AB = 13 z − + i + z + − i = 13 ⇔ MA + MB = 13 Suy MA + MB = AB nên M ( x; y ) thuộc đoạn thẳng AB Xét P = z + − i = MC với C ( −2;1) Do đó, Pmin = BC = M ≡ B Câu 99: Cho số phức z thoả mãn z − i = , tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức w = 2iz + mặt phẳng Oxy A Đường trịn tâm I ( 0; − 1) , bán kính R = B Đường tròn tâm I ( −1;0 ) , bán kính R = C Đường trịn tâm I ( 1;0 ) , bán kính R = D Đường tròn tâm I ( 0;1) , bán kính R = Lời giải Chọn B w −1 Ta có: w = 2iz + ⇔ z = 2i Đặt w = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) Mặt khác: z − i = ⇔ WWW.MATHVN.COM w −1 − i = ⇔ w − + = ⇔ w + = ⇔ ( x + 1) + y = 2i 41 103 câu trắc nghiệm Số phức (Vận dụng) mathvn.com Vậy tập hợp điểm biểu diễn cho số phức w = 2iz + mặt phẳng Oxy là: đường tròn tâm I ( − 1;0 ) , bán kính R = Câu 100: Nếu z số phức thỏa mãn z = z + 2i giá trị nhỏ z − i + z − A B C D Lời giải Chọn D Đặt z = x + yi biểu diễn điểm M ( x; y ) z = z + 2i ⇔ y = −1 z − i + z − nhỏ ⇔ MA + MB nhỏ nhất, với A ( 0;1) , B ( 4;0 ) Gọi B ′ đối xứng với B qua đường thẳng y = −1 suy B ′ ( 4; −2 ) Do đó, MA + MB = MA + MB ′ ≥ AB ′ = Câu 101: Biết phương trình z − 3z + z − z + = có nghiệm phức z1 , z2 , z3 Tính T = z1 + z + z3 A T = B T = C T = Lời giải D T = Chọn A 1 1   z − z + z − z + = ⇔ z − z + − + = ⇔  z + ÷ − −  z + ÷+ = z z z z   1 1   ⇔  z + ÷ −  z + ÷+ = Đặt t = z + z z z   t = pt ⇔ t − 3t + = ⇔  t = 1 Ta có: z + = ⇔ z − z + = ⇔ z = ± i z 2 z + = ⇔ z2 − 2z + = ⇔ z = z 3 i+ − i + =3 T = z1 + z2 + z3 = + 2 2 2 z số ảo? z−4 C D Lời giải Câu 102: Có số phức z thoả mãn z − 3i = A B vô số Chọn D Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) Ta có z − 3i = ⇔ x + ( y − 3) = ( x + yi ) ( x − − yi ) z x + yi = = z − x − + yi ( x − 4) + y WWW.MATHVN.COM = x − x + y − yi ( x − 4) + y2 42 103 câu trắc nghiệm Số phức (Vận dụng) mathvn.com z số ảo ⇔ x − x + y = z−4 3y −   x + ( y − 3) = x = ⇔ Ta có hệ:  2  x − x + y = x − 4x + y2 =  Thay ( 1) vào ( ) , ta có: ( 1) ( 2) y=2 3y −  3y −  2 + y = ⇔ y − 12 y + − 24 y + 16 + y = ⇔   ÷ −  y = 10   13  * y = ⇒ x = Ta có z = + 2i 10 2 10 * y = ⇒ x = Ta có z = + i 13 13 13 13 z Vậy có số phức thỏa u cầu tốn Câu 103: Cho số phức z Gọi A, B điểm mặt phẳng tọa độ ( Oxy ) biểu diễn số phức z ( + i ) z Tính mơ đun số phức z biết tam giác OAB có diện tích 32 A z = B z = C z = D z = Hướng dẫn giải Chọn B Gọi A ( a; b ) biểu diễn z B ( a − b; a + b ) biểu diễn ( + i ) z Tam giác OAB có OA = z , OB = z , AB = a + b = z Suy tam giác OAB vuông cân A 1 S ∆OAB = OA AB ⇔ z = 32 ⇔ z = 2 WWW.MATHVN.COM 43