Cuốn sách Phương pháp giải các chủ đề căn bản Hình học 12 được biên soạn theo chuẩn kiến thức và kỹ năng chương trình toán Hình học lớp 12. Cuốn sách này sẽ là tài liệu tham khảo thiết thực và bổ ích giúp các em ôn luyện chuẩn bị cho những kỳ thi tại trường, lớp, các kỳ thi học sinh giỏi. Mời các bạn cùng tham khảo.
516.0076 NGlTTJnS LE HOANH PHO PH561P I I I II I "T^t •^va ren luyer» -g, kl nang W T i l a m bai_' , NHA XUAT BAN DAI HOC QUOC GIA HA NOI NGlTr.TbS LE HOANH PHO CAC CHUDE CAN BAN T BOI D I / O N G H O C S I N H GIOI THIJVIBJTiWHBINHTHUAN N H A XUAT B A N D A I HOC QUOC GIA HA NQ\ 16 Hang Chuo'i - Hai Ba Trang - Ha Npi Dien thoai: Bien tap-Che" ban: (04) 39714896: Hanh chinh: (04) 39714899: Tong bien tap: (04) 39715011 Fax: (04)39714899 rjc Chiu trdch nhiem xuat ^ ^ ban: Gidm doc - Tong bien tap: TS.PHAM T H I TRAM NGUYEN KHOI Che' ban: N H AS A C H H O N G A N Siia bdi: NGOC L A M Bien tap: Trinh bay bia: MINH V O T H I THITA Ddi tdc lien ket xuat ban: N h a sach H O N G A N SACH L I E N KET CAC CHU DE CAN BAN HINH HOC 12 Ma so: 1L- 155OH2014 • In 2.000 cudn, khd 17 x 24cm tai Cong ty Co phan Van hoa Van Lang Giay phep xuat ban so: 463-2014/CXB/09-99 OHQGHN, 14/03/2014 Quyet dinh xuat ban so: 153LK-TN/QO-NXB OHQGHN In xong va nop luu chieu quy II nam 2014 Nham muc dfch giup cac ban hoc sinh I6p 10, Idp 11, Idp 12 nam vQng kien thufc can ban ve mon Toan tCr luc vao THPT cho den chuan bj thi Tot nghiep, tuyen sinh Cao dang, Dai hoc, tac gia da bien scan bo sach P H U O N G P H A P G I A I gom cuon: - CAC C H U D E CAN B A N DAI SO - CAC C H U DE CAN BAN HINH HQC - CAC C H U D E C A N B A N DAI S O - GIAI TICH 1 - CAC CHU DE CAN BAN HINH HOC 11 - C A C C H U D E C A N B A N GIAITl'CH - CAC C H U DE CAN BAN HINH HQC 12 TCr nen Toan can ban nay, cac ban c6 the nang cao dan dan, bo sung va md rpng kien thufc va phifdng phap giai Toan, ren luyen ky nang lam bai va tC/ng bade giai dung, giai gpn cac bai tap, cac bai toan kiem tra, thi cCf Cuon C A C C H U D E C A N B A N H J N H H Q C cd 15 chu de vdi npi dung la phan dang Toan, tdm tat kien thufc va phadng phap giai, cac chu y; phan tiep theo la cac bai toan chpn Ipc can ban minh hpa vdi nhieu dang loai va mifc dp; phan cuoi la bai tap cd hudng dan hay dap so Du da CO gang kiem tra qua trlnh bien scan song khdng tranh khoi nhufng sai sot ma tac gia chua thay het, mong don nhan cac gdp y cua quy ban doc, hpc sinh de Ian in sau hoan thien hon Tac gia L E HOANH PHb O CHU D E I KHOI Dfi DIEN Vfl PHEP D0I HINH DANG TOAN • KHOI DA DIEN Hinh da dien va khoi da dien - Hinh da dien gom mot so hint hgn da gidc phang thod man hai dieu kien: (1) Hai da gidc hai ki hodc khong co diem chung hodc cd moi dinh chung, hoac CO moi cgnh chung (2) Moi cgnh cua moi da gidc la cgnh chung cua dung hai da gidc - Hinh da dien chia khong gian lam hai phdn: phdn ben vd phdn ben ngodi Hinh da dien ciing vai phdn ben cua no goi la khoi da dien - Moi khoi da dien co the phdn chia dugc thdnh nhitng khoi tic dien Moi da gidc cua hinh H duac goi la mot mat cua khoi da dien Cdc dinh, cdc cgnh cua moi mat goi la dinh, cgnh ciia khoi da dien Cdc diem nam hinh H goi la diem cua khoi da dien Khoi chop va khSi long tru - Khoi da dien duac goi la khoi chop, khoi chop cut neu no duac giai hgn bai mot hinh chop, hinh chop cut Tuang tu cho khoi chop n-gidc, khoi chop cut ngidc, khoi chop deu khoi tit dien, - Khoi da dien duac goi la khoi Idng Iru neu no duac giai hgn bai mot hinh Idng tru, tuang tu cho khoi hop, khoi hop chu nhdt, khoi lapphuang - Phdn chia va lap ghep cdc khoi da dien: Moi khoi chop vd khoi Idng tru ludn CO the phdn chia dugc thdnh nhitng khoi tit dien bang nhieu cdch khdc Chiiy: 1) Dgc so O-le ciia khoi da dien loi: D6i v&i moi khoi da dien loi H, ta ki hieu D la so dinh C Id so cgnh, M la so mat cua H ihi co dgc so Z(H) = D-C + M = 2) Hinh lang tru deu: hinh lang tru dung (c6 canh ben vuong gdc vai mat day) va CO day la da giac deu 3) Hinh chop deu: day la da giac deu va cac canh ben bang Bai toan 1: Chung minh r^ng nSu khoi da dien c6 cac mat la tarn giac thi so mat phai la so chin Hay chi nhung khoi da dien nhu the voi so mat bang 4,6,8,10 Gidi Goi s6 canh cua kh6i da dien la C, s6 mat la M V i moi mat c6 ba canh va moi canh lai chung cho hai mat nen 3M = 2C Suy M la so chan Sau day la mot so khoi da dien so cac mat tam giac la 4,6, 8,10 Bai toan 2: Chung minh rang moi dinh ciia mot hinh da dien la dinh chung cua it nhat ba canh va la dinh chung ciia it nhat ba mat Gidi Ta dung phan chung Neu xuat phat tu mot dinh nao chi c6 hai canh, thi moi canh nhu thd la canh cua chi mot da giac, trai voi dieu kien dinh nghia cua hinh da dien Vay moi dinh phai la dinh chung cua it nhat la ba canh, va vi vay no ciing phai la dinh chung cua ba mat Bai toan 3: Chung minh rSng ndu khoi da dien c6 moi dinh la dinh chung cua ba canh thi s6 dinh phai la so chSn Gidi Gia su khoi da dien c6 C canh va c6 D dinh V i moi dinh la dinh chung cua ba canh va moi canh c6 hai dinh nen 3D 2C Vay D phai la so chan Bai toan 4: Chung minh rSng nSu kh6i da dien c6 cac mat la tam giac va m6i dinh la dinh chung cua ba canh thi la khoi tu dien Gidi Goi A la mot dinh cua kh6i da dien Theo gia thiet, dinh A la dinh chung cho ba canh, ta goi ba canh la AB, AC, AD Canh AB phai la canh chung cua hai mat tam giac, la hai mat ABC va ADB (vi qua dinh A chi c6 canh) c Tuomg tir, ta c6 cac mat tam giac ACD va BCD Vay Ichoi da dien cliinh la khoi tu dien ABCD Bai toan 5: Chung minh rang, so goc cua tat ca cac mat gap doi so canh cua khoi da dien Suy so goc chan Gidi Goi so goc la G va so canh cua khoi da dien la C Trong moi mat la da giac thi so goc bang so canh, ma so canh dugc tinh Ian nen G = 2C, do G chEn Bai toan 6: Chung minh khong ton tai khoi da dien c6 mot so le mat va moi mat lai CO mot so le canh Giai Gia su ton tai khoi da dien c6 so mat la M le va moi mat chua so le canh Ci, i=l,2, ,M Ta CO so goc cua khoi da dien: G = C, + C + + C M ^ G le: v6 ly Vay khong ton tai kh6i da dien thoa de bai Bai toan 7: Hay phan chia mot khoi tu dien ba khoi tu dien bed hai mat phang Giai A Cho kh6i tu dien ABCD Lay diem M va N phan biet nam giiia C va D Bang hai mat phang (ABM) va (ABN), ta chia khoi tu dien da cho ba khoi tu dien: ABCN, ABNM va ABMD Bai toan 8: Hay phan chia mot khoi tu dien bon khoi tu dien bai hai mat phang Giai A Cho kh6i tu dien ABCD Lay diem M nam giiia A va B, diem N nam giua C va D Bang hai mat phang (MCD) va (NAB), ta M/_ chia khoi tu dien da cho bon khoi tu dien: B• AMCN, AMND, BMCN va, BMND Bai toan 9: Hay phan chia mot khoi hop nam khoi tu dien Giai B Co t h i phan chia khoi hop ABCD.A'B'C'D' nam khoi tu dien sau day: ABDA', CBDC, B'A'C'B, D'A'C'D va, BDA'C DANG TOAN PHEP Ddfl HINH Phep den hinh - Mot phep hien hinh F khdng gian duac goi la phep dai hinh neu no hdo toan khoang each giita hai diem hat ky: neu F bien hai diem bat ki M, N Idn luat hai diim M', N' thi M'N' = MN Phep dai hinh bien duang thdng duang thdng, matphdng matphdng Hap cua nhung phep dai hinh la phep dai hinh Cdc phep d&i hinh dqc biet - Phep dong nhdt: Phep dai hinh bien diem M bdt ki chinh no - Phep tinh tien: Phep tinh tien theo vecta v Id phep bien hinh bien moi diem M diem M' cho M M ' = v - Phep doi xung qua duang thdng (phep doi xung true): Cho duang thdng d, phep doi xicng qua duang thdng d la phep bien hinh bien moi diem thudc d chinh no vd bien moi diem M khdng thudc d diem M' cho mat phdng (M, d) d Id dmrng trung true cua dogn thdng MM' - Phep doi xirng qua mot diem (phep doi xung tdm): Cho diem O, phep doi xicng qua diem O la phep bien hinh bien moi diem M diem M' cho OM + OM ' = , hay O la trung diem cua MM' - Phep ddi xicng qua mat phdng (P) la phep bien hinh bien mdi diem thudc (P) chinh no vd bien mdi diem M khdng thudc (P) thdnh diem M' cho (P) Id mat phdng trung true cua dogn thdng MM' Hai hinh bang - Hai hinh da dien goi Id bdng neu eo mot phep dai hinh bien hinh thdnh hinh Ddi vai cdc khdi da dien Idi: Neu phep dai hinh F bien tap cdc dinh cua khdi da dien Idi H thdnh tap cdc dinh ciia khdi da dien Idi H' thi F bien H thdnh H' Dinh ly: Hai hinh tic dien ABCD vd A 'B'C'D' bdng niu chiing eo cdc egnh tuang icng bdng nhau, nghia Id AB -= A'B', BC = B'C, CD = CD', DA = D'A', AC = A'C, BD = B'D' Bai toan 1: Cho hai diem phan biet A, B va phep doi hinh f biln A A, biSn B B Chung minh rang f bien moi diem M nam tren ducmg thang AB diem M Gidi Ta CO f(A) = A, f(B) = B Gia su diem M thuoc duong thang A B va f ( M ) = M ' K h i M ' thuoc duomg M n g A B va A M = A M ' , B M = B M ' Suy M ' triing M , turc la f bi^n M chinh no Vay f bien mpi diem M nam tren duong thang A B chinh diem M Cho tam giac A B C va phep dai hinh f bien tarn giac A B C chinh no, tuc la f ( A ) = A , f(B) = B, f(C) = C Chung minh rang f bien moi diem M cua mp(ABC) chinh no, tuc la f ( M ) = M Bai toan 2: Gidi V i f(A) = A , f(B) = B va f(C) = C nen f bign mp(ABC) mp(ABC) Bai vay nSu M thuoc mp(ABC) va f ( M ) = M ' thi M ' thuoc mp(ABC) va A M = A M ' , B M = BM', C M = CM' Neu M ' va M phan biet thi ba diem A , B, C thuoc duong thang trung true cua doan thang M M ' tren mp(ABC), trai vai gia thiet A B C la tam giac Vay f ( M ) = M Bai toan 3: Cho t u dien A B C D Chung to rang phep dai hinh bien moi diem A , B, C, D chinh no phai la phep dong nhat Gidi Gia su phep dai hinh f bien cac diem A , B, C, D chinh cac diem do, tuc la f(A) = A , f(B) = B, f(C) = C, f(D) = D Ta chung minh rang f bien diem M bat k i M That vay gia su M ' = f ( M ) va M ' khac vai M K h i v i phep dai hinh khong lam thay doi khoang each giCra hai dikm nen A M = A M ' , B M = B M ' , C M = C M ' , D M = D M ' , suy b6n di^m A , B, C, D nam tren mat phang trung true cua doan M M ' , dieu trai vai gia thidt A B C D la hinh t u dien Vay M ' triing vai M va do f la phep dong nhk Bai toan 4: Cho hai t u dien A B C D va A'B'C'D' c6 cac canh tucmg ung b ^ g nhau: A B = A'B', BC = B'C, C D = C D ' , D A = D'A', D B = D'B', A C = A ' C Chung minh rang c6 khong qua mot phep dai hinh bien cac diem A , B, C, D Ian luat cac diSm A', B', C , D' Gidi Gia su CO hai phep dai hinh f i va f2 deu bien cac diem A , B, C, D Ian luat cac di^m A ' , B', C , D' Neu f| va f2 khac thi eo it nhat mot diem M cho neu M i = f i ( M ) va M2 = f2(M) thi M l va M2 la hai diem phan biet Khi v i fi va deu la phep dai hinh nen A ' M i = A M va A'M2 = A M , vay A ' M i = A'M2, tuang t u B ' M i = B'M2, C'Mi = C'M2, D ' M i = D'M2, do b6n dikm A\, C, D' cung nam tren mat phang trung true cua doan thang M1M2, trai vai gia thi^t A'B'C'D' la hinh t u dien Do vai mpi diem M ta deu c6 f i ( M ) = f2(M), tuc la hai phep dai hinh fi va T2 trung I Vay CO khong qua mot phep dai hinh biln cac di6m A, B, C, D \hn lugt cac dilm A', B', C, D' Bai toan 5: Cho hai tam giac bang ABC va A'B'C (AB = A'B', BC = B'C, AC = A'C) Chung minh rang c6 dung hai phep dai hinh, mSi phep bien tam giac ABC tam giac A'B'C Cho truac tam giac ABC Co nhirng phep dai hinh nao bien tam giac ABC chinh no? Gidi Tren duong thang a vuong goc vai mp(ABC) tai A lay diem D khac A, tren duong thang a' vuong goc vai mp(A'B'C') tai A' c6 hai diem phan biet Di va D2 cho A'Di = A'D2 = AD Ta CO cac hinh tu dien ABCD, A'B'C'Di va A'B'C'Dz CO cac canh tuang ung bang Neu f la phep dai hinh bien tam giac ABC tam giac A'B'C thi hoac f bien D thanh.Dj hoac f bien D D2 Vay CO diing hai phep dai hinh bien tam giac ABC tam giac A'B'C Do la phep dai hinh fi h'lkn tu dien ABCD tu dien A'B'C'D, va phep dai hinh fi bien tu dien ABCD tu dien A'B'C'D2 Day la truong hop rieng hai tam giac ABC va A'B'C trung Vay ta c6 hai phep doi hinh bien ABCD chinh no: la phep dong nhSt va phep d6i ,xung qua mp(ABC) Bai toan 6: Cho tu dien deu ABCD va phep doi hinh f bien ABCD chinh no, nghia la bien moi dinh cua tu dien mot dinh cua tu dien Tim tap hop cac diem M khong gian cho M = f(M) cac truong hop sau day: a) f(A) = B, f(B) = C, f(C) = A b) f(A) = B, f(B) = A, f(C) = D c) f(A) = B, f(B) = C, f(C) = D Gidi a) Theo gia thiet f(A) = B va f(B) = C, f(C) = A Do f(M) = M va chi M A = MB = MC Suy tap hop cac diem M la true cua duong tron ngoai ti^p tam giac ABC b) Theo gia thiSt f(A) = B, f(B) = A, f(C) = D Do f(M) = M va chi M A = MB va MC = MD, tuc la M d6ng thai •nam tren cac mat phang trung true cua AB va CD Suy tap hop cac diem M la duong thing di qua trung dikm cua AB va CD c) Theo gia thilt f(A) = B, f(B) = C, f(C) = D Do f(M) = M va chi MA = MB = MC = MD Suy tap hop cac diem M gom mot dikm nhk la tam tu dien ABCD 10 Xet ham so y = sinxcos x, vai < x < — Ta CO y' = cos^x - 2cosxsin^x = cosxCcos'^x - + 2cos^x) = cosx(3cos X - 2) = 3cosx cosx • ; COSX + , — V3 y' = cosx BBT: X + y' — = cosa vai < a < — a n - y Vay Ss ABC dat gia tri Ion nhat x = a, < a < ^ v a cosa = Cach khac: Dat t = sinx, < t < hoac diing bat dang thuc Cosi Bai toan 5: Cho khoi chop tu giac deu S.ABCD ma khoang each tu dinh A den mp(SBC) bang 2a Vai gia tri nao cua goc giua mat ben va mat day cua khoi chop thi the tich ciia khoi chop nho nhat Gidi Ha SO (ABCD) thi O la tam hinh vuong ABCD Goi FH la duong trung binh cua hinh vuong ABCD V i AD // BC ^ AD // (SBC) d(A, (SBC)) = d(E, (SBC)) Ha EK SH, ta c6: EK (SBC) => EK = d(A, (SBC)) = 2a Ta CO BC SH, SB OH SHO la goc giua mat ben (SBC) va mat phang day 2a Dat SHO = X Khi do: EH ,0H ,S0 smx Vay Vs.ABCD = - SABCD-SO = sm X 4a' •tanx sm X cosx —5— • 3cosxsm"x Do Vs ABCD nho nhat y = cosx.sin^x dat gia tri Ion nhat Ta c6: y' = -sin^x + 2sinxcos^x = sinx(2cos^x - sin^x) 144 = sinx(2 - sin" x) = sin X - s•i n x — — +sinx 13 y' = sinx = V3 Xet gia tri a cho: sina = BBT: 71 X y' y Vay Vs AHCD , < a < ^ ^ a + ^ ^ ^ dat gia tri nho nhat SH la duong cao ciia tarn giac vuong ASC X Ta CO SH.AC = SA.SC =^ SH = =^=>oB=Av^ OB^ = A B ^ - O A ^ = - Dihu kien x ^ < o O < x < V 146 Ta CO SABCD = A C O B = ^Vx'+l.V3-x' -^^(x'+l)(3-x') Vay VsAHCD = ^xVS-x' Ta CO the dung dao ham hay bat dang thuc Cosi: = |SABCD- S H r r r z — l x'+3-x' \ x^ = - x^ « 2x^ = « x = D4U Bai toan 8: Cho hinh chop S.ABC c6 day la tam giac ABC vuong can tai dinh B, BA = BC = 2a, hinh chieu vuong goc cua S tren mat phSng day (ABC) la trung diem E cua AB va SE = 2a Goi I , J l i n luot la trung di^m cua EC, SC; M la diem di dong tren tia d6i cua tia BA cho ECM = a (a < 90°) va H la hinh chieu vuong goc cua S tren MC Tinh the tich cua khoi tu dien EHIJ theo a, a va tim a d8 thd tich Ion nhat Giai Vi SE mp(ABC), SH ± CM nen EH CM CE = V B C ' + B E ' = V4a' +a- = aVs Ma IJ la duomg trung binh tam giac SCE nen IJ Hon nua IJ // SE => IJ X (ABC) SE • a ^ S Trong tam giac vuong CEH vai goc ECH = a va trung tuyen HI ta c6: SiiMi= ^s,xii= JEH.CH \ = — CE.sina.CE.cosa = - a^sin2a The tich cua kh6i tu dien EHIJ la: a 5a' Vi-iiij = - IJ.Si.iii = — .sin2a = —a"* sin2a 3 24 The tich tu dien EHIJ Ion nhat va chi khi: sin2a = «> a = 45° 147 KHOICAU BAT DA NG THUfC VE KHOI TRU, KROI NON, DANG TOAN Phmmg phdp chung minh bat dang thuc: - Nhom binh phuang vd so sdnh - Dung bat dang thicc Cost: vai cdc so a,b,c khong dm thi a +b yfa~b, ddu hang xdy a = b a +b+c > yfabc, ddu bang xdy a = b = c - DUng dao ham, dua vao tinh chat dan dieu hay lap Bdng bien thien de ddnh gid, Chuy: 1) Dien tich xung quanh cua khoi tru: Sxq = 2nRh, The tich cua khoi tru: V = TtR^h 2) Dien tich mat cdu: S = 47rR^ The tich khoi cdu: V = — nR\ Bai toan 1: Cho t u dien vuong O A B C dinh O Goi R, r \kn lugrt la ban kinh mat cau ngoai, noi tiep t u dien Chung minh: — > "^'^"'"^ K h i nao dang thuc xay r Gidi Dat O A - a, O B = b, OC = c => R = - Va" + b " Ta CO r= 3V ^•p (ab + be + ca) + abc R _ ab + be + ca + Va'b^ +b^c- Va'^b' + b^c' +c-a^ ca" 2abc r Va" + b V a W + ^/3^/?bV l^/3VaV R r 3V3+3 2abc Dang thuc xay a = b = c 148 Bai toan : Cho tu dien ABCD c6 cac duong cao A A', BB', CC, DD' dong quy tai mot diem H thuoc mien cua tu dien Cac duong thang AA', BB', CC DD' lai cat mat cau ngoai tiep tu dien ABCD theo thii tu tai A i , Bj, Ci, D j ^ AA' BB' CC DD' ^ Chung mmh: + + + > - AA, BB, CC, DD, Giai Tir dien ABCD da la tu dien true tam nen A' la true tam tam giac BCD Goi J la giao diem cua BI vol mat cdu ngoai tiep tu dien ABCD thi A ' l = IJ Do H la true tam tam giac ABI nen: A'H.A'A = A'B.A'I = -A'B.A'J= -A'Ai.A'A 2 =^A'H=-A'.A, Tuong tu: B'H = ^ B'B,; C H = ^ CC,, D'H = ^ D'Di Tir ViiBCD + ViicDA + VnDAB + VHABC = VABCD V, V V V HDAB _|_ '^HABC _ | V V V *ABCD ^ABCD ^ABCD HA HB + AA AA, AA' HC + V HD + * ABCD , = AA, B B = > BB CC DD BB, CC, DD I BB' + •CC CC DD, ^ — ^ + - - = J - + — + AA' ^=2 BB CC DD BB, CC, DD, _ + •DD' = Theo bat dang thuc Cosi: AA' AA, BB' •+ BB, AA' BB' • + AA, BB, CC + + CC, CC CC, DD' + + AA, •+ - DD,', AA' DD' DD, BB' CC DD' >16 Bai toan : Cho hinh hop chur nhat ABCD.A'B'C'D' Goi R, r, h, V Ian lugt la ban kinh mat cau ngoai tiep, noi tiep, duong cao ke tir A' va \hk tich cua tit dien A'AB'D' Chimg minh: Xi^Jlll < R-.r.h Giai Dat AA' = a; AB' = b; A'D' = c 149 Ta c6: V(h-r) 3.V S S,xq(A.A'B'D) = - (ab 3.V s >p J •^ip 3.V_ 3V R'.r.h ^(ABD) vai + bc + "-"(AE'D') _ 3R^ '-'xq(A.A'B'D') 3.R^ '-'ip ca) Tu dien A'AB'D' vuong tai A' nen R = V a ' + b ' +c2 ab + be + ca V(h-r) -"xqlA'AB'!)) Suy ^ — 3R' 3"a'+b'+c' ^ : ^ ^ Bai toan 4: Cho r, R Ian lugt la ban kinh mat cau noi tiep, ngoai tiep cua mot tu dien c6 the tich la V Chung minh ring: 8R^r ^ V3 V Giai Goi O, G Ian lugt la tam mat cau ngoai tiep va tarn tu dien ABCD Goi BC = a', A D = a', CA = b', BD = b', AB = c, CD = c' Goi Sa, Sb, Sc, Sd, Sip Ian lugt la dien tich cac mat doi dien vai cac dinh A, B, C D va dien tich toan phan cua tu dien Ta CO A B ' = (OB - OA)" = 2R- - 20A.0B => 20A.0B = R ' - A B ' Mat khac 40G = OA + OB + OC + OD => 160G^ = 4R^ + Z(2R^ - AB^), vai Z la t6ng theo canh = 16R^ - (a^ + b^ + c^ + a'^ + b'^ + c'^) ^ : ^ a^ + b^ + c^ + a'^ + b'^ + c'^ < 16R^ Trong tam giac ABC ta c6: a^ + b^ + c^ > 4S V3 Tuang tu cho cac Sa, Sb, Sc roi cgng lai ta dugc: 2(a^ + b^ + c^ + a'^ + b'^ + c'^) > V3 S,p Do 8R^ ^ V3 S,p Dau bang xay tu dien ABCD deu Bai toan 5: Chung minh rang mot mat non, goc a dinh Ion hom hay bSng bSt cu goc nao hai duang sinh tao nen Giai Thiet dien qua true SO la tam giac can SAB, goc a dinh ASB = 2a nen OSB = a Ve duang sinh SC, goi H la trung diem cua BC thi tam giac SBC can tai S nen BSC =2p, p - B S H ^' 150 OB Trong hai tarn giac vuong OSB, BSH: sin a = HB , sin p = SB Vi duong kinhi A B > BC SB O B > H B => sina > sinp Hem niia goc a P nhon nen a > p: dpcm Bai toan 6: Chung minh rang the tich V va dien tich xung quanh S ciia mot hinh 6V 2S non tron xoay y thoa man bat dang thuc: V 71 y Dau dang thiic xay nao? Gidi Ggi ban kinh day va duong sinh hinh non la x va y Ta c6: V = - TTX^ - x ' va S = Tixy v o i < x < y B D T « x V - x ^ ) < ^ « - - ^ ^ ^ 3V3 y y' (Vs)-' r \^ X (V3)-^ (V3)-^ X y + X >0 (1) X 71 Vi < — < do dat — = coscp v a i < (p < — thi y y (!) cos-'cp f coscp- coscp- ^( >0 ^ cos" + >0 v coscp- y( 41] ^ coscp+ — = > 0: Dung Dau "=" xay coscp = DANG TOAN ^ hay y = V3 X GIA TR[ LdfN NHAT, NHO NHAT VE KHOI TRU, • KHOI NON, KHOI CAU Phuang phdp tim gid tri Ian nhdt, nhd nhdl: - Nhom hinh phuang vd so sdnh - Dung hat dang thuc Cosi: vai cdc so a.h.c khong dm thi > -JaJ), dau hangxdy a = h 151 a +h+c > \lahc, ddu bang xay a b=c - Dung lam thicc bgc hat - Ditng dgo ham, dua vao dnh chat dan dieu hay lap Bang bien thien de ddnh gid, Chity: 1) Dien tick xung quanh cua mat non: Sxq = nRl, The tich cua khoi non: F = - n-R'h 2) Dien tich mat cdu: S = 47rR^ The tich khoi cdu: V = — nR^ Bai toan 1: Trong cac hinh hop noi tiep mat cau ban kinh R, hay xac dinh hinh hop CO dien tich toan phan Ion nhat Giai Mat phang qua moi mat hinh hop cat mat cau theo mot duong tron, do mat hinh binh hanh noi tiep duong tron nen la hinh chu nhat Vay hinh hop ABCD.A'B'C'D' noi tiSp mat c k la hinh hop chil nhat Goi cac kich thuac la AA' = a, AB = b, A D = c thi a^ + b^ + c^ - 4R^ Dien tich toan phan cua hinh hop la: S = 2ab + 2bc + 2ca < a^ + b^ + b^ + c^ + c^ + a^ = 8R^ 2R nen hinh hop la hinh lap phuong Dau khi: a = b = c = V3 Bai toan 2: Cho tu dien OABC OA, OB, OC doi mot vuong goc voi CO duong cao OH = h Goi r la ban kinh mat cAu noi ti^p tu dien Tim gia tri Ion nhat cua — Giai Dat OA = a, OB = b, OC = c 3V ^ 1 1 Ta co: — = — + — + — va r = h" a" b" c" M a ^ 3V Do r ^AOAD ^AOBC "*" ^ A ( X : A 3V r S ^AABC | a 3V 1 1 =- +- + a b c \ | | b c •1_ h h 152 Ta CO bat dang thuc: + —+ - a nen {\ 1V' la b cj b 1 h' '