Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên, học sinh trung học phổ thông đang trong giai đoạn ôn thi đại học môn toán - Một số đề thi thử đại học giúp củng cố kiến thức và rèn luyện khả năng giải toán
www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng ________________________________________________________ Câu I. Xét hàm 43yx px q=+ +, 322y' 4x 3px x (4x 3p)=+ = + x 3p4 + y' 0 + y + M + Qua bảng xét dấu, ta thấy 43p 256q 27pMy4256== là giá trị nhỏ nhất của hàm số. Từ đó y(x) 0, x 4M0 256q27p . Câu II. 1) 0A,B,C2<<, A + B + C = tg(A + B) = tg ( C) = tgC tgA tgBtgC1tgAtgB+= P = tgA tgB tgC = tgA + tgB + tgC. áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dơng tgA, tgB, tgC, ta có 3P3P P33. Vậy min P33= khi tgA = tgB = tgC (A B C )3===. 2) Phơng trình (1) có thể viết lại : cosx = 1 + cos2x hay cosx (2cosx 1) = 0 (chú ý : 2cosx cos2x = cos3x + cosx ). Từ đó có a) cosx = 0, b) 1cosx2=. Bây giờ xét (2). Dùng công thức góc nhân đôi và nhân ba và đặt cosx = t (1 t 1) thì ta đợc 2t[4t 2(2 a)t (a 3)] 0++= (3) Để (1) tơng đơng với (2) thì (3) phải có hai nghiệm 1t0=, 21t2=, ngoài ra nếu (3) có nghiệm 3t nữa thì hoặc 3t0= hoặc 31t2= hoặc 3t không thuộc khoảng [-1, 1 ] . Dễ thấy rằng với a, (3) luôn có nghiệm 1t0=, 21t2= và 3a3t2=. Nếu cho 3t0= thì đợc a = 3, nếu cho 31t2= thì đợc a = 4. Nếu buộc 3t1< thì đợc a < 1, nếu buộc 3t1> thì đợc a > 5. Vậy muốn (1) và (2) tơng đơng thì a < 1 hoặc a = 3 ; 4 hoặc a > 5. Câu III. 1) Ta có (điều kiện là x > 0 ) : ()==2666 6log xlog x log x log x66 x. Vì vậy nếu đặt 6log xtx= thì có 2t 12 0 < t 6,hay 6log xx6 26(log x) 1 611logx1 x66 . www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng ________________________________________________________ 2) Điều kiện: x 1. Đặt t3x2x1=+ ta có phơng trình đã cho trở thành 2tt60 = t2t3= =. Chỉ có t = 3 thỏa mãn, từ đó 3x 2 x 1 3+ = 2x13x 5x 2 6 2x+= 21x3x19x340+= x = 2 Câu IVa. 1) Điểm (x , y) không thuộc bất cứ đỷờng thẳng nào của họ, nếu không tồn tại a sao cho(x - 1)cos +(y-1)sin =4,(1)nói cách khác nếu phỷơng trình l ợng giác (1) (đối với a) không có nghiệm : điều kiện cần và đủ là(x-1)2+(y-1)2<42= 16.Vậy tập hợp phải tìm là phần trong của hình tròn (C) có tâm (1 , 1) và bán kínhR=4.2) Ta hãy chứng tỏ rằng họ đỷờng thẳng đã cho luôn luôn tiếp xúc với đỷờng tròn (C) : muốn vậy, ta chứng minh rằngkhoảng cách d từ điểm (1 , 1) đến đỷờng thẳng bằng 4. Thật vậyd=|(1 - 1)cos + (1 - 1)sin - 4|cos sin22+=4.Câu IVb. 1) Hình cầu tiếp xúc với các cạnh của tứ diện đều, do đó tâm hình cầu phải nằm trên giao tuyến của ba mặtphân giác của các góc nhị diện có điểm chung ở đỉnh của tứ diện. Giao tuyến này chính là một đỷờng cao của tứ diện(hạ từ đỉnh của góc tam diện đó). Chẳng hạn tâm O của hình cầu nằm trên đỷờng cao AO1. Xét tam giác vuông AO1Bcó AO1là đỷờng cao, AB là cạnh của tứ diện, O là tâm của hình cầu. OE là bán kính hình cầu. Dễ thấy E là trungđiểm của AB (hình cầu tiếp xúc với các cạnh của tứ diện tại trung điểm của chúng). Tam giác AEO và AO1B đồngdạng, do đó có:OEOB=AEAO;OB=a3;AE=a2111;AO1=AB - O B = a -a3=a6321222.Do đó : R=AE . O BAO=a3.a2.3a6=a2411.2) Theo công thức Hêrông về diện tích của tam giác ta có:S=(a+b+c2)(a+b-c2)(a-b+c2)(b+c-a2)12; (1)tất cả các thừa số đều dỷơng (tổng hai cạnh của một tam giác bao giờ cũng lớn hơn cạnh thứ ba), vì thế ta áp dụng bấtđẳng thức Côsi (n = 3) cho tích (a+b-c)(a-b+c)(b+c-a).www.khoabang.com.vnLuyện thi trên mạng________________________________________________________________________________ Đặt x=a+b-c;y=a+c-b;z=b+c-atacó: xyz Ê(x+y+z)327.Do đó :4S=(a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)(b + c - a)ÊÊ(a + b + c)(a + b + c)27=(a + b + c)3332.Biết(a+b+c)2=a2+b2+c2+ 2ab + 2bc + 2ac ÊÊ a2+b2+c2+(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2) = 3(a2+b2+c2),vậy 4S Ê(a + b + c)333(a + b + c )332222=a+b+c3222hay a2+b2+c2 4S3.Dấu đẳng thức xảy rakhia=b=c.www.khoabang.com.vnLuyện thi trên mạng________________________________________________________________________________ . có:OEOB=AEAO;OB=a3;AE=a2111;AO1=AB - O B = a -a3=a6321222.Do đó : R=AE . O BAO=a3.a2.3a6=a2411.2) Theo công thức Hêrông về diện tích của tam giác ta có:S=(a+b+c2)(a+b-c2)(a-b+c2)(b+c-a2)12;. (a+b-c)(a-b+c)(b+c-a).www.khoabang.com.vnLuyện thi trên mạng________________________________________________________________________________ Đặt x=a+b-c;y=a+c-b;z=b+c-atacó: xyz Ê(x+y+z)327.Do