Áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn trong bài toán đồng nhất hóa vật liệu đàn hồi không đồng nhất

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ   TRẦN NGUYÊN QUYẾT ÁP DỤNG PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TỐN ĐỒNG NHẤT HĨA VẬT LIỆU ĐÀN HỒI KHÔNG ĐỒNG NHẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ CƠ KỸ THUẬT Hà Nội - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ   TRẦN NGUYÊN QUYẾT ÁP DỤNG PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TỐN ĐỒNG NHẤT HĨA VẬT LIỆU ĐÀN HỒI KHÔNG ĐỒNG NHẤT NGÀNH: CƠ KỸ THUẬT CHUYÊN NGÀNH: CƠ KỸ THUẬT MÃ SỐ: 60 52 01 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ CƠ KỸ THUẬT Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TSKH PHẠM ĐỨC CHÍNH TS TRẦN ANH BÌNH Hà Nội - 2014 LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS TSKH Phạm Đức Chính TS Trần Anh Bình, ngƣời tận tình hƣớng dẫn tơi suốt q trình làm luận văn Tơi xin cảm ơn thầy cô dạy chuyên đề cao học trang bị cho kiến thức tảng Tôi xin cảm ơn Bộ Mơn Cơ Sức Bền – Khoa Cơ Khí – Trƣờng Đại học Công nghiệp Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi để tơi có thời gian nhƣ trang thiết bị để tập trung nghiên cứu Và cuối tơi xin cảm ơn gia đình ln động viên để tơi hồn thành tốt luận văn Hà Nội, ngày 05 tháng 12 năm 2014 Tác giả luận văn Trần Nguyên Quyết LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan tất kết khoa học trình bày luận văn thành lao động thân dƣới giúp đỡ tận tình PGS TSKH Phạm Đức Chính TS Trần Anh Bình Các kết thu đƣợc không chép từ cơng trình tác giả khác Hà Nội, ngày 05 tháng 12 năm 2014 Tác giả luận văn Trần Nguyên Quyết MỤC LỤC Trang phụ bìa ………………………………………………………………… LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỤC LỤC 1.1 Mở đầu vật liệu đàn hồi không đồng 1.2 Một số đánh giá cho hệ số đàn hồi vĩ mô vật liệu đàn hồi không đồng ………………………………………………………………………… 11 1.3 Một số phƣơng pháp xấp xỉ hệ số đàn hồi vĩ mô vật liệu đàn hồi không đồng 13 1.4 Các phƣơng pháp số đồng hóa vật liệu khơng đồng 14 1.5 Phƣơng pháp nghiên cứu bố cục luận văn 15 KẾT LUẬN CHƢƠNG 15 CHƢƠNG 2: HỆ SỐ ĐÀN HỒI CỦA CỐT LIỆU TRÕN TRONG VẬT LIỆU ĐẲNG HƢỚNG TƢƠNG ĐƢƠNG VẬT LIỆU CỐT LIỆU ELIP 16 2.1 Một số xấp xỉ đơn giản cho vật liệu đàn hồi đẳng hƣớng dạng + cốt liệu tròn 16 2.2 Tính tốn hệ số đàn hồi vĩ mô cho vật liệu đàn hồi không đồng đẳng hƣớng hai pha có cốt liệu elip phân bố thƣa 17 2.3 Xác định hệ số đàn hồi cốt liệu trịn mơ hình vật liệu đẳng hƣớng tƣơng đƣơng vật liệu cốt liệu elip 24 KẾT LUẬN CHƢƠNG 28 CHƢƠNG 3: ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG ĐỒNG NHẤT HĨA VẬT LIỆU ĐÀN HỒI KHƠNG ĐỒNG NHẤT 29 3.1 Giới thiệu phƣơng pháp phần tử hữu hạn 29 3.2 Ứng dụng phƣơng pháp phần tử hữu hạn đồng hóa vật liệu khơng đồng 42 KẾT LUẬN CHƢƠNG 44 CHƢƠNG 4: TÍNH TỐN – SO SÁNH BẰNG PHƢƠNG PHÁP SỐ 45 4.1 Tính tốn số với mơ hình hình vng 46 4.2 Tính tốn số với mơ hình lục giác 54 KẾT LUẬN CHƢƠNG 61 KẾT LUẬN 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO 63 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình Nội dung Trang 1.1 Mơ hình vật liệu tựa đối xứng ba pha …………………………… 1.2 Phần tử tuần hồn mơ hình ba chiều………………………… 2.1 Một mơ hình vât liệu đàn hồi đẳng hƣớng tuần hồn hai pha cốt liệu hình elip………………………………………………… 16 2.2 Một mơ hình vât liệu hai pha đàn hồi đẳng hƣớng tuần hồn với cốt liệu hình trịn…………………………………………… 24 3.1 Mơ hình phần tử hữu hạn đơn giản…………………………… 30 3.2 Dạng nội suy hàm xấp xỉ theo phƣơng pháp Lagrange…… 33 3.3 Chọn dạng đa thức theo tam giác pascal………………………… 36 4.1 Mơ hình tính tốn phƣơng pháp số………………………………… 44 4.2 Mơ hình vật liệu tuần hồn cốt liệu elip phân bố hình vng 47 4.3 ………………… Phân tố tính tốn cốt liệu elip mơ hình vng 47 4.4 Mơ hình vật liệu tính tốn tƣơng đƣơng hình vng 47 4.5 Chia lƣới mơ hình vật liệu vng 48 4.6 Biểu đồ Ceff – vI KM = 10; KI = ; μM = ; μI = 0.4 mơ hình vng vng…………………………………………………………… 4.7 4.8 4.9 50 Biểu đồ Ceff – vI KM = 1; KI = 10 ; μM = ; μI = 0.4 mơ hình vng vng…………………………………………………………… 51 Biểu đồ Ceff – vI KM = 10; KI = ; μM = 0.4 ; μI = mô hình lục giác vng………………………………………………………… 52 Biểu đồ Ceff – vI KM = 1; KI = 10; μM = 0,4 ; μI = mơ hình giác vng… ……………………………………………………… 53 4.10 Mơ hình vật liệu tuần hồn cốt liệu elip phân bố hình lục giác 4.11 Phân tố tính tốn cốt liệu elip mơ hình lục giác 54 4.12 Mơ hình vật liệu tính tốn tƣơng đƣơng hình lục giác 55 4.13 Chia lƣới mơ hình vật liệu lục giác 56 54 4.14 Biểu đồ Ceff – vI KM = 10; KI = ; μM = ; μI = 0.4 mô hình vng lục giác ……………………………………………………… 57 4.15 Biểu đồ Ceff – vI KM = 1; KI = 10 ; μM = ; μI = 0.4 mô hình vng lục giác ……………………………………………………… 58 4.16 Biểu đồ Ceff – vI KM = 10; KI = ; μM = 0.4 ; μI = mơ hình lục giác ……………………………………………………… 59 4.17 Biểu đồ Ceff – vI KM = 1; KI = 10; μM = 0,4 ; μI = mơ hình giác đềuđều ……………………………………………………… lục giác 60 CHƢƠNG I TỔNG QUAN Một số lớn vật liệu sử dụng đƣợc tạo từ nhiều thành phần vật liệu khác nhằm phục vụ cho đòi hỏi nhiều lĩnh vực đời sống ngƣời Trong luận văn chúng tơi xây dựng mối quan hệ tính chất đàn hồi vĩ mô vật liệu đàn hồi khơng đồng tính chất thành phần vi mơ với hình học vi mơ khác Việc nghiên cứu mối quan hệ cần thiết có ý nghĩa thực tiễn giúp giải thích đƣợc mối quan hệ tính chất vĩ mơ vật liệu với tính chất thành phần cấu thành hình học vi mơ, giúp thiết kế vật liệu với tính chất vĩ mơ theo u cầu Trong chƣơng này, muốn giới thiệu đến bạn đọc tổng quan vật liệu đàn hồi không đồng nhất, tính chất đàn hồi vi mơ vĩ mơ loại vật liệu này, với phƣơng pháp nghiên cứu để đạt đƣợc kết đề 1.1 Mở đầu vật liệu đàn hồi không đồng Các loại vật liệu không đồng (vật liệu tổ hợp) đƣợc cấu tạo vi mô từ thành phần vật liệu khác nhƣng mặt vĩ mơ đƣợc coi đồng có tính chất đàn hồi vĩ mơ nói chung khác với tính chất thành phần cấu thành Các cấu trúc vi mơ đƣợc coi đủ lớn so với kích thƣớc phân tử để đƣợc xem nhƣ môi trƣờng liên tục Các trƣờng nội lực chuyển vị liên tục mặt ngăn cách pha Khi thành phần cấu thành phân bố khơng thiên hƣớng hỗn độn khơng gian ta có vật liệu tổ hợp đẳng hƣớng vĩ mô Ở giới hạn với giả thiết vật liệu thành phần đẳng hƣớng Việc xác định lý tính vĩ mơ (macroscopic) (cịn đƣợc gọi hữu hiệu, hiệu quả, hiệu dụng (effective ) hay tổng thể (overall moduli)) vật liệu không đồng vấn đề khoa học vật liệu, tính chất phụ thuộc phức tạp vào tính chất thành phần cấu thành nhƣ hình học vi mô vật liệu Nội dung đƣợc tham khảo [1], [2], [3], [5], [6], [8], [19], [23], [42] Hình 1.1: Mơ hình vật liệu tựa đối xứng ba pha Xét phần tử đặc trƣng V vật liệu tổ hợp (RVE) Phần tử đặc trƣng phải đủ lớn so với cấu trúc vi mơ để đƣợc coi thực đại diện cho vật liệu đƣợc xem xét nhƣng phải đủ nhỏ so với kích thƣớc vĩ mô vật thể đem sử dụng (và độ dài bƣớc sóng trƣờng hợp tốn động) để việc xác định tính chất vĩ mơ thực có ý nghĩa Phần tử đặc trƣng V đƣợc cấu thành n thành phần chiếm chiếm không gian Vα V có hệ số đàn hồi k ,  ; α=1… n; vα kí hiệu hệ số thể tích V V ( thể tích V đƣợc coi 1) Phần tử đặc trƣng V đƣợc gắn với hệ tọa độ Đề vng góc {x1, x2, x3} Hình 1.2: Phần tử tuần hồn mơ hình chiều (từ trái qua phải: lập phương đơn giản, lập phương tâm khối lập phương tâm mặt) Trong điều kiện chịu lực vật thể , trƣờng ứng suất σ(x) ( ten xơ ứng suất bậc với thành phần ζij ) cần phải thỏa mãn phƣơng trình cân :  σ(x)  0, x V (1.1) ( đƣợc hiểu cách tự nhiên bao gồm điều kiện cân mặt ngăn cách pha), quan hệ với trƣờng biến dạng ε(x) thông qua định luật Hook : σ(x)  C(x) : ε(x), x V ( ijkl  Cijkl  kl ) (1.2) Tổng dấu ngoặc lấy theo số latin lặp lại từ tới 3; Các thành phần εij ten xơ biến dạng ε đƣợc biểu diễn tuyến tính qua thành phần ui véc tơ chuyển vị u liên tục V:  ij  (ui , j  u j ,i ) (1.3) Chỉ số Latin sau dấu phảy ký hiệu phép vi phân với tọa độ Đề tƣơng ứng; C(x)   C   [Cijkl (x)   Cijkl (x)]   ( x)   (1.4)  nêu x V nêu x R \V Chỉ số Hy Lạp dƣới dấu tổng chạy từ tới n ; Cα ten xơ đàn hồi đẳng hƣớng bậc với thành phần không gian d chiều: Cijkl  Tijkl (k ,  )  k  ij kl   ( ik jl   il jk  d 1  ij kl ) d  [C  T(k ,  )], (1.5) δij ký hiệu Krơnecker thơng thƣờng Giá trị trung bình ứng suất biến dạng miền V đƣợc xác định nhƣ sau: σ   σdx, ε   εdx, V V (1.6) Quan hệ giá trị trung bình ứng suất biến dạng V vật liệu tổ hợp đẳng hƣớng đƣợc thể thông qua ten xơ đàn hồi vĩ mô Ceff: σ = Ceff : ε , Ceff  T(k eff ,  eff ) (1.7) Một giá trị ε(x) σ(x) V đƣợc xác định, từ (1.7) ta có keff, μeff Các phƣơng trình quan hệ (1.1) - (1.3) chƣa đủ để xác định ε(x) σ(x) , cần điều kiện biên V V Chú ý phần tử V nhỏ so với kích thƣớc vĩ mơ vật thể chịu lực , điều kiện biên đồng cho chuyển vị đƣợc kiến nghị : u  ε0  x (ui   ij0 x j ) V, ε0 =const (1.8) 51 b TH2: KM = 1; KI = 10 ; μM = ; μI = 0.4; KI’ = 6,9577 ; μI’ = 0,4289 a Biểu đồ quan hệ Keff – vI b Biểu đồ quan hệ μeff – vI Hình 4.7 Biểu đồ Ceff – vI KM = 1; KI = 10 ; μM = ; μI = 0.4 mơ hình vng (FEM E: Phương pháp số cốt liệu elip; FEM C : Phương pháp số cốt liệu tròn HS: Đánh giá Hashin – Strikman) 52 c TH3: KM = 10; KI = ; μM = 0.4; μI = 2; KI’ = 1,0463 ; μI’ = 1,9283 a Biểu đồ quan hệ Keff – vI b Biểu đồ quan hệ μeff – vI Hình 4.8 Biểu đồ Ceff – vI KM = 10; KI = ; μM = 0,4 ; μI = mơ hình vng (FEM E: Phương pháp số cốt liệu elip; FEM C : Phương pháp số cốt liệu tròn HS: Đánh giá Hashin – Strikman) 53 d TH4: KM = 1; KI = 10 ; μM = 0,4 ; μI = 2; KI’ = 12,8297 ; μI’ = 2,1166 a Biểu đồ quan hệ Keff – vI b Biểu đồ quan hệ μeff – vI Hình 4.9 Biểu đồ Ceff – vI KM = 1; KI = 10 ; μM = 0,4 ; μI = mơ hình vng (FEM E: Phương pháp số cốt liệu elip; FEM C : Phương pháp số cốt liệu tròn HS: Đánh giá Hashin – Strikman) 54 4.2 Tính tốn số với mơ hình lục giác 4.2.1 Xây dựng mơ hình - Mơ hình vật liệu tuần hoàn hai pha cốt liệu elip phân bố theo hình lục giác đƣợc xây dựng nhƣ sau phần mềm ANSYS: Hình 4.10 Mơ hình vật liệu tuần hồn cốt liệu elip phân bố hình lục giác - Khơng tính tổng qt, ta tách phân tố để tính tốn: Hình 4.11 Phân tố tính tốn cốt liệu elip mơ hình lục giác - Xây dựng mơ hình tƣơng đƣơng có cốt liệu trịn: 55 Hình 4.12 Mơ hình vật liệu tính tốn tương đương hình lục giác - Chia lƣới mơ hình để áp dụng PPPTHH: phần tử đƣợc chọn phần tử tam giác, đảm bảo đƣợc độ mịn cho mơ hình: a Cốt liệu elip 56 b Cốt liệu trịn Hình 4.13 Chia lưới mơ hình vật liệu lục giác 4.2.2 Kết tính tốn phƣơng pháp số Các bƣớc tính tốn phƣơng pháp số mơ hình lục giác tƣơng tự mơ hình vng tính Tuy nhiên, vật liệu mơ hình đẳng hƣớng hồn tồn nên Modun trƣợt μ có thành phần μ11 Các ký hiệu biểu đồ nhƣ trình bày đầu chƣơng: - FEM E: Đƣờng kết tính theo phƣơng pháp số với vật liệu cốt liệu elip - FEM C E: Đƣờng kết tính theo phƣơng pháp số với vật liệu tƣơng đƣơng cốt liệu tròn - HS: Đƣờng đánh giá Hashin – Strikman, đƣờng phía đánh giá trên, đƣờng phía dƣới đánh giá dƣới Các kết đƣợc trình bày biểu đồ dƣới đây: 57 a TH1: KM = 10; KI = ; μM = ; μI = 0.4; KI’ = 0,8212 ; μI’ = 0,3629 a Biểu đồ quan hệ Keff – vI b Biểu đồ quan hệ μeff – vI Hình 4.14 Biểu đồ Ceff – vI KM = 10; KI = ; μM = ; μI = 0.4 mơ hình lục giác 58 b TH2: KM = 1; KI = 10 ; μM = ; μI = 0.4; KI’ = 6,9577 ; μI’ = 0,4289 a Biểu đồ quan hệ Keff – vI b Biểu đồ quan hệ μeff – vI Hình 4.15 Biểu đồ Ceff – vI KM = 1; KI = 10 ; μM = ; μI = 0.4 mô hình lục giác 59 c TH3: KM = 10; KI = ; μM = 0.4; μI = 2; KI’ = 1,0463 ; μI’ = 1,9283 a Biểu đồ quan hệ Keff – vI b Biểu đồ quan hệ μeff – vI Hình 4.16 Biểu đồ Ceff – vI KM = 10; KI = ; μM = 0,4 ; μI = mơ hình lục giác 60 d TH4: KM = 1; KI = 10 ; μM = 0,4 ; μI = 2; KI’ = 12,8297 ; μI’ = 2,1166 a Biểu đồ quan hệ Keff – vI b Biểu đồ quan hệ μeff – vI Hình 4.17 Biểu đồ Ceff – vI KM = 1; KI = 10 ; μM = 0,4 ; μI = mơ hình lục giác 61 KẾT LUẬN CHƢƠNG Nội dung chƣơng xây dựng mơ hình tính tốn để áp dụng tính tốn phƣơng pháp số, nhằm đồng hóa vật liệu kiểm tra q trình tính tốn lý thuyết chƣơng Việc xây dựng mơ hình đƣợc thực phần mềm Ansys 14, tính tốn số thực phần mềm Matlab Kết chƣơng thu đƣợc xác định đƣợc hệ số đàn hồi vĩ mô vật liệu đẳng hƣớng hai chiều cốt liệu elip hai mơ hình vật liệu vng lục giác, đồng thời kiểm chứng đƣợc công thức xác định hệ số đàn hồi cốt liệu tròn mơ hình vật liệu tƣơng đƣơng chƣơng tốt Kết sở để xây dựng tốn tƣơng tự với mơ hình vật liệu khác, nhƣ sở để phát triển toán mức độ cao 62 KẾT LUẬN Trong kỹ thuật vật liệu, đồng hóa vật liệu không đồng công việc cần thiết để xác định tính chất vĩ mơ vật liệu, từ xác định ứng xử vật liệu chịu tác dụng lực, nhằm ứng dụng vật liệu phù hợp thực tế Vì việc đơn giản hóa q trình tính tốn đồng hóa vật liệu cách đƣa mơ hình phức tạp mơ hình đơn giản quan trọng Tính tốn phƣơng pháp số với việc áp dụng phần mềm nhƣ Matlab, Mapple, Ansys…trên sở Phƣơng pháp phần tử hữu hạn (FEM) bƣớc tiến quan trọng kỹ thuật tính tốn Phƣơng pháp cho phép tính đƣợc phép tính phức tạp, quy mơ lớn với độ xác cao hơn, từ cho phép so sánh kiểm tra phƣơng pháp tính truyền thống Luận văn xây dựng đƣợc công thức xác định hệ số đàn hồi cốt liệu hình trịn mơ hình vật liệu tƣơng đƣơng với mơ hình vật liệu hai pha đẳng hƣớng cốt liệu elip Từ làm đơn giản hóa q trình tính tốn Kết đƣợc kiểm tra tính tốn phƣơng pháp số Kết ứng dụng việc đồng hóa vật liệu cốt liệu elip thực tế Đồng thời sử dụng làm sở để xây dựng cơng thức xác định mơ hình tƣơng đƣơng cho mơ hình khác Với kết đạt đƣợc, phát triển toán mức độ cao hơn, nhƣ áp dụng để tính tốn loại vật liệu có cốt liệu khác, kết đƣợc công bố thời gian tới 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: Trần Anh Bình (2014), Xấp xỉ phân cực cho mô đun đàn hồi vật liệu 3D đa thành phần đẳng hướng, Hội nghị Cơ học kỹ thuật toàn quốc Kỷ niệm 35 năm thành lập Viện Cơ học, Hà Nội Phạm Đức Chính (1995), Đánh giá tính chất lý vĩ mơ vật liệu đẳng hướng nhiều pha, Luận án Phó tiến sĩ khoa học tốn lý, Hà Nội Phạm Đức Chính (1996), Đánh giá tính chất lý vật liệu tổ hợp đẳng hướng đa tinh thể, Luận án Tiến sĩ khoa học tốn lý, Hà Nội Ngơ Hƣơng Nhu (2001), Phương pháp phần tử hữu hạn học vật rắn biến dạng, Viện Cơ học, Hà Nội Chu Quốc Thắng (1997), Phương pháp phần tử hữu hạn, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội Tiếng Anh: Beran, M.J, (2005), Statistical Continuum Theories, NewYork, Wiley Christensen, R.M,(1979), Mechanics of Composite Materials, Newyork, Wiley Pham Duc Chinh (2013), Essential Solid Machanics, Institute of Mechanics, VAST, Hanoi Eshelby, J.D (1957): The determination of the elastic field of an ellipsoidal inclusion and related problems Proc R Soc Lond A 241, 376–396 10 Erwin Stein, René de Borst, Thomas J R Hughes (2004), Encyclopedia of computational mechanics Volume 1,2,3, John Wiley & Sons 11 Hashin Z (1962), The elastic moduli of heterogeneous materials, J Appl Mech 29,143-150 12 Hashin Z (1965), On elastic behaviour of fiber reinfoeced materials of arbitrary transverse phase geometry J Mech Phys Solids 13, 119 13 Hashin Z., Strikman S(1963) A variational approach to the theory of elastic behaviour of multiphase materials J Mech Phys Solids 11, 127-140 14 Hashin Z., Rosen W., (1964), The elastic moduli of fiber reinforced materials, J.Appl.Mech.31, 223 15 Hill R(1952), The elastic behaviour of a crystalline aggregate, Proc Phys Soc A65,349-354 16 Hill R (1965), Self-consistent mechanics of composite materials J Mech Phys 13, 213-222 17 G R LiuS S Quek (2003), The Finite Element Method: A Practical Course, Elsevier Science 64 18 Miller, M.N, (1969), Bounds for the effective elastic bulk modulus of heterogeneous materials, J.Math Phys.10, 2005 – 2013 19 Milton G.W (2001), The theory of composite, Cambridge University Press 20 Mori, T., Tannaka, K ,(1973), Average stress in matrix and averege elastic energy of materials with misfitting inclusions, Acta Metall.21 571 – 574 21 Norris, A.N.,(1985), A differential scheme for effective moduli of composites, Mech Mater.4, 1-16 22 Norris, A.N.,(1989), An examination of the Mori – Tanaka effective medium approximation for multiphase composites, ASME J.Appl Mech.56 83 – 88 23 S Nemat-Nasser, M Hori, Micromechanics,(1993): Overall properties of heterogeneous materials North-Holland, Amsterdam 24 Paul B, (1960), Prediction of elastic constans of multiphase materials, Trans.ASME 218,36 25 Pham.D.C (2013), Strong-contrast expansion correlation approximations for the effective elastic moduli of multiphase composites, Archive of Aplied Mechanic.82,377-389 26 Pham.D.C (1997), Estimations for the overall properties of some isotropic locally-ordered composites, Acta Mech 121 177-190 27 D.C Pham , A.B Tran, Q.H Do (2013), On the effective medium approximations for the properties of isotropic multicomponent matrix-based composites, International Journal of Engineering Science 68 (2013) 75–85 28 Pham.D.C (2012), Bounds on the elastic moduli of statistically isotropic multicomponent materials and random cell polycrystals, International Journal of Solids and Structures 49 2646 – 2659 29 Pham.D.C (2000), Weighted self-consistent approximations for elastic completely random mixtures, Mechanics of Materials 32 463- 470 30 Pham D.C (1996), On macroscopic conductivity and elastic properties of perfectly – random cell composites, Int.J.Solids Struct.33, 1745 -1755 31 Pham D.C,(1993), Bounds on the effective shear modulus of multiphase materials, Int.J.Eng.Sci.31,11-13 32 Pham D.C,(1994), Bounds the effective conductivity and elastic moduli of fully-disordered multicomponent materials, Arch.Ration.Mech.Anal.127, 191 198 33 Pham D.C,(1994), Estimations for the overall properties of some isotropic locally – ordered composites, Acta Mech.121, 177-199 65 34 Phan – Thien, N., Pham, D.C, (1997), Differential multiphase models for polydispersed suspensions and particulate solids, J Non – Newtonion Fluid Mech.72, 305 – 318 35 Phan Thien, N., Milton, G.W.,(1983), New third-oder bounds on the effective moduli of N-phase composites, Q.Appl.Math.41, 59-74 36 Reuss, A (1929) Berechnung der Fliebgrenze von Mischkristallen auf Grund der Plastizitatzsbedingung fur Einkristalle ZAMM, 9, 49 37 Torquato,S.,(2002), Random Heterogenenous Materials, Springer 38 Tran, A.B., Yvonnet, J., He, Q-C., Toulemonde, C., Sanahuja, J (2011): A multiple level set approach to prevent numerical artefacts in complex microstructures with nearby inclusions within XFEM Int J Numer Meth.Eng., 85:14361459 39 Voigt, W (1928) Lehrbuch der Krystallphysik Leipzig: Teubner 40 Yvonnet, J., He, Q-C., Toulemonde, C , (2008): Numerical modelling of the effective conductivities of composites with arbitrarily shaped inclusions and highly conducting interface Compos Sci Technol., 68:28252828 41 O.C Zienkiewicz; R.L Taylor,(2000), The Finite Element Method, Butterworth – Heinmann 42 Weng, G.J, (1984), Some elastic properties of reinforce solids, with special reference to isotropic ones containing spherical inclusion,Int.J Eng.Sci.22, 845 43 Willis,J.R, (1981), Variational and related methods for the overall properties of composite materials, In:Yih,C.S, (Ed), Advances an Appl.Mech.Academic Press, 2-78 44 Wolpole L.J (1966), On bounds for the overall elastic moduli of inhomogeneous systems, J.Mech.Phys.Solids.14 , 152-162 Tiếng Pháp: 45 Anh Binh TRAN, (2008), Modélisation numérique du comportement viscoélastique du béton par la méthode ”Level-Set” et la méthode des éléments finis étendus, Master de Recherche (M2), Université Paris-Est Marne-La-Valée