Mục lục m o c Lời nói đầu iii Các ký hiệu khái niệm vii y p a k a p Bµi tËp Sè thùc 1.1 1.2 Cận cận d-ới tập số thực Liên phân số a k w w Một số bất đẳng thức sơ cấp 11 D·y sè thùc 19 2.1 DÃy đơn điệu 23 2.2 Giíi h¹n TÝnh chÊt cđa d·y héi tơ 30 2.3 2.4 2.5 w Định lý Toeplitz, định lý Stolz ứng dụng 37 §iĨm giới hạn Giới hạn giới hạn d-ới 42 Các toán hỗn hợp 48 Chuỗi số thực 63 3.1 Tổng chuỗi 67 3.2 Chuỗi d-ơng 75 3.3 DÊu hiƯu tÝch ph©n 90 3.4 Hội tụ tuyệt đối Định lý Leibniz 93 3.5 Tiêu chuẩn Dirichlet tiêu chuẩn Abel 99 i ii Môc lôc 3.6 TÝch Cauchy chuỗi vô hạn 102 3.7 Sắp xếp lại chuỗi Chuỗi kép 104 3.8 TÝch v« h¹n 111 Lêi giải Số thực 121 1.1 1.2 Cận cận d-ới tập số thực Liên phân số 121 Một số bất đẳng thức sơ cấp 131 m o c D·y sè thùc 145 2.1 2.2 Giíi h¹n TÝnh chÊt cđa d·y héi tơ 156 2.3 Định lý Toeplitz, định lí Stolz ứng dông 173 2.4 Điểm giới hạn Giới hạn giíi h¹n d-íi 181 2.5 DÃy đơn điệu 145 Các toán hỗn hợp 199 a k w w y p a k a p Chuỗi số thực 231 3.1 Tổng chuỗi 231 3.2 Chuỗi d-ơng 253 3.3 DÊu hiÖu tÝch ph©n 285 3.4 Héi tơ tut ®èi §Þnh lý Leibniz 291 3.5 3.6 3.7 3.8 w Tiêu chuẩn Dirichlet tiêu chuẩn Abel 304 Tích Cauchy chuỗi vô h¹n 313 Sắp xếp lại chuỗi Chuỗi kép 321 Tích vô hạn 338 Tài liệu tham khảo 354 Lời nói đầu Bạn có tay tập I sách tập giải tích (theo chúng tôi) hay giới m o c Tr-ớc đây, hầu hết ng-ời làm toán Việt Nam th-ờng sử dơng hai cn s¸ch nỉi tiÕng sau (b»ng tiÕng Nga đà đ-ợc dịch tiếng Việt): y p a k a p "Bài tập giải tích toán học" cña Demidovich (B P Demidovich; 1969, Sbornik Zadach i Uprazhnenii po Matematicheskomu Analizu, Izdatelp1stvo "Nauka", Moskva) "Giải tích toán học, ví dụ tập" Ljaszko, Bojachuk, Gai, Golovach (I I Lyashko, A K Boyachuk, YA G Gai, G P Golobach; 1975, Matematicheski Analiz v Primerakh i Zadachakh, Tom 1, 2, Izdatelp1stvo Vishaya Shkola) a k w w để giảng dạy học giải tích Cần chó ý r»ng, cn thø nhÊt chØ cã bµi tËp đáp số Cuốn thứ hai cho lời giải chi tiết phần lớn tập thứ số toán khác w Lần chọn sách (bằng tiếng Ba Lan đà đ-ợc dịch tiếng Anh): "Bài tập giải tích Tập I: Số thực, DÃy số Chuỗi số" (W J Kaczkor, M T Nowak, Zadania z Analizy Matematycznej, Czesc Pierwsza, Liczby Rzeczywiste, Ciagi i Szeregi Liczbowe, Wydawnictwo Universytetu Marii Curie - Sklodowskiej, Lublin, 1996), "Bài tập giải tích Tập II: Liên tục Vi phân " (W J Kaczkor, M T Nowak, Zadania z Analizy Matematycznej, Czesc Druga, Funkcje iii iv Lời nói đầu Jednej Zmiennej{Rachunek Rozniczowy, Wydawnictwo Universytetu Marii Curie - Sklodowskiej, Lublin, 1998) để biên dịch nhằm cung cấp thêm tài liệu tốt giúp bạn đọc học dạy giải tích Khi biên dịch, đà tham khảo tiếng Anh: 3* W J Kaczkor, M T Nowak, Problems in Mathematical Analysis I, Real Numbers, Sequences and Series, AMS, 2000 4* W J Kaczkor, M T Nowak, Problems in Mathematical Analysis II, Continuity and Differentiation, AMS, 2001 m o c Sách có -u điểm sau: ã Các tập đ-ợc xắp xÕp tõ dƠ cho tíi khã vµ cã nhiỊu bµi tËp hay y p a k a p • Lêi giải đầy đủ chi tiết ã Kết hợp đ-ợc ý t-ởng hay toán học sơ cấp toán học đại Nhiều tập đựơc lấy từ tạp chí tiếng nh-, American Mathematical Monthly (tiÕng Anh), Mathematics Today (tiÕng Nga), Delta (tiÕng Balan) V× thế, sách dùng làm tài liệu a k w w cho học sinh phổ thông lớp chuyên nh- cho sinh viên đại học ngành toán Các kiến thức để giải tập sách tìm Nguyễn Duy Tiến, Bài Giảng Giải Tích, Tập I, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2000 w W Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw -Hil Book Company, New York, 1964 Tuy vậy, tr-ớc ch-ơng trình bày tóm tắt lý thuyết để giúp bạn đọc nhớ lại kiến thức cần thiết giải tập ch-ơng t-ơng ứng Tập I II sách bàn đến hàm số biến số (trừ phần không gian metric tập II) Kaczkor, Nowak viết Bài Tập Giải Tích cho hàm nhiều biến phép tính tích phân Chúng biên dịch tập II, tới xuất Lời nói đầu v Chúng biết ơn : - Giáo s- Phạm Xuân Yêm (Pháp) đà gửi cho gốc tiếng Anh tập I sách này, - Giáo s- Nguyễn Hữu Việt H-ng (Việt Nam) đà gửi cho gốc tiếng Anh tập II sách này, - Giáo s- Spencer Shaw (Mỹ) đà gửi cho gốc tiếng Anh sách tiếng W Rudin (nói trên), xuất lần thứ ba, 1976, - TS D-ơng Tất Thắng đà cổ vũ tạo điều kiện để biên dịch sách m o c Chúng chân thành cám ơn tập thể sinh viên Toán - Lý K5 Hệ Đào Tạo Cử Nhân Khoa Học Tài Năng, Tr-ờng ĐHKHTN, ĐHQGHN, đà đọc kỹ thảo sửa nhiều lỗi chế đánh máy Chúng hy vọng sách đ-ợc đông đảo bạn đọc đón nhận góp nhiều ý kiến quí báu phần biên dịch trình bày Rất mong nhận đ-ợc giáo quý vị bạn đọc, ý kiến góp ý xin gửi về: y p a k a p Chi đoàn cán bộ, Khoa Toán Cơ Tin học, tr-ờng Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, 334 Nguyễn TrÃi, Thanh Xuân, Hà Nội Xin chân thành cảm ơn w a k w w Hà Nội, Xuân 2002 Nhóm biên dịch Đoàn Chi m o c y p a k a p w a k w w C¸c ký hiệu khái niệm ã R - tập số thực m o c ã R+ - tập số thực d-ơng ã Z - tập số nguyên y p a k a p • N - tËp số nguyên d-ơng hay số tự nhiên ã Q - tập số hữu tỷ ã (a, b) - khoảng mở có hai đầu mút a b ã [a, b] - đoạn (khoảng đóng) có hai đầu mút a b a k w w ã [x] - phần nguyên số thực x ã Víi x ∈ R, hµm dÊu cđa x lµ 1 sgn x = −1 w víi víi víi x > 0, x < 0, x = • Víi x ∈ N, n! = · · · · n, (2n)!! = · · · · (2n − 2) · (2n), (2n − 1)!! = · · · · (2n − 3) · (2n − 1) • Ký hiƯu n = k thøc Newton n! , k!(n−k)! n, k ∈ N, n ≥ k, hệ số khai triển nhị vii viii Các ký hiệu khái niệm ã Nếu A R khác rỗng bị chặn ta ký hiệu sup A cận nó, không bị chặn ta quy -ớc sup A = + ã Nếu A R khác rỗng bị chặn d-ới ta ký hiệu inf A cận d-ới nó, không bị chặn d-ới ta quy -ớc inf A = ã DÃy {an } số thực đ-ợc gọi đơn điệu tăng (t-ơng ứng đơn điệu giảm) an+1 ≥ an (t-¬ng øng nÕu an+1 ≤ an ) với n N Lớp dÃy đơn điệu chứa dÃy tăng giảm m o c ã Số thực c đ-ợc gọi điểm giới hạn d·y {an } nÕu tån t¹i mét d·y {ank } cđa {an } héi tơ vỊ c • Cho S tập điểm tụ dÃy {an } Cận d-ới cận dÃy , ký hiệu lần l-ợt lim an lim an đ-ợc xác định y p a k a p n nh- sau +∞ lim an = −∞ n→∞ sup S −∞ lim an = +∞ n→∞ inf S n→∞ nÕu {an } không bị chặn trên, {an } bị chặn S = , {an } bị chặn vµ S = ∅, a k w w nÕu {an } không bị chặn d-ới, {an } bị chặn d-ới S = , {an } bị chặn d-íi vµ S = ∅, ∞ an héi tơ nÕu tån t¹i n0 ∈ N cho an = với ã Tích vô hạn w n=1 n n0 vµ d·y {an0 an0 +1 · · an0 +n } héi tơ n → ∞ tíi mét giíi h¹n P0 = Sè P = an0 an0 +1 à à an0 +n à P0 đ-ợc gọi giá trị tích vô hạn ã Trong phần lớn sách toán n-ớc ta từ tr-ớc đến nay, hàm tang côtang nh- hàm ng-ợc chúng đ-ợc ký hiệu tg x, cotg x, arctg x, arccotg x theo c¸ch ký hiƯu cđa c¸c sách có nguồn gốc từ Pháp Nga, nhiên sách toán Mỹ phần lớn n-ớc châu Âu, chúng đ-ợc ký hiệu t-ơng tự tan x, cot x, arctan x, arccot x Trong cuèn sách sử dụng ký hiệu để bạn đọc làm quen với ký hiệu đà đ-ợc chuẩn hoá giới Bài tập y p a k a p m o c w a k w w m o c y p a k a p w a k w w 3.8 TÝch vô hạn 343 3.8.8 Kết đ-ợc suy từ 3.8.7 3.8.9 Sư dơng 3.8.7 va 3.8.8 3.8.10 Sư dơng ®¼ng thøc lim n→∞ | ln(1 + an ) − an + a2 | n = |an | tiến hành nh- cách giải 3.8.7 3.8.11 Không Thật vậy, sử dụng kết tr-ớc ta thấy tích đ-ợc nêu phần gỵi ý sÏ héi tơ α > Mặt khác chuỗi + 1 + 2α α 2 − + 3α 1 + 2α α 2 + cïng héi tô + − α α ≤ − m o c + 4α y p a k a p vµ − α 1 + 2α α 3 a k w w + 1 + 2α α 3 + − 4α + 3.8.12 Chó ý r»ng nÕu lim an = th× n→∞ | ln(1 + an ) − an + a2 − a3 + + n n lim n→∞ |an |k+1 w (−1)k k an | k = k+1 3.8.13 Sư dơng c«ng thøc Taylor ®ã ln(1 + an ) = an − a2 = an − Θn a2 , n 2(1 + θn )2 n < Θn < nÕu |an | < Do ®ã víi n1 , n2 đủ lớn n1 < n2 n2 n2 ln(1 + an ) = n=n1 n2 a2 , ®ã Θ ∈ n −Θ n=n1 n=n1 ∞ an hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy Từ suy chuỗi n=1 ,2 344 Ch-ơng Chuỗi số thực 3.8.14 Nếu tích (1+an) vµ n=1 ∞ (1−a2 ) n (1−an) cïng héi tụ tích n=1 n=1 a2 hội tụ Điều phải chứng minh đ-ợc suy n hội tụ Từ suy chuỗi n=1 từ tập 3.8.15 Có, dÃy {an } đơn điệu giảm nên ta viết đ-ợc an = + n {n } dÃy đơn điệu giảm dần Sự hội tụ tích xét t-ơng đ-ơng với hội tụ chuỗi ∞ (−1)n−1 ln(1 + αn ) m o c n=1 Rõ ràng chuỗi xét hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz chuỗi đan dấu 3.8.16 (a) Vì y p a k a p lim (an + bn ) = + = nên tích xét không thoả mÃn điều n kiện cần tính hội tụ a2 đ-ợc suy từ hội tụ chuỗi n (b) Tính hội tụ tích n=1 a k w w ln a2 n n=1 (c), (d) Sự hội tụ tích đ-ợc suy từ hội tụ chuỗi ∞ ln(an bn ) = n=1 vµ ∞ w ln( n=1 an )= bn ln an + ln bn n=1 n=1 ∞ ∞ ln an − n=1 ln bn n=1 x2 hôi tụ , lim xn = 0, tÝnh héi tơ cđa n 3.8.17 Gi¶ sư ta có chuỗi n n=1 hai tích vô hạn đ-ợc suy từ 3.8.4 từ đẳng thức 1 − cos xn = , n→∞ x2 n lim lim n sin xn xn x2 n Bây giê gi¶ thiÕt r»ng mét hai tÝch héi tơ, x2 đ-ợc suy từ đẳng thøc kĨ trªn n tơ cđa n=1 = lim xn = vµ tÝnh héi n→∞ 3.8 Tích vô hạn 345 3.8.18 Chú ý n 1+ a1 k=2 n ak Sk−1 = a1 Sk = Sn Sk−1 k=2 3.8.19 Xem bµi tËp 3.1.9 3.8.20 Xem tập 3.1.9 3.8.21 Sử dụng tập với an = xn ∞ 3.8.22 Gi¶ sư r»ng tÝch n Pn = m o c an héi tô, tøc lim Pn = P = 0, n n=1 ak Từ điều ta suy tồn t¹i mét sè α > cho |Pn | > α víi k=1 y p a k a p n ∈ N D·y héi tơ {Pn } lµ mét d·y Cauchy, ®ã víi mäi ε > tån t¹i sè tù n0 cho |Pn+k − Pn−1 | < εα víi n > n0 vµ k ∈ N Thế nhiên Pn+k , < Pn1 |Pn−1 | Gi¶ thiÕt r»ng víi mäi víi n ≥ n0 > tồn số tự nhiên n0 cho a k w w (∗) víi |an an+1 · · an+k − 1| < ε n ≥ n0 vµ k ∈ N Chon ε = (∗∗) Trong w ta cã Pn−1 < < P n0 (∗) thay ε b»ng Do ®ã víi 2ε 3|Pn0 víi n > n0 ta tìm đ-ợc số tự nhiên Pn+k < Pn−1 3|Pn0 | víi n1 cho n ≥ n1 , k ∈ N n > max{n0 , n1 } ta đ-ợc |Pn+k Pn1 | < Điều có nghĩa dÃy hạn khác Pn1 < ε P n0 {Pn } lµ d·y Cauchy, từ () ta suy giới 346 Ch-ơng Chuỗi số thực 3.8.23 Ta có 2n 2n 2n (1 + xk ) = k=1 k=1 − x2k = − xk (1 − x2k ) k=1 2n (1 − xk ) k=1 2n 2n = (1 − x2k ) k=1 n = n (1 − x2k ) k=1 (1 − x2k−1) k=1 (1 − x2k ) k=n+1 n (1 − k=1 x2k−1 ) m o c Sử dụng tiêu chuẩn Cauchy (xem 3.8.22) ta suy điều phải chứng minh 3.8.24 Đây hệ qu¶ cđa 3.8.3 y p a k a p 3.8.25 Chó ý r»ng víi a1, a2, , an ∈ R th× |(1 + a1)(1 + a2 ) (1 + an ) − 1| ≤ (1 + |a1|)(1 + |a2|) (1 + |an |) sử dụng tiêu chuẩn Cauchy (xem 3.8.22) 3.8.26 Đặt Pn = (1 + a1)(1 + a2 ) (1 + an ), n ∈ N Thế Pn Pn1 = Pn1 an a k w w Pn = P1 + (P2 − P1 ) + + (Pn − Pn−1 ) = P1 + P1 a2 + P2 a3 + Pn−1 an Cho nªn Pn = (1 + a1) + a2(1 + a1) + a3(1 + a1)(1 + a2) + + an (1 + a1)(1 + a2) (1 + an−1 ), w t-ơng ứng Pn = (1 + a1 ) + (a2 + a1a2 ) + (a3 + a1a3 + a2a3 + a1 a2a3) + + (an + a1an + a2an + an−1an + + an−2 an−1 an + + a1 a2 an−1an ∞ (1 + an ) ta kÐo theo sù héi tô tut ®èi cđa Chó ý r»ng tõ sù héi tơ tích chuỗi + a1 + n=1 an (1 + a1)(1 + a2) (1 + an1 ) Chuỗi tạo thành từ n=2 3.8 Tích vô hạn 347 việc xếp chuỗi kép có số hạng thuộc ma trận vô hạn a2 a3 a4 a1 a1a2 a1a3 a2a3 a1 a4 a1 a2a3 a1a2 a4 a1 a3a4 a2a3a4 Từ 3.7.18 ta suy chuỗi kép hội tụ tuyệt đối từ 3.7.22 ta đ-ợc chuỗi lặp xét hội tụ, từ chứng minh đ-ợc đẳng thức đề 3.8.27 Từ hội tụ tuyệt đối chuỗi an ta suy chuỗi tuyệt minh an x héi tô m o c n=1 n=1 x ∈ R Sử dụng kết ta suy điều ph¶i chøng y p a k a p ∞ (1 + q n x) héi tơ tut 3.8.28 HiĨn nhiªn với |q| < x R tích n=1 đối Trong chọn an = q n ta đ-ợc hàm f (x) = (1 + q n x) = n=1 + A1x + A2x2 + B©y giê chó ý r»ng f (x) = (1 + qx)f(qx) đồng hệ số ta đ-ợc q 1q a k w w A1 = An = An−1 vµ qn − qn n = 2, víi Cuèi ta đ-ợc (sử dụng quy nạp) w n(n+1) q An = (1 − q)(1 − q 2) · · (1 − q n ) ∞ (1 + q 2n−1x) vµ chó ý r»ng (1 + qx)f (q 2x) = f(x) 3.8.29 Đặt f(x) = n=1 ta biƯn ln nh- ë c©u 3.8.28 3.8.30 Ta cã ∞ an (1 + an x) + x n=1 ∞ = 1+ ∞ Ak x k=1 ∞ Ak =1+ k=1 k 1+ k=1 x + k x k Ak xk ∞ ∞ + Ak x k=1 k k=1 Ak xk 348 Ch-ơng Chuỗi số thùc ∞ ∞ Ak xk vµ Tõ sù héi tơ tut ®èi cđa k=1 k=1 Ak xk ta suy sù héi tơ cđa tÝch Cauchy cđa chóng (xem bµi giải 3.6.1) Chú ý tích Cauchy tạo thành chuỗi kép t-ơng ứng với ma trận vô h¹n A2A2 A3A3 A1 A1 1 A2A1 x + A3 A2 x + x A4A3 x + x x 1 2 A3A1 x + A4A2 x + A5 A3 x + x x x Do ®ã tõ 3.7.18 vµ 3.7.22 ta suy ∞ ∞ Ak x k k=1 k=1 x+ x m o c Ak = (A1 A1 + A2A2 + A3A3 + ) + (A2A1 + A3A2 + ) xk + (A3A1 + A4A2 + ) x2 + (1 + q 2n−1 x) + n=1 q 2n1 x Đặt a k w w Bn xn + = B0 + n=1 (1 + q 2n−1x) + F (x) = n=1 vµ sử dụng đẳng thức + y p a k a p 3.8.31 [4] Tõ 3.8.30 ta cã ∞ x2 xn q 2n−1 x qxF (q 2x) = F (x) ta đ-ợc B1 = B0 q, Bn = Bn−1 q 2n−1 , sư dơng quy n¹p suy Khi ®ã w Bn = B0 q n , n = 1, 2, ∞ F (x) = B0 qn 1+ xn + n=1 xn n Để xác định B0 ta sử dụng kết 3.8.29 3.8.30 Đặt Pn = k=1 (1 − q 2k ) 2n P = (1 − q ), thÕ th× n=1 B0 q n2 qn q (n+1) +1 = Bn = An + A1 An+1 + = + + , Pn Pn Pn+1 3.8 Tích vô hạn 349 ta đ-ợc q 2n q 4n + + P2 P Pn B0 − < Cho n ta đ-ợc B0 = P 3.8.32 Sử dụng kết 3.8.30 với (a) x = −1 (b) x = (c) x = q m o c 3.8.33 Chó ý r»ng víi n > ta cã n−1 an = V× thÕ n Sn = ak = k=1 k=1 x−k − x+k n x−k x+k y p a k a p + 1+x k=1 n ak = k=2 1 − 2 n k=1 x−k x+k NÕu x số nguyên d-ơng với n đủ lín ta cã Sn = minh r»ng víi x = 1, 2, lim Sn = cách nhËn a k w w n→∞ lín th× x−k x+k =1− 2x x+k Ta ph¶i chøng xÐt r»ng với k đủ Do sử dụng kết 3.8.4 n lim n→∞ w k=1 x−k = x+k ta đ-ợc điều phải chứng minh 3.8.34 Gi¶ thiÕt r»ng (1 + can ) héi tơ víi c = c0 vµ c = c1 mµ c0 = c1 n=1 Khi tích (1 + c1 an ) n=1 c0 c1 ∞ vµ c0 (1 + c1 an ) c1 + c0 an n=1 hội tụ Hơn c0 c0 (c0 c1) (1 + c1 an ) c1 an (1 + εn ), =1+ + c0 an 350 Ch-ơng Chuỗi số thực n a2 n → n → ∞ Do ®ã sư dụng 3.8.3 3.8.4 ta suy chuỗi an hội tụ Thêm sử dụng kết 3.8.13 ta đ-ợc chuỗi n=1 n=1 hội tụ Từ suy với (can )2 chuỗi c R hai chuỗi n=1 can hội tụ Ta suy điều phải chứng minh từ 3.8.7 n=1 n 3.8.35 Rõ ràng chuỗi (x2 − k ) héi tơ tíi víi x số nguyên an n=1 k=0 x0 không nguyên d-ơng Với x R ta d-ơng Giả sử hội tụ tới giá trị xét dÃy {bn } mµ n bn = m o c (x2 − k ) k=0 n y p a k a p (x2 − k2) k=0 Khi ®ã n n x2 − x2 x2 − k 1+ bn = = x2 − k k=0 x0 − k k=0 Từ suy số dÃy đơn điệu Hơn tích n k=0 x2 k x2 −k a k w w héi tô nên dÃy {bn } bị chặn, ta có n ∞ an n=1 (x − k ) = k=0 n ∞ (x2 − k )bn an n=1 k=0 w Theo tiêu chuẩn Abel chuỗi xét héi tơ víi mäi 3.8.36 x ∈ R (a) Ta cã 1− x pn Nh©n n −1 =1+ k=1 pkx n N đẳng thức đầu lại với đ-ợc N (i) n=1 1 x pn −1 =1+ k=1 = kx pN k=1 + kx ∞ k=pN +1 , kx 3.8 TÝch v« hạn 351 ký hiệu tổng số tự nhiên có -ớc số sè nguyªn tè p1 , p2 , N 0< n=1 ., pN Khi ®ã pN −1 1− x pn − k=1 ∞ = k x k=p N ∞ < k x k=p +1 N kx +1 ∞ V× x N →∞ k=p +1 k N lim = ta đ-ợc 1 x pn n=1 (b) Tõ (i) phÇn (a) ta suy 1− n=1 ∞ n=1 ∞ n=1 ∞ pn n=1 n px n pN −1 > m o c k=1 k ph©n kú vỊ 0, tức t-ơng đ-ơng với phân kỳ tÝch (xem 3.8.4) 3.8.37 [18] nx ta suy tÝch a k w w 1− n=1 pn = y p a k a p N Tõ sù phân kỳ chuỗi w (a) Dùng công thøc De Moivre m = 2n + ta cã cos mt + i sin mt = (cos t + i sin t)m cho sin(2n + 1)t = (2n + 1) cos2n t sin t − 2n + cos2n−2 t sin3 t + + (−1)n sin2n+1 t Hay ta viết đ-ợc thành (1) sin(2n + 1)t = sin tW (sin2 t), W (u) đa thức bậc n Vì hàm vế trái đẳng thức k điểm tk = 2n+1 , k = 1, 2, , n ®Ịu thuộc vào khoảng 0, ta 352 Ch-ơng Chuỗi số thực suy đa thức ta có W (u) điểm uk = sin2 tk , k = 1, 2, , n, n 1− W (u) = A k=1 u sin2 tk Do sử dụng (1) ta đ-ợc n (2) sin(2n + 1)t = A sin t k=1 sin2 t kπ sin2 2n+1 A Ta cã A = lim sin(2n+1)t = 2n + 1, thay giá trị A sin t t→0 x vµo (2) vµ chän t = 2n+1 ta đ-ợc m o c Ta cần phải tìm n sin2 x 1− sin x = (2n + 1) sin 2n + k=1 sin2 y p a k a p (3) Đối với x R m N cho tr-ớc cho n lớn m, theo (3) ta đ-ợc (4) |x| < (m + 1)π ta lÊy sin x = Pm,n Qm,n , a k w w ®ã Pm,n x = (2n + 1) sin 2n + n w Cho x 2n+1 kπ 2n+1 1− Qm,n = k=m+1 m 1− k=1 sin2 x 2n+1 kπ sin2 2n+1 sin2 x 2n+1 kπ sin2 2n+1 , n đ-ợc (5) m 1− lim Pm,n = x n→∞ Tõ (4) víi k=1 x2 k22 x = k ta đ-ợc lim Qm,n = Qm Để đánh giá Qm ta ý n từ giả thiết trên, 0< k n π |x| < ≤ < , 2n + 2n + 2n + víi k = m + 1, , n 3.8 Tích vô hạn 353 Sử dụng bất đẳng thức u n 1− k=m+1 x2 4k < sin u < u, < u < π , ta thÊy r»ng ∞ < Qm,n < V× tÝch 1− n=1 n 1− k=m+1 x2 4k x2 4n2 héi tô ta cã ≤ Qm,n ≤ Tõ ®ã suy (6) lim Qm = m Cuối đẳng thức cần tìm đ-ợc suy từ (b) Sử dụng (a) chó ý r»ng 3.8.38 Thay x = π m o c (4), (5) vµ (6) sin 2x = sin x cos x y p a k a p biĨu thøc nªu 3.8.37(a) 3.8.39 (a) Sù héi tụ tích đ-ợc xét t-ơng đ-ơng với hội tụ chuỗi a k w w ln + n=1 x x − , n n cßn hội tụ tuyệt đối chuỗi đ-ợc suy từ ®¼ng thøc w (b) Ta cã lim ln + n→∞ 1+ n x 1+ n x =1+ x n x2 n2 − x n = x(x − 1) +o 2n2 n2 Tõ 3.8.3 ta suy tÝch héi tơ tut ®èi ∞ 3.8.40 Râ rµng tÝch (1 + an ), an > −1 hội tụ chuỗi n=1 ln(1 + an ) hội tụ Hơn P giá trị tích S tổng chuỗi n=1 P = eS 354 Tài liệu tham khảo Giả sử tích hội tụ tuyệt đối, từ ®¼ng thøc | ln(1 + an )| = 1, n→∞ |an | (1) lim (v× lim an = 0) n→∞ ∞ ln(1 + an ) héi tơ tut ®èi HiĨn nhiên ( từ 3.7.8) ts có thay chuỗi n=1 đổi chuỗi hội tụ tổng Cuối sử dụng ý từ đầu chứng minh ta suy thay đổi phần tử tích không làm thay đổi giá trị tích (1 + an) không phụ thuộc vào trật Bây giả thiết giá trị tích m o c n=1 ln(1+an ) tự từ nhân tử tích, điều có nghĩa tổng chuỗi n=1 độc lập với trật tự số hạng Sử dụng định lý Riemann ta suy ∞ y p a k a p |1 + an | hội tụ, ta có chuỗi hội tụ tuyệt đối, tức từ (1) ta suy chuỗi n=1 điều phải chứng minh 3.8.41 [20] Đặt Rn = 1− 1+ · · · · 2n+1 2n = (2n+1)!! (2n)!! Ta cã 1 + = Rα , 2α 1 1− − = 2β + Rβ 1+ a k w w Thế tích riêng thứ + β cđa tÝch ®ang xÐt sÏ b»ng Rnα Sư dụng công thức Rn Wallis (xem 3.8.38) ta đ-ợc (2n + 1)!! √ =√ , n→∞ (2n)!! n π lim w từ ta đ-ợc Rn = n Rnβ lim α β ∞ 3.8.42 NÕu tÝch ∞ (1 + an ) héi tơ nh-ng kh«ng héi tơ tuyệt đối chuỗi n=1 ln(1 + an ) hội tụ có điều kiện (xem 3.8.40) Từ định lý Riemann ta suy n=1 số hạng chuỗi lại để tạo thành chuỗi hội tơ cã tỉng lµ mét sè bÊt kú cho tr-íc S phân kỳ (tới ) Điều phải chứng minh ®-ỵc suy tõ biĨu thøc P = eS (xem 3.8.40) Tài liệu tham khảo [1] J Banas, S Wedrychowicz, Zbiãr zadan z analizy dawnictwa Naukowo - Techniczne, Warszawa,1994 matematycznej, Win- [2] W I Bernuk, I K Zuk, O W Melnikov, Sbornik po matematike, Narodnaja Asveta, Minsk , 1980 olimpiadnych zadac y p a k a p [3] P Biler, A Witkowski, Problems in Dekker, Inc, New York and Base, 1990 [4] T J Bromwich, An Introduction to lan and Co., ltd., London ,1949 Mathematical Analysis, Marcel the Theory of Infinte Series, Macmil- a k w w [5] R B Burckel, An Introduction to Classical Press, New York and San Francisco, 1979 [6] B Demidovic, Sbornik Nauka, Moskva, 1969 m o c Complex Analysis, Academic zadac i upraznenij po matemaiceskomu analizu, [7] A J Dorogovcev, Skola, Kiev, 1985 Matematiceskij analiz Spravocnoe posobe, Vyscaja [8] A J Dorogovcev, Kiev, 1987 Matematiceskij analiz Sbornik zadac, Vyscaja Skola, w [9] G M Fichtenholz, Differential - und Integralrechnung, Deutscher Verlag Wiss , Berlin, 1966-1968 [10] G H Hardy, A Course Cambirige, 1946 I,II,III, V.E.B of Pure Mathematics , Cambrige University Press, [11] G H Hardy, J E Littlewood, G.Polya, Press, Cambirige, 1967 355 Inequalities , Cambrige University 356 Tài liệu tham khảo [12] G Klambauer, 1975 Mathematical Analysis, Marcel Dekker, Inc., New York, [13] G Klambauer, Problems and Propositions Inc., New York and Basel, 1979 [14] K Knopp, Theorie und Anwendung der Verlag, Berlin and Heidelberg, 1947 in Analysis, Marcel Dekker, Unendhichen Reihen, Springer- [15] L D Kudriavtsev, A D Kutasov, V I Chejlov, M I Shabunin, Problems de Ana Matematico Limite, Continuidad, Derivabilidad, Mir, Moskva, 1989 m o c [16] K Kuratowski, Introduction to Calculus, Pergamon Press, Oxford - Eidenburg - New York, Polish Scientific Publishers, Warsaw, 1969 [17] D S Mitrinovic, 1964 y p a k a p Elemetary Inequalities, P Noordhoff Ltd., Gronigen, Nizovi i Redovi Definicije, stavovi zadaci, problemi (Serbo - Croatian), Naucna Knijga, Belgrade, 1971 [18] D S Mitrinovic, D D Adamovic, Aufgabensammlung zur Infinitesimalrechnung, Band I: a Funktionen einer Variablen, Birkh•user Verlag, Basel und Stuttgart, [19] A Ostrowski, a k w w 1964 [20] G Polia, G Szeg•, Problems and theorems in analysis I, Spriger - Verlag, o Berlin Heidelberg New York, 1978 [21] Ya I Rivikind, Minsk, 1973 w Zadaci pr matematiceskomu analizu, Vysejsaja Skola, [22] W.I Rozhkov, V.D Kurdevanidze, N G Pafionov, Sbornik zadac matematiceskich olimpiad, Izdat Univ Druzhby Narodov, Maskva, 1987 [23] W Rudin, Principle of Mathematical Company, New York, 1964 [24] W A Sadownicij, A S Pdkolzin, matematike, Nauka, Moskva, 1978 Analysis, McGraw - Hill Book Zadaci studenceskich olimpiad po [25] W Sierpinski, Arytmetyka teoratyczna, PWN, Warszawa, 1959 [26] W Sierpinski, Dzialania nieskonczone, Czytelnik, Warszawa, 1948 Tài liệu tham khảo [27] H Silverman, 1975 357 Complex variables, Houghton Mifflin Company, Boston, Studencceskije oimpiady, Erevanskogo [28] G A Tonojan, W N Sergeev, Universiteta, Erivan, 1985 m o c y p a k a p w a k w w ... phÇn tư cđa A 1. 1 .16 Chøng minh r»ng {cos n : n ∈ N} lµ trï mËt đoạn [1, 1] 1. 1 .17 Cho x R \ Z dÃy {xn } đ-ợc xác định x = [x] + 1 , x1 = [x1] + , , xn? ?1 = [xn? ?1 ] + x1 x2 xn 1. 1 Cận cận d-ới... gọn thành a0 + an 1| 1| 1| + + + |a1 |a2 |an a k w w 1. 1 .18 Cho c¸c sè thùc d-¬ng a1, a2, , an , ®Ỉt p0 = a0, q0 = 1, p1 = a0a1 + 1, q1 = a1, pk = pk? ?1 ak + pk−2 , qk = qk? ?1 ak + qk−2 , víi... a k a p 1. 1. 21 Chøng minh r»ng tËp {sin n : n ∈ N} lµ trï mËt [? ?1, 1] 1. 1.22 Sư dơng kết 1. 1.20 chứng minh với số vô tỷ x p tồn dÃy qn số hữu tỷ, với qn lẻ, cho n x (So s¸nh víi 1. 1 .14 .) a k