Một vài nét về kĩ thuật nhảy tầng lầu − Trần Phương 11 MỘT VÀI NÉT VỀ KĨ THUẬT NHẢY TÂNG LẦU Những bài toán dưới đây được trích từ kĩ thuật nhảy tầng lầu của tích phân. Kĩ thuật này là tách một tích phân có khoảng cách giữa bậc của tử và mẫu rất lớn thành 2 tích phân có khoảng cách giữa 2 bậc nhỏ hơn được mô tả theo sơ đồ: () [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ⎡ ⎤ +− − + − ==− ⎢ ⎥ ++ ++ ⎣ ⎦ ∫∫ ∫ ∫ nn nn dx 1 ux b ux b 1 ux b ux b dx dx dx 2b 2b xa xa xa xa Một số học sinh và giáo viên khi chưa hiểu biết đầy đủ thì cho rằng tên gọi kĩ thuật "nhảy tầng lầu" chỉ là câu chữ để tạo cảm xúc khi giảng bài nhưng họ chưa biết điều quan trọng nhất của kĩ thuật chính là nghệ thuật chọn hàm u(x). Ví dụ về nguyên tắc chúng ta có thể tính + ∫ 8 dx x 1 bằng phương pháp hệ số bất định có lời giải khoảng 2 trang giấy , nhưng nếu giải nó bởi 5 biến đổi dấu bằng với khoảng 3 dòng thì lại là một đẳng cấp khác… VD 1: ( ) ( ) ⎛⎞ +− − + − ==− ⎜⎟ +++ ⎝⎠ ∫∫ ∫∫ 22 2 2 444 1x1 x1 1x1 x1 dx dx dx 22 x1 x1 x1 1 4 dx I= x+1 ( ) ( ) () () 22 22 2 2 2 2 2 2 22 2 1 1 1 1 dx 11 dx 11 x x xx dx dx 11 22 1 1 x x x2 x2 x x x x 11 x 1 1 x x21 arctg ln c 2 2x222xx21 ⎡ ⎤ ⎛⎞ ⎛⎞ + +− − ⎜⎟ ⎢ ⎥ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎢ ⎥ =⎜ − ⎟= − ⎢ ⎥ ⎜⎟ ⎛⎞ + + −+ ⎜⎟ +− ⎜⎟ ⎢ ⎥ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎣ ⎦ ⎛⎞ −−+ =− + ⎜⎟ ⎜⎟ ++ ⎝⎠ ∫∫ ∫ ∫ VD 2: () () ( ) ()()() − == ⎡ ⎤ −++ −−+−+ ⎣ ⎦ ∫∫ ∫ 22 dx d x 1 x1x x1 x 1x1 3x13 2 3 dx I= x-1 () ()( ) () () 22 2 22 dt 1 t 3t 3 t 3t 1 dt t 3 dt dt 33t t3t3 tt 3t 3 tt 3t 3 ⎛⎞ ++− + + == =− ⎜⎟ ++ ⎝⎠ ++ ++ ∫∫ ∫∫ () ( ) ( ) 2 22 2 2 22 22 1dt12t3dt3 dt 1dt1dt3t33 dt 3t2 2 3t2 2 3 t3t3 t3t3 t3t3 3 t 2 4 11 t 2t 3 1 x 2x 1 1 2x 1 ln 3arctg c ln arctg c 32 6 t3t3 xx1 3233 ⎛⎞ ⎛⎞ +++ =− − =− − ⎜⎟ ⎜⎟ ++ ++ ++ ⎝⎠ ⎜⎟ ++ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎛⎞ +−+ + =−+=−+ ⎜⎟ ++ ++ ⎝⎠ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ Tuyển tập các chuyên đề và kĩ thuật tính tích phân − Trần Phương 12 VD 3: () () ( ) ()()() + == ⎡ ⎤ +−+ ++−++ ⎣ ⎦ ∫∫ ∫ 22 dx d x 1 x1x x1 x 1x1 3x13 3 3 dx I= x+1 () ()( ) () () 22 2 22 dt 1 t 3t 3 t 3t 1 dt t 3 dt dt 33t t3t3 tt 3t 3 tt 3t 3 ⎛⎞ −+− − − == =− ⎜⎟ − + ⎝⎠ −+ −+ ∫∫ ∫∫ () ( ) ( ) 2 22 2 2 1dt12t3dt3 dt 1dt1dt3t33 dt 3t2 2 3t2 2 3 t3t3 t3t3 t3t3 3 t 2 4 ⎛⎞ ⎛⎞ −−+ =− + =− + ⎜⎟ ⎜⎟ −+ −+ −+ ⎝⎠ ⎜⎟ −+ ⎜⎟ ⎝⎠ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ 2 2 11 t 2t 3 ln 3arctg c 32 t3t3 3 ⎛⎞ − =++ ⎜⎟ −+ ⎝⎠ 2 2 1x2x1 1 2x1 ln arctg c 6 xx1 23 3 ++ − = ++ −+ VD 4: ()() () ⎡⎤ ==−=− ⎢⎥ −+ ⎣⎦ −+ ∫∫ ∫∫ 23 33 33 dx 1 dx dx 1 II 22 x1 x1 x1x1 4 6 dx I= x-1 ()() ()() 22 22 22 22 1 1 x 2x1 1 2x1 1 x 2x1 1 2x1 ln arctg ln arctg 26 6 xx1 xx1 23 3 23 3 1 x 2x1x x1 1 2x1 2x1 ln arctg arctg c 12 43 3 3 x2x1xx1 ⎡⎤ ⎛⎞⎛⎞ −+ + ++ − =−−+ ⎢⎥ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ++ −+ ⎢⎥ ⎝⎠⎝⎠ ⎣⎦ −+ −+ + − ⎛⎞ =−++ ⎜⎟ ++ ++ ⎝⎠ VD 5 : ()( ) ( ) ( )( ) ()( ) +− − −++ − + − == + +−+ ∫∫ ∫ 44 42222 6 242 1x1 x1 1xx1x x1x1dx dx 22 x1 x1xx1 5 6 I dx = x+1 () () 22 3 2 2642 2 6 2 2 1 1dx 1 dx x dx x 1 dx 1 dx 1 d x x 1 223 x1 x1 xx1 x1 x1 x1 x ⎡ ⎤ ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎢ ⎥ ⎡⎤ − ⎝⎠ =+− =+− = ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎛⎞ ++−+ + + ⎣⎦ ⎢ ⎥ +− ⎜⎟ ⎢ ⎥ ⎝⎠ ⎣ ⎦ ∫∫∫ ∫ ∫∫ () ( ) ( ) () () 332 2 2 2 1 dx 1 arctg x 3arctgx arctg x 1 x x 3 1 x arctgx ln c 23 6 43 x x3 1 1 x3 x ⎡⎤ + +−+ ⎢⎥ +− = − + ⎢⎥ ++ +− ⎢⎥ ⎣⎦ ∫ VD 6: ( ) () ( ) ()() [] == = +− − ∫∫ ∫ ∫ 42 2 2 cos x dx d sin x d sin x cos x 1sinx1sinx 1sinx 6 3 dx I= cos x ()() ()() () () 2 2 11sinx1sinx 1 1 1 dsinx dsinx 4 1sinx1sinx 4 1sinx 1sinx ⎡⎤ ++− ⎛⎞ ==+ ⎜⎟ ⎢⎥ +− − + ⎝⎠ ⎣⎦ ∫∫ ()() () 222 2 1 1 1 2 sin x 1 1 sin x dsinx ln c 421sinx 1sinx 2cosx 1sinx 1sinx + ⎡⎤ =++ =++ ⎢⎥ − − −+ ⎣⎦ ∫ . Một vài nét về kĩ thuật nhảy tầng lầu − Trần Phương 11 MỘT VÀI NÉT VỀ KĨ THUẬT NHẢY TÂNG LẦU Những bài toán dưới đây được trích từ kĩ thuật nhảy tầng lầu. x2x1xx1 ⎡⎤ ⎛⎞⎛⎞ −+ + ++ − =− + ⎢⎥ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ++ −+ ⎢⎥ ⎝⎠⎝⎠ ⎣⎦ −+ −+ + − ⎛⎞ =−+ + ⎜⎟ ++ ++ ⎝⎠ VD 5 : ()( ) ( ) ( )( ) ()( ) +− − −+ + − + − == + +−+ ∫∫ ∫ 44 42222