ĐƯỜNG THẲNG_01

Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng Trang 1 TĐP 01: ĐƯỜNG THẲNG Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng dxy 1 :7170-+=, dxy 2 :50+-=. Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với dd 12 , một tam giác cân tại giao điểm của dd 12 , . · Phương trình đường phân giác góc tạo bởi d 1 , d 2 là: xyxy xy () xy () 1 2222 2 7175 3130 340 1(7)11 D D -++- é +-= =Û ê --= ë +-+ Đường thẳng cần tìm đi qua M(0;1) và song song với 1 D hoặc 2 D . KL: xy330+-= và xy310-+= Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng dxy 1 :250-+=. dxy 2 :36–70+=. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P(2; –1) sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d 1 và d 2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d 1 , d 2 . · d 1 VTCP a 1 (2;1)=- r ; d 2 VTCP a 2 (3;6)= r Ta có: aa 12 .2.31.60=-= uuruur nên dd 12 ^ và d 1 cắt d 2 tại một điểm I khác P. Gọi d là đường thẳng đi qua P( 2; –1) có phương trình: dAxByAxByAB:(2)(1)020-++=Û+-+= d cắt d 1 , d 2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh I Û khi d tạo với d 1 ( hoặc d 2 ) một góc 45 0 AB AB AABB BA AB 022 2222 2 3 cos453830 3 2(1) - é = Û=Û--=Û ê =- ë ++- * Nếu A = 3B ta có đường thẳng dxy:350+-= * Nếu B = –3A ta có đường thẳng dxy:350--= Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán. dxy:350+-=; dxy:350--=. Câu hỏi tương tự: a) dxy 1 :7170-+=, dxy 2 :50+-=, P(0;1) . ĐS: xy330+-=; xy310-+=. Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng dxy 1 :350++=, dxy 2 :310++= và điểm I(1;2)- . Viết phương trình đường thẳng D đi qua I và cắt dd 12 , lần lượt tại A và B sao cho AB 22= . · Giả sử AaadBbbd 12 (;35);(;31)--Î--Î ; IAaaIBbb(1;33);(1;31)=---=--+ uuruur I, A, B thẳng hàng bka IBkIA bka 1(1) 31(33) ì -=- Þ=Û í -+=-- î uuruur · Nếu a 1= thì b 1= Þ AB = 4 (không thoả). · Nếu a 1¹ thì b baab a 1 31(33)32 1 - -+=--Û=- - ABbaabtt 2 222 ()3()422(34)8 éù =-+-+=Û++= ëû (với tab=-). tttt 2 2 512402; 5 Û++=Û=-=- + Với tabba220,2=-Þ-=-Þ==- xy:10ÞD++= PP to trong mt phng Trn S Tựng Trang 2 + Vi tabba 2242 , 5555 -- =ị-=ị== xy:790ịD--= Cõu 4. Trong mt phng vi h trc to Oxy, cho hai ng thng dxy 1 :10++= , dxy 2 :210= . Lp phng trỡnh ng thng (d) i qua M(1;1) ct (d 1 ) v (d 2 ) tng ng ti A v B sao cho MAMB20+= uuuruuurr . ã Gi s: A(a; a1), B(b; 2b 1). T iu kin MAMB20+= uuuruuurr tỡm c A(1; 2), B(1;1) suy ra (d): x 1 = 0 Cõu 5. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im M(1; 0). Lp phng trỡnh ng thng (d) i qua M v ct hai ng thng dxy dxy 12 :10,:220++=+= ln lt ti A, B sao cho MB = 3MA. ã Ad AaaMAaa BdBbb MBbb 1 2 () (;1)(1;1) ()(22;) (23;) ỡ ỡ ẻ ù ỡ --=--- ị ớớớ ẻ- =- ợ ù ợ ợ uuur uuur . T A, B, M thng hng v MBMA3= ị MBMA3= uuuruuur (1) hoc MBMA3=- uuuruuur (2) (1) ị A dxy B 21 ; ():510 33 (4;1) ỡ ổử -- ù ỗữ ị--= ớ ốứ ù -- ợ hoc (2) ị ( ) A dxy B 0;1 ():10 (4;3) ỡ - ị--= ớ ợ Cõu 6. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im M(1; 1). Lp phng trỡnh ng thng (d) i qua M v ct hai ng thng dxy dxy 12 :350,:40--=+-= ln lt ti A, B sao cho MAMB230= . ã Gi s Aaad 1 (;35)-ẻ, Bbbd 2 (;4)-ẻ. Vỡ A, B, M thng hng v MAMB23= nờn MAMB MAMB 23(1) 23(2) ộ = ờ =- ở uuuruuur uuuruuur + ab a AB ab b 5 55 2(1)3(1) (1);,(2;2) 2 2(36)3(3) 22 2 ỡ ổử ù ỡ -=- = ị ớớ ỗữ -=- ợ ốứ ù = ợ . Suy ra dxy:0-=. + aba AB abb 2(1)3(1)1 (2)(1;2),(1;3) 2(36)3(3)1 ỡỡ -=--= ị- ớớ -=--= ợợ . Suy ra dx:10-= . Vy cú dxy:0-= hoc dx:10-= . Cõu 7. Trong mt phng vi h to Oxy, cho im M(3; 1). Vit phng trỡnh ng thng d i qua M ct cỏc tia Ox, Oy ti A v B sao cho OAOB(3)+ nh nht. ã PT ng thng d ct tia Ox ti A(a;0), tia Oy ti B(0;b): xy ab 1+= (a,b>0) M(3; 1) ẻ d Cụsi ab abab 3131 12.12 - =+ị. M OAOBabab332312+=+= ab a OAOB b ab min 3 6 (3)12 311 2 2 ỡ = ù ỡ = ị+= ớớ = == ợ ù ợ Phng trỡnh ng thng d l: xy xy1360 62 +=+-= Trn S Tựng PP to trong mt phng Trang 3 Cõu 8. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng thng D i qua im M(4;1) v ct cỏc tia Ox, Oy ln lt ti A v B sao cho giỏ tr ca tng OAOB+ nh nht. ã xy260+-= Cõu 9. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng thng d i qua im M(1; 2) v ct cỏc trc Ox, Oy ln lt ti A, B khỏc O sao cho OAOB 22 94 + nh nht. ã ng thng (d) i qua M(1;2) v ct cỏc trc Ox, Oy ln lt ti A, B khỏc O, nờn AaBb(;0);(0;) vi ab.0ạ ị Phng trỡnh ca (d) cú dng xy ab 1+=. Vỡ (d) qua M nờn ab 12 1+=. p dng bt ng thc Bunhiacụpski ta cú : abab ab 22 22 12132194 1.1.1 39 ổửổửổửổử =+=+Ê++ ỗữỗữỗữỗữ ốứốứốứốứ ab 22 949 10 + OAOB 22 949 10 + . Du bng xy ra khi ab 132 :1: 3 = v ab 12 1+= ab 20 10, 9 == ị dxy:29200+-=. Cõu 10. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng thng D i qua im M(3;1) v ct cỏc trc Ox, Oy ln lt ti B v C sao cho tam giỏc ABC cõn ti A vi A(2;2). ã xyxy360;20+-=--= Cõu 11. Trong mt phng vi h ta (Oxy). Lp phng trỡnh ng thng d qua M(2;1) v to vi cỏc trc ta mt tam giỏc cú din tớch bng S 4= . ã Gi AaBbab(;0),(0;)(,0)ạ l giao im ca d vi Ox, Oy, suy ra: xy d ab :1+= . Theo gi thit, ta cú: ab ab 21 1 8 ỡ += ù ớ ù = ợ baab ab 2 8 ỡ += ớ = ợ . ã Khi ab 8= thỡ ba28+=. Nờn: badxy 1 2;4:240==ị+-=. ã Khi ab 8=- thỡ ba28+=- . Ta cú: bbb 2 440222+-==- . + Vi ( ) ( ) bdxy222:1221240=-+ị-++-= + Vi ( ) ( ) bdxy222:1221240=--ị++-+=. Cõu hi tng t: a) MS(8;6),12= . S: dxy:32120--=; dxy:38240-+= Cõu 12. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im A(2; 1) v ng thng d cú phng trỡnh xy230+=. Lp phng trỡnh ng thng (D) qua A v to vi d mt gúc cú cos 1 10 = . ã PT ng thng ( D ) cú dng: axby(2)(1)0++= axbyab20++= ab 22 (0)+ạ Ta cú: ab ab 22 21 cos 10 5() a - == + 7a 2 8ab + b 2 = 0. Chon a = 1 ị b = 1; b = 7. ị ( D 1 ): x + y 1 = 0 v ( D 2 ): x + 7y + 5 = 0 PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Trang 4 Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2;1) và đường thẳng dxy:2340++=. Lập phương trình đường thẳng D đi qua A và tạo với đường thẳng d một góc 0 45 . · PT đường thẳng ( D ) có dạng: axby(–2)(1)0+-= Û axbyab–(2)0++= ab 22 (0)+¹. Ta có: ab ab 0 22 23 cos45 13. + = + Û aabb 22 52450--= Û ab ab 5 5 é = ê =- ë + Với ab5= . Chọn ab5,1== Þ Phương trình xy:5110 D +-=. + Với ab5 =- . Chọn ab1,5==- Þ Phương trình xy:530 D -+=. Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng dxy:220--= và điểm I(1;1) . Lập phương trình đường thẳng D cách điểm I một khoảng bằng 10 và tạo với đường thẳng d một góc bằng 0 45 . · Giả sử phương trình đường thẳng D có dạng: axbyc0++= ab 22 (0)+¹. Vì · d 0 (,)45 D = nên ab ab 22 2 1 2 .5 - = + ab ba 3 3 é = Û ê =- ë · Với ab3= Þ D : xyc30++=. Mặt khác dI(;)10 D = c4 10 10 + Û= c c 6 14 é = Û ê =- ë · Với ba3=- Þ D : xyc30-+=. Mặt khác dI(;)10 D = c2 10 10 -+ Û= c c 8 12 é =- Û ê = ë Vậy các đường thẳng cần tìm: xy360;++= xy3140+-=; xy380;--= xy3120-+=. Câu 15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M (0; 2) và hai đường thẳng d 1 , d 2 có phương trình lần lượt là xy320++=và xy340-+=. Gọi A là giao điểm của d 1 và d 2 . Viết phương trình đường thẳng đi qua M, cắt 2 đường thẳng d 1 và d 2 lần lượt tại B , C ( B và C khác A ) sao cho ABAC 22 11 + đạt giá trị nhỏ nhất. · AddA 12 (1;1)=ÇÞ- . Ta có dd 12 ^ . Gọi D là đường thẳng cần tìm. H là hình chiếu vuông góc của A trên D . ta có: ABACAHAM 2222 1111 +=³ (không đổi) Þ ABAC 22 11 + đạt giá trị nhỏ nhất bằng AM 2 1 khi H º M, hay D là đường thẳng đi qua M và vuông góc với AM. Þ Phương trình D : xy20+-=. Câu hỏi tương tự: a) Với M(1;2)- , dxy 1 :350++=, dxy 2 :350-+=. ĐS: xy:10 D ++=. Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng dxy():–3–40= và đường tròn Cxyy 22 ():–40+=. Tìm M thuộc (d) và N thuộc (C) sao cho chúng đối xứng qua điểm A(3; 1). · M Î (d) Þ M(3b+4; b) Þ N(2 – 3b; 2 – b) N Î (C) Þ (2 – 3b) 2 + (2 – b) 2 – 4(2 – b) = 0 Þ b b 6 0; 5 == Trn S Tựng PP to trong mt phng Trang 5 Vy cú hai cp im: M(4;0) v N(2;2) hoc M N 38684 ;,; 5555 ổửổử - ỗữỗữ ốứốứ Cõu 17. Trong mt phng ta Oxy, cho im A(1; 1) v ng thng D: xy2340++=. Tỡm im B thuc ng thng D sao cho ng thng AB v D hp vi nhau gúc 0 45 . ã D cú PTTS: xt yt 13 22 ỡ =- ớ =-+ ợ v VTCP u (3;2)=- r . Gi s Btt(13;22) D --+ẻ. AB 0 (,)45 D = ị ABu 1 cos(;) 2 = uuurr ABu ABu .1 . 2 = uuur r r t tt t 2 15 13 169156450 3 13 ộ = ờ --= ờ ờ =- ở . Vy cỏc im cn tỡm l: BB 12 3242232 ;,; 13131313 ổửổử -- ỗữỗữ ốứốứ . Cõu 18. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng thng dxy:360--= v im N(3;4) . Tỡm ta im M thuc ng thng d sao cho tam giỏc OMN (O l gc ta ) cú din tớch bng 15 2 . ã Ta cú ON (3;4)= uuur , ON = 5, PT ng thng ON: xy430-=. Gi s Mmmd(36;)+ẻ. Khi ú ta cú ONM ONM S SdMONONdMON ON 2 1 (,).(,)3 2 D D === mm mmm 4.(36)313 3924151; 53 +-- =+==-= + Vi mM1(3;1)=-ị- + Vi mM 1313 7; 33 ổử -- =ị- ỗữ ốứ Cõu 19. Trong mt phng to Oxy, cho im A(0;2) v ng thng dxy:220-+=. Tỡm trờn ng thng d hai im B, C sao cho tam giỏc ABC vuụng B v AB = 2BC . ã Gi s BbbCccd(22;),(22;)--ẻ. Vỡ D ABC vuụng B nờn AB ^ d d ABu.0= uuur r B 26 ; 55 ổử ỗữ ốứ ị AB 25 5 = ị BC 5 5 = BCcc 2 1 125300180 5 =-+= 5 5 cC cC 1(0;1) 747 ; 555 ộ =ị ờ ổử ờ =ị ỗữ ốứ ở Cõu 20. Trong mt phng to Oxy, cho hai ng thng dxy 1 :30+-=, dxy 2 :90+-= v im A(1;4) . Tỡm im BdCd 12 ,ẻẻ sao cho tam giỏc ABC vuụng cõn ti A. ã Gi BbbdCccd 12 (;3),(;9)-ẻ-ẻ ị ABbb(1;1)=--- uuur , ACcc(1;5)=-- uuur . D ABC vuụng cõn ti A ABAC ABAC .0 ỡ = ớ = ợ uuuruuur bcbc bbcc 2222 (1)(1)(1)(5)0 (1)(1)(1)(5) ỡ ---+-= ớ -++=-+- ợ (*) Vỡ c 1= khụng l nghim ca (*) nờn PP to trong mt phng Trn S Tựng Trang 6 (*) bc b c c bbcc c 2 2222 2 (1)(5) 1(1) 1 (5) (1)(1)(1)(5)(2) (1) ỡ +- -= ù - ù ớ - ù +++=-+- ù - ợ T (2) bc 22 (1)(1)+=- bc bc 2 ộ =- ờ =- ở . + Vi bc2=-, thay vo (1) ta c cb4,2== ị BC(2;1),(4;5) . + Vi bc=- , thay vo (1) ta c cb2,2==- ị BC(2;5),(2;7)- . Vy: BC(2;1),(4;5) hoc BC(2;5),(2;7)- . Cõu 21. Trong mt phng to Oxy, cho cỏc im A(0; 1) B(2; 1) v cỏc ng thng cú phng trỡnh: dmxmym 1 :(1)(2)20++=; dmxmym 2 :(2)(1)350++=. Chng minh d 1 v d 2 luụn ct nhau. Gi P = d 1 ầ d 2 . Tỡm m sao cho PAPB+ ln nht. ã Xột H PT: mxmym mxmym (1)(2)2 (2)(1)35 ỡ -+-=- ớ -+-=-+ ợ . Ta cú mm Dmm mm 2 31 12 20, 21 22 ổử -- ==-+>" ỗữ -- ốứ ị dd 12 , luụn ct nhau. Ta cú: AdBddd 1212 (0;1),(2;1),ẻ-ẻ^ ị D APB vuụng ti P ị P nm trờn ng trũn ng kớnh AB. Ta cú: PAPBPAPBAB 2222 ()2()216+Ê+== ị PAPB 4+Ê. Du "=" xy ra PA = PB P l trung im ca cung ằ AB P(2; 1) hoc P(0; 1) m 1= hoc m 2= . Vy PAPB+ ln nht m 1= hoc m 2= . Cõu 22. Trong mt phng to Oxy, cho ng thng (D): xy220= v hai im A(1;2)- , B(3;4) . Tỡm im Mẻ(D) sao cho MA MB 22 2 + cú giỏ tr nh nht. ã Gi s M MttAMttBMtt(22;)(23;2),(21;4) D +ẻị=+-=-- uuuruuur Ta cú: AMBMttft 222 215443()+=++= ị ftf 2 min() 15 ổử =- ỗữ ốứ ị M 262 ; 1515 ổử - ỗữ ốứ Cõu 23. Trong mt phng to Oxy, cho ng thng dxy:230-+= v 2 im AB(1;0),(2;1) . Tỡm im M trờn d sao cho MAMB+ nh nht. ã Ta cú: AABB xyxy(23).(23)300-+-+=> ị A, B nm cựng phớa i vi d. Gi A Â l im i xng ca A qua d ị A (3;2) Â - ị Phng trỡnh ABxy:570 Â +-=. Vi mi im M ẻ d, ta cú: MAMBMAMBAB ÂÂ +=+. M MAMB Â + nh nht A Â , M, B thng hng M l giao im ca A Â B vi d. Khi ú: M 817 ; 1111 ổử - ỗữ ốứ . . cho cho hai đường thẳng dxy 1 :250-+=. dxy 2 :36–70+=. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P(2; –1) sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d 1 và. cho điểm A(2;1) và đường thẳng dxy:2340++=. Lập phương trình đường thẳng D đi qua A và tạo với đường thẳng d một góc 0 45 . · PT đường thẳng ( D ) có dạng: