de thi hsg so 1

đề thi học sinh giỏi môn thi : toán (Thời gian 150 phút ) Câu 1: (3đ) a. Rút gọn biểu thức : A = 6 2 2 3 2 12 18 128 + + + b. Tìm GTNN của A = 2 2 20062 x xx + c. Giả sử x, y là các số thực dơng thoả mãn : x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = xy yx 11 33 + + Câu 2: (2đ) a. c/m : Với số dơng a thì ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 a a a a + = + + ữ + + b. Tính S = 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 1 2 2 3 2008 2009 + + + + + + + + + Câu 3: (3 đ)a) Tìm a , b , c biết a , b ,c là các số dơng và + + + 8 1 2 1 1 1 222 cba = abc 32 b) Tìm a , b , c biết : a = 2 2 1 2 b b + ; b = 2 2 1 2 c c + ; c = 2 2 1 2 a a + c. Cho a 3 + b 3 + c 3 = 3abc với a,b,c khác 0 và a + b+ c 0 Tính P = (2008+ b a )(2008 + c b ) ( 2008 + a c ) Câu 4: (2 đ) Giải hệ phơng trình 3 1) - xy )( y x ( 10 ) 1 y )( 1 x ( 22 =+ =++ Câu 5: (2đ) Cho tam giác ABC, các đờng phân giác BD, CE cắt nhau tại I thỏa mãn BD.CE = 2BI.CI. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông. Câu 6: (2đ) Cho tam giác MNP có ả à à 2M N P= + , và độ dài ba cạnh là ba số tự nhiên liên tiếp. Tính độ dài các cạnh của tam giác. Câu 7: (3đ) Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c. Giọi (I) là đờng tròn nội tiếp tam giác. Đờng vuông góc với CI tại I cắt AC, AB theo thứ tự ở M, N chứng minh rằng: a. AM.BN = IM 2 = IN 2 ; b. 2 2 2 1 IA IB IC bc ca ab + + = Câu 8: (2đ) Giải các phơng trình sau a) ) x 4 - 3 x 10( x 48 3 x 2 2 =+ ; b) 24 - 9 x - 1 x 4 x 2 =++ -------------------- Ht---------------------- Đáp án Câu 1:( 3 điểm): a.(1 điểm) Rút gọn : A= 6 2 2 3 2 12 18 128 + + + = 6 2 2 3 2 12 4 2 + + + = 6 2 2 3 4 2 3 + + (0,5 điểm) = 6 2 2 2 3 + = 6 2 4 2 3 + = ) ( 6 2 3 1 + = 3 1 + (0,5 điểm) b. (1 điểm) Tìm GTNN của A = 2 2 20062 x xx + A = 2 2 20062 x xx + = 1 - x 2 + 2 2006 x (0.25đ) = 2006 + 22 2006 1 2006 21 x x + 1 - 2006 1 (0.25đ) = 2006 2 2006 11 x + 2006 2005 2006 2005 (0.25đ) GTNN của P = 2006 2005 khi x = 2006 (0.25đ) c.(1 điểm) Ta có: (x + y) 3 = x 3 + y 3 + 3xy( x + y ) = 1 hay x 3 + y 3 + 3xy = 1 Thay vào biểu thc A ta có: A = xy xyyx yx xyyx 33 33 33 33 ++ + + ++ = xy yx yx xy 33 33 3 4 + + + + (0,5 điểm) áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: xy yx yx xy 33 33 3 4 + + + + 324. 3 24 33 33 += + + + xy yx yx xy Vậy A 324 + (0,25 điểm) minA = 324 + x = + 3 322 1 2 1 ; y = 3 322 1 2 1 (0, 25 )điểm) hoặc x = 3 322 1 2 1 ; y = + 3 322 1 2 1 Câu 2 : (2 điểm ) a/ Ta có : ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 a a a a a a a a + = + + + ữ ữ ữ + + + + Mà ( ) 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1a a a a a a a a = + = + + + + Do đó ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 a a a a + = + + ữ + + b/ áp dụng c/m câu a ta có : S = 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 2 2 3 2008 2009 + + + + + + = 1 2009 2009 Câu 3: (3đ) a) Tìm a , b , c biết a , b ,c là các số dơng và + + + 8 1 2 1 1 1 222 cba = abc 32 (Tổng 2 đ ) áp dụng bất đẳng thức côsi 1 1 2 + a 2 2 1 a = a 2 ( 0.25đ) Vì a ; b ; c là các số dơng 2 1 2 + b 2 2 2 b = 2 b 2 ( 0.25đ) 8 1 2 + c 2 2 8 c = c 24 ( 0.25đ) + + + 8 1 2 1 1 1 222 cba a 2 . 2 b 2 . c 24 = abc 32 ( 0.5 đ) + + + 8 1 2 1 1 1 222 cba = abc 32 = = = 8 1 2 1 1 1 2 2 2 c b a ( 0.25đ) = = = 4 2 2 2 1 c b a ( 0.5đ) b) Tìm a , b , c biết : a = 2 2 1 2 b b + ; b = 2 2 1 2 c c + ; c = 2 2 1 2 b a + ( tổng 2 đ ) Nhận xét các số a ; b ; c là các số dơng áp dụng bất đẳng thức cosi (0 .25đ) 1+ b 2 2b a = 2 2 1 2 b b + b b 2 2 2 = b (0 .5đ) 1 + c 2 2c b = 2 2 1 2 c c + c c 2 2 2 = c (0 .5đ) 1 + a 2 2a c = 2 2 1 2 b a + a a 2 2 2 = a (0 .5đ) Từ ( 1 ) ; ( 2 ) ; (3 ) ta có a = b = c và theo cosi thì a = b = c = 1 (0 .25đ) c) Cho a 3 + b 3 + c 3 = 3abc với a,b,c khác 0 và a + b+ c 0 ( tổng 2đ ) P = (2008+ b a )(2008 + c b ) ( 2008 + a c ) a 3 + b 3 + c 3 = 3abc ( a + b + c ) ( a 2 + b 2 + c 2 - ab - bc - ac ) = 0 (0.5 đ) a 2 + b 2 + c 2 - ab - bc -ac = 0 ( vì a + b + c 0 ) (0.25 đ) ( a- b ) 2 + ( b c ) 2 + ( c a ) 2 = 0 ( 0.5 đ ) a = b = c (0.25 đ) P = (2008+ b a )(2008 + c b ) ( 2008 + a c ) P = ( 2008 + 1 ) ( 2008 + 1 ) ( 2008 + 1 ) (0.25 đ) P = 2009 3 (0.25 đ) Câu 4:( 2 điểm ) Ta có hệ 3 1) - xy )( y x ( 10 ) 1 y )( 1 x ( 22 =+ =++ 3 1) - xy )( y x ( 10 1 y x yx 2222 =+ =+++ 3 1) - xy )( y x ( 10 1) - (xy y) (x 22 =+ =++ Đặt u = x + y ; v = xy - 1 hệ trở thành : 3 u.v 10 v u 22 = =+ 3 u.v 16 v) u ( 2 = =+ 3 u.v 4 v u = =+ c b a I E D C B A Nếu 3 u.v 4 v u = =+ thì ta có 1 v 3 u = = hoặc 3 v 1 u = = * với 1 v 3 u = = thì 1 1 - xy 3 y x = =+ 2 xy 3 y x = =+ (x ; y) = (2 ;1) ; (1 ; 2) * Với 3 v 1 u = = thì 3 1 - xy 1 y x = =+ 4 xy 1 y x = =+ nên x , y là 2 nghiệm của PT : t 2 - t + 4 = 0 có < 0 vô nghiệm hệ vô nghiệm trong trờng hợp này . Nếu 3 u.v 4 v u = =+ thì ta có 1- v 3- u = = hoặc 3- v 1- u = = * Với 1- v 3- u = = ta có 1- 1 - xy 3- y x = =+ 0 xy 3- y x = =+ (x ; y) = (- 3; 0) ; (0 ; - 3) * Với 3- v 1- u = = ta có 3- 1 - xy 1- y x = =+ 2- xy 1- y x = =+ (x ; y) = (-2 ; 1) ; (1; - 2) Tóm lại hệ đã cho có 6 nghiệm là (x ;y) = (2 ;1) ; (1 ; 2) ; (- 3; 0) ; (0 ; - 3) ; (-2 ; 1) ; (1; - 2) . B i 5: Ta có: BD.CE = 2BI.CI 1 . (1) 2 BI CI BD CE = Trong tam giác BEC ta có BI là phân giác của à B : CI BC EI BE = Theo tinh chất tỉ lệ thức CI BC CI EI BC BE = + + Hay CI BC CE BC BE = + (2) mà BE CB a BE a AE CA b c BE b = = = . . ac b BE ac a BE BE b a = = + (*) Thay (*) vào (2) ta đợc: CI a a b ac CE a b c a a b + = = + + + + (3) Tơng tự trong tam giác ABD ta có AI là phân giác của à A : 2 1 1 P DN M N M c b a I C B A (4) BI AB BI AB BI c ID AD BI CI AB AD BD c AD = = = + + + ab AD a c = + (2*) Thay (2*) vào (4) ta đợc: BI c a c ab BD a b c c a c + = = + + + + (5) Thay (3) và (5) vào (1) ta đợc: 2 2 2 2 1 . 2 2 2 2 2 2 2 2 a b a c a ab ac bc a b c ab ac bc a b c a b c + + = + + + = + + + + + + + + + 2 2 2 a b c= + Vậy tam giác ABC vuông tại A Câu 6: Trên cạnh PM lấy điểm D sao cho PD = PM Ta có: ả ả ả ả ả à ả ả 1 2 1 2 2 2 M M M D M N M M= + = + = + + (Vì ả 1 D là góc ngoài của tam giác MND) Do đó: ả à ả 2 2M N M= + Theo bài ra: ả à à 2M N P= + Suy ra à ả 2 P M= Do đó ta có: ( . )MNP DNM g g : MN NP DN MN = đặt NP = a: MP b: MN = c: Với a,b,c N Ta có: 2 ( ) (1) c a c a a b a b c = = Do các cạnh của tam giác MNP là ba số tự nhiên liên tiếp và a > b nên a b = 1 hoặc a b = 2 Nếu: a b = 1 thì a c = 2 Từ (1) ta có: 2 2 2c a c c= = + (vì a = c + 2) 2 ( 1) 2 1 1 c c c c = = = 2c = Nếu: a b = 2 thì a c = 1 khi đó ta có (1) 2 2 2( 1) ( 2) 2 1 2 c c c c c c = = + = = (Loại) Vậy MN = 2: MP = 3: NP = 4 Bài 7: a. Ta có: ã à ã à ã ã 0 0 90 ; 90 ; (1) 2 2 C C AMI BNI AMI BNI= + = + = Ta lại có: ã à à ả à 0 0 0 0 360 (180 ) 180 90 (2) 2 2 2 A B C C AIB + = = = Từ (1) và (2) suy ra: ã ã AMI BNI= = ã AIB (3) Từ (3) và giả thiết suy ra: AIB AMI BNI : : . . AM IN AM BN IM IN IM BN = = (3) Mà tam giác CMN cân tại C suy ra: IM=IN (4) (vì CI là đờng cao đồng thời là trung tuyến) Từ (3) và (4) suy ra: 2 2 .AM BN IM IN= = b. Ta có: AIB AMI : 2 2 . . . . AI AB AI AB AM AM AI AB AM AM AI AB AC AB AC AC = = = = Hay 2 AI b AM bc c = (5) Tơng tự: AIB BNI : 2 IB a CN ca a = (6) Trong tan giác vuông MIC ( 0 90I = $ ) 2 2 2 IC CM MI = Mà 2 .AM BN IM= (c/m câu a) 2 2 ( ) . ( )( ) ( )( ) .IC CA AM AM BN CA AM CA AM b AM a BN AM BN = = = (Vì CM = CN c/m trên) 2 . .IC ab a AM b BN = 2 1 IC BN AM ab a b = (7) Cộng hai vế của (5); (6) và (7) ta đợc: 2 2 2 1 IA IB IC bc ca ab + + = Câu 8: (2 đ) a. Điều kiện x 0 Phơng trình đã cho tơng đơng với ) x 4 - 3 x 10( x 16 9 x 2 2 = + 3 Đặt t = x 4 - 3 x t 2 = 3 8 - x 16 9 x 2 2 + PT trở thành : t 10 3 8 t 3 2 = + 3t 2 - 10t + 8 = 0 t = 2 hoặc t = 4/3 * với t = 2 thì x 4 - 3 x = 2 x 2 - 6x - 12 = 0 x = 21 3 * Với t = 4/3 thì x 4 - 3 x = 3 4 x 2 - 4x - 12 = 0 x = 6 ; x = - 2 Vậy phơng trình đã cho có 4 nghiệm là : x = 6 ; x = - 2 ; x = 21 3 b. PT : 24 - 9 x - 1 x 4 x 2 =++ ( ) 1 - 22 x - 1 2 x 2 2 = + 1 - 22 x - 1 2 x =+ Nếu 1 2 x + 0 x - 2 , PT trên trở thành x + 2 - 2x = 4 2 - 2 x = 4 - 4 2 thỏa mãn x - 2 nên x = 4 - 4 2 là nghiệm của phơng trình đã cho . Nếu 1 2 x + < 0 x < - 2 , PT trên trở thành -( x + 2) - 2x = 4 2 - 2 - 3x = 4 2 x = - 4 2 /3 , không thỏa mãn x < -2 nên loại Vậy phơng trình đã cho có nghiệm : x = 4 - 4 2 . Ta có : ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 a a a a a a a a + = + + + ữ ữ ữ + + + + Mà ( ) 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1a a a a a a a a =. 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 a a a a + = + + ữ + + b/ áp dụng c/m câu a ta có : S = 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 2 2 3 2008 2009 + + + + + + = 1 2009