Nghiên cứu thị trường tiền tệ bằng các phương pháp toán tài chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC NGUYỄN TIẾN KHANH NGHIÊN CỨU THỊ TRƯỜNG TIỀN TỆ BẰNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TỐN TÀI CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : Lý thuyết Xác suất Thống kê Toán học Mã số : 60 46 01 06 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS TRẦN HÙNG THAO HÀ NỘI - 2014 Mục lục Lời mở đầu Lời cám ơn Một số khái niệm mở đầu 1.1 Thị trường tài 1.2 Hợp đồng Quyền chọn (Option) 1.2.1 Khái niệm 1.2.2 Các loại Quyền chọn 1.2.3 Kiểu Quyền chọn: Hợp đồng Quyền chọn mua (Call Option) 1.3.1 Mua Quyền chọn mua 1.3.2 Bán Quyền chọn mua Hợp đồng Quyền chọn bán (Put Option) 1.4.1 Mua Quyền chọn bán 1.4.2 Bán Quyền chọn bán Hợp đồng ký kết trước hợp đồng giao sau, lãi suất định trước 1.5.1 Hợp đồng ký kết trước (Forward Contract) 1.5.2 Hợp đồng giao sau (Futures Contract) 1.5.3 Lãi suất định trước (Forward Rate) Mô hình Black - Scholes 1.6.1 Giới thiệu vài nét mơ hình kết 1.6.2 Mơ hình Black - Scholes 10 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Công thức Black - Scholes giá hợp đồng Quyền chọn mua 12 1.8 Quyền chọn cặp đôi (Parity Option) 13 1.8.1 Quyền chọn mua - bán cổ phần cặp đôi 13 1.8.2 Các Quyền chọn Mua - Bán tiền tệ cặp đôi (Put Call Parity for Currency Option) 14 1.9 Bảo hộ giá (Hedging) 16 MỤC LỤC ii 1.9.1 Bảo hộ giá 16 1.9.2 Bảo hộ giá hợp đồng Quyền chọn 16 1.9.3 Bảo hộ giá "Bảo đảm lãi suất bị chặn" 17 1.9.4 Bảo hộ giá biện pháp "Mua bán cổ phần cặp đôi" 17 1.9.5 Bảo hộ tương quan 18 Hợp đồng ký kết trước tiền tệ quyền chọn ngoại tệ 2.1 2.2 2.3 19 Thị trường, chế, lãi suất 19 2.1.1 Thị trường tiền tệ (Current Market) 19 2.1.2 Các chế buôn bán ngoại tệ 20 2.1.3 Lãi suất định trước 20 Hợp đồng ký kết trước tiền tệ (Currency forwards) 22 2.2.1 Hợp đồng ký kết trước (forward contract) 22 2.2.2 Tính giá định trước trao đổi ngoại tệ 24 2.2.3 Giải vấn đề 24 Các quyền chọn ngoại tệ, công thức Garman - Kohlhagen 25 2.3.1 Đặt vấn đề 25 2.3.2 Các ký hiệu 25 2.3.3 Các giả thiết 26 2.3.4 Thiết lập phương trình giá Quyền chọn 26 2.3.5 Các điều kiện biên 28 2.3.6 Công thức Garman - Kohlhagen 28 Quyền chọn mua bán tiền tệ cặp đôi Tỷ giá hối đối mơ hình lãi suất ngoại tệ 3.1 29 Quyền chọn mua bán tiền tệ cặp đôi ( Put - Call parity for currency option ) 29 3.1.1 Tại phải có phối hợp hợp đồng Quyền chọn bán hợp đồng Quyền chọn mua? 29 3.2 3.1.2 Đặt tình 30 3.1.3 Kế hoạch mua bán Quyền chọn 30 3.1.4 Công thức cặp đôi Mua - Bán 31 Tỷ giá hối đoái 31 3.2.1 Mở đầu 31 3.2.2 Tỷ giá hối đoái đảm bảo (GER: Guaranteed Exchange Rates) 3.2.3 Định giá hợp đồng ký kết trước Tỷ giá hối đoái đảm bảo 33 viết cổ phiếu (GER Forward on a stock) 33 MỤC LỤC 3.3 iii Mơ hình lãi suất ngoại tệ (Foreign Currency Interest - Rate Models) 38 Các hợp đồng chuyển đổi giá (Quanto) thị trường tiền tệ 42 4.1 Mở đầu 42 4.2 Mơ hình hợp đồng chuyển đổi giá Quanto 42 4.3 Sản phẩm tài buôn bán (Tradables) 43 4.4 Hợp đồng ký kết trước Quanto 45 4.5 Hợp đồng nhị phân (số hóa) 46 4.6 Quyền chọn mua 46 4.7 Bảo hộ giá trái phiếu tiền tệ 46 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 LỜI MỞ ĐẦU Tốn tài (Mathematical finance) ngành toán học ứng dụng nghiên cứu thị trường tài Tốn tài đời kỷ, đánh dấu cơng trình Louis Bachelier Lý thuyết đầu tài Mục đích Tốn tài dùng cơng cụ tốn học để nghiên cứu thị trường tài chính, nhằm giúp đưa cách định giá sản phẩm tài Các thị trường tài quan trọng thị trường cổ phiếu, thị trường trái phiếu, thị trường hợp đồng giao sau, thị trường hợp đồng Quyền chọn thị trường tiền tệ Trong đó, thị trường tiền tệ thị trường lớn thị trường tài Giá trị bn bán trao đổi thị trường tiền tệ toàn giới khoảng 530 nghìn tỷ USD ngày Vì lý quan trọng thị trường tiền tệ nên có nhiều phương pháp tốn tài định giá hợp đồng tiền tệ, tỷ giá hối đối, hợp đồng Quyền chọn tính theo nhiều tệ Trong nội dung luận văn em xin trình bày số phương pháp tốn học để nghiên cứu thị trường tiền tệ Nội dung luận văn gồm: Chương I Một số khái niệm mở đầu: nêu số khái niệm Quyền chọn; hợp đồng ký kết trước hợp đồng giao sau; mô hình Black - Scholes cơng thức Black - Scholes; Quyền chọn cặp đôi Chương II Hợp đồng ký kết trước tiền tệ quyền chọn ngoại tệ: vấn đề định giá trước trao đổi ngoại tệ; thiết lập phương trình giá Quyền chọn cơng thức Garman - Kohlhagen Chương III Quyền chọn mua bán tiền tệ cặp đơi, tỷ giá hối đối mơ hình lãi suất ngoại tệ: Quyền chọn mua bán tiền tệ cặp đơi; mơ hình lãi suất ngoại tệ Chương IV Các hợp đồng chuyển đổi giá (Quanto) thị trường tiền tệ: giới thiệu mơ hình chuyển đổi giá Quanto; bảo hộ giá trái phiếu tiền tệ LỜI CẢM ƠN Lời xin bày tỏ kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn PGS TS Trần Hùng Thao Thầy tận tình bảo, giúp đỡ, tạo điều kiện nhiều mặt cho tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu hồn luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn thầy Khoa Tốn - Cơ - Tin, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô tham gia giảng dạy cung cấp kiến thức khoa học q báu để tơi có tảng kiến thức thực luận văn Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên, tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập Hà Nội, tháng năm 2014 Học Viên Nguyễn Tiến Khanh Chương Một số khái niệm mở đầu Để định giá tài sản tài dựa tiền tệ, trước tiên ta phải nghiên cứu hợp đồng tài nói chung như: hợp đồng Quyền chọn (Option); hợp đồng ký kết trước (Forward) hợp đồng giao sau(Futures) 1.1 Thị trường tài Thị trường tài nơi diễn hoạt động giao dịch, mua bán, trao đổi sản phẩm tài ngắn hạn, trung hạn dài hạn Các thị trường tài quan trọng như: Thị trường cổ phiếu (Stock market), Thị trường trái phiếu (Bond market), Thị trường tiền tệ (currency market) Phái sinh tài công cụ phát hành sở công cụ tài có (trị giá cổ phiếu, lãi suất, hàng hóa .) nhằm nhiều mục tiêu phân tán rủi ro, bảo vệ lợi nhuận tạo lợi nhuận Sự biến động khó lường trị giá cổ phiếu, lãi suất, hàng hóa thị trường nguyên nhân gây rủi ro cho nhà đầu tư phi vụ mua, bán Để hạn chế thấp rủi ro thua lỗ xẩy ra, nghiệp vụ tài phái sinh hình thành Cho đến nay, công cụ phái sinh phong phú đa dạng, gồm có như: hợp đồng quyền chọn mua bán (options), hợp đồng ký kết trước (forward), hợp đồng tương lai (futures), Phái sinh tài đối tượng nghiên cứu Tốn tài 1.2 Hợp đồng Quyền chọn (Option) Lịch sử phát triển Quyền chọn Vào kỷ 19 ý tưởng quyền chọn lần đầu 1.2 Hợp đồng Quyền chọn (Option) tiên hình thành thị trường chứng khốn London Nhưng phải đến năm 1973 Quyền chọn thực mua bán, trao đổi thị trường quyền chọn Chicago (Mỹ) thông qua hợp đồng Quyền chọn với hai tiêu chí là: mức phí ngày hiệu lực 1.2.1 Khái niệm Hợp đồng Quyền chọn hợp đồng cho phép người mua có quyền, khơng bắt buộc, mua (Call) hay bán (Put): • Một số lượng xác định đơn vị tài sản sở • Tại hay trước thời điểm tương lai • Với mức giá xác định thời điểm ký kết hợp đồng Tại thời điểm xác định tương lai, người mua quyền thực không thực quyền mua (hay bán) tài sản sở Nếu người mua thực quyền mua (hay bán), người bán quyền phải bán (hay mua) tài sản sở Thời điểm xác định tương lai gọi ngày đáo hạn; thời gian từ ký hợp đồng Quyền chọn đến ngày toán gọi kỳ hạn Quyền chọn Mức giá xác định áp dụng ngày đáo hạn gọi giá thực (Strike Price) Bởi Quyền chọn tài sản tài nên có giá trị người mua phải trả khoản chi phí định mua Một số thuật ngữ liên quan Người mua Quyền: Là người bỏ chi phí để nắm giữ Quyền chọn có quyền yêu cầu người bán có nghĩa vụ thực quyền chọn theo ý Người bán Quyền: Người nhận chi phí mua Quyền người mua Quyền, có nghĩa vụ phải thực Quyền chọn theo yêu cầu người mua Quyền Tỷ giá thực hiện: Tỷ giá thực người mua Quyền chọn yêu cầu thực Quyền chọn Giá trị hợp đồng Quyền chọn: Trị giá tính theo loại ngoại tệ thị trường giao dịch Kỳ hạn Quyền chọn: thời gian hiệu lực Quyền chọn Quá thời hạn Quyền chọn không cịn hiệu lực Phí mua Quyền: Chi phí mà người mua Quyền phải trả cho người bán Quyền để nắm giữ hay sở hữu Quyền chọn 1.3 Hợp đồng Quyền chọn mua (Call Option) 1.2.2 Các loại Quyền chọn • Quyền chọn cho phép mua gọi Quyền mua (Call Option), Quyền chọn cho phép bán gọi Quyền chọn bán (Put Option) • Quyền chọn trao cho người mua (người nắm giữ) quyền, nghĩa vụ, mua tài sản sở vào thời điểm hay trước thời điểm tương lai với mức giá xác định • Quyền chọn trao cho người mua (người nắm giữ) quyền, nghĩa vụ, bán tài sản sở vào thời điểm hay trước thời điểm tương lai với mức giá xác định 1.2.3 Kiểu Quyền chọn: Kiểu giao dịch hai bên thỏa thuận cho phép người mua quyền lựa chọn thời điểm thực quyền Một số loại Quyền chọn phổ biến là: - Quyền chọn Châu Âu: loại Quyền chọn thực vào ngày đáo hạn hợp đồng khơng thực trước ngày - Quyền chọn Châu Mỹ: loại Quyền chọn thực vào thời điểm trước đáo hạn hợp đồng Ngồi ra, cịn có số Quyền chọn khác như: Quyền chọn Châu Á, Quyền chọn bị chặn, 1.3 Hợp đồng Quyền chọn mua (Call Option) Gọi T thời điểm đáo hạn, ST giá trị thị trường tài sản sở vào lúc đáo hạn, X giá thực thi VT giá trị nhận Quyền chọn vào lúc đáo hạn 1.3.1 Mua Quyền chọn mua Là kiểu hợp đồng Quyền chọn mà cho phép người mua hợp đồng (người giữ hợp đồng) có quyền, khơng phải nghĩa vụ, mua tài sản sở mức giá cố định vào thời điểm xác định tương lai (thường 3, hay tháng) Thực tế, nhà nhập thường mua Quyền chọn mua để đảm bảo mua ngoại tệ theo giá mong muốn Ngoài ra, nhà đầu tư thường ký hợp đồng mua Quyền chọn mua ngoại tệ Vào lúc đáo hạn, thực quyền, người mua mua tài sản sở với giá X Nếu mua thị trường người mua phải trả với giá ST 3.2 Tỷ giá hối đoái 35 Khoản tiền ST − K phải đổi sang đồng Euro với tỷ giá hối đoái XR (tỷ giá hối đoái XR ấn định hai bên đối tác vào thời điểm t = ) Nhưng XR chẳng cần có liên hệ với lãi suất chỗ tương lai Trong tình này, hợp đồng GER thực thi theo cung cách lạ Nó giống vụ đánh cuộc, XR đóng vai trị phe đánh • Trở lại việc định giá Quyền chọn theo Black - Scholes Theo Black - Scholes mơ hình cổ phiếu thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên: dS = µSdt + σSdB Mà lời giải phương trình chuyển động Brown hình học S(t) = S0 Ở đây, số hạng e− σ2 t µ− σ2 t+σBt eσBt khơng có tính dịch chuyển Như vậy, dịch chuyển chứa số hạng eµt Vì t cố định, ta thay Bt √ tZ ( với Z biến ngẫu nhiên chuẩn N (0, 1) ) ta viết S(t), X(t) dạng t S(t) = S0 erS t e−σS eσS Z t √ X(t) = X0 erX t e−σX eσX Z t √ (3.3) t (3.4) Do đó, ta khống chế dễ dàng độ dịch chuyển Các số hạng ngẫu nhiên Z Z hai biến ngẫu nhiên chuẩn N (0, 1) tương quan với • Tốc độ tăng trưởng giá cổ phiếu tính theo Việt Nam đồng Hai yếu tố đóng góp vào tốc độ tăng trưởng hay độ dịch chuyển giá cổ phiếu tính theo VND là: - Độ biến động đồng Euro - Tỷ giá hối đối Ta sử dụng mơ hình mà độ dịch chuyển tài sản rD Trước hết, ta đầu tư trực tiếp tiền Euro vào tài sản khác Sau 3.2 Tỷ giá hối đoái 36 thu tiền đầu tư lấy ngân hàng Châu Âu tiến hành hốn đổi thành tiền VND, có độ dịch chuyển rF + r − X Do rD = rF + r − X (3.5) • Giá trị trung bình cổ phiếu trị chơi cơng Do S(t) X(t) biến ngẫu nhiên không độc lập với nên để tìm độ dịch chuyển cổ phiếu ta phải tìm E S(t)X(t) đồng với độ dịch chuyển, dùng phương trình (3.3) ta có: 2 √ t E SX = S0 X0 e(rS +rX )t e−(σS +σX ) E e(σS Z+σX Z ) t Nhưng đại lượng ngẫu nhiên σS Z + σX Z có phân phối xác suất chuẩn với phương sai σS2 + 2σSX + σX Ta dùng luật eσZ trước: √ E e(σS Z+σX Z ) t 2 = e(σS +2σSX +σX )t Do đó, ta có phương trình: E S(T )X(T ) = e(σS +σX +σSX )T S0 X0 (3.6) Điều cho biết độ dịch chuyển cổ phiếu tính theo VND là: rS + rX + σSX Theo (3.5) độ dịch chuyển tài sản rD Ta cân độ dịch chuyển cổ phiếu nói với vế phải (3.5), ta có: rF + rX = rS + rX + σSX Do rF = rS + σSX Vậy E S(T ) = S0 erS T = S0 e(rF −σSX )T Đặt K = E S(T ) = S0 e(rF −σSX )T (3.7) Vì giá trung bình cổ phiếu tính theo VND, thời điểm T theo tỷ giá hối đoái thỏa thuận E XR S(T ) = XR S0 e(rF −σSX )T (3.8) 3.2 Tỷ giá hối đoái 37 Nên E XR S(T ) − XR K = (3.9) Như hợp đồng trò chơi cơng theo nghĩa giá trị trung bình Vào thời điểm toán T , người giữ hợp đồng phải trả KXR (VND) cho người bán hợp đồng nhận S(T )XR (EUR) Nhận xét: thực tế, người bán trả cho nhận từ người giữ hợp đồng ký kết trước khoản tiền là: S(T ) − K XR đồng Việt Nam Người mua hợp đồng ký kết trước GER viết chứng khoán (hoặc số chứng khoán) bảo hiểm rủi ro lãi suất tiền tệ • Định giá Quyền chọn bán GER Quyền chọn mua GER Để định giá Quyền chọn bán Quyền chọn mua GER viết cổ phiếu nước ngồi, ta làm tương tự với cổ phiếu nước Để định giá Quyền chọn mua Châu Âu dựa cổ phiếu khơng trả cổ tức, ta phải tìm giá trị trung bình của: max S(T ) − K, XR Khi đó, giá Quyền chọn là: E max S(T ) − K, XR e−rD T Ta cơng thức tính giá là: C = S(T )e(rF −σ)T N (d1 ) − KN (d2 )XR e−rD T (3.10) S(0) σ2 ln + rF − σSX + S T d1 = √ K σ T (3.11) S(0) σ2 d2 = √ ln + rF − σSX − S T K σ T (3.12) Trong đó, 3.3 Mơ hình lãi suất ngoại tệ (Foreign Currency Interest - Rate Models) 38 3.3 Mơ hình lãi suất ngoại tệ (Foreign Currency Interest - Rate Models) Chúng ta nghiên cứu trao đổi ngoại tệ, tìm hiểu thị trường lãi suất chưa nghiên cứu thị trường lãi suất theo ngoại tệ Bây giờ, nghiên cứu thị trường lãi suất theo ngoại tệ Chúng ta tưởng tượng nhà đầu tư tiền Đô-la hoạt động thị trường lãi suất tiền Đô-la tiền Bảng Anh Các đại lượng nghiên cứu là: Ký hiệu: P (t, T ) giá thị trường trái phiếu lãi suất tính theo Đô-la L(t, T ) lãi suất định trước đồng Đô-la vay trước thời điểm T ∂ log P (t, T ) ∂T L(t, T ) = − σ(t, T ) độ biến động L(t, T ) α(t, T ) độ dịch chuyển L(t, T ) rt lãi suất ngắn hạn đồng Đô-la (rt = L(t, t)) Bt trái phiếu tiền mặt tính theo Đơ-la (Bt = e t rs ds ) Q(t, T ) giá trái phiếu lãi suất tính theo đồng Bảng Anh g(t, T ) lãi suất định trước đồng Bảng Anh vay thời điểm T g(t, T ) = − ∂ log Q(t, T ) ∂T T (t, T ) độ biến động g(t, T ) β(t, T ) độ dịch chuyển g(t, T ) u(t) lãi suất ngắn hạn tính theo đồng bảng Anh (u(t) = g(t, t) D(t ) trái phiếu tiền mặt tính theo Bảng Anh (Dt = e t us ds Ct giá trị hoán đổi đồng Bảng Anh tính theo Đơ-la ρt biến động log tỷ giá hối đoái ) 3.3 Mơ hình lãi suất ngoại tệ (Foreign Currency Interest - Rate Models) 39 λt hệ số dịch chuyển tỷ giá hối đoái ( độ dịch chuyển dCt ) Ct Ở đây, làm việc với mơ hình n nhân tố điều khiển chuyển động Brown độc lập Wt1 , Wt2 , , Wtn Tất nhiên n chuyển động một, khơng cần Trong trường hợp độ biến động σ, T ρ véctơ n chiều σi (t, T ), Ti (t, T ) ρi (t) , i = 1, 2, , n Những có hai thị trường lãi suất khác ( thị trường tính theo Đơ-la thị trường tính theo địng Bảng Anh ), cộng vào thị trường liên kết chúng với Các mơ hình đa nhân tố, cách tiếp cận mơ hình đa nhân tố cần thiết phản ánh mức độ biến đổi tương quan chứng khoán khác ba thị trường Các vi phân ba trình là: n dt L(t, T ) = σi (t, T )dWti + α(t, T )dt (3.13) Ti (t, T )dWti + β(t, T )dt (3.14) i=1 n dt g(t, T ) = i=1 n dCt ρi (t)dWti + λt dt = Ct (3.15) i=1 Ngoài trái phiếu tiền mặt Đơ-la Bt chứng khốn bn bán Đơ-la thị trường gồm có trái phiếu Đơ-la Cụ thể giá tính theo Đơ-la trái phiếu đồng Bảng Anh giá tính theo Đơ-la trái phiếu tiền mặt theo đồng Bảng Anh Ta cố định T ký hiệu giá trị triết khấu tính theo Đơ-la ba chứng khốn X, Y, Z sau: Xt = Bt−1 P (t, T ) Yt = Bt−1 Ct Q(t, T ) Zt = Bt−1 Ct Dt Để đơn giản hóa biểu thức ta đưa vào ký hiệu T i (t, T ) =− σi (t, u)du t T Ti (t, T ) = − Ti (t, u)du t i, Ti , Ti sau: 3.3 Mơ hình lãi suất ngoại tệ (Foreign Currency Interest - Rate Models) 40 Ti (t, T ) = Ti (t, T ) + ρi (t) Khi đó, i (t, T ) số hạng W i - độ biến động P (t, T ), Ti (t, T ) giống Q(t, T ), Ti (t, T ) giống Ct Q(t, T ) Quy trình tiến hành theo ba bước để đáp ứng bảo hộ Bước tìm phép biến đổi độ đo mà độ đo Xt , Yt , Zt mac-tin-gan Với véctơ n chiều khả đoán γ = γi (t) n i=1 tồn độ đo Q chuyển động Brown tính theo Q W = big(Wt1 , Wt2 , , Wtn Ở t Wti = Wti + γi (s)ds i = 1, 2, , n với (3.16) Như vậy, phương trình vi phân ngẫu nhiên X, Y, Z Q là: n T (t, T )dWti + dXt = Xt i=1 ξ(t, T ) − α(t, u) du dt i n T Ti (t, T )dWti + νt + dYt = Yt (3.17) t η(t, T ) − β(t, T ) du dt (3.18) t i=1 n ρi (t)dWti + νt dt dZt = Zt (3.19) i=1 Ở ξ(t, T ), η(t, T ) νt định nghĩa bởi: n σi (t, u) γi (t) − ξ(t, T ) = i=1 (t, u) i n Ti (t, u) γi (t) − Ti (t, u) η(t, T ) = i=1 n νt = λt − rt + ut − ρi (t)γi (t) i=1 Khi đó, có độ đo Mac-tin-gan có γ mà làm cho X, Y Z trở nên khơng cịn độ biến động Điều xảy nếu: n σi (t, T ) γi (t) − α(t, T ) = i=1 (t, T ) i n Ti (t, u) γi (t) − Ti (t, u) β(t, T ) = i=1 n λt = rt − ut + ρi (t)γi (t) i=1 3.3 Mơ hình lãi suất ngoại tệ (Foreign Currency Interest - Rate Models) 41 Lúc độ đo Q thì: n (t, T )dWti + rt dt dt P (t, T ) = P (t, T ) i=1 (3.20) i n Ti (t, T )dWti + ut − dt Q(t, T ) = Q(t, T ) i=1 ρi (t)Ti (t, T ) dt (3.21) i n ρi (t)dWti + (rt − ut )dt dCt = Ct (3.22) i=1 Chừng độ đo Q bảo hộ (sự có véctơ độ biến động n chứng khốn bn bán theo Đơ-la làm nên ma trận khả nghịch) Một tài sản phái sinh X trả theo Đô-la thời điểm T có giá trị thời điểm t Vt = Bt EQ BT−1 X F (3.23) Nhà đầu tư đồng Bảng Anh (The Sterling Investor) Nhà đầu tư đồng Bảng Anh người làm việc với độ đo Mac-tin-gan khác L Q , điều có nghĩa đồng đương kim ông ta trái phiếu tiền mặt theo đồng Bảng Anh trái phiếu tiền mặt tính theo Đơ-la Đạo hàm Radon - Nikodym QL Q tỷ số giá trị tính theo Đơ-la trái phiếu Bảng Anh đồng đương kim Đơ-la Để chuẩn hóa ta lấy D0 = 1/C0 Điều có nghĩa là: EQ dQL Ft dQ = Ct Dt = Zt Bt Vì Zt thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên nên dZt = Zt (3.24) i ρi (t)dWti , hiệu số khác độ dịch chuyển chuyển động Brown W L tính theo độ đo QL chuyển động Brown W tính theo độ đo Q ρ Điều có nghĩa n Ti (t, T )dWiL (t) + ut dt dt Q(t, T ) = Q(t, T ) (3.25) i=1 phương trình dạng loại phương trình tổng quát phương trình HJM (Heath - Jarrow - Merton) Nhà đầu tư đồng Bảng Anh đồng ý với nhà đầu tư đồng Đô-la giá chi trả tương lai Chương Các hợp đồng chuyển đổi giá (Quanto) thị trường tiền tệ Trong chương tìm hiểu loại hợp đồng tiền tệ đặc biệt gọi hợp đồng chuyển đổi giá hay gọi theo tên quốc tế hợp đồng Quanto 4.1 Mở đầu Nhận xét: Giả sử ρ số nằm −1 1, −1 < ρ < q trình W (t) = ρW1 (t) + − ρ2 W2 (t) (4.1) chuyển động Brown ρ hệ số tương quan W (t) W1 (t) Nhận xét cho phép ta xây dựng nên hai chuyển động Brown ( W W1 ) có tương quan với nhau, xuất phát từ hai chuyển động Brown độc lập Ta giả sử tồn số sau đây: ◦ hệ số dịch chuyển µ γ ◦ độ biến động dương σ1 σ2 ◦ hệ số tương quan ρ: −1 < ρ < Khi đó, ta định nghĩa mơ hình Quanto sau 4.2 Mơ hình hợp đồng chuyển đổi giá Quanto Giá cổ phiếu St tính theo đồng Bảng Anh giá trị Ct (giá trị hoán đổi đồng Bảng Anh tính theo Đơ-la) đồng Bảng Anh trình ngẫu nhiên 4.3 Sản phẩm tài bn bán (Tradables) 43 xác định bởi: St = S0 exp σ1 W1 (t) + µt Ct = C0 exp ρσ2 W1 (t) + − ρ2 W2 (t) Ngồi ra, có trái phiếu tiền mặt tính theo Đơ-la Bt = exp rt trái phiếu tiền mặt tính theo Bảng Anh Dt = exp ut với lãi suất cố định dương r u Trước xem xét công cụ buôn bán tính theo Đơ-la, ta lưu ý đến tương quan St Ct Nếu ta viết mơ hình dạng véctơ, biến ngẫu nhiên véctơ (ln St , ln Ct ) có phân bố đồng thời phân bố chuẩn với véctơ kỳ vọng (ln S0 + µt, ln C0 + νt) ma trận phương sai T σ1 ρσ2 σ2 1− t ρ2 t σ1 ρσ2 σ2 1− ρ2 = σ12 ρσ1 σ2 ρσ1 σ2 σ22 t Điều có nghĩa ta đảm bảo độ biến động cố định σ1 cho St độ biến động σ2 cho Ct hệ số tương quan hai độ biến động ρ 4.3 Sản phẩm tài bn bán (Tradables) Theo trực quan vấn đề trao đổi ngoại tệ có ba loại tài sản tài bn bán được: ◦ Giá trị tính theo Đơ-la trái phiếu tiền mặt Bảng Anh (mệnh giá ghi theo Bảng Anh): Ct Dt ◦ Giá trị tính theo Đơ-la cổ phiếu có mệnh giá ghi theo Bảng Anh: Ct St ◦ Một đương kim (numeraire) tính theo Đơ-la, trái phiếu tiền mặt có mệnh giá ghi theo đương kim mà tính theo Đơ-la là: Bt Ta viết giá trị triết khấu theo đương kim hai tài sản ban đầu Yt = Bt−1 Ct Dt Zt = Bt−1 Ct St 4.3 Sản phẩm tài bn bán (Tradables) 44 Áp dụng cơng thức Itơ nhiều chiều ta có phương trình vi phân ngẫu nhiên sau dYt = Yt ρσ2 dW1 (t) + dZt = Zt σ1 +ρσ2 dW1 (t)+ 1 − ρ2 σ2 dW2 (t) + Big(ν + σ22 + u − r (4.2) 1 − ρ2 σ2 dW2 (t) +Zt µ+ν+ σ12 +ρσ1 σ2 + σ22 −r dt 2 (4.3) Ta tìm phép biến đổi độ đo để làm cho Yt Zt trở thành mac-tin-gan Muốn vậy, ta phải chọn véctơ γ(t) = γ1 (t), γ2 (t) cho   ν + σ2 + u − r γ1 (t) ρσ2 − ρ2 σ2   =   1 2 γ2 (t) σ1 + ρσ2 − ρ σ2 µ + ν + σ1 + ρσ1 σ2 + σ2 − r 2 (4.4) Tức           µ + σ12 + ρσ1 σ2 − u γ1 = σ1 (4.5)     ν + σ22 + u − r − ρσ1 σ2      γ2 = σ2 − ρ2 Véctơ (γ1 , γ2 ) dạng đại số phép biến đổi độ đo từ độ đo xác suất mặc định ban đầu P sang độ đo xác suất Q mà với Yt Zt trở thành mac-tin-gan Dưới xác suất trình St Ct có dạng: St = S0 exp σ1 W1 (t) + u − ρσ1 σ2 + σ12 t Ct = C0 exp ρσ1 W1 (t) + σ2 1 − ρ2 W2 (t) + r − u − σ22 t (4.6) (4.7) Trong đó, W1 W2 chuyển động Brown độ đo xác suất Q: t W1 (t) = W1 (t) + γ1 (s)ds (4.8) γ2 (s)ds (4.9) t W2 (t) = W2 (t) + 4.4 Hợp đồng ký kết trước Quanto 4.4 45 Hợp đồng ký kết trước Quanto Để định giá hợp đồng ký kết trước, cần phải biểu diễn lại giá cổ phiếu thời điểm T √ ST = exp − ρσ1 σ2 T F exp σ1 T Z − σ12 T (4.10) Trong đó, F giá định trước ST cổ phiếu tính theo tiền địa phương, với F = S0 euT Z biến ngẫu nhiên chuẩn độ đo xác suất Q Khi đó, giá hợp đồng ký kết trước tính theo Đơ-la thời điểm là: V0 = e−rT EQ (ST − k) = e−rT exp − ρσ1 σ2 T F − k (4.11) Để cho V0 = ta phải đặt k = exp − ρσ1 σ2 T F trường hợp khơng giống giá hợp đồng ký kết trước đơn F tính theo Bảng Anh Vì σ1 σ2 dương, rõ ràng giá hợp đồng ký kết trước Quanto lớn giá hợp đồng ký kết trước bình thường tương quan giá cổ phiếu tỷ giá hối đoái âm Điều thực có nghĩa, giả sử giá hợp đồng ký kết trước Quanto có giá trị với hợp đồng ký kết trước bình thường F Khi đó, ta xây dựng phương án đầu tư thời điểm cách: Mua vào C0 exp (r − u)T đơn vị hợp đồng ký kết trước có giá thực thi F Bán đơn vị hợp đồng ký kết trước đồng Bảng Anh bình thường có giá thực thi F Nếu giả thiết " giá định trước Quanto F " phương án nào? Ở thời điểm T , chiến lược đáp ứng tĩnh sản sinh số tiền tính theo Đơ-la là: C0 exp (r − u)T ST − F − CT ST − F = C0 exp (r − u)T − CT ST − F (4.12) Chú ý C0 exp (r − u)T tỷ giá hối đoái định trước CT , ta xét tác dụng mối tương quan âm Nếu giá cổ phiếu lúc kết thúc cao giá định trước tỷ giá hối đối thấp giá định trước nó, giá trị phương án đầu tư dương Và giá cổ phiếu lúc kết thúc thấp F , mà tỷ giá hối đoái lại cao giá định trước giá trị phương án dương Nếu giá định trước Quanto thực F điều kiện tạo độ chênh thị giá Với ρ < giá định trước Quanto phải lớn F 4.5 Hợp đồng nhị phân (số hóa) 4.5 46 Hợp đồng nhị phân (số hóa) Hợp đồng số hóa 1(ST >k) theo Đơ-la, có giá là: V0 = e−rT Q{ST > k} (4.13) Hay ta viết: FQ = F exp {−ρσ1 σ2 T } giá định trước Quanto V0 = e−rT Φ ln FQ − σ T k √2 σ1 T (4.14) Chắc chắn biến cố ngẫu nhiên "ST > k" độc lập với việc Quyền chọn chi phối đồng Bảng Anh hay đồng Đô-la Mỹ Thực ra, chiến lược đáp ứng khơng phải kỳ vọng theoP , định nên giá Quyền chọn 4.6 Quyền chọn mua Cuối cùng, ta tính giá Quyền chọn e−rT EQ ST − k V0 = e−rT FQ Φ ln FQ + σ T k √2 σ1 T ln − kΦ FQ − σ T k √2 σ1 T + bởi: (4.15) Điều khơng có lạ mơ hình lơga chuẩn Đây cơng thức Black - Scholes hợp đồng ký kết trước Quanto 4.7 Bảo hộ giá trái phiếu tiền tệ Giả sử nhà đầu tư muốn mua trái phiếu tiền tệ, nhà đầu tư phải đứng trước rủi ro lúc đổi tiền Để chống lại rủi ro đó, nhà đầu tư phải xem xét việc bảo hộ giá cho trái phiếu tiền tệ Bảo hộ giá thực chất loại hình bảo hiểm, phương tiện để giảm thiểu tối đa rủi ro tài Giả sử trái phiếu thu hồi thời điểm đáo hạn t = T với giá Q đồng ngoại tệ Để bảo hộ giá, nhà đầu tư phải tham gia vào hợp đồng ký kết trước đáo hạn thời điểm T Theo đó, nhà đầu tư phải trả cho phía đối tác 4.7 Bảo hộ giá trái phiếu tiền tệ 47 khoản tiền Q đồng ngoại tệ nhận phần số tiền ( theo cơng thức cặp đơi ) là: D = S0 e(RD −RF )T Q đồng tiền nội tệ Trong đó: RD : lãi suất khơng rủi ro nước RF : lãi suất không rủi ro nước S0 : giá chỗ thời điểm t = (S0 đơn vị tiền nội tệ = đơn vị tiền ngoại tệ) Thực tế trình bảo hộ giá diễn phức tạp, khơng đơn giản phương pháp trình bày Thay tham gia vào hợp đồng ký kết trước khoảng thời gian [0, T ] nhà đầu tư muốn sử dụng nhiều khoảng thời gian nhỏ Ta nêu khác biệt cách chi tiết mà từ khác biệt nhà đầu tư chọn biện pháp bảo hộ thích hợp Trước hết, ta xét định nghĩa sau: i) Một ngoại tệ gọi loại tiền cao giá (premium currency) lãi suất thấp lãi suất đồng tiền nội tệ ii) Một ngoại tệ gọi loại tiền thấp giá (discount currency) lãi suất cao lãi suất đồng tiền nội tệ Bây giờ, ta nêu khác biệt bảo hộ hợp đồng ký kết trước dài hạn bảo hộ ngắn hạn liên tiếp Chênh lệch Tiền giá cao Tiền giá thấp Dài hạn tốt Ngắn hạn tốt Chênh lệch nhiều Ngắn hạn tốt Dài hạn tốt Để kiểm tra bảng này, ta lấy yếu tố "chênh lệch ít" số hạng RD − RF < trị số tuyệt đối số hạng cịn nhỏ giá trị mà nhà đầu tư phải trả cho lần chuyển từ bảo hộ ngắn hạn sang bảo hộ ngắn hạn khác Đối với hợp đồng Quyền chọn tiền tệ việc nên bảo hộ hay khơng nên bảo hộ, bảo hộ bảo hộ với mức độ nhiều ý kiến tranh luận Nhưng dường người ta trí rằng, đầu tư thu nhập cố định cần phải tiến hành bảo hộ giá Kết luận Để nghiên cứu thị trường tài nói chung thị trường tiền tệ nói riêng, có nhiều phương pháp mơ hình Trong giới hạn luận văn tác giả nghiên cứu theo hướng "Giải tích ngẫu nhiên" số phương pháp Toán học phát triển khơng Việt Nam mơ hình để định giá tài sản phái sinh "Mơ hình Black - Scholes" Luân văn "Nghiên cứu thị trường tiền tệ phương pháp tốn tài chính" tác giả giới thiệu mơ hình Backs - Scholes để định giá tài sản phái sinh như: hợp đồng Quyền chọn ngoại tệ, hợp đồng ký kết trước hợp đồng giao sau ngoại tệ Luân văn nêu nội dung sau: Trình bày giới thiệu khái niệm hợp đồng Quyền chọn, hợp đồng ký kết trước hợp đồng giao sau; mơ hình cơng thức Black - Scholes Thiết lập phương trình Quyền chọn đưa công thức Garman - Kohlhagen để định giá hợp đồng Quyền chọn ngoại tệ; trình bày Quyền chọn mua bán tiền tệ cặp đôi; tỷ giá hối đối mơ hình lãi suất ngoại tệ Cũng giới hạn luận văn tác giả giới thiệu mơ hình chuyển đổi giá (Quanto) thị trường tiền tệ Mặc dù cố gắng, lĩnh vực nghiên cứu rộng với lực cá nhân hạn chế Vì vậy, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả luận văn mong nhận góp ý kiến q thầy bạn bè đồng nghiệp để luận văn hoàn chỉnh Tác giả xin chân thành cảm ơn! Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Hữu, Vương Quân Hoàng, 2004, Các phương pháp Tốn học tài chính, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Văn Tiến Ích, 2004, Thị trường chứng khoán, NXB Thống kê, Hà Nội [3] Trần Hùng Thao, 2000, Tích phân ngẫu nhiên Phương trình vi phân ngẫu nhiên, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội [4] Trần Hùng Thao, 2004, Nhập môn Tốn học Tài chính, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội [5] Trần Hùng Thao, 2013, Tốn Tài bản, NXB Văn hóa Thơng tin, Hà Nội [6] Đặng Hùng Thắng, 2009, Q trình ngẫu nhiên Tính toán ngẫu nhiên, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [7] Lê Văn Tư, 2003, Tỷ giá hối đoái, NXB Thống kê, Hà Nội [8] Martin Baxter Andrew Rennie, 1996, Finnancial Calculus: An Introduction to Derivative Pricing, Cambridge University Press, England [9] Tài liệu số trang web