Một số tìm hiểu tiếp theo về bổ túc xác suất : Luận văn ThS. Toán học: 60 46 01 06

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ DUNG MỘT SỐ TÌM HIỂU TIẾP THEO VỀ BỔ TÚC XÁC SUẤT LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Chuyên ngành : LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số : 60 46 01 06 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS PHAN VIẾT THƯ HÀ NỘI, 2014 Mục lục LỜI MỞ ĐẦU BẢNG KÝ HIỆU MARTINGALE VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 1.1 Kỳ vọng có điều kiện 1.1.1 Trường hợp rời rạc 1.1.2 Trường hợp Gauss 1.1.3 Hàm mật độ có điều kiện 1.1.4 Sự tồn tính 1.1.5 Các tính chất kì vọng có điều kiện 1.2 Lý thuyết Martingale 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Dừng tùy chọn 1.2.3 Các bất đẳng thức Doob 1.2.4 Định lý hội tụ 1.3 Các ứng dụng Martingale 1.3.1 Tổng biến ngẫu nhiên độc lập 1.3.2 Martingale không âm thay đổi độ đo 1.3.3 Xích Markov 1.3.4 Điều khiển ngẫu nhiên tối ưu QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN THỜI GIAN LIÊN TỤC 2.1 Quá trình ngẫu nhiên thời gian liên tục 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Quỹ đạo quy 2.1.3 Martingale với thời gian liên tục 2.2 Hội tụ yếu 8 8 9 11 13 13 14 15 18 21 21 22 25 27 29 29 29 30 32 35 2.2.1 2.2.2 2.2.3 Định nghĩa 35 Định lý Prohorov 36 Hội tụ yếu hàm đặc trưng 37 CHUYỂN ĐỘNG BROWN 3.1 Định lý Wiener 3.2 Tính bất biến 3.3 Martingale 3.4 Tính chất Markov mạnh 3.5 Thời điểm chạm 3.6 Tính chất quỹ đạo 3.7 Hồi quy thời 3.8 Chuyển động Brown toán Dirichle 3.9 Nguyên tắc bất biến Donsker ĐỘ ĐO NGẪU NHIÊN POISSON VÀ QUÁ TRÌNH LEVY 4.1 Độ đo ngẫu nhiên Poisson 4.1.1 Cấu trúc thuộc tính 4.1.2 Tích phân độ đo ngẫu nhiên Poisson 4.2 Quá trình Levy 4.2.1 Định nghĩa ví dụ 4.2.2 Định lý Levy-Khinchin Tài liệu tham khảo 39 39 41 42 44 46 46 48 50 54 58 58 58 60 63 63 64 67 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành với hướng dẫn tận tình nghiêm khắc PGS.TS Phan Viết Thư Thầy dành nhiều thời gian quý báu để hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi muốn tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới người thầy Tơi muốn gửi tới tồn thể thầy Khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy đảm nhận giảng dạy khóa Cao học 2011 - 2013, đặc biệt thầy cô tham gia giảng dạy nhóm Xác suất thống kê 2011 - 2013 lời cám ơn chân thành công lao dạy dỗ suốt thời gian khóa học Tơi xin cám ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp anh chị em nhóm Xác suất thống kê 2011 - 2013 quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện động viên tinh thần để tơi hồn thành khóa học LỜI MỞ ĐẦU Bổ túc xác suất trình chuyển tiếp từ khái niệm xác suất bản; lý thuyết độ đo để xây dựng lý thuyết xác suất đại thơng qua giải tích ngẫu nhiên Với khái niệm Lý thuyết Martingale, Xích Markov, Di động ngẫu nhiên, Quá trình ngẫu nhiên liên tục, Quá trình Wiener, làm sở để nghiên cứu tiếp trình ngẫu nhiên, phương trình vi phân ngẫu nhiên tiếp cận ứng dụng quan trọng lý thuyết xác suất tốn tài chính, phân tích chuỗi thời gian, lý thuyết dự báo, Đây lý để chọn đề tài: Một số tìm hiểu bổ túc xác suất Luận văn trình bày nhiều khái niệm học chương trình cao học học khái niệm, định lý, tính chất giới thiệu mà chưa có chứng minh đầy đủ Trong luận văn khái niệm, định lý, mệnh đề, tính chất chứng minh chặt chẽ Giúp tìm hiểu sâu Bổ túc xác suất Luận văn gồm có chương: Chương Martingale số ứng dụng Kỳ vọng có điều kiện: Trường hợp rời rạc, Trường hợp Gauss, hàm mật độ có điều kiện, tồn nhất, tính chất Martingale tham số rời rạc, martingale martingale trên, dừng tùy chọn, bất đẳng thức Doob, cắt ngang, định lý hội tụ, martingale ngược Các ứng dụng martingale: Tổng biến ngẫu nhiên độc lập, luật mạnh số lớn, đồng thức Wald, martingale không âm biến đổi độ đo, định lý Radon – Nikodym, định lý tích martingale Kakutani, kiểm tra tính vững tỷ số hợp lý, Xích Markov, điều khiển tối ưu ngẫu nhiên Chương Quá trình ngẫu nhiên thời gian liên tục Quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục: Tiêu chuẩn Kolmogorov, định lý quỹ đạo quy martingale, martingale với thời gian liên tục Hội tụ yếu R : hội tụ hàm phân phối, hội tụ hàm liên tục bị chặn, phép nhúng Skorokhod, định lý Helly, hàm đặc trưng, định lý liên tục Levy Chương Chuyển động Brown Chuyển động Brown: định lý Wiener, tính chất chia tỷ lệ phép đối xứng, Martingale liên quan đến chuyển động Brown, tính chất Markov mạnh, định luật phản xạ, thời gian va chạm, tính chất đường dẫn, phép hồi quy thời, chuyển động Brown toán Dirichle, nguyên tắc bất biến Donske Chương Độ đo ngẫu nhiên Poisson trình Levy Quá trình Levy: Cấu trúc túy bước nhảy q trình Levy tích phân độ đo ngẫu nhiên Poisson, luật chia vô hạn, định lý Levy – Khinchin Do thời gian gấp rút kiến thức cịn hạn chế nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, vậy, mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn bè đồng nghiệp, xin trân trọng cám ơn Hà Nội, tháng 08 năm 2014 BẢNG KÝ HIỆU M1 : Tập martingale khả tích Mp : Tập martingale bị chặn Lp với p > gi : Giá phát sinh chi phí lần tới i trước T fi : Giá phát sinh đến i ∈ ∂D Dn : Tập hợp số nguyên bội 2−n [0, ∞) h.c.c: hầu chắn Chương MARTINGALE VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 1.1 1.1.1 Kỳ vọng có điều kiện Trường hợp rời rạc Cho (Gi : i ∈ I) ký hiệu họ đếm biến cố không giao nhau, hợp chúng không gian xác suất Đặt G = σ (Gi : i ∈ I) Đối với biến ngẫu nhiên khả tích X, định nghĩa E(X |Gi ) 1Gi Y = i đặt E (X |Gi ) = E (X1Gi ) /P (Gi ) P (Gi ) > định nghĩa E (X |Gi ) cách tùy ý P (Gi ) = Khi dễ dàng thấy Y có tính chất sau: (a) Y G -đo được, (b) Y khả tích E (X1A ) = E (Y 1A ) với A ∈ G 1.1.2 Trường hợp Gauss Cho (W, X) biến ngẫu nhiên Gauss R2 Đặt G = σ (W) Y = aW + b, a, b ∈ R chọn để thỏa mãn: aE (W) + b = E (X) , a varW = cov (W, X) Khi E (X − Y ) = cov (W, X − Y ) = cov (W, X) − cov (W, Y ) = nên W X − Y độc lập Do Y thỏa mãn: (a) Y G -đo được, (b) Y khả tích E (X1A ) = E (Y 1A ) với A ∈ G 1.1.3 Hàm mật độ có điều kiện Giả sử U V biến ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời fU,V (u, v) R2 Khi U có hàm mật độ fU , xác định fU (u) = fU,V (u, v) dv R Hàm mật độ có điều kiện fV |U (v| u) V với U cho xác định fV |U (v| u) = fU,V (u, v)/fU (u) quy ước 0/0 = Cho h : R → R hàm Borel giả sử X = h (V ) khả tích Đặt g (u) = h (v) fV |U (v| u) dv R Đặt G = σ (U ) Y = g (U ) Khi Y thỏa mãn: (a) Y G -đo được, (b) Y khả tích E (X1A ) = E (Y 1A ) với A ∈ G Để chứng minh (b) ta ý với A ∈ G có dạng A = {U ∈ B}, với tập Borel B Khi đó, từ định lý Fubini, E (X1A ) = h (v) 1B (u) fU,V (u, v) d (u, v) R2 h (v) fV |U (v |u) dv fU (u) 1B (u) du = E (Y 1A ) = R 1.1.4 R Sự tồn tính Định lý 1.1 Cho X biến ngẫu nhiên khả tích G ⊆ F σ -đại số Khi tồn biến ngẫu nhiên Y cho: (a) Y G -đo được, (b) Y khả tích E (X1A ) = E (Y 1A ) với A ∈ G Hơn nữa, Y thỏa mãn (a) (b), Y = Y h.c.c Chúng ta gọi Y (một của) kỳ vọng có điều kiện X với G cho viết Y = E (X |G ) h.c.c Trong trường hợp G = σ (G) với biến ngẫu nhiên G đó, viết Y = E (X |G) h.c.c Ba ví dụ cho thấy làm xây dựng cụ thể kỳ vọng có điều kiện trường hợp đơn giản Nói chung, phải tiếp cận theo cách gián tiếp cho định lý Chứng minh (Tính nhất.) Giả sử Y thỏa mãn (a) (b) Y thỏa mãn (a) (b) với biến ngẫu nhiên khả tích X khác, với X ≤ X h.c.c Xét biến ngẫu nhiên không âm Z = (Y − Y ) 1A , A = {Y ≥ Y } ∈ G Khi E (Z) = E (Y 1A ) − E (Y 1A ) = E (X1A ) − E (X 1A ) ≤ nên Z = h.c.c, suy Y ≤ Y h.c.c Trong trường hợp X = X , suy Y = Y h.c.c (Sự tồn tại.) Khởi đầu giả sử X ∈ L2 (F) Do V = L2 (G) khơng gian đóng L2 (F), có X = Y +W với Y ∈ V W ∈ V ⊥ Khi đó, với A ∈ G, có 1A ∈ V , nên E (X1A ) − E (Y 1A ) = E (W1A ) = Do Y thỏa mãn (a) (b) Bây giả sử X biến ngẫu nhiên không âm Khi đó, Xn = X ∧ n ∈ L2 (F) ≤ Xn ↑ X n → ∞ Chúng ta phải chứng minh, với n, tồn Yn ∈ L2 (G) cho, với A ∈ G , E (Xn 1A ) = E (Yn 1A ) ≤ Yn ≤ Yn+1 h.c.c Cho Y = limn→∞ Yn , Y G -đo theo hội tụ đơn điệu, với A ∈ G , E (X1A ) = E (Y 1A ) Đặc biệt, E (X) hữu hạn E (Y ) Cuối cùng, biến ngẫu nhiên khả tích X nói chung, sử dụng cách xây dựng trước cho X − X + để thu Y − Y + Khi Y = Y + − Y − thỏa mãn (a) (b) 10 Chứng minh (b) Trong trường hợp ψ nghiệm bị chặn toán Dirichle Px (T < ∞) = với x ∈ D, có E TN x − ∆ ψ (Bt ) dt ↑ Ex T g (Bt ) dt ψ (BTN ) → f (BT ) h.c.c Vì vậy, hội tụ bị chặn, lim Ex ψ (BTN ) = Ex (f (BT )) N Do ψ (x) = φ (x) Chứng minh (c) Cho D0 tập mở bị chặn D đặt T0 = inf {t ≥ : Bt ∈ / D0 } Khi T0 thời điểm dừng T0 < ∞ h.c.c Đặt ˜t = BT +t , F˜t = FT +t T˜ = inf t ≥ : B ˜t ∈ B / D Chú ý T˜ < ∞ 0 ˜T¯ Bởi tính chất Markov mạnh, T < ∞ BT = B ˜ F˜t -chuyển động Brown, nên B t≥0 T˜ T0 x φ (x) = E g (Bt ) dt + 0 T0 x ˜t dt + f B ˜T¯ 1T¯ ε → 0≤t≤1 Khi F liên tục, nghĩa F S˜[N ] → F (B) xác suất, hội tụ bị chặn đủ Bởi luật mạnh số lớn Tn /n → h.c.c n → ∞ Vì vậy, N → ∞, N −1 sup |Tn − n| → h.c.c n≤N Do đó, với δ > 0, (N ) P sup T˜t − n/N > δ → n≤N Bởi định luật giá trị trung gian, với n/N ≤ t ≤ (n + 1)/N có (N ) (N ) = Bu với T˜n ≤ u ≤ T˜n+1 Do đó, (N ) S˜t (N ) S˜t − Bt > ε với t ∈ [0, 1] ⊆ T˜n(N ) − n/N > δ với n ≤ N ∪ |Bu − Bt | > ε với t ∈ [0, 1] |u − t| ≤ δ + 1/N = A1 ∪ A2 Đường dẫn (Bt )t≥0 liên tục [0, 1] Với ε > ta có tìm δ > cho P (A2 ) ≤ ε/2 N ≥ 1/δ Do đó, chọn N lớn cần, có P (A1 ) ≤ ε/2 Do đó, S˜(N ) → B [0, 1] xác suất 57 Chương ĐỘ ĐO NGẪU NHIÊN POISSON VÀ QUÁ TRÌNH LEVY 4.1 Độ đo ngẫu nhiên Poisson 4.1.1 Cấu trúc thuộc tính Với λ ∈ (0, ∞) nói biến ngẫu nhiên X Z+ Poisson tham số λ viết X ∼ P (λ) P (X = n) = e−λ λn n! Chúng ta viết X ∼ P (0) theo nghĩa X ≡ X ∼ P (∞) để X ≡ ∞ Mệnh đề 4.1 (Tính chất cộng) Cho Nk , k ∈ N biến ngẫu nhiên độc lập, với Nk ∼ P (λk ) với k Khi Nk ∼ P k (λk ) k Mệnh đề 4.2 (Tính chất tách) Cho N, Yn , n ∈ N biến ngẫu nhiên độc lập, với N ∼ P (λ) , λ < ∞ P (Yn = j) = pj , với j = 1, , k với n Đặt N Nj = 1Yn =j n=1 Khi N1 , , Nk dãy biến ngẫu nhiên với Nj ∼ P (λpj ) với j Cho (E, E, µ) khơng gian độ đo σ -hữu hạn Một độ đo ngẫu nhiên Poisson với cường l mt ỏnh x M : ì E → Z+ ∪ {∞} 58 thỏa mãn, với dãy (Ak : k ∈ N) tập rời E , (i) M (∪k Ak ) = M (Ak ), k (ii) M (Ak ) , k ∈ N biến ngẫu nhiên độc lập, (iii) M (Ak ) ∼ P (µ (Ak )) với k Kí hiệu E ∗ tập độ đo Z+ ∪ {∞}-giá trị E xác định, với A ∈ E, X : E ∗ × E → Z+ ∪ {∞} , XA : E ∗ → Z+ ∪ {∞} X(m, A) = XA (m) = m(A) Đặt E ∗ = σ (XA : A ∈ E) Định lý 4.1 Tồn độ đo xác suất µ∗ (E ∗ , E ∗ ) cho X độ đo ngẫu nhiên Poisson với cường độ µ Chứng minh (Tính nhất.) Với tập không giao A1 , , Ak ∈ E n1 , , nk ∈ Z+ , đặt A∗ = {m ∈ E ∗ : m (A1 ) = n1 , , m (Ak ) = nk } Khi đó, với độ đo µ∗ X độ đo ngẫu nhiên Poisson với cường độ µ, k ∗ e−µ(Aj ) µ(Aj )nj nj ! ∗ µ (A ) = j=1 Tập tập A∗ π - hệ sinh E ∗ , nghĩa µ∗ xác định E ∗ (Tồn tại.) Xét trường hợp λ = µ (E) < ∞ Tồn không gian xác suất (Ω, F, P) định nghĩa biến ngẫu nhiên độc lập N Yn , n ∈ N với N ∼ P (λ) Yn ∼ µ/λ với n Đặt N M (A) = 1Yn ∈A , A∈E (4.1) n=1 Dễ dàng kiểm tra, tính chất tách Poisson, M độ đo ngẫu nhiên Poisson với cường độ µ 59 Tổng quát hơn, (E, E, µ) σ -hữu hạn tồn tập khơng giao Ek ∈ E, k ∈ N cho ∪k Ek = E µ (Ek ) < ∞ với k Chúng ta xây dựng, khơng gian xác suất độ đo ngẫu nhiên Poisson độc lập Mk , k ∈ N với Mk có cường độ µ|Ek Đặt Mk (A ∩ Ek ), M (A) = A ∈ E k∈N Dễ dàng kiểm tra, tính chất cộng, M độ đo ngẫu nhiên Poisson với cường độ µ Luật µ∗ M E ∗ độ đo với tính chất yêu cầu 4.1.2 Tích phân độ đo ngẫu nhiên Poisson Định lý 4.2 Cho M độ đo ngẫu nhiên Poisson E với cường độ µ cho g hàm đo E Nếu µ(E) hữu hạn g khả tích, g (y) M (dy) X= E biến ngẫu nhiên định nghĩa tốt với E eiuX = exp eiug(y) − µ (dy) E Hơn nữa, g khả tích X E (X) = g (y) µ (dy), g(y)2 µ (dy) var (X) = E E Chứng minh Bây giả sử µ (E) < ∞ Khi M (E) hữu hạn hầu chắn nên X định nghĩa tốt Nếu g = 1A với A ∈ E X = M (A) nên X biến ngẫu nhiên Đây mở rộng tính tuyến tính cách lấy giới hạn với hàm độ đo g Khi giá trị E eiuX phụ thuộc vào luật µ∗ M E ∗ , giả sử M cho (4.1) Khi E e iuX iug(Y1 ) |N = n = E e n = e E 60 iug(y) µ (dy) λ n nên ∞ iuX E e E eiuX |N = n P (N = n) = n=0 ∞ iug(y) µ (dy) = e n=0 n λ E e−λ λn n! = exp eiug(y) − µ (dy) E Nếu g khả tích, cơng thức E(x) var(X) thu lập luận tương tự Nó giải trường hợp g khả tích µ (E) = ∞ Giả sử với g ≥ 0, X rõ xác định rõ Chúng ta thấy ≤ gn ↑ g với µ (|gn | > 0) < ∞ với n Kết luận định lý sau có hiệu cho tích phân Xn tương ứng Chú ý Xn ↑ X E (Xn ) ≤ µ (g) < ∞ với n Sau X biến ngẫu nhiên hội tụ đơn điệu, Xn → X L1 (P) Chú ý eiux − ≤ |µx| Chúng ta thu cơng thức mong muốn với X cách lấy giới hạn Cuối cùng, với hàm khả tích tổng quát g , có |g (y)| M (dy) = E E |g (y)| µ (dy) E nên X định nghĩa tốt Ngoài X = X+ − X− , X± = g (y) M (dy) {±g>0} X+ X− độc lập Do cơng thức X suy từ X± Bây cố định khơng gian có độ đo (E, E, K) hữu hạn kí hiệu µ tích độ đo tích (0, ∞) × E xác nh bi ((0, t] ì A) = tK (A) , t ≥ 0, A ∈ E ˜ = M −µ Cho M đo ngẫu nhiên Poisson với cường độ µ đặt M ˜ độ đo ngẫu nhiên Poisson bù với cường độ µ Khi đó, M Mệnh đề 4.3 Cho g hàm khả tích E Đặt ˜ (ds, dy) g (y) M Xt = (0,t]×E 61 Khi (Xt )t≥0 martingale cadlag với gia số độc lập dừng Hơn E eiuXt = exp t eiug(y) − − iug (y) K (dy) E g(y)2 K (dy) E Xt2 = t E Mệnh đề 4.4 Cho g ∈ L2 (K) (gn : n ∈ N) dãy hàm khả tích cho gn → g L2 (K) Đặt ˜ (ds, dy) gn (y) M Xtn = (0,t]×E Khi tồn martingale cadlag (Xt )t≥0 cho E sup |Xsn − Xs |2 →0 s≤t với t ≥ Hơn (Xt )t≥0 gia số độc lập dừng E eiuXt = exp t eiug(y) − − iug (y) K (dy) E ˜ (ds, dy) sử dụng với Xt , g khơng gn (y) M Kí hiệu (0,t]×E khả tích K Tất nhiên, (Xt )t≥0 không phụ thuộc lựa chọn dãy xấp xỉ (gn ) Đây ví dụ đơn giản tích phân ngẫu nhiên Chứng minh Cố định t > Bởi bất đẳng thức Doob L2 Mệnh đề 4.3, E sup |Xsn − Xsm |2 s≤t ≤ 4E (Xtn − Xtm )2 = 4t (gn − gm )2 dK → E n, m → ∞ Do Xsn hội tụ L2 với s ≤ t Với số dãy có sup |Xsnk − Xsnj | → h.c.c, s≤t j, k → ∞ Giới hạn hàm cadlag cadlag, nên có q trình cadlag (Xs )s≤t cho sup |Xsnk − Xs | → h.c.c s≤t 62 Do Xsn hội tụ L2 với s ≤ t, (Xs )s≤t martingale nên bất đẳng thức Doob L2 E sup |Xsn − Xs |2 ≤ 4E (Xtn − Xt )2 → s≤t Chú ý eiug − − iug ≤ u2 g 2 Do đó, với s < t có E eiu(Xt −Xs ) FsM n n = lim E eiu(Xt −Xs ) FsM n eiugn (y) − − iugn (y) K (dy) = lim exp (t − s) n E eiug(y) − − iug (y) K (dy) = exp (t − s) E thấy (Xt )t≥0 có gia số độc lập với hàm đặc trưng nêu 4.2 4.2.1 Quá trình Levy Định nghĩa ví dụ Một q trình Levy q trình cadlag với gia số độc lập dừng Một hệ Levy ba (a, b, K), a = σ ∈ [0, ∞) khuếch tán, b ∈ R trôi K độ đo Levy, độ đo Borel R với K(0) = ∧ |y|2 K (dy) < ∞ R Cho B chuyển động Brown M độ đo ngẫu nhiên Poisson vi cng trờn (0, ) ì R µ (dt, dy) = dtK (dy), mục trước Đặt ˜ (ds, dy) + yM Xt = σBt + bt + (0,t]×{|y|≤1} yM (ds, dy) (0,t]×{|y|>1} Khi (Xt )t≥0 q trình Levy và, với t ≥ 0, E eiuXt = etψ(u) ψ (u) = ibu − au2 + eiuy − − iuy1|y|≤1 K (dy) R 63 Suy ra, với hệ Levy có tương ứng với q trình Levy Hơn nữa, với (Xt )t≥0 khơi phục M M ((0, t] × A) = # {s ≤ t : Xs − Xs− ∈ A} khơi phục b σB Do phân phối q trình Levy (Xt )t≥0 xác định hệ Levy (a, b, K) 4.2.2 Định lý Levy-Khinchin Định lý 4.3 (Định lý Levy-Khinchin) Cho X q trình Levy Khi tồn hệ Levy (a, b, K) cho, với t ≥ 0, E eiuXt = etψ(u) (4.2) ψ (u) = ibu − au2 + eiuy − − iuy1|y|≤1 K (dy) (4.3) R Chứng minh Đầu tiên thấy hàm liên tục ψ : R → C với ψ (0) = cho (4.2) với u ∈ R với t = 1/n với n ∈ N Kí hiệu νn luật, φn hàm đặc trưng, X1/n Chú ý φn liên tục φn (0) = Kí hiệu In chứa khoảng mở lớn |φn | > Có hàm liên tục ψn : In → C cho ψn (0) = φn (u) = eψn (u)/n , u ∈ In Do X trình Levy, ta có (φn )n = φ1 , nên In = I ψn = ψ1 với n Viết I = I1 ψ = ψ1 Khi φn → I n → ∞ φn = ∂I với n Bởi lập lập sử dụng Định lý 2.11, (νn : n ∈ N) chặt nên với dãy φnk → φ R, với hàm đặc trưng φ Ảnh hưởng ∂I = ∅ nên I = R Chúng ta thấy (4.2) với t ∈ Q+ Từ X cadlag, mở rộng với t ∈ R+ sử dụng Xt = lim X2−n 2n t n→∞ Cịn phải chứng tỏ ψ viết dạng (4.3) Chú ý tìm đại diện tương tự 1|y|≤1 thay χ (y) với số hàm liên tục χ với 1|y|≤1 ≤ χ (y) ≤ 1|y|≤2 64 Chúng ta có eiuy − nνn (dy) = n (φn (u) − 1) → ψ (u) R n → ∞, compact u Do (1 − cos uy) nνn (dy) → −Reψ (u) R Bây có số C < ∞ cho y 1|y|≤1 ≤ C (1 − cos y) 1/λ 1|y|≤λ ≤ Cλ (1 − cos uy) du, λ ∈ (0, ∞) Đặt ηn (dy) = n ∧ y νn (dy) Khi đó, cho n → ∞, y 1|y|≤1 nνn (dy) ηn (|y| ≤ 1) = R ≤C (1 − cos y) nνn (dy) → −CReψ (1) R và, với λ ≥ 1, ηn (|y| ≥ λ) = 1|y|≥λ nνn (dy) R 1/λ (1 − cos uy) nνn (dy) du ≤ Cλ R 1/λ → −Cλ Reψ (u) du Chú ý rằng, ψ (0) = 0, giới hạn cuối nhỏ tùy ý cách chọn λ đủ lớn Do đó, dãy (ηn : n ∈ N) bị chặn tổng khối lượng lớn chặt Bởi định lý Prohorov, có dãy (nk ) độ đo hữu hạn η R cho ηnk (θ) → η (θ) với hàm liên tục bị chặn θ R Bây eiuy − nνn (dy) = R eiuy − R = R = ηn (dy) ∧ y2 eiuy − − iuyχ (y) ηn (dy) + ∧ y2 θ (u, y) ηn (dy) + iubn R 65 iuyχ (y) ηn (dy) R 1∧y θ (u, y) = eiuy − − iuyχ (y) −u2 2, ∧ y2 , y = y = yχ (y) η (dy) n R 1∧y bn = Bây giờ, với u, θ (u, ) hàm bị chặn Vì vậy, cho k → ∞, θ (u, y) ηnk (dy) → R θ (u, y) η (dy) R = R K (dy) = ∧ y eiuy − − iuyχ (y) K (dy) − au2 −1 1y=0 η (dy) , a = η ({0}) Khi bnk phải hội tụ đến b ta thu dạng ψ (u) = ibu − au2 + eiuy − − iuyχ (y) K (dy) R 66 Tài liệu tham khảo [1] Đào Hữu Hồ (1998), Xác suất thống kê, NXB Đại học Quốc gia Hà nội [2] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2006), Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Duy Tiến, Đặng Hùng Thắng (2001), Các mơ hình xác suất ứng dụng, Phần II: Quá trình dừng ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Nguyễn Duy Tiến (2000), Các mô hình xác suất ứng dụng, Phần I: Xích Markov ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà nội [5] Nguyễn Duy Tiến (2001), Các mơ hình xác suất ứng dụng, Phần III: Giải tích ngẫu nhiên, NXB Đại học Quốc gia Hà nội [6] Trần Hùng Thao (2000), Tích phân ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên, NXB Giáo dục [7] Đặng Hùng Thắng (2012), Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc gia Hà nội [8] L.C.G.Rogers and D.Williams (1994), Diffusions, Markov processes and Martingales Vol.I (2nd edition) [9] D.Williams (1991), Probability with Martingales, Cambridge University Press [10] Morters and Peres (2010), Brownian Motion, Cambridge [11] J.R.Norris, Advanced Probability, University of Cambridge 67