Một số vấn đề xung quanh các bài toán hit và đối đồng điều của đại số Steenrod

Mẫu 04/ĐTCS oa häc t ùnhiª n ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ®¹ i häc kh BÁO CÁO TỔNG KẾT KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP CƠ SỞ Tên đề tài: Một số vấn đề xung quanh toán hit đối đồng điều đại số Steenrod Mã số đề tài: TN.1802 Chủ nhiệm đề tài: TS Võ Thị Như Quỳnh Hà Nội, tháng năm 2019 Mẫu 04/ĐTCS PHẦN I THÔNG TIN CHUNG Tên đề tài: Một số vấn đề xung quanh toán hit đối đồng điều đại số Steenrod Mã số: TN.18.02 Danh sách cán thực đề tài: Vai trò thực đề tài (Chủ nhiệm/Tham gia) TT Học vị, họ tên Đơn vị công tác TS Võ Thị Như Quỳnh Khoa Toán- Cơ – Tin học Chủ nhiệm ThS Lưu Xuân Trường Khoa Toán- Cơ – Tin học Tham gia CN Nguyễn Đức Ngà Khoa Toán- Cơ – Tin học Tham gia Đơn vị chủ trì thực hiện: Thời gian thực hiện: 5.1 Theo hợp đồng: từ tháng 06 năm 2018 đến tháng 06 năm 2019 5.2 Gia hạn (nếu có): đến tháng 12 Năm 2019 5.3 Thực thực tế: từ tháng 06 năm 2018 đến tháng 12 năm 2019 Tổng kinh phí phê duyệt đề tài: 25 triệu đồng Những thay đổi so với thuyết minh ban đầu (nếu có) (Về mục tiêu, nội dung, phương pháp, kết nghiên cứu tổ chức thực hiện; nguyên nhân; ý kiến Trường ĐHKHTN) PHẦN II TỔNG QUAN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Viết theo cấu trúc báo khoa học tổng quan từ 6-15 trang, nội dung gồm phần: Đặt vấn đề Các đối tượng nội dung đề tài có mối liên hệ chặt chẽ với đối tượng mục tiêu Nhóm nghiên cứu mạnh Tôpô đại số Đề tài nhằm khai thác khía cạnh nghiên cứu Dạng đại số giả thuyết cổ điển lớp cầu Trong q trình thực đề tài, chúng tơi nhận giúp đỡ nhiệt tình đồng nghiệp Đặc biệt, xin chân thành cảm ơn GS.TSKH Nguyễn Hữu Việt Hưng khích lệ góp ý cho nhóm thực nghiên cứu đề tài Mục tiêu phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu đối đồng điều đại số Steenrod thông qua tác động toán tử Steenrod song bậc, biểu diễn modular nhóm tuyến tính tổng qt; cấu trúc H-đại số đối ngẫu đại số Dickson; tính H-đồng cấu ánh xạ Lannes-Zarati từ Mẫu 04/ĐTCS nghiên cứu Dạng đại số giả thuyết lớp cầu Tổng quan tài liệu Đối đồng điều đại số Steenrod trang E_2 dãy phổ Adam hội tụ tới nhóm đồng luân ổn định mặt cầu Từ nghiên cứu cấu trúc đối đồng điều đại số Steenrod thu hút nhiều quan tâm nhà khoa học [Adams60] J F Adams, On the non-existence of elements of Hopf invariant one, Ann of Math 72 (1960), 20 104 Đã có số hướng nghiên cứu đối đồng điều đại số Steenrod, H^*(A), hướng trực tiếp nhằm xác định cấu trúc cụ thể, hướng gián tiếp nghiên cứu thông qua lý thuyết biểu diễn modular nhóm tuyến tính tổng quát trường hữu hạn…Năm 1962, Liulevicius phát tồn toán tử Steenrod song bậc H^*(A) với trường hệ số có đặc số lẻ, sau May [May1970] xây dựng cho trường hệ số chẵn cho đối đồng điều đại số Hopf Các toán tử trang bị cho H^*(A) cấu trúc H-đại số [Liulevicius] A Liulevicius, The factorization of cyclic reduced powers by secondary cohomology operations Mem Amer Math Soc 42(1962) [May1970] J P May, A general algebraic approach to Steenrod operations, Lecture Notes in Mathematics 168, Springer, Berlin (1970), 153-231 [Uehara] Uehara, Hiroshi, Algebraic Steenrod operations in the spectral sequence associated with a pair of Hopf algebras, Osaka J Math 9(1972), 131-141 [Zachariou] A Zachariou, On cup-$i$-products in the cobar construction on $F(A^*)$, Univ of Manchester, 1966 Giả thuyết cổ điển lớp cầu nói đồng cấu Hurewicz từ nhóm đồng luân ổn định mặt cầu 0-chiều S^0 tới đồng cầu Q_0Q^0 phát bất biến Hopf bất biến Kervaire Trong [NHVHưng97] đưa cách hướng nghiên cứu giả thuyết cổ điển thông qua nghiên cứu đồng cấu Lannes-Zarati, xây dựng [Lannes-Zarati87] từ đối đồng điều đại số Steenrod tới đối ngẫu đại số Dickson, phân bậc liên kết đồng cấu Hurewicz Ông đưa giả dạng đại số giả thuyết cầu nói đồng cấu Lannes-Zarati có thứ lớn triệt tiêu phần tử có bậc dương Cho đến nay, có nhiều nhà khoa học công đưa số khẳng định cho giả thuyết [NHVHưng97] Nguyễn H V Hưng, Spherical classes and the algebraic transfer, Trans Amer Math Soc 349 (1997), 3893 3910 [Lannes-Zarati87} J Lannes and S Zarati, Sur les foncteurs d\'eriv\'es de la d\'estabilisation, Math Zeit 194 (1987), 25 59 Đồng cấu Lannes-Zarati đồng cấu đại số (trong [HưngPeterson]) giao hoán với toán tử Sq^0 (trong [NHVHưng2003]) [Hưng-Peterson] Nguyễn H V Hưng and F P Peterson, Spherical classes and the Dickson algebra, Math Proc Camb Phil Soc 124 (1998), 253 264 [NHVHưng2003] Nguyễn H V Hưng On triviality of Dickson invariants in the homology of the Steenrod algebra Math Proc Camb Phil Soc 134 (2003), 103– 113 Năm 2008, W.M Singer chứng minh tồn toán tử Steenrod Mẫu 04/ĐTCS song bậc tác động vành hàm đối xứng cho vành có cấu trúc Hđại số W M Singer, Rings of symmetric functions as modules over the Steenrod algebra, Algebraic \& Geometric Topology (2008), 541 562 Cách tiếp cận phương pháp nghiên cứu Chúng nghiên cứu đồng cấu Lannes-Zarati mối quan hệ với toán tử Steenrod song bậc đối đồng điều đại số Steenrod Trên sở đó, chúng tơi nghiên cứu Dạng đại số giả thuyết lớp cầu Phương pháp nghiên cứu dựa kỹ thuật xây dựng toán tử Steenrod song bậc đối đồng điều đại số Steenrod Liulevicus vành hàm đối xứng Singer Bên cạnh đó, vận dụng xây dựng mức độ dây chuyền đồng cấu Lannes-Zarati Nguyễn H.V Hưng báo “Spherical classes and the lambda algebra, Trans Amer Math Soc 11(2001, 4447-4460” Nội dung kết nghiên cứu Các nội dung nghiên cứu đề tài trình bày chương tương ứng sau đây: Chương 1: Toán tử Steenrod song bậc đối ngẫu đại số Dickson Liulivicicus [1962] người phát tồn toán tử tác động đối đồng điều đại số Steenrod có hầu hết tính chất tốn tử Steenrod cổ điển, ngoại trừ thành phần bậc không ánh xạ đồng Các toán tử kết nối phần tử bậc đồng điều thấp với phần tử có bậc cao hơn, làm cho đối đối đồng đại số Steenrod đại số trường hệ số mà cịn đại số đại số H Sau Kahn [1970] toán tử phần tử có chu trình vĩnh cữu hội tụ tới phân bậc tương ứng toán tử đồng điều dãy phổ Adams Đối ngẫu đại số Dickson bao gồm đối bất biến tác động nhóm tuyến tính tổng qt đồng điều nhóm 2-abel sơ cấp hạng hữu hạn H_*(V) Do đó, có cấu trúc môđun đại số Steenrod Nguyễn H Hưng [2003] tồn toán tử Steenrod song bậc bậc đối ngẫu đại số Dickson tương thích với tốn tử tương ứng đối đồng điều đại số Steenrod thông qua đồng cấu Lannes-Zarati Dáng điệu toán tử khảo sát cụ thể mang lại ứng dụng hiệu nghiên cứu Dạng đại số giả thuyết cổ điển lớp cấu Singer [2008] chứng minh tồn toán tử Steenrod song bậc vành hàm đối xứng Ông không tồn tác động tốn tử đối đồng điều nhóm 2-abel sơ cấp hạng hữu hạn Trong đề tài này, chúng tơi tập trung nghiên cứu tồn (nếu có, phủ định) toán tử Steenrod song bậc đối ngẫu đại số Dickson Các kết đạt bao gồm: Chứng minh tồn toán tử Steenrod song bậc đối ngẫu đại số Dickson, chúng giao hoán với tốn tử Steenrod cổ điển, tương thích với tốn tử vành hàm đối xứng Chứng minh toán tử bậc dương tác động tầm thường phần tử “nguyên thủy”, bị triệt tiêu tốn tốn tử Steenrod bậc dương, có bậc Mẫu 04/ĐTCS đồng điều >2 Toán tử bậc đẳng cấu phần tử tương ứng có bậc đồng điều Chương 2: Đồng cấu Lannes-Zarati Đồng cấu Lannes-Zarati từ đối đồng điều đại số Steenrod tới đại số gồm đối bất biến H_*(V) tác động nhóm tuyến tính tổng qt Đồng cấu ánh xạ tương ứng với phân bậc liên kết (theo lọc đó) đồng cấu Hurewicz Nó tác động khơng tầm thường bậc đối đồng điều bậc đồng điều tương ứng với tồn bất biến Hopf bất biến Kervaire Năm 1997, GS TSKH Nguyễn H.V Hưng đưa hướng tiếp cận giả thuyết cổ điển lớp cầu việc khảo sát đồng cấu cấu Lannes-Zarati Ơng đưa dự đốn, gọi Dạng đại số giả thuyết lớp cầu, đồng cấu Lanne-Zarati bậc >2 triệt tiêu phần tử bậc dương Giả thuyết khảo sát Nhóm nghiên cứu mạnh Tơpơ đại số nhiều năm thu nhiều khẳng định đăng tạp chí quốc tế uy tín Tuy nhiên, nay, giả thuyết mở Chúng nghiên cứu cấu trúc đồng cấu Lannes-Zarati mối quan hệ với toán tử Steenrod song bậc miền xác định miền giá trị Các kết thu sau: Chứng minh đồng cấu Lannes-Zarati $H$-đồng cấu, tức toán tử Steenrod song bậc tương ứng miền xác định miền giá trị giao hoán với qua đồng cấu Chương 3: Dạng đại số giả thuyết cổ điển lớp cầu Dạng đại số giả thuyết cổ điển lớp cầu chứng minh cho bậc 2 triệt tiêu phần tử kết nối toán tử Steenrod bậc dương từ phần tử có bậc đồng điều nhỏ Các kết đón nhận hội nghị chuyên ngành quốc gia quốc tế: + 01 báo cáo Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ IX, Nha Trang, 14-18/8/2018 : Võ T N Quỳnh, On the bigraded Steenrod operations on the dual of Agenerators of the Dickson algebra, 15 phút + 01 Báo cáo dạng Poster Đại hội Toán học Việt-Mỹ, Quy Nhơn 10-13/6/2019 Lưu X Trường, On the transfers between the Dickson algebras as modules over the Steenrod algebra + 01 báo cáo Hội nghị Đại số - Lý thuyết số- Hình học Tơ pơ 2019, 12/2019 : Mẫu 04/ĐTCS Võ T N Quỳnh, Các toán tử Steenrod song bậc đồng cấu Lannes-Zarati, 15 phút + 01 báo cáo Hội nghị quốc tế Lý thuyết đồng luân, Viện nghiên cứu cao cấp Toán, 12/2019 Võ T N Quỳnh, The bigraded Steenrod operations and the Lannes-Zarati homomophism, 50 minutes Một số kết viết thành 01 báo khoa học: Võ T N Quỳnh, The squaring operations and the Lannes-Zarati homomorphism, khoảng 20 trang Đánh giá kết nghiên cứu đạt - Các kết làm mịn thêm cấu trúc đồng cấu Lannes-Zarati đối ngẫu đại số Dickson, đồng thời bổ sung thêm khẳng định mang tính tổng quát cho Dạng đại số giả thuyết lớp cầu - Các kết báo cáo hội nghị quốc gia quốc tế chuyên ngành chuyên gia đánh giá tốt Kết luận kiến nghị Chúng tơi hồn thành tốt mục tiêu nghiên cứu ban đầu đề ra: - Phát triển hướng nghiên cứu truyền thống nhóm lý thuyết tốn tử đối đồng điều Nhóm xây dựng thành công cách tiếp cận để khảo sát đồng cấu Lannes-Zarati, từ nghiên cứu Dạng đại số giả thuyết lớp cầu Nhóm thu số kết Các kết báo cáo hội nghị quốc gia quốc tế chuyên ngành chuyên gia đánh giá tốt  Một số kết hoàn thiện thành 01 báo để gửi đăng Kiến nghị: - Các kết chun gia ngồi nước đánh giá tốt Thơng qua góp ý GS Nguyễn H V Hưng GS Lionel, cần thêm thời gian để bố cục lại tranh kết cho hoàn thiện Tài liệu tham khảo [Adams60] J F Adams, On the non-existence of elements of Hopf invariant one, Ann of Math 72 (1960), 20 104 [Kahn] D S Kahn, Cup i-products and the Adams spectral sequence, Topology, 9(1970), 1-10 [Lannes-Zarati87} J Lannes and S Zarati, Sur les foncteurs d\'eriv\'es de la d\'estabilisation, Math Zeit 194 (1987), 25 59 [Liulevicius] A Liulevicius, The factorization of cyclic reduced powers by secondary cohomology operations Mem Amer Math Soc 42(1962) [May1970] J P May, A general algebraic approach to Steenrod operations, Lecture Notes in Mathematics 168, Springer, Berlin (1970), 153-231 [NHVHưng97] Nguyễn H V Hưng, Spherical classes and the algebraic transfer, Trans Amer Math Soc 349 (1997), 3893 3910 [Hưng-Peterson] Nguyễn H V Hưng and F P Peterson, Spherical classes and the Dickson Mẫu 04/ĐTCS algebra, Math Proc Camb Phil Soc 124 (1998), 253 264 [NHVHưng2003] Nguyễn H V Hưng On triviality of Dickson invariants in the homology of the Steenrod algebra Math Proc Camb Phil Soc 134 (2003), 103–113 [Uehara] Uehara, Hiroshi, Algebraic Steenrod operations in the spectral sequence associated with a pair of Hopf algebras, Osaka J Math 9(1972), 131-141 [Singer] W M Singer, Rings of symmetric functions as modules over the Steenrod algebra, Algebraic \& Geometric Topology (2008), 541 562 [Zachariou] A Zachariou, On cup-$i$-products in the cobar construction on $F(A^*)$, Univ of Manchester, 1966 Tóm tắt kết (tiếng Việt tiếng Anh) Các kết đạt đề tài là:  Chứng minh tồn toán tử Steenrod song bậc đối ngẫu đại số Dickoson, chúng giao hoán với tốn tử Steenrod cổ điển, tương thích với toán tử vành hàm đối xứng  Chứng minh toán tử bậc dương tác động tầm thường phần tử “nguyên thủy”, bị triệt tiêu tốn tốn tử Steenrod bậc dương, có bậc đồng điều >2 Toán tử bậc đẳng cấu phần tử tương ứng có bậc đồng điều  Chứng minh đồng cấu Lannes-Zarati $H$-đồng cấu, tức toán tử Steenrod song bậc tương ứng miền xác định miền giá trị giao hoán với qua đồng cấu  Đồng cấu Lannes-Zarati bậc >2 triệt tiêu phần tử kết nối toán tử Steenrod bậc dương từ phần tử có bậc đồng điều nhỏ  01 báo cáo Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ IX, Nha Trang, 1418/8/2018 : +Võ T N Quỳnh, On the bigraded Steenrod operations on the dual of Agenerators of the Dickson algebra, 15 phút  02 Báo cáo dạng Poster Đại hội Toán học Việt-Mỹ, Quy Nhơn 1013/6/2019 + Lưu X Trường, On the transfers between the Dickson algebras as modules over the Steenrod algebra + Nguyễn Đức Ngà, An alternative approache to Hưng-Powell’s theorem on the A-decomposability of the Singer construction  01 báo cáo Hội nghị Đại số - Lý thuyết số- Hình học Tơ pơ, Bà RịaVũng Tàu, 4-6/12/2019 : Võ T N Quỳnh, Các toán tử Steenrod song bậc đồng cấu Lannes-Zarati, 15 phút  01 báo cáo Hội nghị Lý thuyết đồng luân, Viện nghiên cứu cao cấp Toán, 12/2019 Võ T N Quỳnh, The bigraded Steenrod operations and the Lannes-Zarati Mẫu 04/ĐTCS homomophism, 50 minutes  01 phác thảo báo quốc tế: Võ T N Quỳnh, The squaring operations and the Lannes-Zarati homomorphism, khoảng 20 trang Here is a summary of the results obtained:  We prove that there exists a left action of the bigraded Steenrod opertions on the dual of the Dickson algebra, these actions commute with actions of the classical Steenrod operations, and they are compatible with the ones on the ring of symmetric functions  We prove that the bigraded Steenrod operation of positive degree vanishes on primitive elements of homological degree >2  We show that the Lannes-Zarati homomorphism is an $H$-map  We prove that the Lannes-Zarati of degree >2 vanishes on hit elements by the bigraded Steenrod operations  01 talk at the 9th Vietnam Mathematical Congress, Nha Trang, 14-18/8/2018 : Võ T N Quỳnh, On the bigraded Steenrod operations on the dual of Agenerators of the Dickson algebra, 15 minutes  02 posters at the Vietnam - USA Joint Mathematical Meeting, Quy Nhơn 1013/6/2019 + Lưu X Trường, On the transfers between the Dickson algebras as modules over the Steenrod algebra + Nguyễn Đức Ngà, An alternative approache to Hưng-Powell’s theorem on the A-decomposability of the Singer construction  01 talk at the national conference on Algebra – Number theory - Geometry, Bà Rịa-Vũng Tàu, 4-6/ 12/2019 : Võ T N Quỳnh, Các toán tử Steenrod song bậc đồng cấu Lannes-Zarati, 15 minutes  01 invited talk at the international mini-conference on “Homotopy theory”, Vietnam Institute for Advanced Study in Mathematics, 11-12/12/2019, Võ T N Quỳnh, The bigraded Steenrod operations and the Lannes-Zarati homomophism, 50 minutes  01 manuscrip with the title: Võ T N Quỳnh, The squaring operations and the Lannes-Zarati homomorphism, ~20 pages Mẫu 04/ĐTCS PHẦN III SẢN PHẨM CỦA ĐỀ TÀI Các cơng trình khoa học cơng bố: Ghi địa cảm ơn tài Sản phẩm Tình trạng TT trợ (Đã in/chấp nhận in,…) ĐHQGHN / ĐHKHTN Cơng trình cơng bố tạp chí khoa học quốc tế theo hệ thống ISI/Scopus Bài báo quốc tế không thuộc hệ thống ISI/Scopus Bài báo tạp chí khoa học chuyên ngành quốc gia Báo cáo khoa học đăng kỷ yếu hội nghị quốc tế Báo cáo khoa học đăng kỷ yếu hội nghị quốc gia Sản phẩm khác: Đánh giá chung (Đạt, không đạt) Mẫu 04/ĐTCS 02 Báo cáo khoa học Hội nghị quốc gia : + Võ T N Quỳnh, On the bigraded Steenrod operations on the dual of Agenerators of the Dickson algebra, Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ IX, Nha Trang, 14-18/8/2018, 15 phút + Võ T N Quỳnh, Các toán tử Steenrod song bậc đồng cấu Lannes-Zarati, Hội nghị toàn quốc Đại số - Lý thuyết số- Hình học Tôpô, Bà Rịa-Vũng Tàu 4-6/12/2019, 15 phút 02 poster Hội nghị quốc tế: + Lưu X Trường, On the transfers between the Dickson algebras as modules over the Steenrod algebra, Đại hội Toán học Việt-Mỹ, Quy Nhơn 10-13/6/2019, dạng poster + Nguyễn Đức Ngà, An alternative approache to Hưng-Powell’s theorem on the A-decomposability of the Singer construction, Đại hội Toán học Việt-Mỹ, Quy Nhơn 10-13/6/2019, dạng poster 01 báo cáo Hội nghị quốc tế: + Võ T N Quỳnh, The bigraded Steenrod operations and the Lannes-Zarati homomophism, Mini-conference on “Homotopy theory”, Vietnam Institute for Advanced Study in Mathematics, 11-12/12/2019, 50 minutes 01 thảo báo khoa học : Võ T N Quỳnh, The bigraded Steenrod operations and the Lannes-Zarati homomophism - Đối với cơng trình công bố cần ghi rõ: Tên tác giả; Tên cơng trình; Tên tạp chí, tập, số, năm, trang (đối với báo), tên kỷ yếu hội nghị, nơi tổ chức, thời gian tổ chức (đối với báo cáo hội nghị); - Các ấn phẩm khoa học chấp nhận có ghi nhận/cảm ơn tài trợ Trường ĐHKHTN in có xác nhận chấp nhận xuất - Bản photocopy toàn văn ấn phẩm cần đưa vào phần phụ lục minh chứng báo cáo Sản phẩm đào tạo: Khơng có Thời gian kinh phí Cơng trình cơng bố liên quan phẩm KHCN, Đã bảo vệ tham gia đề tài (Sản (số tháng/số tiền) luận án, luận văn) Tiến sỹ / Nghiên cứu sinh Thạc sỹ / Học viên cao học Cử nhân TT Họ tên Minh chứng phần phụ lục photocopy trang bìa luận án/ luận văn/ khóa luận giấy chứng nhận nghiên cứu sinh/thạc sỹ học viên bảo vệ thành công luận án/ luận văn Các sản phẩm khác (phương pháp, quy trình cơng nghệ, phần mềm máy tính, vẽ Mẫu 04/ĐTCS thiết kế, sơ đồ, đồ, sở liệu, báo cáo phân tích, model, maket, vật liệu, thiết bị, máy móc,…) Khơng có Tổng hợp sản phẩm đăng ký hoàn thành đề tài: STT Sản phẩm Tự đánh Số lượng Số lượng giá số hoàn đăng ký lượng, chất thành lượng 01 báo Đang hoàn Tốt khoa học thành Bài báo / báo cáo khoa học báo cáo báo cáo khoa học khoa học Tốt (gồm báo cáo Hội nghị quốc gia báo cáo Hội nghị quốc tế) Đào tạo / hỗ trợ đào tạo 0 Phương pháp, quy trình cơng nghệ, phần mềm máy tính, vẽ thiết kế, sơ đồ, đồ, sở liệu, báo cáo phân tích, Sản phẩm công nghệ (model, maket, vật liệu, thiết bị, máy móc) Kết khác minh chứng áp dụng PHẦN IV TÌNH HÌNH SỬ DỤNG KINH PHÍ STT Nội dung chi Xây dựng đề cương chi tiết Thu thập viết tổng quan tài liệu Kinh phí Kinh phí duyệt thực Ghi (triệu đồng) (triệu đồng) 21,190 Điều tra, khảo sát, thí nghiệm, thu thập số liệu, nghiên cứu Thuê trang thiết bị, mua vật tư, hóa chất Hội thảo khoa học, viết báo cáo tổng 2,5 kết, nghiệm thu Chi khác 1,31 Tổng số: 25 21,190 0 2,5 1,31 25 10 Mẫu 04/ĐTCS PHẦN V KIẾN NGHỊ Về phát triển kết nghiên cứu đề tài; quản lý, tổ chức thực cấp Chúng mong muốn tiếp tục hướng nghiên cứu thực khuôn khổ đề tài Hướng nghiên cứu đề tài, việc tiếp tục khai thác đặc tính tốn tử Steerod song bậc, khai thác thêm lý thuyết biểu diễn nhóm, lý thuyết đối đồng điều nhóm Hà Nội, ngày tháng ĐƠN VỊ CHỦ TRÌ THỰC HIỆN (Họ tên, chữ ký Thủ trưởng đơn vị) năm 2019 CHỦ NHIỆM ĐỀ TÀI (Họ tên, chữ ký) TS Võ Thị Như Quỳnh TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN * Phần cuối báo cáo đính kèm phụ lục, có photocopy hợp đồng nghiên cứu khoa học minh chứng cho sản phẩm phần III 11