Tìm hiểu về cơ sở gröbner và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG I HC S PHM NGUYN VN TN ă TèM HIU VỀ CƠ SỞ GROBNER VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học PGS-TS PHAN VĂN THIỆN Huế, Năm 2016 i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu nêu luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa cơng bố cơng trình khác Nguyễn Văn Tân ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học tận tình PGS.TS Phan Văn Thiện Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc quan tâm, giúp đỡ tạo điều kiện tối đa thầy trình thực luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến q thầy giáo Khoa Tốn, Trường Đại học Sư phạm Huế tận tâm truyền đạt kiến thức cho tác giả suốt trình học Cao học Cuối tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu đến phòng đào tạo sau đại học, bạn học viên cao học khóa 23 ln quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Nguyễn Văn Tân iii MỤC LỤC Trang phụ bìa ii Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Li m u ă C S GROBNER 1.1 Các thứ tự đơn thức 1.2 Thuật chia đa thức vành nhiều biến 1.3 C s Grăobner 13 1.4 Thuật toán Buchberger 21 1.5 C s Grăobner rỳt gn 31 1.6 Tớnh c s Grăobner bng Maple 13 34 ă ỨNG DỤNG CỦA CƠ SỞ GROBNER 39 2.1 Bài toán thử thành viên ideal 39 2.2 Bài toán thử hai ideal 41 2.3 Bài tốn tìm sở K-khơng gian vectơ K[x]/I 42 2.4 Bài tốn khử biến để tìm giao hai ideal 45 2.5 Bài toán khử biến để tìm ước chung lớn bội chung nhỏ hai đa thức 50 2.6 Bài tốn khử biến để tìm thương hai ideal 51 2.7 Bài tốn tìm nghiệm ngun khơng âm hệ phương trình có hệ số ngun khơng âm 2.8 54 Bài tốn tìm nghiệm khơng âm hệ phương trình hệ số nguyên 57 Kết luận 63 Tài liệu tham khảo 65 LỜI MỞ ĐẦU Cho K trường, tài liệu ta đề cập đến vành đa thức nhiều biến K[x1 , x2 , , xn ] Cho I ideal K[x1 , x2 , , xn ] sinh đa thức f1 , f2 , , ft ∈ K[x1 , , xn ], ta kí hiệu I = f1 , f2 , , ft Ta tiến nghiên cứu loại tập sinh đặc biệt ideal I sở Grăobner Lý thuyt v c s Grăobner c nh toỏn hc Bruno Buchberger (hc trũ ca nh toỏn hc Grăobner) xut nm 1965 Lý thuyt c s Grăobner đời tạo bước ngoặc lớn nghiên cứu, giúp chứng minh nhiều tốn đại số, hình học việc kiểm chứng giả thuyết hay tốn đại số hình học Hiện nhờ có phần mềm, chẳng hạn Maple mà việc tính c s Grăobner, cỏc thut toỏn chia v mt vi thuật toán khác nhanh dễ dàng thực hn Vic nghiờn cu c s Grăobner ó t hữu ích hàng loạt ứng dụng đại số hình học đại số Có thể kể đến giúp giải toán thành viên ideal, tốn tìm giao hai ideal, tìm thương hai ideal, , giúp ta tìm nghiệm hệ phương trình nghiệm nguyên (xem [2], [3], [4], [5], ) Với mong muốn tỡm hiu thờm v c s Grăobner v nhng ng dụng định hướng thầy hướng dẫn PGS.TS Phan Văn Thiện, chọn đề ti "Tỡm hiu v c s Grăobner v ng dng" làm đề tài nghiên cứu cho luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng, song việc nghiên cứu trình bày khó tránh khỏi sai sót, mong quý độc giả góp ý thêm để luận văn hon thin hn CHNG ă C S GROBNER Trong chương đề cập đến thứ tự từ, thuật chia đa thức vành nhiều biến, s Grăobner, thut toỏn Buchberger, c s Grăobner rỳt gn v cỏch dựng Maple tớnh c s Grăobner Ta kí hiệu x := (x1 , x2 , , xn ) kí hiệu K[x1 , x2 , , xn ] := K[x] Tài liệu tham khảo chương [1], [5] 1.1 Các thứ tự đơn thức Định nghĩa 1.1.1 Một quan hệ < tập X gọi quan hệ thứ tự thỏa mãn tính chất phản xạ, đối xứng, bắt cầu Nếu tập X có quan hệ thứ tự ta nói X thứ tự Đồng thời hai phần tử X so sánh với X gọi tập thứ tự toàn phần Nếu X tập thứ tự toàn phần cho tập khác rỗng X có phần tử nhỏ X gọi tập thứ tự tốt Tiếp theo cho vành đa thức n biến K[x1 , x2 , , xn ] Một phần tử K[x1 , x2 , , xn ] có dạng a.xα1 xα2 .xαnn với a ∈ K αi ∈ N, ∀i = 1, , n gọi đơn thức K[x] Một phần tử K[x1 , x2 , , xn ] có dạng xα1 xα2 .xαnn với αi ∈ N, ∀i = 1, , n gọi từ K[x] Đặt T n = {xβ : = x1 β1 xn βn |βi ∈ N, i = 1, , n } gọi tập từ K[x1 , x2 , , xn ] Định nghĩa 1.1.2 Một thứ tự từ T n thứ tự toàn phần < T n thỏa mãn hai điều kiện sau: 1) < xβ với xβ ∈ T n , xβ = 2) Nếu xα < xβ xα xγ < xβ xγ với xγ ∈ T n Ta nói thêm, đơn thức có từ lớn đơn thức lớn hơn, tập đơn thức có quan hệ thứ tự toàn phần ta gọi thứ tự đơn thức, ta hiểu thứ tự từ thứ tự đơn thức giống Sau vài thứ tự từ (hay thứ tự đơn thức): Định nghĩa 1.1.3 (Thứ tự từ điển “lex”) Giả sử x1 > x2 > > xn , α = (α1 , ,αn ) β = (β1 , , βn ) ∈ N n Khi đó:   thành phần thứ αi βi α β từ trái sang α β x x2 > > xn , α = (α1 , , αn ) β = (β1 , , βn ) ∈ N n n n αi < βi   i=1 i=1 Khi đó: xα < xβ ⇔  n n   βi dùng ”lex” αi = i=1 i=1 Ví dụ Cho x, y ∈ Q[x, y], x < y, theo thứ tự deglex, < x < y < x2 < xy < y < x3 < x2 y < xy < y < Định nghĩa 1.1.5 (Thứ tự từ điển ngược phân bậc “degrevlex”) Giả sử x1 > x2 > > xn , α = (α1 , , αn ) β = (β1 , , βn ) ∈ N n n     α β Khi đó: x < x ⇔     n αi < i=1     βi i=1 n n αi = i=1 βi thành phần αi βi i=1    α β từ phải sang mà khác α > β i i Ví dụ Cho x1 , x2 , x3 ∈ Q[x1 , x2 , x3 ], x1 > x2 > x3 , theo thứ tự degrevlex x1 x2 x3 > x1 x2 , theo deglex x1 x2 x3 < x1 x2 Mệnh đề 1.1.6 Cho xα , xβ ∈ T n Nếu xα chia hết xβ xα ≤ xβ Chứng minh: Giả sử có xγ ∈ T n cho xβ = xα xγ Theo Định nghĩa 1.1.2 xγ ≥ ta có xβ = xα xγ ≥ xα = xα hay xα ≤ xβ Định nghĩa 1.1.7 Cho f ∈ K[x1 , x2 , , xn ], f = 0, ta viết f dạng f = a1 xα1 + a2 xα2 + + ar xαr với ∈ K, xαi ∈ T n , ∀i = 1, , r xα1 > xα2 > > xαr Khi đó, ta định nghĩa: • lp(f ) = xα1 , gọi lũy thừa dẫn đầu (hoặc từ dẫn đầu) f • lc(f ) = a1 , gọi hệ số dẫn đầu f • lt(f ) = a1 xα1 , gọi hạng tử dẫn đầu f • T (f ) = {X ∈ T n X hạng tử f } Định lý 1.1.8 Mỗi thứ tự từ T n thứ tự tốt, tức tập A T n tồn xα ∈ A cho xβ ≤ xα , ∀xβ ∈ A Nhận xét: Cho f1 , , fm ∈ T n , theo định lý tồn phần tử lớn fi ∈ {f1 , , fm }, cho fj fi , ∀j = 1, , m, lúc ta kí hiệu fi = max{f1 , , fm } Định lý 1.1.9 (Định lý Hilbert) Cho vành K[x1 , , xn ] Khi 1) Nếu I ideal K[x1 , , xn ] tồn đa thức f1 , , fs ∈ K[x1 , , xn ] cho I = f1 , , fs 2) Nếu I1 ⊆ I2 ⊆ I3 ⊆ ⊆ In ⊆ dãy tăng ideal K[x1 , , xn ], tồn số tự nhiên N cho IN = IN +1 = IN +2 = Chứng minh: xem [1] 1.2 Thuật chia đa thức vành nhiều biến Ta nói đa thức f ∈ K[x] gọi thu gọn biểu diễn tổng từ giống xuất không lần Định nghĩa 1.2.1 Cho f, g, h ∈ K[x1 , x2 , , xn ], với g = 0, ta nói f rút gọn bước h theo g kí hiệu g f →h lp(g) chia hết hạng tử X khác biểu diễn thu gọn f h=f− X g lt(g) Ví dụ Cho f = 6x2 y − x + 4y − 1, g = 2xy + y thuộc Q[x, y] Dùng thứ tự từ “lex” với x > y Ta có lp(g) = xy chia hết X = 6x2 y = (X hạng tử Chứng minh: Đặt l = lcm(f, g), ta có l ∈ f ∩ g Nếu h ∈ f ∩ g , h = af = bg, a, b ∈ K[x1 , , xn] Do f , g chia hết h, nên l chia hết h, h ∈ l Ví dụ 31 Cho f = x2 y − y + x2 − g = xy − y − x + Q[x, y] Tìm lcm(f, g), gcd(f, g) Giải: Trước tiên ta tính f ∩ g Xét biến w, xét thứ tự từ lex với w > x > y ta tỡm c c s Grăobner ca w(x2 y − y + x2 − 1), (1 − w)(xy − y − x + 1) G = {1 − x2 − y + x2 y ,x2 y + + 2wx2 − x2 − y − 2w, − xy + y + x − + wxy − wy − wx + w} Suy G ∩ Q[x, y] = − x2 − y + x2 y Do f ∩ g = − x2 − y + x2 y Suy lcm(f, g) = 1−x2 −y +x2 y Vậy nên (x2 y − y + x2 − 1)(xy − y − x + 1) = x − 1, − x2 − y + x2 y suy gcd(f, g) = x − Cuối ta đến với tốn khử biến thứ ba, tốn tìm thương hai ideal K[x] 2.6 Bài toán khử biến để tìm thương hai ideal a) Bài tốn: Cho hai ideal I, J K[x] Tìm thương hai ideal I J K[x] 51 b) Cách giải quyết: Trước tiên ta định nghĩa thương hai ideal I J K[x] Định nghĩa 2.6.1 Cho I, J hai ideal K[x1 , , xn ] Khi tập J : I = {g ∈ K[x1 , , xn ] |gI ⊆ J } ideal K[x1 , , xn] gọi ideal thương Bổ đề 2.6.2 Cho I = f1 , , fs J ideal K[x1 , , xn ] Khi s J : fi J : I = i=1 Chứng minh: Nếu g ∈ J : I gI ⊆ J Suy gfi ∈ J , ∀i = 1, , s, s g∈ J : fi i=1 s Ngược lại g ∈ J : fi g fi ⊆ J, ∀i = 1, , s Suy gI ⊆ J, i=1 g ∈ J : I Bổ đề 2.6.3 Cho J ideal = f ∈ K[x1 , , xn ] Khi đó: J : f = (J ∩ f ) f (J ∩ f ) gf ∈ J Suy g ∈ J : f Ngược lại, f g ∈ J : f gf ∈ J, dẫn đến gf ∈ J ∩ f Do g ∈ (J ∩ f ) f Chứng minh: Nếu g ∈ Ví dụ 32 Cho g1 = x(x + y) , g2 = y, f1 = x2 , f2 = x + y Q[x, y] I = f1 , f2 , J = g1 , g2 Tính J : I Giải: 1 (J ∩ f1 ) (J ∩ f2 ) f1 f2 + Trước tiên ta tính (J ∩ f1 ) Xét ideal wg1 , wg2 , (1 − w)f1 thứ tự từ Ta có J : I = (J : f1 ) (J : f2 ) = 52 “lex” với w > x > y Khi ú c s Grăobner G1 G1 = x2 y, x3 , wy, −x2 + x2 w , nên G1 ∩ Q[x, y] = x2 y, x3 , nên (J ∩ f1 ) = x2 y, x3 , nên (J ∩ f1 ) = f1 x2 y, x3 = y, x x + Tiếp theo ta tính (J ∩ f2 ) Xét ideal wg1 , wg2 , (1 − w)f2 thứ tự từ “lex” với w > x > y Khi ú c s Grăobner G2 ca nú G2 = y + xy, y + x3 , wy, wx − x − y , nên G2 ∩ Q[x, y] = y + xy, y + x3 , nên (J ∩ f2 ) = y + xy, y + x3 , 1 nên (J ∩ f2 ) = y + xy, y + x3 = y, x2 − xy + y f2 x+y + Cuối ta tính x, y ∩ y, x2 − xy + y Xét ideal wx, wy, (1 − w)y, (1 − w)(x2 − xy + y thứ tự từ “lex” với w > x > y Khi c s Grăobner G ca nú l G = y, x2 , wx , nên x, y ∩ y, x2 − xy + y = y, x2 + Vậy J : I = y, x2 Trong toán sơ cấp, có tốn hay, tốn tìm nghiệm ngun phương trình, hệ phương trình, ta nghiên cứu thuật tốn để tìm nghiệm nguyên cách chuyển qua đa thức dựng cụng c c s Grăobner Ta xột trng hp hệ số hệ phương trình khơng âm trường hợp khác hệ phương trình có hệ số số nguyên ứng với hai toán sau 53 2.7 Bài tốn tìm nghiệm ngun khơng âm hệ phương trình có hệ số ngun khơng âm a) Bài toán: Cho aij ∈ Z+ , bj ∈ Z+ , i = 1, , n, j = 1, , m Tìm nghiệm (σ1 , , σm ) ∈ Nm hệ phương trình sau:     a11 σ1 + a12 σ2 + + a1m σm = b1       a21 σ1 + a22 σ2 + + a2m σm = b2 (1)          an1 σ1 + an2 σ2 + + an m σm = bn b) Cách giải quyết: Mỗi phương trình thứ i hệ (1), lấy lũy thừa số xi hai vế ta hệ: xi σ1 +ai σ2 + +ai m σm ⇔ x1 a1 σ1 +a1 σ2 + = xi bi , i = 1, , n +a1 m σm .xn an σ1 +an σ2 + +an m σm σ ⇔ (x1 a1 x2 a2 .xn an1 ) .(x1 a 1m x2 a2m .xn an m ) σm = x1 b1 xn bn = x1 b1 xn bn Có thể xem vế trái ảnh tích y1 σ1 .ym σm tác động ánh xạ đa thức (xem [5, tr79-tr89], [5, tr106]) φ K[y1 , , ym] → − K[x1 , , xn ] yj → x1 a1 j x2 a2 j .xn an j Bổ đề 2.7.1 Ta kí hiệu giả sử tất j bi khơng âm Khi hệ (1) có nghiệm σ1 , , σm ∈ Nm x1 b1 xn bn ảnh lũy thừa K[y1 , , ym ] qua ánh xạ φ Hơn nữa, x1 b1 xn bn = φ(y1 σ1 .ym σm ) σ1 , , σm ∈ Nm nghiệm hệ (1) 54 ... Grăobner ó tỏ hữu ích hàng loạt ứng dụng đại số hình học đại số Có thể kể đến giúp giải tốn thành viên ideal, tốn tìm giao hai ideal, tìm thương hai ideal, , giúp ta tìm nghiệm hệ phương trình nghiệm... CA CƠ SỞ GROBNER Trong chương ta trình bày toán thử thành viên ideal, toán thử hai ideal nhau, tốn tìm sở K-khơng gian vectơ K[x]/I, với I ideal K[x], dùng tính chất khử biến để giải tốn tìm. .. ) Với mong mun c tỡm hiu thờm v c s Grăobner v ứng dụng định hướng thầy hướng dẫn PGS.TS Phan Văn Thiện, chn ti "Tỡm hiu v c s Grăobner v ứng dụng" làm đề tài nghiên cứu cho luận văn Mặc dù