Khảo sát các tính chất phi cổ điển của photon trong hệ tương tác nguyên tử ba mức với hai photon ban đầu ở trạng thái kết hợp và kết hợp lẻ

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀO THỊ LÝ KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA PHOTON TRONG HỆ TƯƠNG TÁC NGUYÊN TỬ BA MỨC VỚI HAI PHOTON BAN ĐẦU Ở TRẠNG THÁI KẾT HỢP VÀ KẾT HỢP LẺ LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU Thừa Thiên Huế, năm 2017 ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀO THỊ LÝ KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA PHOTON TRONG HỆ TƯƠNG TÁC NGUYÊN TỬ BA MỨC VỚI HAI PHOTON BAN ĐẦU Ở TRẠNG THÁI KẾT HỢP VÀ KẾT HỢP LẺ Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN Mã số : 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU Người hướng dẫn khoa học TS VÕ TÌNH Thừa Thiên Huế, năm 2017 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, số liệu kết nghiên cứu ghi luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố cơng trình nghiên cứu khác Huế, tháng 09 năm 2017 Tác giả luận văn Đào Thị Lý ii LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo TS Võ Tình tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho suốt q trình nghiên cứu thực luận văn Tơi xin cảm ơn quý Thầy, Cô giáo khoa Vật Lý phòng Đào tạo sau đại học trường Đại học Sư Phạm, Đại Học Huế tận tình giảng dạy giúp đỡ tơi q trình học tập trường Đại học Sư Phạm, Đại học Huế Xin gửi lời cảm ơn đến gia đình thân thương Cảm ơn anh (chị) học viên Cao học chuyên ngành Vật lý lý thuyết Vật lý toán khóa 23 Trường Đại học Sư Phạm - Đại học Huế, bạn bè nhiệt tình giúp đỡ, tạo điều kiện cho tơi q trình học tập thực luận văn Huế, tháng 09 năm 2017 Tác giả luận văn Đào Thị Lý iii MỤC LỤC Trang Trang bìa Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Danh mục kí hiệu tốn học MỞ ĐẦU NỘI DUNG 13 CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC TỔNG QUAN 13 1.1 Trạng thái kết hợp 13 1.1.1 Định nghĩa phương sai 13 1.1.2 Trạng thái Fock 14 1.1.3 Trạng thái kết hợp toán tử số hạt 18 1.1.4 Các tính chất trạng thái kết hợp 20 1.2 Trạng thái kết hợp chẵn lẻ 22 1.2.1 Định nghĩa 22 1.2.2 Tính chất trạng thái kết hợp chẵn, lẻ 24 1.3 Nguyên tử ba mức cấu hình V tương tác với hai photon 26 1.4 Các tính chất nén, thống kê Sub-Poisson photon 28 1.4.1 Tính chất nén 28 1.4.2 Thống kê Sub-Poisson 29 CHƯƠNG 2: HAMILTONIAN TƯƠNG TÁC CỦA HỆ TƯƠNG TÁC NGUYÊN TỬ BA MỨC CẤU HÌNH V VỚI HAI PHOTON 32 2.1 Xây dựng Hamiltonian hệ tương tác nguyên tử ba mức cấu hình V với hai photon 32 2.2 Thiết lập ma trận mật độ hệ tương tác 37 2.3 Tính biểu thức trung bình tốn tử cần khảo sát 39 CHƯƠNG 3: KHẢO SÁT TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA PHOTON THEO HAI PHOTON BAN ĐẦU Ở TRẠNG THÁI KẾT HỢP VÀ KẾT HỢP LẺ 43 3.1 Khảo sát tính chất nén 43 3.1.1 Nén biên độ trực giao thông thường photon 43 3.1.2 Nén Hillery bậc hai photon 45 3.1.3 Khảo sát tham số nén biên độ trực giao S1 , S1 (1) (2) photon thời điểm t (t > 0) sau tương tác 3.1.4 (1) 46 (2) Khảo sát tham số nén Hillery bậc hai S2 , S2 photon thời điểm t (t > 0) sau tương tác 53 3.2 Khảo sát tính thống kê Sub-Poisson 59 3.2.1 (1) (2) Khảo sát tham số Q1 , Q1 photon mode mode 59 3.2.2 (1) (2) Khảo sát tham số Qp , Qp photon mode 65 KẾT LUẬN 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO 71 PHỤ LỤC P.1 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU TỐN HỌC VÀ TỪ VIẾT TẮT Kí hiệu aˆ† , aˆ n ˆ V A, V B n ˆ ,ω ˆ a(α) D Tên gọi toán tử sinh, hủy boson toán tử số hạt boson phương sai đại lượng X trung bình số hạt, tần số góc tốn tử dịch chuyển ˆa với độ dịch chuyển α r1 biên độ trạng thái kết hợp chẵn r2 biên độ trạng thái kết hợp θ1 pha trạng thái kết hợp chẵn θ2 pha trạng thái kết hợp Jˆx , Jˆy , Jˆz vectơ riêng toán tử spin-1 Uˆ (t) tốn tử thời gian tiến hóa Cch hệ số trạng thái kết hợp chẵn Cl hệ số trạng thái kết hợp lẻ ρˆ (t) ρˆgr (0) σαβ ma trận mật độ ma trận mật độ trạng thái bản, lúc t = giá trị trung bình tốn tử aˆ†αaˆβ KHC kết hợp chẵn KHL kết hợp lẻ Danh sách hình vẽ 1.1 Mơ tả hệ thống nguyên tử ba mức cấu hình V (1) 3.1 Đồ thị khảo sát phụ thuộc S1 26 theo thời gian t Chọn r1 = 1.8, r2 = 0.2, θ1 = 0, λ1 = 4, λ2 = 5, Ω1 = 15, Ω2 = 10 (a) t nằm khoảng từ đến 0.9, (b) t nằm khoảng từ đến 0.4 (2) 3.2 Đồ thị khảo sát phụ thuộc S1 48 theo thời gian t Chọn r1 = 1.8, r2 = 0.4, θ1 = 0, λ1 = 4, λ2 = 5, Ω1 = 15, Ω2 = 10 (a) t nằm khoảng từ đến 0.6 toàn (2) miền giá trị S1 , (b) t nằm khoảng từ đến 0.6 (2) xét giá trị S1 khoảng từ -10 đến 10 48 (1) 3.3 Đồ thị khảo sát phụ thuộc S1 theo r1 r2 với r1 khoảng từ đến 1.8 r2 khoảng từ đến Chọn t = 0.21, θ1 = 0, λ1 = 4, λ2 = 5, Ω1 = 15, Ω2 = 10 49 (1) 3.4 Đồ thị khảo sát phụ thuộc S1 theo r1 r2 với r1 khoảng từ 1.6 đến 1.8 r2 khoảng từ đến Chọn t = 0.21, θ1 = 0, λ1 = 4, λ2 = 5, Ω1 = 15, Ω2 = 10 50 (1) 3.5 Đồ thị khảo sát phụ thuộc S1 theo r1 r2 Chọn t = 0.21, θ1 = 0, λ1 = 4, λ2 = 5, Ω1 = 15, Ω2 = 10 (a) r1 khoảng từ 1.6 đến 1.8 r2 khoảng từ đến thể phụ thuộc vào r1 (b) r1 khoảng từ 1.6 đến 1.8 r2 khoảng từ đến thể phụ thuộc vào r2 50 (2) 3.6 Đồ thị khảo sát phụ thuộc S1 theo r1 r2 Chọn t = 0.21, θ2 = 0, λ1 = 4, λ2 = 5, Ω1 = 15, Ω2 = 10 (a) r1 khoảng từ 1.2 đến 1.5 r2 khoảng từ đến 8, (b) r1 khoảng từ 1.3 đến 1.5 r2 khoảng từ đến 1.5 51 (2) 3.7 Đồ thị khảo sát phụ thuộc S1 theo r1 r2 Chọn t = 0.21, θ2 = 0, λ1 = 4, λ2 = 5, Ω1 = 15, Ω2 = 10 (a) r1 khoảng từ 1.3 đến 1.5 r2 khoảng từ đến 1.5 thể phụ thuộc vào r1 , (b) r1 khoảng từ 1.3 đến 1.5 r2 khoảng từ đến 1.5 thể phụ thuộc vào r2 51 (1) 3.8 Đồ thị khảo sát phụ thuộc S1 theo λ1 λ2 Chọn r1 = 1.8, r2 = 0.2, t = 0.21, θ1 = 0, Ω1 = 15, Ω2 = 10 (a) λ1 khoảng từ đến 20 λ2 khoảng từ đến 40, (b) λ1 thay đổi, λ1 = 10.5 (màu xanh), λ1 = 11 (màu đỏ), λ1 = 11.5 (màu đen) λ2 khoảng từ đến 40 (1) 3.9 Đồ thị khảo sát phụ thuộc S2 52 theo thời gian t r1 thay đổi, r1 = 1.9 (màu đỏ) r1 = (màu xanh) Chọn r2 = 0.2, θ1 = 0, λ1 = 4, λ2 = 5, Ω1 = 15, Ω2 = 10 54 KẾT LUẬN Sau thời gian thực đề tài với hướng dẫn tận tình thầy giáo TS.Võ Tình, chúng tơi hồn thành nhiệm vụ đề luận văn Ngoài kiến thức thu lượm trình nghiên cứu, tham khảo tài liệu, kết tóm tắt sau: Từ Hamiltonian hệ tương tác nguyên tử ba mức cấu hình V với hai photon Jˆz -biểu diễn toán tử Spin-1, thiết lập ma trận mật độ hệ tương tác trạng thái tìm biểu thức trung bình đại lượng cần khảo sát Khảo sát tính chất nén thơng thường, nén Hillery bậc hai, tính thống kê Sub-Poisson bậc tính thống kê Sub-Poisson bậc caocủa photon hệ tương tác nguyên tử ba mức trạng thái với hai photon ban đầu trạng thái kết hợp kết hợp lẻ; chi tiết đồ thị với phần mềm tính tốn Mathematica biểu thức cụ thể Điều chứng tỏ rằng, hệ ngun tử ba mức mơi trường có khả biến đổi photon trạng thái kết hợp thành trạng thái phi cổ điển Kết cho thấy photon ban đầu trạng thái kết hợp kết hợp lẻ sau tương tác với nguyên tử mức cấu hình V chuyển sang trạng thái phi cổ điển có tính chất nén thống kê Sub-Poisson ứng với tham số hệ có giá trị thích hợp Đề tài mở rộng nghiên cứu cho trường hợp khác xét hệ tương tác có ngun tử mức trạng thái kích thích, khơng cộng hưởng với trạng thái ban đầu khác photon, 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Văn Anh (2015), Khảo sát tính chất phi cổ điển trạng thái hai mode kết hợp thêm photon chẵn, Luận văn Thạc sĩ Vật lý lý thuyết Vật lý toán trường ĐHSP, Huế Trương Minh Đức (2007), Nghiên cứu tính chất số trạng thái phi cổ điển, B2007-DHH03-26, Đề tài cấp Lê Thị Vân Thùy (2013), Khảo sát tính chất Sub-Poisson photon tần số tổng ngõ hệ N photon tương tác ban đầu trạng thái đơn mode Fock, đơn mode kết hợp đơn mode nén, Luận văn Thạc sĩ Vật lý lý thuyết Vật lý toán trường ĐHSP, Huế Võ Tình (2007), Bài giảng quang học lượng tử, Trường Đại học Sư phạm- Đại học Huế Võ Tình, Phạm Thị Hạnh Thảo (2010), Nén tổng đa mode bậc cao Hillery, Tạp chí Khoa học Giáo dục ĐHSP-ĐH Huế, số 04(16)/2010, p.15-24 Phạm Văn Tiến (2015), Nghiên cứu tính chất phi cổ điển trạng thái kết hợp hai mode Su(1,1) lẻ, Luận văn Thạc sĩ Vật lý lý thuyết Vật lý toán trường ĐHSP, Huế Huỳnh Thị Thùy Trâm (2016), Khảo sát tính chất phi cổ điển hai photon hệ tương tác nguyên tử ba mức với hai photon ban đầu trạng thái kết hợp kết hợp chẵn, Luận văn Thạc sĩ Vật lý lý thuyết Vật lý tốn trường ĐHSP, Huế 71 Nguyễn Viết Minh Trí (2016),Khảo sát tính chất phi cổ điển hai photon hệ tương tác nguyên tử ba mức với hai photon ban đầu trạng thái kết hợp kết hợp thêm photon, Luận văn Thạc sĩ Vật lý lý thuyết Vật lý toán trường ĐHSP, Huế Trần Văn Hồng Vũ (2014), Khảo sát tính chất phân bố Sub-Poisson photon tần số tổng tạo hệ tương tác nguyên tử với N photon ban đầu trạng thái kết hợp, nén kết hợp kết hợp thêm photon, Luận văn Thạc sĩ Vật lý lý thuyết Vật lý toán trường ĐHSP, Huế Tiếng Anh 10 Bruce W Shore and Pter L Knight (1993), "Topical review The Jaynes-Cummings model", Journal of Modern Optics, vol 40, No 7, pp 1195-1238 11 Gerry C C and Moyer P J (1988), "Squeezing and higher-order squeezing in one- and two-photon Jaynes-Cummings models", Physical Review A, 38, No.11, pp 5665-5669 12 Hong C.K, Mandel L (1985), " Higher-order squeezing of a quantum field", Phys Rev Lett 54, pp 323-325 13 Mahran M H and EL-Samman A -R A , F Obada -S (1989), Quantum effects in the three-level two-mode system", Journal of Modern Optics, vol 36, No 1, pp 53-65 14 Mahran M H (1990), "Squeezing and higher-order squeezing in the three-level, two-mode system", Physical Review A, 42, No 7, pp 4199-4209 72 15 Nguyen Ba An and Vo Tinh (1999), "General multimode differencesqueezing", Physical Letters A, 270, pp 27-40 16 Nguyen Ba An and Vo Tinh (2000), "Multimode difference-squeezing", J Phys.A: Mathematics & General 33, 2951-2962 17 Nguyen Ba An and Vo Tinh (1999), "General multimode sumsqueezing", Physical Letters A, 261, pp 34-39 18 Obada A -S F and Abdel-Hafez A M (1987), "Time evolution for a three-level atom in interaction with two modes", Journal of Modern Op tics, vol 34, No 5, pp 665-677 19 Prakash H and Chandra N and Vachaspati (1974) " A generalized form of higher order sub - Poissonian statistics and its importance ", Ann Phys, 85 20 Sivakumar S (2000), "Studies on nonlinear coherent states, J Opt B, Quantum semiclass" Opt, 78, pp 37-45 21 Xiao-shen Li and Nian-yu BEI (1983), "A Generalized three-level Jaynes-Cummings model", Physical Letters, vol 101A, No 3, pp 169-174 22 Xiao-shen Li and Yue-nan Peng (1985), "Quantum properties of a three-level atom interacting with two radiation fields", Physical Review , vol 32, No 3, pp 1501-1514 23 Yoo H.-I and Eberly J.H (1984), "Dynamical theory of an atom with two or three levels interacting with quantized cavity fields", Physics Reports, 118, No 5, pp 239-337 73 PHỤ LỤC Tính σ20 (1) (1) σ20 = Re a ˆ†2 aˆ†2 = SH1a SH1b aˆ†2 + SH2a SH2b aˆ†2 + SH3a SH3b aˆ†2 1 1 SH1a = α2 |l α1 | Uˆ13 (t) |α1 l |α2 = −iλ1 exp −|α2 |2 − |α1 |2 × 4Cl2 ∞ ∞ ∞ ∞ m1 =0 n1 =0 m2 =0 n2 =0 n2 α1 ∗2m1+1 α1 2n1 +1 α∗m α2 (2m1 + 1)! (2n1 + 1)!m2 !n2 ! × m2 | 2m1 + 1| exp {−i [(ˆ n1 + 1) Ω1 + n ˆ Ω2 ] t} aˆ1 × sin t λ21 n ˆ + λ22 n ˆ / λ21 n ˆ + λ22 n ˆ2 = −iλ1 exp −|α2 |2 − |α1 |2 × 4Cl2 ∞ ∞ ∞ ∞ m1 =0 n1 =0 m2 =0 n2 =0 |2n1 + |n2 n2 α1 ∗2m1+1 α1 2n1 +1 α∗m α2 (2m1 + 1)! (2n1 + 1)!m2 !n2 ! × m2 | 2m1 + 1| exp {−i [(ˆ n1 + 1) Ω1 + n ˆ Ω2 ] t} aˆ1 × sin t λ21 (2n1 + 1) + λ22 n2 / λ21 (2n1 + 1) + λ22 n2 = −iλ1 exp −|α2 |2 − |α1 |2 × 4Cl2 ∞ ∞ ∞ ∞ |2n1 + |n2 n2 α1 ∗2m1+1 α1 2n1 +1 α∗m α2 (2m1 + 1)! (2n1 + 1)!m2 !n2 ! √ × m2 | 2m1 + 1| exp {−i [(2n1 + 1) Ω1 + n2 Ω2 ] t} 2n1 + m1 =0 n1 =0 m2 =0 n2 =0 × sin t λ21 (2n1 + 1) + λ22 n2 / λ21 (2n1 + 1) + λ22 n2 = −iλ1 exp −|α2 |2 − |α1 |2 × 4Cl2 ∞ ∞ ∞ ∞ m1 =0 n1 =0 m2 =0 n2 =0 n2 α1 ∗2m1+1 α1 2n1 +1 α∗m α2 (2m1 + 1)! (2n1 + 1)!m2 !n2 ! P.1 |2n1 |n2 × exp {−i [(2n1 + 1) Ω1 + n2 Ω2 ] t} × sin t √ 2n1 + λ21 (2n1 + 1) + λ22 n2 / λ21 (2n1 + 1) + λ22 n2 δ2m1+1,2n1 δm2 ,n2 =0 SH2a = α2 |l α1 | Uˆ23 (t) |α1 l |α2 = −iλ2 exp −|α2 |2 − |α1 |2 × 4Cl2 ∞ ∞ ∞ ∞ m1 =0 n1 =0 m2 =0 n2 =0 n2 α1 ∗2m1+1 α1 2n1 +1 α∗m α2 (2m1 + 1)! (2n1 + 1)!m2 !n2 ! × m2 | 2m1 + 1| exp {−i [ˆ n1 Ω1 + (ˆ n2 + 1) Ω2 ] t} aˆ2 × sin t λ21 n ˆ + λ22 n ˆ / λ21 n ˆ + λ22 n ˆ2 = −iλ2 exp −|α2 |2 − |α1 |2 × 4Cl2 ∞ ∞ ∞ ∞ m1 =0 n1 =0 m2 =0 n2 =0 |2n1 + |n2 n2 α1 ∗2m1+1 α1 2n1 +1 α∗m α2 (2m1 + 1)! (2n1 + 1)!m2 !n2 ! × m2 | 2m1 + 1| exp {−i [ˆ n1 Ω1 + (ˆ n2 + 1) Ω2 ] t} aˆ2 × sin t λ21 (2n1 + 1) + λ22 n2 / λ21 (2n1 + 1) + λ22 n2 |2n1 + |n2 = −iλ2 exp −|α2 |2 − |α1 |2 × 4Cl2 ∞ ∞ ∞ ∞ n2 α1 ∗2m1+1 α1 2n1 +1 α∗m α2 (2m1 + 1)! (2n1 + 1)!m2 !n2 ! √ × m2 | 2m1 + 1| exp {−i [(2n1 + 1) Ω1 + n2 Ω2 ] t} n2 m1 =0 n1 =0 m2 =0 n2 =0 × sin t λ21 (2n1 + 1) + λ22 n2 / λ21 (2n1 + 1) + λ22 n2 |2n1 + |n2 − = −iλ2 exp −|α2 |2 − |α1 |2 × 4Cl2 ∞ ∞ ∞ ∞ n2 α1 ∗2m1+1 α1 2n1 +1 α∗m α2 (2m1 + 1)! (2n1 + 1)!m2 !n2 ! √ × exp {−i [(2n1 + 1) Ω1 + n2 Ω2 ] t} n2 m1 =0 n1 =0 m2 =0 n2 =0 P.2 × sin t λ21 (2n1 + 1) + λ22 n2 / λ21 (2n1 + 1) + λ22 n2 δ2m1+1,2n1+1 δm2 ,n2−1 = −iλ2 exp −|α2 | − |α1 | 4Cl2 ∞ |α1 |2(2n+1) |α2 |2mα2 (2n + 1)!m! n,m=0 × exp {−i [(2n + 1) Ω1 + (m + 1) Ω2 ] t} × sin t λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 1) / λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 1) SH3a = α2 |l α1 | Uˆ33 (t) |α1 l |α2 n1 Ω1 + n ˆ Ω2 ] t} cos (ˆ µt) |α1 l |α2 = α2 |l α1 | exp {−i [ˆ 2 = exp −|α2 | − |α1 | 4Cl2 ∞ ∞ ∞ ∞ m1 =0 n1 =0 m2 =0 n2 =0 n2 α1 ∗2m1+1 α1 2n1+1 α∗m α2 (2m1 + 1)! (2n1 + 1)!m2 !n2 ! λ21 n ˆ + λ22 n ˆ |2n1 + |n2 n1 Ω1 + n ˆ Ω2 ] t} cos t × m2 | 2m1 + 1| exp {−i [ˆ 2 = exp −|α2 | − |α1 | 4Cl2 ∞ ∞ ∞ ∞ m1 =0 n1 =0 m2 =0 n2 =0 n2 α1 ∗2m1+1 α1 2n1+1 α∗m α2 (2m1 + 1)! (2n1 + 1)!m2 !n2 ! × m2 | 2m1 + 1| exp {−i [(2n1 + 1) Ω1 + n2 Ω2 ] t} × cos t λ21 (2n1 + 1) + λ22 n2 |2n1 + |n2 2 = exp −|α2 | − |α1 | 4Cl2 ∞ ∞ ∞ ∞ m1 =0 n1 =0 m2 =0 n2 =0 n2 α1 ∗2m1+1 α1 2n1+1 α∗m α2 (2m1 + 1)! (2n1 + 1)!m2 !n2 ! × exp {−i [(2n1 + 1) Ω1 + n2 Ω2 ] t} × cos t λ21 (2n1 + 1) + λ22 n2 δ2m1+1,2n1+1 δm2 ,n2 2 = exp −|α2 | − |α1 | 4Cl2 ∞ ∞ m α1 ∗2n+1 α1 2n+1α∗m α2 (2n + 1)!m! n=0 m=0 × exp {−i [(2n + 1) Ω1 + mΩ2 ] t} cos t 2 = exp −|α2 | − |α1 | 4Cl2 ∞ λ21 (2n + 1) + λ22 m ∞ |α1 |2(2n+1) |α2 |2m (2n + 1)!m! n=0 m=0 × exp {−i [(2n + 1) Ω1 + mΩ2 ] t} cos t P.3 λ21 (2n + 1) + λ22 m † SH2b aˆ†2 = α2 |l α1 | Uˆ23 (t) aˆ†2 1 |α1 l |α2 = α2 |l α1 | (i sin (ˆ µt)/ˆ µ ) λ2 ˆa†2 exp {i [ˆ n1Ω1 + (ˆ n2 + 1) Ω2 ] t} ˆa†2 |α1 l |α2 = 4Cl2 iλ2 exp −|α2 |2 − |α1 |2 × ∞ ∞ ∞ ∞ m1 =0 n1 =0 m2 =0 n2 =0 n2 α1 ∗2m1 +1 α1 2n1+1 α∗m α2 (2m1 + 1)! (2n1 + 1)!m2 !n2 ! × m2 | 2m1 + 1| i sin (ˆ µt)/ˆ µ aˆ†2 exp {i [ˆ n1 Ω1 + (ˆ n2 + 1) Ω2 ] t} ˆa†2 |2n1 + |n2 = iλ2 exp −|α2 |2 − |α1 |2 4Cl2 × ∞ ∞ ∞ ∞ m1 =0 n1 =0 m2 =0 n2 =0 n2 α1 ∗2m1 +1 α1 2n1+1 α∗m α2 (2m1 + 1)! (2n1 + 1)!m2 !n2 ! × m2 | 2m1 + 1| exp {i [(2n1 + 3) Ω1 + (n2 + 1) Ω2 ] t} × sin t × √ λ21 (2n1 + 3) + λ22 (n2 + 1) / λ21 (2n1 + 3) + λ22 (n2 + 1) √ √ n2 + 2n1 + 2n1 + |2n1 + |n2 + = iλ2 exp −|α2 |2 − |α1 |2 4Cl2 × ∞ ∞ ∞ ∞ m1 =0 n1 =0 m2 =0 n2 =0 × sin t n2 α1 ∗2m1 +1 α1 2n1+1 α∗m α2 (2m1 + 1)! (2n1 + 1)!m2 !n2 ! λ21 (2n1 + 3) + λ22 (n2 + 1) / λ21 (2n1 + 3) + λ22 (n2 + 1) × exp {i [(2n1 + 3) Ω1 + (n2 + 1) Ω2 ] t} √ √ √ × n2 + 2n1 + 2n1 + 3δ2m1 +1,2n1+3 δm2 ,n2+1 2 = iλ2 exp −|α2 | − |α1 | 4Cl2 ∞ ∞ α1 ∗2n+3α1 2n+1α∗m+1 αm 2 (2n + 1)!m! n=0 m=0 × exp {i [(2n + 3) Ω1 + (m + 1) Ω2 ] t} × sin t λ21 (2n + 3) + λ22 (m + 1) / λ21 (2n + 3) + λ22 (m + 1) 2 = iλ2 exp −|α2 | − |α1 | 4Cl2 ∞ ∞ |α1 |2(2n+1) α1 ∗2 |α2 |2mα∗2 (2n + 1)!m! n=0 m=0 P.4 × exp {i [(2n + 3) Ω1 + (m + 1) Ω2 ] t} λ21 (2n + 3) + λ22 (m + 1) / ×sin t SH2a SH2b aˆ†2 λ21 (2n + 3) + λ22 (m + 1) = −iλ2 exp −|α2 | − |α1 | 4Cl2 ∞ ∞ |α1 |2n+1 |α2 |m α2 (2n + 1)!m! n=0 m=0 × exp {−i [(2n + 1) Ω1 + (m + 1) Ω2 ] t} × sin t λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 1) / λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 1) × iλ2 exp −|α2 | − |α1 | 4Cl2 ∞ ∞ |α1 |2(2n+1) α1 ∗2 |α2 |2mα∗2 (2n + 1)!m! n=0 m=0 × exp {i [(2n + 3) Ω1 + (m + 1) Ω2 ] t} × sin t λ21 (2n + 3) + λ22 (m + 1) / λ21 (2n + 3) + λ22 (m + 1) = λ22 exp −2|α2 |2 − 2|α1 |2 × ∞ 16Cl4 ∞ ∞ ∞ n=0 m=0 n =0 m =0 |α1 |4n+4n +4 |α2 |2m+2m |α2 |2 α1 ∗2 (2n + 1)!m ! (2n + 1)!m! × exp {i [(2n − 2n + 2) Ω1 + (m − m) Ω2 ] t} × sin t λ21 (2n + 3) + λ22 (m + 1) / λ21 (2n + 3) + λ22 (m + 1) × sin t λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 1) / λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 1) † SH3b aˆ†2 = α2 |l α1 | Uˆ33 (t) aˆ†2 1 |α1 l |α2 = α2 |l α1 | exp {i [ˆ n1 Ω1 + n ˆ Ω2 ] t} cos (ˆ µt) aˆ†2 |α1 l |α2 2 = exp −|α2 | − |α1 | 4Cl2 ∞ ∞ ∞ m1 =0 n1 =0 m2 =0 n2 =0 × m2 | 2m1 + 1| exp {i [ˆ n1Ω1 + n ˆ 2Ω2 ] t} × cos t ∞ λ21 n ˆ + λ22 n ˆ2 a ˆ†2 |2n1 + |n2 = exp −|α2 |2 − |α1 |2 4Cl2 P.5 n2 α1 ∗2m1+1 α1 2n1+1 α∗m α2 (2m1 + 1)! (2n1 + 1)!m2 !n2 ! × ∞ ∞ ∞ ∞ n2 α1 ∗2m1 +1 α1 2n1+1 α∗m α2 (2m1 + 1)! (2n1 + 1)!m2 !n2 ! m1 =0 n1 =0 m2 =0 n2 =0 × m2 | 2m1 + 1| exp {i [(2n1 + 3) Ω1 + n2Ω2 ] t} √ √ cos t λ21 (2n1 + 3) + λ22 n2 2n1 + 2n1 + |2n1 + |n2 2 = exp −|α2 | − |α1 | 4Cl2 ∞ ∞ ∞ n2 α1 ∗2m1+1 α1 2n1+1 α∗m α2 m1 =0 n1 =0 m2 =0 n2 =0 × exp {i [(2n1 + 3) Ω1 + n2 Ω2 ] t} cos t ∞ √ (2m1 + 1)! (2n1 + 1)!m2 !n2 ! √ 2n1 + 2n1 + λ21 (2n1 + 3) + λ22 n2 δ2m1+1,2n1+3 δm2 ,n2 2 = exp −|α2 | − |α1 | 4Cl2 ∞ ∞ |α1 |2(2n+1) α1 ∗2 |α2 |2m (2n + 1)!m! n=0 m=0 × exp {i [(2n + 3) Ω1 + mΩ2 ] t} cos t SH3a SH3b aˆ†2 2 = exp −|α2 | − |α1 | λ21 (2n + 3) + λ22 m 4Cl2 × exp −|α2 | − |α1 | 4Cl2 ∞ = exp −2|α2 | − 2|α1 | |α1 |2(2n+1) |α2 |2m (2n + 1)!m! n=0 m=0 ∞ |α1 |2(2n+1) α1 ∗2 |α2 |2m (2n + 1)!m! n=0 m=0 × exp {i [(2n + 3) Ω1 + mΩ2 ] t} cos t ∞ λ21 (2n + 1) + λ22 m × exp {−i [(2n + 1) Ω1 + mΩ2 ] t} cos t ∞ 16Cl4 ∞ ∞ λ21 (2n + 3) + λ22 m ∞ n=0 m=0 n ∞ m |α1 |2(2n +2n+2) |α2 |2(m +m) α∗2 (2n + 1)!m ! (2n + 1)!m! × exp {i [(2n − 2n + 2) Ω1 + (m − m) Ω2 ] t} × cos t λ21 (2n + 3) + λ22 m cos t λ21 (2n + 1) + λ22 m aˆ†2 = SH1a SH1b aˆ†2 + SH2a SH2b aˆ†2 + SH3a SH3b aˆ†2 1 1 = λ22 exp −2|α2 |2 − 2|α1 |2 P.6 × ∞ 16Cl4 ∞ ∞ ∞ |α1 |2(2n+2n +2) |α2 |2(m+m ) |α2 |2 α1 ∗2 (2n + 1)!m ! (2n + 1)!m! n=0 m=0 n =0 m =0 × exp {i [(2n − 2n) Ω1 + (m − m) Ω2 ] t} exp {2iΩ1 t} × sin t λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 1) / λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 1) × sin t λ21 (2n + 3) + λ22 (m + 1) / λ21 (2n + 3) + λ22 (m + 1) 2 + exp −2|α2 | − 2|α1 | 16Cl4 ∞ ∞ |α1 |2(2n +2n+2) |α2 |2(m +m) α∗2 (2n + 1)!m ! (2n + 1)!m! n=0 m=0 × exp {i [(2n − 2n) Ω1 + (m − m) Ω2 ] t} exp {i2Ω1 t} λ21 (2n + 1) + λ22 m cos t × cos t = exp −2|α2 | − 2|α1 | 16Cl4 ∞ ∞ λ21 (2n + 3) + λ22 m ∞ ∞ n=0 m=0 n =0 m =0 |α1 |2(2n +2n+2) |α2 |2(m +m) (2n + 1)!m ! (2n + 1)!m! × exp {i [(2n − 2n + 2) Ω1 + (m − m) Ω2 ] t} α1 ∗2 × λ22 |α2 |2 sin t λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 1) / λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 1) λ21 (2n + 3) + λ22 (m + 1) / λ21 (2n + 3) + λ22 (m + 1) × sin t λ21 (2n + 1) + λ22 m cos t + cos t λ21 (2n + 3) + λ22 m (1) σ20 = Re aˆ†2 = λ22 exp −2|α2 |2 − 2|α1 |2 × 16Cl4 ∞ ∞ ∞ ∞ n=0 m=0 n =0 m =0 |α1 |2(2n+2n +2) |α2 |2(m+m ) |α2 |2 α1 ∗2 (2n + 1)!m ! (2n + 1)!m! × cos {[(2n − 2n + 2) Ω1 + (m − m) Ω2 ] t} × sin t λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 1) / λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 1) × sin t λ21 (2n + 3) + λ22 (m + 1) / λ21 (2n + 3) + λ22 (m + 1) + exp −2|α2 | − 2|α1 | 16Cl4 ∞ ∞ |α1 |2(2n +2n+2) |α2 |2(m +m) α∗2 (2n + 1)!m ! (2n + 1)!m! n=0 m=0 P.7 × exp {i [(2n − 2n) Ω1 + (m − m) Ω2 ] t} exp {i2Ω1 t} × cos t λ21 (2n + 1) + λ22 m cos t = exp −2r2 − 2r1 16Cl4 ∞ ∞ λ21 (2n + 3) + λ22 m ∞ ∞ n=0 m=0 n =0 m =0 |r1 |2(2n +2n+2) r2 2(m +m) (2n + 1)!m ! (2n + 1)!m! × exp {i [(2n − 2n + 2) Ω1 + (m − m) Ω2 ] t} α1 ∗2 × λ22 r2 sin t λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 1) / λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 1) × sin t λ21 (2n + 3) + λ22 (m + 1) / λ21 (2n + 3) + λ22 (m + 1) + cos t λ21 (2n + 1) + λ22 m cos t λ21 (2n + 3) + λ22 m Tính tốn tương tự, ta có: (1) ˆ†1aˆ1 = exp −2r2 − 2r1 16Cl4 σ11 = Re a × ∞ ∞ ∞ ∞ n=0 m=0 n =0 m =0 r1 2(2n +2n+2) r2 2(m +m) (2n + 1)!m ! (2n + 1)!m! × (2n + 1) cos {[(2n − 2n) Ω1 + (m − m) Ω2 ] t} × λ22 r2 sin t × sin t + cos t λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 1) / λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 1) λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 1) / λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 1) λ21 (2n + 1) + λ22 m cos t λ21 (2n + 1) + λ22 m (1) σ10 = aˆ†1 = (1) σ40 = Re a ˆ†4 = 16Cl4 λ22 exp −2r2 − 2r1 × ∞ ∞ ∞ ∞ n=0 m=0 n =0 m =0 r1 2(2n+2n +2) r2 2(m+m ) (2n + 1)!m ! (2n + 1)!m! × cos s {[(2n − 2n + 4) Ω1 + (m − m) Ω2 ] t} α1 ∗4 P.8 × λ22 r2 sin t λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 1) / λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 1) × sin t λ21 (2n + 5) + λ22 (m + 1) / λ21 (2n + 5) + λ22 (m + 1) + cos t λ21 (2n + 1) + λ22 m c os t (1) σ22 = exp −2r2 − 2r1 16Cl4 ∞ ∞ λ21 (2n + 5) + λ22 m ∞ ∞ n=0 m=0 n =0 m =0 r1 2(2n +2n+2) r2 2(m +m) (2n + 1)!m ! (2n + 1)!m! × (2n + 1) 2n cos {[(2n − 2n) Ω1 + (m − m) Ω2 ] t} × λ22 r2 sin t λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 1) / λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 1) × sin t λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 1) / λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 1) + cos t λ21 (2n + 1) + λ22 m (1) σpp = exp −2|α2 | − 2|α1 | cos t 16Cl4 ∞ λ21 (2n + 1) + λ22 m ∞ ∞ ∞ n=0 m=0 n =0 m =0 |α1 |4n +4n+4 |α2 |2(m +m) (2n + 1)!m ! (2n + 1)!m! × (2n + 1) 2n × × (2n + − p + 1) cos {[(2n − 2n) Ω1 + (m − m) Ω2 ] t} × λ22 |α2 |2 sin t λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 1) / λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 1) × sin t λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 1) / λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 1) + cos t λ21 (2n + 1) + λ22 m cos t λ21 (2n + 1) + λ22 m (2) ˆ†2 = 16Cl4 exp −2|α2 |2 − 2|α1 |2 σ20 = Re a × ∞ ∞ ∞ ∞ n=0 m=0 n =0 m =0 |α1 |2(2n +2n+2) |α2 |2(m +m) (2n + 1)!m ! (2n + 1)!m! × cos {[(2n − 2n) Ω1 + (m − m + 2) Ω2 ] t} α2 ∗2 × λ22 |α2 |2 sin t λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 1) / λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 1) × sin t λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 3) / λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 3) P.9 + cos t λ21 (2n + 1) + λ22 m cos t λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 2) (2) σ11 = 16Cl4 exp −2|α2 |2 − 2|α1 |2 × ∞ ∞ ∞ ∞ n=0 m=0 n =0 m =0 |α1 |2(2n +2n+2) |α2 |2(m +m) (2n + 1)!m ! (2n + 1)!m! × m cos {[(2n − 2n) Ω1 + (m − m) Ω2 ] t} × λ22 |α2 |2 sin t λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 1) / λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 1) × sin t λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 1) / λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 1) + cos t λ21 (2n + 1) + λ22 m cos t (2) σ10 = exp −2r2 − 2r1 16Cl4 ∞ ∞ λ21 (2n + 1) + λ22 m ∞ ∞ n=0 m=0 n =0 m =0 r1 4n +4n+4 r2 2m +2m (2n + 1)!m ! (2n + 1)!m! × r2 cos {[(2n − 2n) Ω1 + (m − m + 1) Ω2 ] t − θ2 } × {λ22 r2 sin t λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 1) / λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 1) × sin t λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 2) / λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 2) + cos t λ21 (2n + 1) + λ22 m cos t (2) σ40 = exp −2r2 − 2r1 16Cl4 ∞ ∞ λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 1) } ∞ ∞ n=0 m=0 n =0 m =0 r1 2(2n +2n+2) r2 2(m +m) (2n + 1)!m ! (2n + 1)!m! × cos s {[(2n − 2n) Ω1 + (m − m + 4) Ω2 ] t} α2 ∗4 × λ22 r2 sin t λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 1) / λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 1) × sin t λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 4) / λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 4) + cos t λ21 (2n + 1) + λ22 m cos t P.10 λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 4) (2) σ22 = 16Cl4 exp −2r2 − 2r1 ∞ ∞ ∞ ∞ n=0 m=0 n =0 m =0 r1 2(2n +2n+2) r2 2(m +m) (2n + 1)!m ! (2n + 1)!m! × m (m − 1) cos s {[(2n − 2n) Ω1 + (m − m) Ω2 ] t} × λ22 r2 sin t λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 1) / λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 1) × sin t λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 1) / λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 1) + cos t λ21 (2n + 1) + λ22 m cos t (2) σpp = exp −2r2 − 2r1 16Cl4 ∞ ∞ λ21 (2n + 1) + λ22 m ∞ ∞ n=0 m=0 n =0 m =0 r1 2(2n +2n+2) r2 2(m +m) (2n + 1)! (m − p)! (2n + 1)!m! × cos {[(2n − 2n) Ω1 + (m − m) Ω2 ] t} × λ22 r2 sin t λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 1) / λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 1) × sin t λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 1) / λ21 (2n + 1) + λ22 (m + 1) + cos t λ21 (2n + 1) + λ22 m cos t P.11 λ21 (2n + 1) + λ22 m ... ĐÀO THỊ LÝ KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA PHOTON TRONG HỆ TƯƠNG TÁC NGUYÊN TỬ BA MỨC VỚI HAI PHOTON BAN ĐẦU Ở TRẠNG THÁI KẾT HỢP VÀ KẾT HỢP LẺ Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ... Trí khảo sát tính chất phi cổ điển photon hệ tương tác nguyên tử ba mức với hai photon ban đầu trạng thái kết hợp kết hợp thêm photon [8] Cũng thời gian này, Huỳnh Thị Thùy Trâm khảo sát tính chất. .. độ hệ tương tác 37 2.3 Tính biểu thức trung bình tốn tử cần khảo sát 39 CHƯƠNG 3: KHẢO SÁT TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA PHOTON THEO HAI PHOTON BAN ĐẦU Ở TRẠNG THÁI KẾT HỢP VÀ KẾT HỢP LẺ