Giả thuyết và chứng minh trong khám phá tự nghiệm các bài toán có tính không thể của học sinh trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TRẦN ĐÌNH PHƢƠNG GIẢ THUYẾT VÀ CHỨNG MINH TRONG KHÁM PHÁ TỰ NGHIỆM CÁC BÀI TOÁN CĨ TÍNH KHƠNG THỂ CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Lý luận Phƣơng pháp dạy học mơn Tốn Mã số: 60140111 LUẬN VĂN THẠC SĨ CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS TRẦN VUI Huế, 2016 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, liệu kết nghiên cứu luận văn trung thực, chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Trần Đình Phương ii LỜI CẢM ƠN Trước hết tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc, chân thành đến thầy Trần Vui, người nhiệt tình hướng dẫn, bảo giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân trọng cám ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Huế, Phịng đào tạo sau đại học, q thầy khoa Tốn, đặc biệt thầy thuộc chun ngành Lí luận Phương pháp dạy học mơn Tốn tận tình giảng dạy, chia sẻ cho tơi nhiều tri thức, kinh nghiệm quý báu năm học vừa qua Sau cùng, xin cám ơn em học sinh yêu quý trường THPT Phan Đăng Lưu nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình thực nghiệm Do hạn chế thời gian, khả thân nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận nhiều góp ý chân thành để luận văn trở nên hồn thiện có ý nghĩa Xin trân trọng cám ơn iii MỤC LỤC TRANG PHỤ BÌA i LỜI CAM ĐOAN ii LỜI CẢM ƠN iii MỤC LỤC iv Chƣơng GIỚI THIỆU 1.1 Giới thiệu đặt vấn đề 1.2 Các thuật ngữ 1.3 Mục đích nghiên cứu .5 1.4 Câu hỏi nghiên cứu 1.5 Ý nghĩa nghiên cứu 1.6 Tiểu kết chương Chƣơng TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN 2.1 Các kết nghiên cứu liên quan 2.2 Nền tảng lý thuyết 2.2.1 Toán học giải vấn đề 2.2.2 Toán học đặt giả thuyết 2.2.3 Toán học đưa chứng minh 11 2.2.4 Chứng minh tính khơng thể 19 2.2.5 Khám phá tự nghiệm .20 2.2.6 Chứng minh phản chứng 22 2.3 Tiểu kết chương 23 Chƣơng PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU .24 3.1 Phương pháp nghiên cứu .24 3.2 Công cụ nghiên cứu .25 3.2.1 Các phiếu học tập sử dụng nghiên cứu 25 3.2.2 Thang mức đánh giá khả đặt giả thuyết thông qua khám phá tự nghiệm 25 3.2.3 Thang mức đánh giá khả tìm đường chứng minh thông qua khám phá tự nghiệm 27 3.3 Tiểu kết chương 29 iv Chƣơng KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 30 4.1 Phiếu thực nghiệm số 30 4.2 Phiếu học tập .38 4.3 Tiểu kết chương 44 Chƣơng THẢO LUẬN VÀ KẾT LUẬN 45 5.1 Thảo luận câu hỏi nghiên cứu 45 5.1.1 Câu hỏi nghiên cứu thứ 45 5.1.2 Câu hỏi nghiên cứu thứ hai .46 5.1.3 Câu hỏi nghiên cứu thứ 46 5.2 Hướng phát triển đề tài 47 5.3 Tiểu kết chương 48 KẾT LUẬN 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 PHỤ LỤC v Chƣơng GIỚI THIỆU 1.1 Giới thiệu đặt vấn đề Ta thừa nhận triết lí, tốn học, giáo dục tốn học có mối quan hệ biện chứng với Các nhìn nhận triết lí người ảnh hưởng đến quan điểm tốn học việc dạy học tốn người Tuy nhiên tính trung tâm triết lí mối quan hệ phức tạp với việc phát triển lí thuyết giáo dục tốn học đề cập cách hai thập kỉ, Ernest (1991, [6]) Steiner (1987, [24]) nhìn nhận tầm quan trọng vấn đề nhận thức luận có ảnh hưởng đến việc dạy học toán Câu hỏi toán học gì, với quan tâm đến việc dạy học toán, đưa đến nhu cầu phát triển triết lí tốn học tương thích với giáo dục tốn Có nhiều lí thuyết gia đóng vai trò trực tiếp hay gián tiếp vấn đề này, chúng tơi xin đề cập đến ba lí thuyết gia tiêu biểu: Lakatos, Hersh Ernest Hersh bắt đầu quảng bá sách: “Các Chứng minh Bác bỏ” Lakatos đến cộng đồng toán học báo có tựa đề “Giới thiệu Imre Lakatos” (1978, [8]) kêu gọi cộng đồng nhà toán học quan tâm đến việc xem xét lại triết lý toán học Hersh (1979, [9]) định nghĩa “triết lý toán học” triết lý để làm việc nhà toán học chuyên nghiệp, thái độ triết học cơng việc ngầm định nhà nghiên cứu, giáo viên, người sử dụng toán học đặc biệt vấn đề trọng tâm: “phân tích tính đắn ý nghĩa vấn đề toán học” Sau này, Hersh (1991, [10]) viết: So với tốn học q trình phát triển (tốn học mặt sau) tốn học thức (tốn học mặt trước) hình thức, xác trừu tượng Nó phân biệt rõ ràng theo định nghĩa, định lý nhận xét Đối với câu hỏi có câu trả lời hay gán cho nhãn là: “câu hỏi mở” Mục đích phát biểu phần đầu chương, đạt phần sau So với toán học mặt trước, tốn học mặt sau rời rạc, khơng hình thức, trực quan, nhạy cảm Chúng ta thử hay kia, nói “có thể xảy ra” “nó trơng giống như” Như vậy, Hersh khơng quan tâm q nhiều đến vấn đề có tính thể luận khơ khan chất tốn học đối tượng toán học, mà lại quan tâm nhiều đến phương pháp luận việc làm tốn, làm cho tốn học trở thành hoạt động người Ernest (1991, [6]) dựa quan điểm triết lý Lakatos toán học để thiết lập Triết lý giáo dục toán lý thuyết kiến tạo xã hội triết lý toán học Ernest tuyên bố triết lý chấp nhận sai lầm kiến tạo xã hội toán học trình bày Lakatos khơng đạt thực hành giáo dục, mà Lakatos tiên liệu trước ứng dụng (tr 208) Ernest quan niệm toán học nhà trường cần phải theo chất kiến tạo mang tính xã hội trình bày Lakatos, cho giáo viên học sinh nên tham gia theo cách vào tranh luận, đặc biệt đặt giải vấn đề, nối kết đối mặt với giả thuyết, tham gia vào thảo luận khởi đầu Như triết lý toán học, Ernest (1991, [6]) cho kiến tạo xã hội xem toán học cấu trúc mang tính xã hội Nó dựa vào “thuyết qui ước cộng đồng” để thừa nhận “ngôn ngữ người, qui tắc thỏa thuận đóng vai trị quan trọng việc thiết lập kiểm chứng tính đắn tốn học” (tr 42) Ernest đưa ba cho triết lý này: - Kiến thức có tính ngơn ngữ, qui ước cộng đồng qui tắc định hình tảng kiến thức toán học - Các trình có tính xã hội cá nhân cấn thiết để chuyển kiến thức toán học chủ quan cá nhân thành kiến thức toán học khách quan thừa nhận - Tính khách quan hiểu mang tính xã hội Điều để phân biệt lý thuyết kiến tạo xã hội với triết lý khác tốn học quan tâm đến tương tác kiến thức toán học chủ quan kiến thức toán học khách quan Khi kiến thức toán học khám phá cá nhân, kiến thức chủ quan trở thành kiến thức thừa nhận cộng đồng, trở thành khách quan Rồi thì, kiến thức phổ biến cho người khác, họ phải tiếp thu lại trở thành chủ quan Kiến thức tốn học người sáng tạo hay khám phá theo bối cảnh xã hội Thuyết kiến tạo xã hội dựa vào việc chấp nhận sai lầm chứng minh chứng để quan niệm toán học cấu trúc mang tính xã hội tốn học thiếu chắn Nếu việc kiểm chứng kết tốn học sai, kết toán học chủ quan câu hỏi Thuyết kiến tạo xã hội cho chứng minh tốn học trở thành thừa nhận cộng đồng, thể trạng thái “kết x, y, z… tồn tại” Nói cách khác, giáo dục tốn, học sinh cần biết gánh nặng chứng minh thuyết phục người khác gánh nặng thay đổi thời điểm khác nhau, phụ thuộc vào tính chặt chẽ địi hỏi cộng đồng toán học cụ thể Theo cách này, học sinh nhận em cần nhạy bén với xem chứng minh cộng đồng Nó trái ngược với ý tưởng cho chứng minh suy diễn có hệ thống chặt chẽ từ kết toán học biết Cùng với phát triển giáo dục giới, giáo dục nước ta nói chung giáo dục tốn nói riêng có chuyển biến tích cực Định hướng quan trọng đổi phương pháp giáo dục phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh, “lấy học sinh làm trung tâm” Theo quan điểm nhiều nhà giáo dục toán học nay, giải vấn đề kĩ trọng tâm việc học toán Casti (2001, [4]) cho rằng: “lí tồn tốn học đơn giản để giải vấn đề” Và Schoenfeld (1979, [22]) việc giảng dạy giải vấn đề thông qua “khám phá tự nghiệm” giúp nâng cao khả giải vấn đề toán học Khám phá tự nghiệm toán học đặc trưng đoán, đưa giả thuyết, chứng minh bác bỏ Margolis (1987, [15]) cho rằng: “mọi định lý xuất phát từ giả thuyết” Nhưng, mệnh đề coi sản phẩm toán học phải chứng minh chặt chẽ lập luận logic Điều cho thấy việc đặt giả thuyết chứng minh quan trọng phát triển tốn học Việc sử dụng “tính khơng thể” toán học để học sinh khám phá tự nghiệm cần thiết bởi: Bản thân giả thuyết “tính khơng thể” tình có vấn đề, khuyến khích học sinh tìm tịi, đặt giả thuyết, đưa chứng minh, bác bỏ giả thuyết, bổ đề, đưa phản ví dụ; trình đưa bác bỏ, giả thuyết hình thành Và lại tiếp tục nảy sinh tình có vấn đề Các phản ví dụ đưa phát triển thành giả thuyết Quá trình liên tục lặp lại, tình có vấn đề liên tiếp tạo cách tự nhiên trình phát triển tri thức toán Học sinh bị mê vấn đề đặt Từ em có hứng thú việc học kiến thức Tốn nói riêng, Tốn học nói chung Các tốn “tính khơng thể” tạo cho em tò mò khám phá tri thức, linh động tư Với lí trên, tơi thấy thật cần thiết có nghiên cứu khả đặt giả thuyết tìm đường chứng minh học sinh khám phá tự nghiệm tốn tính khơng thể nào, nhằm để giáo viên giúp học sinh nâng cao khả giải vấn đề Vì chọn: “Giả thuyết chứng minh khám phá tự nghiệm tốn có “tính khơng thể” học sinh trung học phổ thông” làm đề tài cho luận văn 1.2 Các thuật ngữ Giả thuyết phương án suy luận giả định từ ý tưởng nảy sinh áp dụng để giải vấn đề Giả thuyết hình thành sở nhận diện vấn đề, tổng hợp phân tích thông tin, đánh giá điều kiện chủ quan khách quan mức độ phù hợp với mục tiêu đề Chứng minh trình đưa lập luận để chứng tỏ giả thuyết đặt cho trường hợp không trừ trường hợp cụ thể Khám phá tự nghiệm trình học sinh đưa phương án để giải vấn đề dựa đoán, đặt giả thuyết 1.3 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đề tài: Giả thuyết chứng minh khám phá tự nghiệm tốn có tính khơng thể học sinh trung học phổ thông nhằm:  Đánh giá khả đặt giả thuyết chứng minh học sinh trung học phổ thông khám phá tự nghiệm thông qua tốn tính khơng thể  Từ đó, đề xuất phương án nhằm nâng cao khả đặt giả thuyết chứng minh học sinh 1.4 Câu hỏi nghiên cứu Với mục đích nghiên cứu trên, đề tài nhằm mục đích trả lời cho câu hỏi sau đây:  Khả đặt giả thuyết học sinh trung học phổ thông khám phá tự nghiệm tốn có tính khơng thể nào?  Khả tìm đường chứng minh học sinh trung học phổ thông khám phá tự nghiệm tốn cótính khơng thể nào?  Làm để giúp học sinh nâng cao khả đặt giả thuyết chứng minh khám phá tự nghiệm toán có tính khơng thể? 1.5 Ý nghĩa nghiên cứu Nghiên cứu mong đợi góp phần làm sáng tỏ khả đặt giả thuyết chứng minh học sinh THPT qua khám phá tự nghiệm tốn có tính khơng thể Tìm kiếm đề xuất số phương án nhằm nâng cao khả đặt giả thuyết chứng minh học sinh 1.6 Tiểu kết chƣơng Trong chương này, trình bày lập luận ban đầu cho thấy cần thiết phải thực nghiên cứu Chúng tơi trình bày mục đích ý nghĩa nghiên cứu, đồng thời đưa câu hỏi nghiên cứu, định nghĩa số thuật ngữ sử dụng luận văn Hình 4.5 Kết làm học sinh Qua toán ta thấy, em bắt đầu tiếp cận toán việc đưa giả thuyết mà sở tưởng tượng mặt hình ảnh, em đưa lập luận để chứng minh giả thuyết đó, lập luận khơng xác bị bác bỏ Tiếp sau đó, em đưa chiến lược hợp lí để tìm đường chứng minh cho giả thuyết đặt giả thuyết con, giả thuyết bị bác bỏ lập luận suy diễn chặt chẽ Và nhờ kết có trình tìm đường chứng minh cho giả thuyết đặt ban đầu, em bác bỏ giả thuyết ban đầu, hồn thành tốn Các giả thuyết em đưa đa phần khơng đúng, mặt sư phạm giả thuyết đưa hồn tồn có sở dựa trực giác kiến thức có em Chứng minh em trình bày phiếu học tập xếp cách logic, chối cãi Xét tổng thể việc giải vấn đề mà nhà nghiên cứu đưa ra, khả đặt giá thuyết tìm đường chứng minh em tốt, đạt mức tối đa theo thang mức mà đề xuất Từ kết thực nghiệm, nhận thấy việc giải vấn đề có tính khơng thể thơng qua khám phá tự nghiệm giúp học sinh phát triển khả 43 đặt giả thuyết tìm đường để chứng minh Việc thảo luận nhóm góp phần giúp em phát triển kĩ 4.3 Tiểu kết chƣơng Trong chương tơi trình bày kết thu từ trình thực nghiệm; qua đưa phân tích, đánh giá khả đặt giả thuyết tìm đường chứng minh học sinh khám phá tự nghiệm tốn có tính khơng thể Các kết luận có từ kết nghiên cứu trình bày chương 44 Chƣơng THẢO LUẬN VÀ KẾT LUẬN Chương đưa kết luận ban đầu nghiên cứu chúng tơi, đóng góp, hạn chế hướng phát triển đề tài Trong phần đầu luận văn, chúng tơi trình bày mục tiêu nghiên cứu đề tài là: Đánh giá khả đặt giả thuyết tìm đường chứng minh học sinh trung học phổ thông khám phá tự nghiệm thơng qua tốn tính khơng thể Để đánh giá khả đó, tơi đề xuất hai thang mức, thang mức giá khả đặt giả thuyết học sinh thông qua khám phá tự nghiệm (thang có mức từ mức đến mức theo tăng dần khả năng) thang mức đánh giá khả tìm đường chứng minh học sinh thông qua khám phá tự nghiệm (thang có mức, từ mức đến mức theo mức độ tăng dần khả năng) Chúng cụ thể hóa mục tiêu nghiên cứu thành câu hỏi nghiên cứu:  Khả đặt giả thuyết học sinh trung học phổ thông khám phá tự nghiệm tốn có tính khơng thể nào?  Khả tìm đường chứng minh học sinh trung học phổ thông khám phá tự nghiệm tốn có tính khơng thể nào?  Làm để giúp học sinh nâng cao khả đặt giả thuyết tìm đường chứng minh khám phá tự nghiệm tốn có tính khơng thể? 5.1 Thảo luận câu hỏi nghiên cứu 5.1.1 Câu hỏi nghiên cứu thứ Khả đặt giả thuyết học sinh trung học phổ thông khám phá tự nghiệm tốn có tính khơng thể nào? Qua kết thực nghiệm phân tích chương 4, thấy khả đặt giả thuyết học sinh trung học phổ thông thông qua khám phá tự nghiệm tốn có tính khơng thể tốt, đạt mức cao theo thang mức mà đề xuất 45 Các giả thuyết mà em đưa phán đốn ngẫu nhiên, khơng có sở mà dựa vào việc quan sát hình ảnh, tínhchất, quy luật có từ việc thử số trường hợp toán, hay từ việc hay số giả thiết định lí cho phép kết luận vấn đề xem xét thỏa mãn 5.1.2 Câu hỏi nghiên cứu thứ hai Khả tìm đường chứng minh học sinh trung học phổ thông khám phá tự nghiệm tốn có tính nào? Sau đưa giả thuyết, em bắt đầu mường tượng đường chứng minh giả thuyết đó, em thường bắt đầu việc tìm đường chứng minh lập luận có từ q trình thực nghiệm hay khái quát hóa từ vài trường hợp cụ thể tốn, em tìm kiếm lập luận thích hợp giúp cho việc tạo chứng minh suy diễn, em đưa giả thuyết con, nhằm tạo sở lập luận cho việc chứng minh giả thuyết chinh, em lại tự bác bỏ giả thuyết mà đặt người khác phản ví dụ hay lập luận suy diễn chặt chẽ Kết thực nghiệm cho ta thấy đa phần em ý thức cần phải đưa chứng minh tổng qt khơng phải chứng minh trường hợp cụ thể nào, em lập kế hoạch để tìm chứng cho phép tạo thành chứng minh Tuy nhiên, số học sinh hiểu chứng minh người khác chưa thể tự đưa lập luận để chứng minh có khả đưa lập luận chứng minh chưa xét hết tất trường hợp xảy hay lập luận dựa việc ngộ nhận định lí 5.1.3 Câu hỏi nghiên cứu thứ Làm để giúp học sinh nâng cao khả đặt giả thuyết tìm đường chứng minh khám phá tự nghiệm tốn có tính khơng thể? Như chúng tơi đề cập trước đó, mơi trường học hợp tác tạo điều kiện thuận lợi giúp em phát triển khả đặt giả thuyết tìm đường chứng minh nói chung khám phá tự nghiệm tốn có tính khơng thể nói riêng Các em thảo luận để đưa giả thuyết có giá trị, hỗtrợ lẫn 46 việc đưa chứng chứng minh giả thuyết, đưa lập luận để bỏ giả thuyết đặt Các tốn có tính khơng thể ẩn chứa nhiều vấn đề lơi học sinh giải Tuy nhiên, số lượng tốn thuộc loại sách giáo khoa khơng nhiều Giáo viên cần tự tạo tốn đặc sắc để thơng qua khám phá tự nghiệm em học cách giải vấn đề Giáo viên cần tạo môi trường học tập thân thiện, nơi mà em thoải mái nói lên lập luận, suy đốn mình, hay bảo vệ, bác bỏ lập luận người khác, nơi mà em phép mắc sai lầm mơi trường giúp em phát triển khả đặt giả thuyết tìm đường chứng minh phù hợp với kiến thức có Giáo viên cần chọn tốn hấp dẫn, lơi để em khám phá tự nghiệm, có nâng đỡ vừa sức em gặp khó khăn việc đưa giả thuyết hay tìm đường chứng minh Giáo viên cần giúp học sinh ý thức cần phải có chứng minh tổng quát cho vấn đề xem xét không kiểm chứng hay chứng minh cho trường hợp cụ thể, đặc biệt Ứng dụng cơng nghệ thơng tin vào dạy học hỗ trợ em việc thực nghiệm, mường tượng hình ảnh, từ giúp em có thêm sở để đưa giả thuyết, định hướng chứng minh 5.2 Hƣớng phát triển đề tài Do thời gian khả có hạn nên đề tài chưa sâu rộng, thực nghiệm thực số học sinh nên nghiên cứu xa chúng tơi thực nghiệm số lượng học sinh nhiều để có đánh giá đắn khả đặt giả thuyết tìm đường chứng minh khám phá tự nghiệm tốn có tính khơng thể Hơn nữa, đề tài dừng lại việc đánh giá học sinh Trung học phổ thông, nên phát triển theo hướng đánh giá học sinh trung học sở 47 Hướng phát triển mà tơi dự định tìm hiểu ảnh hưởng khám phá tự nghiệm việc hiểu khái niệm học sinh, cụ thể nghiên cứu ảnh hưởng học sinh cấp cấp 5.3 Tiểu kết chƣơng Trong chương này, trả lời câu hỏi nghiên cứu dựa kết thu thập Dựa vào kết có nghiên cứu, chúng tơi đề xuất hướng phát triển luận văn Phần kết luận cuối luận văn tóm tắt lại kết bật nghiên cứu nêu lên số ý nghĩa quan trọng rút từ luận văn 48 KẾT LUẬN Giải vấn đề kĩ quan trọng việc học toán học sinh Để giải vấn đề tốt khả đặt giả thuyết tìm đường chứng minh phải tốt Do đó, giáo viên cần khuyến khích, thúc đẩy, phát triển khả đặt giả thuyết tìm đường chứng minh học sinh, theo sát trình tư học sinh để kịp thời có biện pháp sư phạm giúp học sinh vượt qua chướng ngại trình lập luận đưa giả thuyết định hướng đường chứng minh Khi chứng minh điều khơng thể xảy ra, khơng tồn lập luận phải ln ln tổng qt, rõ ràng, dứt khốt Do đó, q trình giảng dạy, giáo viên cần trọng đến tốn có tính khơng thể Từ kết nghiên cứu ta thấy khả đặt giả thuyết tìm đường chứng minh học sinh khám phá tự nghiệm tốn có tính khơng thể khả quan Thơng qua việc đưa tốn số trường hợp cụ thể, quan sát hình vẽ, liên kết liệu có học sinh đưa giả thuyết, sau lập luận, tìm kiếm chứng cho phép chứng minh giả thuyết Trong trình tìm đường chứng minh, đơi em lại tiếp tục đưa giả thuyết con, giả thuyết em chứng minh tìm luận chứng để bác bỏ em nghi ngờ tính đắn Và vậy, trình tiếp diễn giả thuyết chứng minh Các kết nghiên cứu cho thấy, khám phá tự nghiệm tốn có tính khơng thể tạo điều kiện thuận lợi giúp em chủ động việc tìm phương án giải vấn đề, em hăng hái thảo luận, đưa phán đoán, lập luận thân để thuyết phục hay phản biện với người khác Các em tự tin hoàn toàn chủ động việc khám phá tốn học 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO I Tiếng Việt Trần Dũng (2007), Sử dụng mơ hình hố tốn học chương trình tốn phổ thơng để nâng cao khả giải vấn đề cho người học, Luận Văn Thạc sĩ, Đại học Sư phạm, Đại học Huế Lê Văn Tiến (2005), Phương pháp dạy học mơn tốn trường phổ thơng, Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh II Tiếng Anh Boero, P (1999) Argumentation and mathematical proof: A complex, productive, unavoidable relationship in mathematics and mathematics education International newsletter on the teachingand learning of mathematical proof Casti, J L (2001) Mathematical mountaintops: The five most famous problems of alltime New York: Oxford University Press Davis, P J., & Hersh, R (1981) The mathematical experience Boston: Houghton Mifflin Ernest, P (1991) The Philosophy of Mathematics Education London: Falmer Hanna, G., & de Villiers, M (2008) ICMI Study 19: Proof and proving in mathematics education ZDM International Journal on Mathematics Education, 40(2) Hersh, R (1978) Introducing Imre Lakatos Mathematical Intelligencer, 1(3), 148–151 Hersh, R (1979) Some proposals for revising the philosophy of mathematics Advances in Mathematics, 31, 31–50 10 Hersh, R (1991) Mathematics has a front and a back New directions in the philosophy of mathematics Synthese, 88(2), 127–133 11 Kac, M., & Ulam, S M (1969) Mathematics and Logic The New American Library 12 Krulik, S (Ed.) (1980) Problem solving in school mathematics Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics 13 Laczkovich, M (2001) Conjecture and proof The Mathematical Association of America 50 14 Lakatos, I (1976) Proofs and refutations: The logic of mathematical discovery (J.Worrall & E Zahar, Eds.) New York: Cambridge University Press 15 Margolis, H (1987) Patterns, thinking, and cognition Chicago: University of Chicago Press 16 Polya, G (1954a) Mathematics and plausible reasoning: Induction and analogy in mathematics (Vol 1) Princeton, NJ: Princeton University Press 17 Polya, G (1957) How to solve it Princeton, NJ: Princeton University Press 18 Polya, G (1965) Mathematical discovery: On understanding, learning, and teaching problem solving New York: Wiley 19 Reiss, K., & Renkl, A (2002) Learning to prove: The idea of heuristic examples ZDM Zentralblatt fuăr Didaktik der Mathematik, 34(1) 20 Reiss, K., & Toărner, G (2007) Problem solving in the mathematics classroom: The German perspective ZDM The International Journal on Mathematics Education, 39(5–6), 431–442 21 Reiss, K., Klieme, E & Heinze, A (2001) Prerequisites for the understanding of proofs in the geometry classroom In M van den Heuvel-Panhuizen (Ed.), Proceedings of the 25th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education Utrecht: Utrecht University 22 Schoenfeld, A H (1979) Explicit heuristic training as a variable in problemsolving performance Journal of Research in Mathematical Education, 10,173–187 23 Schoenfeld, A H (1983b) Problem solving in the mathematics curriculum: A report, recommendations and an annotated bibliography Washington, DC: Mathematical Association of America 24 Steiner, H G (1987) Philosophical and epistemological aspects of mathematics and their interaction with theory and practice in mathematics education For the Learning of Mathematics,7(1), 7–13 51 PHỤ LỤC I Các phiếu học tập đƣợc sử dụng trình thực nghiệm PHIẾU THỰC NGHIỆM SỐ Bài tốn 1: Tồn hay khơng số nguyên dương a1 , b1 , a2 , b2 cho a12  b12  3(a22  b22 ) Bài làm: P1 PHIẾU THỰC NGHIỆM SỐ Bài tốn 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng, SA vng góc với đáy Gọi H , K hình chiếu vng góc A lên cạnh SB , SD Liệu hai mặt phẳng ( AHK ) (SBD) có khả vng góc với hay khơng? Hãy chứng minh điều Bài làm: P2 II Các làm học sinh cho nhiệm vụ phiếu thực nghiệm Phiếu thực nghiệm số 1: P3 P4 Phiếu thực nghiệm số P5 P6 ... tài: Giả thuyết chứng minh khám phá tự nghiệm tốn có tính khơng thể học sinh trung học phổ thông nhằm:  Đánh giá khả đặt giả thuyết chứng minh học sinh trung học phổ thông khám phá tự nghiệm thông. .. Khả đặt giả thuyết học sinh trung học phổ thông khám phá tự nghiệm tốn có tính khơng thể nào?  Khả tìm đường chứng minh học sinh trung học phổ thông khám phá tự nghiệm tốn c? ?tính khơng thể nào?... đặt giả thuyết học sinh trung học phổ thông khám phá tự nghiệm tốn có tính nào? Qua kết thực nghiệm phân tích chương 4, thấy khả đặt giả thuyết học sinh trung học phổ thông thông qua khám phá tự